随机变量

1、 随机变量及其分布同步练习题（二） （考试时间：90分钟，满分：150分） 班级：_ 姓名：_ 座号：_ 总分：_ 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、给出下列四个命题： 15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量； 在一。

2、 随机变量及其分布期末练习题及答案 1在事件发生的概率为的伯努利试验中，若以记第次发生时的试验的次数，求的分布。
解 小结 求离散型随机变量的分布律时，首先应该搞清随机变量取可能值时所表示的随机事件，然后确定其分布列。
为验证所求分布是否正确，通常可计算一下所求得的“分布列”之和是否为1，若不是，则结果一定是错误的。
2设随机变量的分布函数为 求（1）的值；（2）落在及内的概率；（3。

3、 第二章 一维随机变量及其分布 1、 填空题 1. 设某批电子元件的正品率为，次品率为，现对这批元件测试，只有要测得一个次品就停止测试工作，则测试次数X的概率分布函数是。
2. 设随机变量X服从正态分布，且二次方程无实根的概率为1/2，则。
3. 已知随机变量X只能取四个数值，其相应的概率依次为，则。
4. 设随机变量X的分布函数，则常数； ；密度函数。
5. 若X的概率分布为，则X的分布函数；的。

4、第三章 随机变量的数字特征习题 一、 填空题 1. 掷10颗骰子，假定每颗骰子出现1至6点都是等可能的，则10颗骰子的点数和的数学期望为 ， 方差为 。
2. 盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个，表示取到的白球个数，表示取到的黑球个数，则 ， ， ， 3. 设随机变量的期望为，均方差为，则当时， ， 4 .已知随机变量的概率密度为（），则 ， 。

5、第二章 随机变量及其分布测试题三 一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中 1若随机变量在1，6上服从均匀分布，则方程有实根的概率为 2设随机变量的概率密度为，若使得，则的取值范围是 3已知随机变量的分布列为：，则常数 4设，当时，= 5若随机变量的分布列为，则的分布列为 二、选择题（本题共5小题，每小。

6、特性 4.2.2 随机数发生器的设计随机数发生器的设计 4.3 随机数发生器的检验随机数发生器的检验 4.4 随机变量的生成原理随机变量的生成原理 4.5 典型随机变量的生成典型随机变量的生成 4.5.1 离散型随机变量的生成离散型随机变量的生成 4.5.2 连续型随机变量的生成连续型随机变量的生成 （1）确定性活动（确定性活动（ deterministic activity） 对于给定的随机数对于给定的随机数xi，前后距离为，前后距离为 K的样本相关系数的样本相关系数 为：为： 。

7、个数 值或可列无穷多个数值，则称此类随机变量为值或可列无穷多个数值，则称此类随机变量为 离散型随机变量。
离散型随机变量。
连续型随机变量：若随机变量可以取值于某连续型随机变量：若随机变量可以取值于某 个区间中的任一数，我们称为连续型随机变量个区间中的任一数，我们称为连续型随机变量 。
蒙特卡洛方法的基本思想是：为求解数学、蒙特卡洛方法的基本思想是：为求解数学、 物理、工程及生产管理等方面问题，首先建立物理、工程及生产管理等方面问题，首先建立 一个概率模型或随机过程，使它的参数等于问一个概率模型或随机过程，使它的参数等于问 题的解；然后通过对模型或过程的观察或抽样题的解；然后通过对模型或过程的观察或抽样 试验来计算所求随机参数的统计特征，最后给试验来计算所求随机参数的统计特征，最后给 出所求解的近似值。
出所求解的近似值。
蒙特卡洛方法以概率统计为主要理论基础，蒙特卡洛方法以概率统计为主要理论基础， 以随机抽样为主要手段。
通过实验获得样本特以随机抽样为主要手段。
通过实验获得样本特 征值以代替总体的特征值。
征值以代替总体的特征值。
蒙蒙特卡洛方法的主要步骤：特卡洛方法的主要步骤： （1。

8、空间上e的n个随机变量,则称,构成一个n维随机变量,简记为X=(X1,X2,Xn),2018/10/25,2,1 二维随机变量,1. 二维r.v.(联合)分布函数:,联合分布函数.,2018/10/25,3,若将(X, Y)看成平面上随机点的坐标, 则分布函数F(x,y)的值为(X,Y)落在阴影部分的概率(如图1),2018/10/25,4,二维r.v.的分布函数的基本性质与一维r.v.的分布函 数F(x)的性质类似,如下列出：,2018/10/25,5,(1) F(x,y)是变量x或y的单调不减函数，即,(3) F(x,y)关于x,y都是右连续的，即,2018/10/25,6,2. 下面分别讨论二维离散型和连续型r.v.的分布,(一) 二维离散型r.v.的分布律,二维离散型r.v.,联合分布律或联合概率分布,简称 为(X,Y)的分布律或概率分布.,2018/10/25,7,例1 一袋子中有5个球，其中2个球上标有数字 “1”，3个球上标有数字“0”，采用有放回和无放 回两种方式取球，X表示第一次取得的数字，Y 表示第二次取得的数字，求(X,Y)的联合分布率。
,解:。

9、变量.,描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布 或分布律，即,概率分布的性质,一、离散型随机变量的概念,F( x) 是分段阶梯函数，在 X 的可能取值 xk 处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点.,二、离散型随机变量的分布函数,注意右连续,注意:,离散型随机变量的概率分布分以下几步来求:(1)确定随机变量的所有可能取值;(2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率.(3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）.,例2.2.1,从110这10个数字中随机取出5个数字，令 X：取出的5个数字中的最大值试求X的分布律,具体写出，即可得 X 的分布律：,解：X 的可能取值为,5，6，7，8，9，10 并且,=,求分布率一定要说明 k 的取值范围！,例2.2.2 袋内有5个黑球3个白球,每次抽取一个不放回,直到取得黑球为止。
记X为取到白球的数目,Y为抽取次数，求X、Y的概率分布及至少抽取3次的概率。
,解: (1)X的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=5/8, P(X=1)=(35)/(87)=15/56,类似有 P(X=2)=。

10、于是,则有,即,同理可得,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,12,例,设,(2),解,(2),13,服从正态分布,14,对称地,服从正态分布,（3）比较,与,易知:,即,2.9 两个随机变量的函数的分布,一、离散型随机变量函数的分布,例1,解,等价于,概率,结论,例 2.,解:,所以,二、连续型随机变量函数的分布,1. Z=X+Y 的分布,由此可得概率密度函数为,由于X 与Y 对称,当 X, Y 独立时,例3 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正态分布,求 Z=X+Y 的概率密度.,得,说明,有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.,例如，设X、Y独立，都具有正态分布，则 3X+4Y+1也具有正态分布.,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,解: 由卷积公式,也即,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,如图示:,也即,于是,解法二 从分布函数出发,当z 0 时，,可用卷积公式直接求密度函数与通过分布函数求密度函数两种方法求和的分布,当0 z 1 时，,当1 z 2 时，,。

11、同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球那么取球次数恰为3次的概率是,【规律总结】解答几何概型、古典概型问题时的注意事项(1)有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性,(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解(4)利用几何概型求概率时，关键是构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域,【变式训练】1(1)(2012石景山一模)如图，圆O：x2y22内的正弦曲线ysin x与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是_,答案4,考点二：,相互独立事件的概率与条件概率,审题导引(1)把事件“目标被击中”分解为三个互斥事件求解；(2)据古典概型的概。

12、上一页,下一页,返回,例1: 某种产品即将投放市场，根据市场调查估计每件产品有60%的把握按定价售出，20%的把握打折售出及20%的可能性低价甩出。
上述三种情况下每件产品的利润分别为5元，2元和-4元。
问厂家对每件产品可期望获利多少？,解: 设X表示一件产品的利润(单位：元),X的分布率为,X的数学期望:,上一页,下一页,返回,例2： 设X服从参数为p的（0-1）分布，求E(X)。
,解： X的分布律为,0p1,q=1-p,常用随机变量的数学期望：,上一页,下一页,返回,例3： 设Xb(n，p)，求E(X)。
,解 ： X的分布律为,则：,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,例5 设XU(a，b)，求E(X)。
,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,定理4.1: 设Y是随机变量X的函数，即Y=g(X),g(x)是连续函数。
,2.随机变量函数的数学期望：,上一页,下一页,返回,设X是连续型随机变量，且y=g(x)满足第二章中定理的条件。
则由定理的结论知Y的概率密度为,证明,上一页,下一页,返回,推广： 设Z是随机向量（X,Y）的函数，即Z=g(X,Y) 。

13、则的值为,练习、随机变量的分布列为,求常数a。
,解：由离散型随机变量的分布列的性质有,两种分布:,(1)两点分布,(2)超几何分布,练习:1/p56 B1/57 1,3/p56,一袋中装有5只同样大小的乒乓球，编号为1、2、3、4、5，现从中随机取出3只，以表示取出球的最大号码，求的分布列,解：,表示其中一个球号码等于“3”，另两个都比“3”小,5,4,3,表示其中一个球号码等于“4”，另两个都比“4”小,表示其中一个球号码等于“5”，另两个都比“5”小,例:,一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个小球，以表示取出球的最大号码，求的分布列,解：,表示其中一个球号码等于“3”，另两个都比“3”小,表示其中一个球号码等于“4”，另两个都比“4”小,表示其中一个球号码等于“5”，另两个都比“5”小,表示其中一个球号码等于“3”，另两个都比“3”小,练习:,。

14、取值分散程度大, EX 的代表性差;而如果 DX 值小, 则表示X 的取值比较集中,以 EX 作为随机变量的代表性好.,2. 方差的意义,离散型随机变量的方差,3. 随机变量方差的计算,(1) 利用定义计算,证明,(2) 利用公式计算,三、例题,例4. 随机抛掷一枚均匀的骰子，求向上一面的点数 X 的均值 、方差和标准差.,解：抛掷骰子点数 X 的分布列为：,练习：78页 1,2.设随机变量X的均值EX=2，方差DX=4，求EX 2,课本例5,四、小结：,作业：79页A组 4,。

15、离散型随机变量X的分布列：,2.分布列的性质： ,3.求法:,求X；求Pi；列表,归纳,解：由比赛规可知X的可能取值为0、1，且：,由题设可得：P（X=1）=0.809，,所求分布列为:,求的值，求的值，列表,据统计，姚明的罚球命中率为0.809，求他在一次罚球时得分X的分布列,练习,P（X=0）=1-P（X=1）=1-0.809=0.191.,两点分布列为:,归纳,1-p,成功概率,含2件次品的10件产品中, 任取3,共有( ) 种取法,若其中恰有1个次品的取法有( )种.,其中恰有1个次品的概率是:,练习,试求:,在含有2件次品的10件产品中，任取3件，求取到次品数X的分布列。
,分析: 求i，求pi，列表.,例,次，正，任取,思考:取到恰有k次品数X的概率是:,超几何分布列：,其中m = minM,n,且n，mN称(*)为超几分布列. 称X服从超几何分布,归纳。

16、最大号码，求的分布列,例1：,解：,表示其中一个球号码等于“3”，另两个都比“3”小,表示其中一个球号码等于“4”，另两个都比“4”小,表示其中一个球号码等于“5”，另两个都比“5”小,表示其中一个球号码等于“3”，另两个都比“3”小,返回,课堂练习：,1、某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出2件，求其中的次品数的分布列,3、设随机变量的分布列为,则的值为,2、设随机变量的分布列如下：,4,3,2,1,则的值为,返回,例2：,已知随机变量的分布列如下：,2,1,3,2,1,0,分别求出随机变量,；,的分布列,解：,且相应取值的概率没有变化,返回,例2：,已知随机变量的分布列如下：,2,1,3,2,1,0,分别求出随机变量,；,的分布列,解：,课外作业：,习题11第2、3、4题,。

17、根据分布列估计射手n 次射击的平均环数？,新授课,新授课,例题讲解,例题讲解,例题讲解,例题讲解,例题讲解,例5：一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分。
学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。
求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。
,解：,设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是和，则,B(20，0.9)， B(20，0.25)，,E200.918，,E200.255,由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是5和所以，他们在测验中的成绩的期望分别是,E(5)5E51890，,E(5)5E5525,服从几何分布的随机变量的期望,E =p+2pq+3pq2+kpqk-1+,qE =pq+2pq2+3pq3+kpqk+,(1-q)E 。

18、率分布.,例如：抛掷两枚骰子，点数之和为，则可能取的值有：2，3，4，12.的概率分布为：,一般地，设离散型随机变量可能取的值为：1，2，取每一个（1，2，）的概率P（），则称表：,为随机变量的概率分布，简称为的分布列.,离散型随机变量的分布列,例1：某一射手所得环数的分布列如下：,4,5,6,7,8,9,10,0.02,0.04,0.06,0.28,0.29,0.09,0.22,求此射手“射击一次命中环数7”的概率。
,解：根据射手所得环数的分布列，有,P(=7)=0.09,P(=8)=0.28,P(=9)=0.29,P(=10)=0.22,所求的概率为P( 7) =0.09+0.28+0.29+0.22=0.88,练习一,1.篮球运动员在比赛中每罚球命中得1分，罚不中得0分。
已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球1次的得分的分布列。
,该篮球运动员罚球1次的得分的分布列为：,解：,P,0,1,0.3,0.7,解：依题意，原物体在分。

19、在射击训练中，其中某次射击可能出现命中的环数情况有哪些？,问题2,（0环、1环、2环、10环）共11种结果,（0件、1件、2件、3件、4件）共5种结果,问题3,掷一枚硬币试验,可能出现正面向上和反面向上两种结果,我们可以用数1和0分别表示正面向上和反面向上,这样掷一枚硬币试验,可能出现1和0两种结果,“随机试验”的概念,一般地，一个试验如果满足下列条件：试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不只一个；每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验,前进,一、随机变量,1、定义,随机试验的结果可以用一个变量来表示，则称此变量为随机变量，常用、,2、随机变量的分类,离散型随机变量：,连续型随机变量：,的取值可一 一列出,可以取某个区间内的一切值,3、随机变量的运算,若,是随机变量，,则,也是随机变量,（其中、,X,Y等表示,是常数）,所谓随机变量，即是随机试验的试验结。

20、确(请在括号中打“”或“”).(1)期望值就是算术平均数，与概率无关.( )(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定.( )(3)随机变量的方差反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差越小，则偏离变量平均程度越小.( )(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.( ),【解析】(1)错误.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均值，反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)正确.由于随机变量的取值是确定值，而每一个随机变量的概率也是确定的，因此随机变量的均值是定值，即为常数；而样本数据随着抽样的次数不同而不同，因此其平均值也不相同.(3)正确.随机变量的方差反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差越小，则偏离变量平均程度越小；方差越大，则偏离变量平均程度越大.,(4)错误.均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，均值反映了平均水平，而方差则反映它们与平均值的偏离情况.答案：(1) (2) (3) (4),1设投掷1颗骰。

21、问题1：某人射击一次，可能的结果有：,命中0环；命中1环；命中2环；命中10环。
,0，1，2，10，,问题2：在可能含有次品的100件中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是：,含有0个次品；含有1个次品；含有2个次品；含有3个次品；含有4个次品。
,0，1，2，3，4，,随机变量： 如果随机实验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。
,记作： 或 等希腊字母,问题1：某人射击一次，可能的结果有：,命中0环；命中1环；命中2环；命中10环。
,0，1，2，10，,问题2：在可能含有次品的100件中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是：,含有0个次品；含有1个次品；含有2个次品；含有3个次品；含有4个次品。
,0，1，2，3，4，,问题1：任掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上这两种结果，如何用变量 来表示这个随机实验的结果？,问题2：某校举行一项投篮比赛活动，规定每位参赛选手投篮5次，投进一次得2分，未投进得0分。
某选手进球次数 。

22、,下面就来算一下甲在比赛中的平均得分情况,设进行n次比赛,P(=4)n=,_次得4分,_次得5分,_次得10分,0.02n,0.04n,0.22n,P(=5)n=,P(=10)n=,则甲n次比赛中总分数为,40.02n+50.04n+100.22n,=n(40.02+50.04+100.22),则n次比赛中平均分数等于：,40.02+50.04+100.22,=8.32,E,选拔选手!,资料表明：,花落谁家？,E= 40.02+50.04+100.22 =8.32,E=8.11,称它为乙比赛所得分数的期望。
,它刻划了随机变量的取值的平均值。
,反映了运动员的得分水平,是判断依据,1、数学期望,一般地，若离散型随机变量的概率分布为,则称,为的数学期望,又称为期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平,或平均数、均值,说明：,1)。

23、述随机变量，但能更突出地描述随机变量在某些方面的重要特征，我们称它们为随机变量的数字特征本章将介绍随机变量的常用数字特征数学期望、方差、相关系数和矩第一节数学期望1数学期望的定义粗略地说，数学期望就是随机变量的平均值在给出数学期望的概念之前，先看一个例子要评判一个射手的射击水平，需要知道射手平均命中环数设射手A在同样条件下进行射击，命中的环数X是一随机变量，其分布律如下表41X10987650PK01010203010101由X的分布律可知,若射手A共射击N次,根据频率的稳定性,所以在N次射击中,大约有01N次击中10环,01N次击中9环,02N次击中8环,03N次击中7环,01N次击中6环,01N次击中5环,01N次脱靶于是在N次射击中，射手A击中的环数之和约为1001N901N802N703N601N501N001N平均每次击中的环数约为N1（1001N901N802N703N601N501N001N）100190。

24、4数学期望在民事纠纷、医学、体育中的应用17结束语20参考文献21致谢22聊城大学本科毕业论文摘要概率论与数理统计是研究随机现象及其统计规律的数学学科其中，数学期望反映的是随机变量取值的平均程度通过举例对随机变量的数学期望的求法进行探究,利用数学期望的定义、性质、公式、随机变量分布的对称性，以及特征函数等，给出了数学期望的几种计算方法，并在此基础上，探讨了数学期望在生产销售、风险决策、物流、民事纠纷、医疗卫生和体育等方面的应用，有利用于我们进一步了解随机变量数学期望的性质和应用关键词随机变量；数学期望；分布；应用ABSTRACTPROBABILITYTHEORYANDMATHEMATICALSTATISTICSISASUBJECTWHICHRESEARCHTHERANDOMPHENOMENAANDITSSTATISTICALLAWSWITHIN,MATHEMATICALEXPECTATIONREFLECTINGTHEAVERAGEVALUEOFTHEFIGURERESEARCHTHESOLUTIONOFMATHEMATICALEXPECTATIONTHROUGHTHEEXAMPLE,C。