随机变量数学期望的求法及应用论文.doc

1、 目 录前 言1第一章 基础知识21.1 数学期望的定义21.2 数学期望的性质3第二章 数学期望的求法32.1 利用数学期望定义42.2 利用数学期望的性质42.3 利用特征函数52.4 利用条件数学期望法62.5 利用微分法72.6 利用分布的对称性82.7 利用递推法9第三章 数学期望的应用103.1 数学期望在生产和销售利润中的应用103.2 数学期望在风险与决策中的应用123.3 数学期望在物流管理中的应用143.4 数学期望在民事纠纷、医学、体育中的应用17结束语20参考文献21致 谢22 摘 要概率论与数理统计是研究随机现象及其统计规律的数学学科.其中，数学期望反映的是随机变量取

2、值的平均程度.通过举例对随机变量的数学期望的求法进行探究, 利用数学期望的定义、性质、公式、随机变量分布的对称性，以及特征函数等，给出了数学期望的几种计算方法，并在此基础上，探讨了数学期望在生产销售、风险决策、物流、民事纠纷、医疗卫生和体育等方面的应用，有利用于我们进一步了解随机变量数学期望的性质和应用.关键词：随机变量；数学期望；分布；应用AbstractProbability theory and mathematical statistics is a subject which research the random phenomena and its statistical laws

3、. Within, mathematical expectation reflecting the average value of the figure. Research the solution of mathematical expectation through the example, conducted by mathematical expectation definition, properties, formulas, random variable distribution of symmetry, and the characteristic function, and

4、 so on, give the calculation method of the mathematical expectation. And on this basis, discuss the application of mathematical expectation in production and marketing, risk management, logistics, civil disputes, medical and sporting, beneficial for us to gain a better understanding of the random va

5、riable mathematical expectation of the properties and applications.Key words：random variable；mathematical expectation；distribution；application随机变量数学期望的求法及应用前 言数学期望是随机变量的数学特征之一，反映随机变量平均取值的大小，又称期望或均值.它是简单算术平均的一种推广，在理论和实践中具有广泛的应用.本文总结随机变量、数学期望的有关性质，总结了计算数学期望的多种方法，给出了数学期望在经济活动与日常生活中的应用实例，以便使数学期望更好的与实际问题

6、相结合.定义1 设随机试验的样本空间为，是定义在样本空间上的实值单值函数，称为随机变量.定义2 随机变量全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量.设离散型随机变量所有可能取的值为，取各个可能值的概率，即事件的概率，为.由概率的定义，满足如下两个条件： .我们称为离散型随机变量的分布律.定义3 设是一个随机变量，是任意实数，函数称为的分布函数.如果对于的分布函数，存在非负函数，使对于任意的实数有，则称为连续型随机变量，其中函数称为的概率密度函数.第一章 基础知识1.1 数学期望的定义设离散型随机变量的分布列为.若级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量的数学期望

7、，记为，即.设连续型随机变量的概率密度为，若积分绝对收敛，则称的值为随机变量的数学期望，记为，即.1.2 数学期望的性质数学期望有以下重要性质:设是常数，则有.设是一个随机变量，是常数，则有.设，是两个随机变量，则有.推广到任意有限个随机变量之和的情况.设，是相互独立的随机变量，则有.推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况.第二章 数学期望的求法数学期望是概率论的重要内容之一,随机变量的数学期望是反映随机变量取值的集中位置的一个重要数字特征,随机变量的其它数字特征都是通过数学期望来定义的,因此数学期望的计算问题显得非常重要,由于随机变量的分布形式不同，数学期望的求法也就不同，即使是同种分

8、布，其解法也多种多样，技巧性较强，因此，探讨数学期望的计算方法和计算技巧有着重要意义,下面介绍一些计算数学期望的不同方法.2.1 利用数学期望定义此法是计算数学期望最常用的一种方法.它是先通过数学手段将转化成组合数公式、二项式定理或特殊级数的形式 ,然后求和获解.该方法思路明确，但有时运算比较麻烦.例1 设随机变量服从泊松分布,求它的数学期望.解 的分布律为.的数学期望为,即 .例2 设随机变量服从指数分布,求它的数学期望.解 的概率密度为的数学期望为.即 .2.2 利用数学期望的性质有些随机变量的结构很复杂 ,利用定义求其数学期望需要求其概率分布,若直接求概率分布很困难，此时可以根据实际意义

9、将要求数学期望的随机变量分解为数个简单随机变量的和,然后利用数学期望的性质求解，从而化整为零、化繁为简，这也是概率论学习中一种很重要的思想方法（又称分解随机变量法）,这种处理方法带有一定的普遍意义.常用的公式为.特别是常把复杂的随机变量分解成若干个服从贝努利分布的随机变量之和，即设.易得,若，且相互独立，则.例3 一公交车上载有30位乘客自火车站开出,乘客有15个站可以下车.如果到达一个车站没有乘客下车就不停车,以表示停车次数,求.解 由题意知.，.因为，所以次.例4 某人一次写了封信,又写了个信封,如果他任意地将张信纸装入个信封中,求平均装对的信件数.解 设 则为所有装对的信件数，则,.2.

10、3 利用特征函数有时计算随机变量的特征函数比直接计算要简单,此时可以考虑先算出特征函数,再利用它与数学期望的关系,求出数学期望本身.随机变量的特征函数定义为：则.特别地，.例5 设随机变量服从正态分布,求它的数学期望.解 由，可求特征函数为.所以.即 .2.4 利用条件数学期望法利用条件期望公式或，可得数学期望.例6 设,当时,求.解 由题意 ，于是,即.例7 设质量与加速度是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为，试求外力的均值.解 =.2.5 利用微分法若随机变量的分布律中含有参数，可对分布律的性质两边关于参数求导来达到目的.例8 设随机变量服从几何分布 ,求它的数学期望.解 因为，根据

11、分布律的性质得两边对求导数，得，即，因此.2.6 利用分布的对称性对称的概念在概率中有着非常广泛且重要的作用,利用这一技巧可以简化解题的步骤.一般的几何概率问题要用积分进行计算比较复杂,但利用对称性计算简单便捷,当随机变量的分布律或分布密度函数较复杂时,如果随机变量的分布律或分布密度函数具有对称性,则其数学期望就是其取值的对称中心.例9 设在区间上随机地取个点 ,以表示相距最远的两点间的距离 ,求 .解 个点把区间分成段,它们的长度分别依次记为.根据对称性,每一个的概率分布都应相同,从而数学期望也都相同.但,因此，.相距最远的两点间的距离为,因此.例10 若为正的独立随机变量，服从相同分布，试

12、证明.证 由对称性知 同分布，故.而，故.因此，由数学期望的可加性知.2.7 利用递推法对于某些随机变量的数学期望,可以容易求得其邻近数值的关系,进而得出其递推公式.例11 设试验有个等可能的结果. 求至少一个结果连续发生次的独立试验的期望次数.解 设 “至少一个结果连续发生次”,“至少一个结果连续发生次”.在发生的条件下,或者继续试验一次,同一结果又发生的概率为,导致发生;或者继续试验一次,而发生其它结果,这样,要使发生,犹如从头开始.由此得 ,即,而，故.以上讨论了几种简化计算数学期望的方法和技巧，但不是全部，在此不再列举.不过，我们在计算随机变量的数学期望时，要注意:对于离散型随机变量的

13、数学期望，其数值是级数的和,而且数学期望完全是由的分布列确定，而不受的可能取值的排列次序的影响，因此，要求级数绝对收敛，若级数不是绝对收敛，则其数学期望不存在.对于连续型随机变量的数学期望，其数值是积分的值，若该积分不是绝对收敛，则其数学期望也不存在.总之，只要对数学期望的基本定义和随机变量分布形式的特点有了透彻的理解，那么,对各种简化计算方法和技巧的应用就会游刃有余了.第三章 数学期望的应用概率论与数理统计学科是一门研究随机现象的学科，它的思想方法与我们以往接触过的任何一门学科有所不同，在概率论与数理统计中,许多概念抽象、难懂，许多学生一时无法接受随机的思维方式，若仍采用刻板的数学学习方式，

14、得到的学习效果恐怕不尽人意，若在学习的过程中能结合实际生活中的所见所闻，举出相应的实例，不仅能启发学习思维，提高学习兴趣，也能用所学知识去解决实际生活中的问题.数学期望是随机变量的一个很重要的数字特征，在现实生活中，如生产销售、风险决策、物流、民事纠纷、医疗、体育等很多问题都可以直接或间接地利用数学期望来解决.3.1 数学期望在生产和销售利润中的应用在经济活动中，不论是厂家的生产还是商家的销售，总是追求利润的最大化，供大于求或供不应求都不利于获得最大利润，但供应量和需求量又不是预先知道的,理性的厂家或商家往往根据过去的生产或销售数据（概率）制定生产或销售量.3.1.1 数学期望在生产利润中的应

15、用例12 假设一部机器在一天内发生故障的概率0.2，机器发生故障则全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生1次故障仍可获利润5万元发生；次故障所获利润0元；发生3次或3次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少元？解 设一周5天内机器发生故障的天数为则服从参数的二项分布：以表示所获利润，则的概率分布为1050-20.3280.4100.2050.057.故工厂一周内期望利润是5.216万元 .3.1.2 数学期望在销售利润中的应用例13 某商场某品牌的空调器每周的销售量是一个随机变量,分布列为而商场每周的进货量为区间中的某一整数,商场每销售一台空调可获利500元,若

16、供大于求则每台多余的空调器需交保管费用100元,若供不应求,则可从其它商店调剂供应,此时每一台空调器仅获利 200元,问此商场周初进货量(含上周余量)应为多少才可获最大利润?解 设商场周初进货量(含上周余量)为台,周利润为随机变量则又，所以为求的最大值令即.由于是正整数,所以或即商场周初进货量(含上周余量)为25或26台时,可获最大利润.3.2 数学期望在风险与决策中的应用在日常生活中，人们经常要面临“风险”.在充满生存竞争的世界里，商人若进行一次投资，他需要精确算出是否赢利，赢利多少需要算出投资的风险，我们理解与掌握风险的目的就是要采取科学的方法对其进行评价，从而制定出有效的“决策”.决策方

17、案即将数学期望最大的方案作为最佳方案加以决策.它帮助人们在复杂的情况下从可能采取的方案中做出选择和决定.具体的做法为：如果知道任一方案在每个影响因素发生的情况下，实施某种方案所产生的盈利值及各影响因素发生的概率，则可以比较各个方案的期望盈利，从而选择其中期望盈利最高的为最佳方案.3.2.1 风险方案例14 假设某公司预计市场的需求将会增长，目前公司员工都在满负荷的工作着，为满足市场需求，公司考虑是否让员工超时工作或以添置设备的方法提高产量.假设公司预测市场需求量增加的概率为，同时还有的可能市场需求会下降.若将已知的相关数据列于表1：表1市场需求减少市场需求增加维持现状（）30万34万员工加班（

18、）29万42万添加设备（）25万44万由条件可知，在市场需求增加的情况下，使员工超时工作或添置设备都是合算的.然而现实是不知道哪种情况会出现，因此要比较几种方案获利的期望大小.用期望值判断，有事实上，若，则（万），（万），（万），于是公司可以决定更新设备，扩大生产.若，则（万），（万），（万），此时公司可决定采取员工超时工作的应急措施.由此可见，只要市场需求增长可能性在50%以上，公司就应采取一定的措施，以期利润的增长.3.2.2 投资方案例15 假设某人用10万元进行一年的投资，有两种投资方案，一是购买股票，二是存入银行获取利息.买股票的收益取决于经济形势，若经济形势好可获利4万元，形势中等

19、可获利1万元，形势不好要损失2万元.如果存入银行，假设利率为8%，可获利息8000元，又设经济形势好、中、差的概率为30%、50%、20%.试问应选择哪一种投资方案可使投资的效益较大？比较两种投资方案获利的期望大小：购买股票的数学期望是（万元），存入银行获利期望是（万元），由于，所以购买股票的期望收益比存入银行的期望收益大，应该用购买股票的方案.在这里，投资方案有两种，但经济形势是一个不确定的因素，做出选择的根据必须是数学期望高的方案.3.2.3 面试方案例16 有三家公司为大学毕业生甲提供应聘机会,按面试的时间顺序,这三家公司分别记为A, B, C.每家公司都可提供极好、好和一般三种职位.每

20、家公司根据面试情况决定给求职者何种职位或拒绝提供职位.按规定, 双方在面试后要立即作出决定提供、接受或拒绝某种职位,且不许毁约.咨询专家在为甲的学业成绩和综合素质进行评估后,认为甲获得极好、好和一般的可能性依次为0.2,0.3和0.4，三家公司的工资承诺如表2:表2公司好极好一般ABC350039004000300029503000220025002500如果甲把工资作为首选条件,那么甲在各公司面试时,对该公司提供的各种职位应作何种选择?分析 由于面试从A公司开始, 甲在选择A公司三种职位时必须考虑后面B,C公司提供的工资待遇,同样在B公司面试后,也必须考虑C公司的待遇.因此我们先从C公司开始

21、讨论由于C公司的工资期望值为(元)再考虑B公司,由于B公司一般职位工资只有2500,低于C公司的平均工资, 因此甲在面对B公司时,只接受极好和好两位职位,否则去C 公司.如此决策时甲工资的期望值为（元）.最后考虑A公司,A公司只有极好职位工资超过3015,因此甲只接受A公司的极好职位.否则去B公司.甲的整体决策应该如此:先去A公司应聘,若A公司提供极好职位就接受之.否则去B公司, 若B公司提供极好或好的职位就接受之, 否则去C公司应聘任一种职位.在这一决策下,甲工资的期望值为.3.3 数学期望在物流管理中的应用数学期望无论从生产计划,还是从物流决策来看都是至关重要的.在物流管理活动中,人们往往

22、不自觉地利用它.利用它来解决物流管理中诸如生产决策、最优库存、最佳进货量等难以解决的问题,为物流决策提供科学的解决方案,并提高企业物流管理水平和效率.以下通过具体的实例来说明数学期望在物流管理中的应用.3.3.1 决定生产批量问题决定生产批量问题是风险型经济决策问题.这种经济决策问题是物流企业进行生产决策经常遇到的.选择何种方案,多少产量直接关系到企业成本的控制, 收益的高低,这些问题都是关系到企业管理和运营的重大问题,同时也困扰很多管理者.简易可行的解决方法就是利用期望收益最大的原则进行方案选择:即进行备选方案的收益(或损失)比较,选择收益(或损失)最大(最小)的方法.例17 某厂决定今后5

23、年内生产某电子产品的生产批量,以便及早做好生产前的各项准备工作.根据以往销售统计资料及市场调查和预测得知:未来市场出现销路好销路一般、销路差三种状态的概率分别为0.3、0.5、和0.2若按大、中、小三种不同生产批量投产,今后5年不同销售状态下的益损值如表3所示表3行动方案销路好销路一般销路差0.30.20.5大批量生产益损2014-2中批量生产益损121712小批量生产益损81010试作出分析, 以确定最佳生产批量.解 比较期望益损法是常用的决策方法之一,下面算出每一方案的期望益损比和均大，所以认为选择中批量生产方案为优.3.3.2 选择最优库存量库存量过大所产生的问题:增加仓库面积和库存保用

24、,从而提高了产品成本， 占用大量的流动资金,造金呆滞,既加重了货款利息等负担,又会影响资金的价值和机会收益，造成产成品和原材料的有形损耗和损耗，造成企业资源的大量闲置，影响其合理配置和优化，掩盖了企业生产、经营全过程的各种矛盾和问题,不利于企业提高管理水平.库存量过小所产生的问题:造成服务水平的下降,销售利润和企业信誉；造成生产系统原材料或其他物应不足,影响生产过程的正常进行;使订货间隔期缩短，订货次数增加,使订货（生产）成本提高; 影响过程的均衡性和装配时的成套性.当企业面对库存问题时,企业管理人员可以利用数望的性质与特征,决定最佳库存量,以此来减少企业,提高企业对市场的反应能力.例18 一

25、商场某种食品的进价为65元/千克，零售 70元/千克,若卖不出去，则削价20%处理，如供缺，有关部门每千克罚款10元.已知客户对该食品的需求量服从20000,80000上的均匀分布,求该商春节期间对该食品的最优库存策略.解 设库存量为，则，库存量为是所得利润为期望利润为令，可得，即当库存量为57500千克时期望利润最大，且利润为81250元.3.3.3 选择最佳进货量商场要进某种商品,作为商场而言,必定要考虑准备多少货源, 既能满足市场需求,又不会产生积压，使资金使用最佳、收益最优.在概率论中，运用数学期望的概念,此问题可以从平均收益，即期望着手处理.例19 设某种商品每周的需求量是服从区间上

26、均匀分布的随机变量, 而经销的商场进货数量为区间中的某一整数.商场每销售一单位商品可获利 500元;若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则可从外部调剂，此时每一单位商品仅获利300元.为使商场所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量.解 设进货量为，利润为，则利润函数为 期望利润为依题意有.解得.以上通过对实际案例的分析表明当企业面对选择最优生产批量、选择最优库存量、选择最佳进货量等物流问题时,可以在充分预见这些问题中面临的变数的基础上,利用经济数学的基本原理和方法来量化物流管理中定性的问题.即只要企业的物流管理和控制人员懂得应用数学期望的质与特征,并能够加

27、以应用,就能既保证客户服务水平，又能大幅度降低企业成本,从而提高收益.3.4 数学期望在民事纠纷、医学、体育中的应用数学期望不仅在经济活动中有着广泛的应用，而且在于我们联系密切的民事纠纷、医学、体育的日常生活中也具有广泛的应用，下面通过几个具体的实例加以说明.例20 在民事纠纷案件中，如果受害人将案件提交法院诉讼，他（她）除了要考虑胜诉的可能性外，还应考虑到诉讼费用的负担.理性的当事人往往通过私下协商赔偿费用而趋于和解，免于起诉.在一个典型的交通事故案件中，司机（致害人）开车撞伤了受害人，使受害人遭受了10万元的经济损失.假若将案件提交诉讼，诉讼费用共需要0.4万元并按所负责任的比例由双方承担

28、.从事故发生的情形分析，法院对事故判决可能有三种情况：1、致害人应承担100%的责任，要向受害人赔偿10万元的损失费用，并支付全部0.4万元的诉讼费；2、致害人应承担70%的责任，要向受害人赔偿7万元的损失费用并支付0.4万元诉讼费的70%,诉讼费另外的30%由受害人支付；3、致害人应承担50%的责任，要向受害人赔偿5万元的损失费用0.4万元的诉讼费由双方各负担一半.受害人估计三种情况发生的概率分别为0.2、0.2和0.6，如果致害人希望私下和解而免于起诉，他应至少给受害人多少数额的赔偿费，才会使受害人从经济收益上考虑而趋于和解？解 设受害人上诉时可获得的收益为其分布为107+0.40.35+

29、0.40.50.20.60.2则受害人上诉时可获得的期望收益为（万元）.因此，致害人至少应给受害人7.96万元的赔偿费，才会使受害人从经济收益上考虑而趋于和解.例21 医务系统的检验人员在实际工作中经常遇到在大人群中普查某种疾病，如寄生虫类、肺结核、甲肝等，这分别需要进行粪检、痰检、血检、假设需要检验个人的血，如果逐人验血，则共需要检验次，平均每人1次，如果把这个人大致地分为个组，每组个人，把这个人的血样混合，首先检验混合血样，平均每人次；如果结果是阳性，则再逐个血样检验，即共需次!平均每人需次.当被普查人数众多时，应用分组检验的方法能大大减少检验的次数.现知道某地区的群众患有肝炎的概率为0.

30、004左右，假若要对该地区5000人进行肝炎感染的普查，问用分组检验方法是否比逐人检查减少检查次数?如果是,分成几组最好?解 设将这5000人分成组每组个人，每人所需检验次数为随机变量，则的概率分布为每人平均所需检验的次数的期望为：易见当等自然数时，即每人平均所需检验的次数小于1这比逐人检验的次数要少.为了确定最佳分组方法，即要使最小，由数学分析知识可令即，因为，所以，由于为整数，取，这时，即将5000人大致分为每组16人检验时，约需要 次即可.例22 随着姚明和易建联在NBA中取得成功,现在NBA比赛越来越多地受到中国观众的青睐.而由于体育比赛结果的偶然性,使得大家对比赛结果的预测越来越感兴

31、趣.以2008年爵士队和火箭队在NBA季后赛的第一轮相遇为例.根据NBA规则,比赛是七场四胜制.现在我们就可以提出这样一个问题,假设火箭对爵士每场比赛的获胜的概率都为50%,那么第一轮比赛结束时两队所需比赛的场数是多少.很容易想到,两个队比赛结束的前提就是其中一个队已经获得四场比赛的胜利.所以上述问题可能的结果有4、5、6、7场四种结果.我们下面应用数学期望的知识对其进行预测.首先,计算四种结果所对应的概率.由于每场比赛双方获胜概率一样,所以只需计算其中一队最后乘以二即可.以两队比赛结束时共赛五场为例,假设火箭最终胜利.即火箭第五场胜利,且前面四场恰好胜三场.又火箭每场胜率为50%,应用二项式

32、定律可知,前面四场火箭恰好胜三场的概率为:;应用概率论中的乘法公式,可知赛五场而火箭获胜的概率为:，所以,第一轮比赛恰好赛五场结束的概率为:.类似的方法,我们可以将另外三个结果对应的概率算出.结束时赛四场的概率为: ;赛六场的概率为:;赛七场的概率为: .设随机变量为比赛场数,则可建立的分布律:45670.1250.250.31250.3125应用数学期望公式,计算X 的数学期望:.所以,火箭队和爵士队季后赛第一轮比赛结束估计需要赛六场.以上从数学的角度探讨了随机变量的数学期望在生产销售、风险决策、物流、民事纠纷、医疗卫生、体育等方面的应用,具有较强的现实意义.当然,实际问题中需要考虑的问题可

33、能还要多,本文只是从数学角度进行探讨,可以为数学工作者结合实际应用提供几个典例.数学期望的应用范围比较广，在经济活动和实际的生活中，有许多问题尤其是决策问题可以直接或间接地利用数学期望来解决,或者可以应用数学期望给出有价值的参考意见.愿我们广大学生和数学爱好者,学好用好数学,让数学知识变的更加有用,更好的为祖国的经济建设服务.结束语本文首先介绍了随机变量的有关内容,它贯穿在整个概率论与数理统计学中；然后总结了随机变量的数学期望的定义、分类及其性质，利用数学期望的定义、性质、公式、随机变量分布的对称性，以及特征函数等，给出了数学期望的计算方法；最后，通过具体的实例，讨论了数学期望在生产销售、风险

34、决策、物流、民事纠纷、医疗卫生和体育等经济和日常活动中的应用.参考文献1谢式千，盛骤，潘承毅.概率论与数理统计（第三版）.高等教育出版社.20012肖文华.数学期望的计算方法与技巧.湖南工业大学学报.2008,22(3)3唐秋晶，蒋传凤.数学期望的几种求法.洛阳师范学院学报.2000,19(5) 4胡学平.关于随机变量数学期望的讨论.安庆师范学院学报(自然科版).2009,15(4)5徐传胜.离散型随机变量数学期望的求法探究.高等数学研究.2005,8(1)6张唯春.浅谈概率论中数学期望的计算方法.辽宁省交通高等专科学校学报.2008,10(2)7黄乐华.数学期望在风险与决策中的作用.中学数学

35、教学参考.2005,3:7-98张丽娅, 卢志辉.数学期望在物流管理中的应用.物流管理.2009,3(8):14-169陈卫东.离散型随机变量的数学期望在法律、医学和经济问题中的应用.大众科技.200510杨先伟.数学期望在体育比赛中的应用.无锡职业技术学院学报.2009,10(2)11石庆冬.例谈数学期望的应用.中国科技信息.2008,1(2)12张艳娥，刘国义，纪爱兵.数学期望在疾病普查中的应用.数理医药学杂志.2003,16(1)13赵艳侠.数学期望在经济问题中的应用.吉林师范大学学报(自然科学版).2005, 10(2)14马萍.数学期望模型应用实例.科技信技.2007, 11(2)15贺小萍.数学期望在理性决策中的应用.重庆电子工程职业学院学报.2009,18（2）致 谢首先我非常感谢樊树芳老师在我的论文创作期间,对我的耐心指导并帮我及时纠正了论文的一些不足之处,给我提出了宝贵的意见,使我在写本文的过程中不断的改进,为论文的成功完成奠定了基础.对于本论题的完成，老师花费了不少心血，她丰富的授课内容拓宽了我的视野,严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样，她循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪, 让我顺利的完成这篇文章.此外, 在完成这篇文章的过程中, 我还得到了许多同学的热心帮助.在此, 我对给予过我帮助的老师和同学表示衷心地感谢.22