数理统计

1、 1概率论与数理统计习题及答案 习 题 一 1. 略.见教材习题参考答案. 2. 设 A，B，C 为三个事件，试用 A，B，C 的运算关系式表示下列事件： （1） A 发生，B，C 都不发生； （2） A 与 B 发生，C 不发生； （3） A，B，C 都发生； （4） A，B，C 至少有一个发生； （5） A，B，C 都不发生； （6） A，B，C 不都发生； （7） A，B，C 至多有 2 个。

2、1，4）分布，Y服从P(1)分布，且X与Y独立，则E（XY+1-Y）=（ 1 ） ，D（2Y-X+1）=（ 17 ）.5、已知随机变量XN(,2),(X-5)/4服从N(0,1),则=( 5 );=( 4 ).6、已知随机变量(X,Y)的分布律为：X Y 1230.150.154AB且X与Y相互独立。
则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ).7、设X1,X2,Xn是取自均匀分布U0,的一个样本，其中0,是一组观察值，则的极大似然估计量为( X(n) ).二、计算题（每题12分，共48分）1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率.解：(1)以A1,A2,A3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B记找到钥匙.。

3、中一定发生的事件. 不可能事件(F):每次试验中一定不会发生的事件.二. 事件间的关系和运算1.AB(事件B包含事件A )事件A发生必然导致事件B发生.2.AB(和事件)事件A与B至少有一个发生.3. AB=AB(积事件)事件A与B同时发生.4. A-B(差事件)事件A发生而B不发生.5. AB=F (A与B互不相容或互斥)事件A与B不能同时发生.6. AB=F且AB=S (A与B互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A与B必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .运算规则 交换律 结合律 分配律 德摩根律 三. 概率的定义与性质1.定义 对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率.(1)非负性 P(A)0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A1,A2,(A iAj=, ij, i,j=1,2,),P(A1A2)=P( A1)+P(A2)+2.性质 (1) P(F) = 0 , 注意: A为不可能事件 。

4、等，则A发生的概率为： ；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；4、已知随机变量X的密度函数为：, 则常数A= , 分布函数F(x)= , 概率 ；5、设随机变量X B(2，p)、Y B(1，p)，若，则p = ，若X与Y独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ；6、设且X与Y相互独立，则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y, X)= ；7、设是总体的简单随机样本，则当 时， ；8、设总体为未知参数，为其样本，为样本均值，则的矩估计量为： 。
9、设样本来自正态总体，计算得样本观。

5、B) : (C) : (D) : 您的回答：C 正确3. 设,是总体的一个样本，则有 _(4分)(A) : (B) : (C) : (D) : 以上三种都不对您的回答：D 正确4. 设随机变量服从正态分布，对给定的，数满足，若，则等于 _(4分)(A) : (B) : (C) : (D) : 您的回答：C 正确5. 设,是总体的样本，并且，令，则 _(4分)(A) : (B) : (C) : (D) : 您的回答：B 正确6. 设总体，, 是的一个样本，则 _(4分)(A) : (B) :(C) : (D) :您的回答：B 正确7. 设是总体的一个样本，则的无偏估计是 _(4分)(A) : (B) : (C) : (D) : 您的回答：C 正确8. 设总体，是的一个样本，则 _(4分)(A) : (B) : (C) : (D) : 您的回。

6、甲、乙两种产品均畅销”(C) “甲种产品滞销”(D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”参考答案：D3. 张奖券中含有张有奖的，个人购买，每人一张，其中至少有一人中奖的概率是 _(4分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：A4. 设是三个随机事件，则三个随机事件中至少有一个发生的概率是 _(4分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：B5. 袋中有5个球，其中2个白球和3个黑球，又有5个人依次从袋中任取一球，取后不放回，则第二人取到白球的概率为 _(4分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：D6. 加工某零件需两道工序，两道工序的加工独立，次品率分别为，则加工出来的零件次品率是 _(4分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：B7. 假设事件和满足, 则 _(4分)(A) :是必然事件(B) :(C) :(D) :参考答案：D8. 当事件同。

7、B) : (C) : (D) : 您的回答：C 正确3. 设,是总体的一个样本，则有 _(4分)(A) : (B) : (C) : (D) : 以上三种都不对您的回答：D 正确4. 设随机变量服从正态分布，对给定的，数满足，若，则等于 _(4分)(A) : (B) : (C) : (D) : 您的回答：C 正确5. 设,是总体的样本，并且，令，则 _(4分)(A) : (B) : (C) : (D) : 您的回答：B 正确6. 设总体，, 是的一个样本，则 _(4分)(A) : (B) :(C) : (D) :您的回答：B 正确7. 设是总体的一个样本，则的无偏估计是 _(4分)(A) : (B) : (C) : (D) : 您的回答：C 正确8. 设总体，是的一个样本，则 _(4分)(A) : (B) : (C) : (D) : 您的回答：C。

8、乙两种产品均畅销”(C) “甲种产品滞销”(D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”参考答案：D3. 张奖券中含有张有奖的，个人购买，每人一张，其中至少有一人中奖的概率是 _(4分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：A4. 设是三个随机事件，则三个随机事件中至少有一个发生的概率是 _(4分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：B5. 袋中有5个球，其中2个白球和3个黑球，又有5个人依次从袋中任取一球，取后不放回，则第二人取到白球的概率为 _(4分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：D6. 加工某零件需两道工序，两道工序的加工独立，次品率分别为，则加工出来的零件次品率是 _(4分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：B7. 假设事件和满足, 则 _(4分)(A) :是必然事件(B) :(C) :(D) :参考答案：D8. 当事件同时。

9、A3. 设随机变量,满足，则 _(4分)(A) :(B) :(C) :(D) :1参考答案：A4. 设与分别为随机变量和的分布函数，为使是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数中应取 _(4分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：B5. 设，且与相互独立，则 _(4分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：A6. 设随机变量，则 _(4分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：B7. 考虑抛掷一枚硬币和一颗骰子，用表示抛掷硬币出现正面的次数，表示抛掷骰子出现的点数，则所有可能取的值为 _(4分)(A) :12对(B) :8对(C) :6对(D) :4对参考答案：A8. 设是一个离散型随机变量，则 _可以成为的概率分布.(4分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：D9. 设连续型随机变量的概率密度为，。

10、4）分布，Y服从P(1)分布，且X与Y独立，则E（XY+1-Y）=（ 1 ） ，D（2Y-X+1）=（ 17 ）.5、已知随机变量XN(,2),(X-5)/4服从N(0,1),则=( 5 );=( 4 ).6、已知随机变量(X,Y)的分布律为：X Y 1230.150.154AB且X与Y相互独立。
则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ).7、设X1,X2,Xn是取自均匀分布U0,的一个样本，其中0,是一组观察值，则的极大似然估计量为( X(n) ).二、计算题（每题12分，共48分）1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率.解：(1)以A1,A2,A3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B记找到钥匙.则。

11、 )A.P(A)=1-P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)C.P()=1D.P(AUB)=P(A)+P(B)2.设A、B相互独立，且P(A)0，P(B)0，则下列等式成立的是( )A.P(AB)=0B.P(A-B)=P(A)P()C.P(A)+P(B)=1D.P(A | B)=03.同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为( )A.0.125B.0.25C.0.375D.0.504.设函数f (x)在a，b上等于sin x，在此区间外等于零，若f (x)可以作为某连续型随机变量的概率密度，则区间a，b应为( )资料个人收集整理，勿做商业用途A.，0B.0，C.0，D.0，5.设随机变量X的概率密度为，则P(0.2X1.2)= ( )A.0.5B.0.6C.0.66D.0.76.设在三次独立重复试验中，事件A出现的概率都相等，若已知A至少出现一次的概率为1927，则事件A在一次试。

12、件下重复进行；2） 每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果；3） 每次试验前不能确定哪一个结果会出现.（2）样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合称为的样本空间记为；试验的每一个可能结果，即中的元素，称为样本点，记为.（3）随机事件：在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件；也可表述为事件就是样本空间的子集，必然事件（记为）和不可能事件（记为）.2、事件的关系与运算（1）包含关系与相等：“事件发生必导致发生”，记为或；且.（2）互不相容性：；互为对立事件且. （3）独立性：1）设为事件，若有，则称事件与相互独立. 等价于：若(). 2）多个事件的独立：设是n个事件，如果对任意的，任意的，具有等式，称个事件相互独立3、事件的运算（1）和事件（并）：“事件与至少有一个发生”，记为.（2）积事件（交）：“ 事件与同时发生”，记为或.（3）差事件、对立事件(余事件)：“事件发生而不发生”，记为称为与的差事件；称为的对立事件；易知：.4、事件的运算法则1) 交。

13、即随机事件是样本空间的一个子集。
必然事件-每次试验中必定发生的事件。
不可能事件-每次试验中一定不发生的事件。
事件之间的关系包含AB相等A=B对立事件，也称A的逆事件互斥事件AB=也称不相容事件A，B相互独立 P(AB)=P(A)P(B)例1事件A，B互为对立事件等价于（D）A、A，B互不相容 B、A，B相互独立 C、AB D、A，B构成对样本空间的一个剖分例2设P(A)=0，B为任一事件，则（ C ）A、A= B、AB C、A与B相互独立 D、A与B互不相容事件之间的运算事件的交AB或AB例1设事件A、B满足A=，由此推导不出 (D)A、AB B、 C、AB=B D、AB=B例2若事件B与A满足 B A=B，则一定有 (B)A、A= B、AB= C、A= D、B=事件的并A。

14、5/83.4.5.6.7.8.解:以8时为零时刻，8时至9时之间有60分钟，设两人到达的时间分别为故两人能会面的概率为: =0.438第三节 条件概率1. 2.此题不要求做 3.解:设Ai=第i次能调试好,则三次能调好的概率P(A)为4.5. 第三节 事件的独立性1. 2.设事件B为目标被命中;事件A为甲命中P(B)=0.6x0.5+(1-0.6)x0.5+0.6x(1-0.5)=0.8P(AB)=P(A)/P(B)=0.6/0.8=0.753. 4. 5.设任意选出n 件产品，则有 取n为299即可。
6.。

15、 注：古典概型中事件A发生的概率为.10.答案：（A）解：用A来表示事件“此个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A的对立事件“此个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知，故.11.答案：（C）12.答案：（B）解：“事件A与B同时发生时,事件C也随之发生”，说明，故；而故.13.答案：（D）解：由可知故A与B独立.14.答案：（A）解：由于事件A,B是互不相容的，故，因此P(A|B)=.15.答案：（D）解：用A表示事件“密码最终能被译出”，由于只要至少有一人能译出密码，则密码最终能被译出，因此事件A包含的情况有“恰有一人译出密码”，“恰有两人译出密码”，“恰有三人译出密码”，“四人都译出密码”，情况比较复杂，所以我们可以考虑A的对立事件“密码最终没能被译出”，事件只包含一种情况，即“四人都没有译出密码”，故.16.答案：（B）解：所求的概率为注：.17.答案：（A）解：用A表示事件“取到白球”，用表示事件“取到第i箱”，则由全概率公式知.18.答案：（C）解：用A表示事件。

16、，4%，2%，如果从全部成品中抽取一件，（1）求抽取的产品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，求它依次是甲，乙，丙工厂生产的概率。
3.设随机变量的分布函数为，试求：（1）密度函数；（2）， 。
4.二维随机变量只能取下列数组中的值：，且取这些组值的概率分别为。
求这二维随机变量分布律，并写出关于和关于的边缘分布律。
5. 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，试求下列事件的概率：（1）其中恰好有一位精通英语；（2）其中恰好有两位精通英语；（3）其中有人精通英语。
6.某大型体育运动会有1000名运动员参加，其中有100人服用了违禁药品。
在使用者中，假定有90人的药检呈阳性，而在未使用者中也有5人检查为阳性。
如果一个运动员的药检是阳性，则这名运动员确实使用违禁药品的概率是多少？7.设随机变量的密度函数为，试求：（1）常数；（2） 。
8. 设二维随机变量(X，Y)的分布律为求：(1)(X，Y)关于X的边缘分布律；(2)X+Y的分布律9 已知，求,。
10设某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的7。

17、4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。
（一 (3)）S=00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，2.二 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。
（1）A发生，B与C不发生。
表示为：或A (AB+AC)或A (BC)（2）A，B都发生，而C不发生。
表示为：或ABABC或ABC（3）A，B，C中至少有一个发生表示为：A+B+C（4）A，B，C都发生，表示为：ABC（5）A，B，C都不发生，表示为：或S (A+B+C)或（6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生相当于中至少有一个发生。
故 表示为：。
（7）A，B，C中不多于二个发生。
相当于：中至少有一个发生。
故 表示为：。

18、X P ()2）f ( x 1 , x 5 )5x iei 1x i !5 xe55x i !5i 13） X U ( a , b )f ( x1 , x5 )511, axib , i1, . . . , 5i 1 ba( ba )所以 f ( x1 , x5 )1(ba ) 5, axib, i1, ., 50, 其他4） X N(,1)f ( x1 ,2x15i22, x5 )ei 15 /22exp15x2i2 i 12.解： 由题意得：i01234个数67322fxi0.30.350.150.10.。

19、 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.422、设X是一个离散型随机变量，则下列可以成为X的分布律的是 ( D ) A. (为任意实数) B. C. D. 3下列命题不正确的是 ( D )(A)设的密度为，则一定有；(B)设为连续型随机变量，则(=任一确定值)=0；(C)随机变量的分布函数必有0；(D)随机变量的分布函数是事件“=”的概率；4若,则下列命题不正确的是 ( B )(A)； (B)与相互独立 ；(C)； (D)；5. 已知两随机变量与有关系，则与间的相关系数为 。

20、第三章 多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量3.2 边缘分布3.3 条件分布3.4 相互独立的随机变量3.5 两个随机变量的函数的分布,4,第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵第五章 大数定律和中心极限定理5.1 大数定律5.2 中心极限定理 第六章 数理统计的基本概念6.1 总体和样本6.2 常用的分布,5,第七章 参数估计7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准7.3 区间估计 第八章 假设检验8.1 假设检验8.2 正态总体均值的假设检验8.3 正态总体方差的假设检验8.4 置信区间与假设检验之间的关系8.5 样本容量的选取8.6 分布拟合检验8.7 秩和检验第九章 方差分析及回归分析9.1 单因素试验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析9.3 一元线性回归9.4 多元线性回归,6,第十章 随机过程及其统计描述 10.1 随机过程的概念 10.2 随机过程的统计描述 10.3 泊松过程及维纳过程第十一章 马尔可夫链 11.1 马尔可夫过程及其概率分布 11.2 多步转移概率的确定 11.3 遍历。

21、 3)、用有效的方法收集数据； 4)、有效地使用数据；,4、样本值：设(x1,xn)是随机变量X1,X n的一次观测值，称(x1,xn)为样本值。
,二、总体、样本与统计量,1、总体：研究对象的全体。
总体分布,2、个体：总体中的每个元素为个体。
,3、样本、样本分布、样本容量：从总体中抽取的部分个体称为样本，用 X1,X n或(X1,X n)表示，而其中每个个体称为样品，n称为样本容量。
X1,X n的分布称为样本分布。
,4、简单随机样本,样本应满足的条件：1)、独立性：要求样本中各样品为相互独立的随机变量；2)、代表性：要求每个样品与总体X 具有相同分布。
称满足以上要求抽取的样本为简单样本。
简单随机抽样 相互独立且与总体同分布,5、样本分布的计算,1)、设总体X 的分布函数为 ,X1,X n 是来自总体X 的样本，则该样本的联合分布函数为：,2)、若总体X 是连续型随机变量，且具有密度函数 , 则样本（ X1,X n ）的联合密度函数为 ，也称为概率分布。
,3)、当总体X 是离散。

22、E3: 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况 .举例 :我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验称为试验。
称为试验。
E4: 电话交换台一分钟内接到的呼唤次数 .E5: 在一批灯泡中任取一只 , 测试它的寿命 . 4随机试验 :(1) 可在相同的条件下重复试验 ;(2) 每次试验的结果不止一个 ,且能事先明确所有可能的结果 ;(3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果 .52. 样本空间与随机事件(一 ) 样本空间 :定义 随机试验 E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间 , 记为 S. 样本空间的元素称为样本点，用 表示 .样本空间的分类 :1.离散样本空间 :样本点为有限个或可列个 . 例 E1,E2等.2.无穷样本空间 :样本点在区间或区域内取值 . 例 灯泡的寿命 t|t0.6(二 ) 随机事件 定义 样本空间 S的子集称为随机事件 , 简称事件 . 在一次试验中 , 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时 , 称这一事件发生 . 基本事件。

23、互不相容时，,当A,B独立时，,当A包含B时，,二、单项选择题:,A、0.4 B、0.6 C、0.7 D、0.8,3.以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”则事件 表示,A、甲乙产品均畅销 B、甲种产品滞销，乙种产品畅销 C、甲种产品滞销 D、甲种产品滞销或乙种产品畅销,5.甲乙两人独立的对同一个目标射击一次，命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被射中,则它是甲射中的概率是( ) A、0.6 B、5/11 C、6/11 D、0.75,三、设有三只外形完全相同的盒子，甲盒中有14个黑球，6个白球，乙盒中有5个黑球，25个白球，丙盒中有8个黑球42个白球，现在从三个盒子中 任取一盒，再从中任取一球；问（1）求取到黑球的概率；（2）若取到的是黑球，它恰好是从乙盒来的概率是多少？,第二、三、四章,1.六大分布：,(1) 0-1分布,或者,（2）二项分布,（3） 泊松分布,(4 )均匀分布,服从均匀分布的随机变量落在区间的概率与区间长度称正比，与位置无关,（5）指数分布,(6)正态分布,标准正态分布,图形？,非标准正态分布的。

24、5 充分统计量充分统计量第五章第五章 知识点总结知识点总结 第第 2页页一、总体与样本一、总体与样本l 总体可以用数集表示总体可以用数集表示 .l 总总 体可以用随机体可以用随机 变变 量量 X或其分布或其分布 F(x)表示表示 .1.总体总体2. 样本样本 :(1).性质：二重性性质：二重性 l 随机性随机性l 确定性确定性(2).主要类型主要类型 l 完全样本完全样本l 分组样本分组样本第五章第五章 知识点总结知识点总结 第第 3页页(3).简单随机样本：简单随机样本： (4).样本的联合分布函数：样本的联合分布函数：(5). 经验分布函数经验分布函数 :(6). 经验分布函数与总体分布函数的关系经验分布函数与总体分布函数的关系l 当当 样样 本量本量 n 相当大相当大 时时 ， Fn(x) 依概率收敛于依概率收敛于 F(x).l EFn(x) F(x), VarFn(x) F(x) 1- F(x) /n.第五章第五章 知识点总结知识点总结 第第 4页页二、样本数据的整理与显示二、样本数据的整理与显示l 频数频率分布表频数频率分。

25、成 三段, 观察各段的长度, A表示“三段细棒能构成一个三角形”.,=1, 2, 3, ，A=1, 2, 3,=(a, b, 1ab)|a, b0且a+b0且a+bc1,=(a, b, c)|0a, b, c0.5且a+bc1,解 n2时,n3时,一般地,3. 在某班学生中任选一个同学,以 A表示选到的是男同学, B表示选到的人不喜欢唱歌, C表示选到的人是运动员.,(1) 表述ABC及ABC;,(2) 什么条件下成立ABC=A?,ABC 表示: 选到的是不喜欢唱歌不是运动员的男同学.,成立的条件是: 男同学一定是不喜欢唱歌的运动员.,ABC 表示: 选到的是喜欢唱歌的男运动员同学.,(3) 何时成立,成立的条件是: 非运动员同学一定不喜欢唱歌.,(4) 何时同时成立A=B与 A=C ?,成立的条件是: 男同学都不是运动员都不喜欢唱歌，女同。

26、随机现象的规律性,随机现象的发生和结果具有不确定性，但是在相同条件下大量重复观测，又具有一定的规律性。
,例如: 一门火炮在一定条件下进行射击，个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性，如一定的命中率，一定的分布规律等等。
,又如: 在一个容器内有许多气体分子，每个气体分子的运动存在着不定性，无法预言它在指定时刻的动量和方向。
但大量分子的平均活动却呈现出某种稳定性，如在一定的温度下，气体对器壁的压力是稳定的，呈现“无序中的规律”。
,概率论与数理统计,把随机现象的不确定性进行数量化，研究其中的数量规律性，即统计规律性。
概率论数理统计,第一部分：概率论,目 录,第一章 随机事件及其概率第二章 随机变量及其分布第三章 随机变量的数字特征第四章 大数定律和中心极限定理,第一章,随机事件及其概率,第一章 随机事件及其概率,随机事件及样本空间频率与概率条件概率及贝努利概型,第一节 随机事件及样本空间,随机事件及其有关概念随机事件的关系及其运算样本空间,一. 随机事件及其有关概念,1.。

27、A事件间的关系与事件的运算浙江师范大学2浙江师范大学32事件的运算律交换律结合律分配律对偶律（DEMORGAN德摩根律）减法ABBAABBAABCABCABCABCABCACBCABCABACABABABABABAB浙江师范大学4概率做N次重复试验，事件A发生的次数记为，当N很大时，若频率稳定在常数P附近，则称P为随机事件A发生的概率，记作PAP。
概率的公理化定义设E是随机试验，S是样本空间，对E的每个随机事件A，赋予一个实数PA，若它满足非负性规范性，S为样本空间（必然事件）可列可加性若事件中则则称PA为事件A的发生概率。
AN/ANNNFAPAN01PA1PS12,NAAA,IJAAIJ1212PAAPAPA浙江师范大学5概率的性质1有限可加性有限个两两互斥的事件则2是A的对立事件，则3则4一，当A，B互斥即时56推广12,NAAAPABPAPBPAB1212NNPAAAPAPAPAA1PAPAABPBAPBPA0,P1PS1PAPABCPAPBPCPABPAC。

28、马(Pierre de Fermat，16011665） 法国著名数学家，被誉为“业余数学家之王”。
,3,赌徒分赌金问题,两赌徒A、B下赌金后约定谁先赢满6局，谁就获得全部赌金，赌了半天，A赢了5局，B赢了2局，时间很晚了，他们都不想赌了。
假设每一盘A获胜的概率为p，B为1-p。
问：赌金应该怎么分？,4,Pascal和Fermat从不同理由出发，在1654年给出正确的解法。
1657年，荷兰数学家惠更斯亦用自己的方法解决这一问题，更写成了论赌博中的计算一书，这就是概率论中最早的论著。
三人提出的解法中都首先涉及 到数学期望这一概念，并由此 奠定了古典概率论的基础。
,5,江山代有人才出，各领风骚数百年,使概率论成为数学分支的另一奠基人是瑞士的数学家雅各布-伯努利 （1654-1705）他的主要 贡献是建立了概率论中的 第一个极限定理。
我们称 之为“伯努利大数定 理”。
这一定理在他死后1713年发表在他的遗著猜度论中。
,6,1750年，法国数学家棣莫弗（1667-1754）出版其著作分析杂论， 当中。