微分方程

1、地下水渗流力学 第3章 地下水渗流微分方程 2 第3章 地下水渗流微分方程 3.1 渗流连续性方程 3.2 承压水运动微分方程 3.3 半承压水运动微分方程 3.4 潜水运动微分方程 3.5 定解条件 3.6 描述地下水运动的数学模型及其解法 3 3.1 渗流连续性方程 n达西定律方程中有两个未知数v和H，需另一个方程 来求解，即连续性方程。
n从质量守恒原理出发建立渗流连续性方程。
1.由单。

2、数值计算课程设计 1、 经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程 1.1、 算法说明 龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。
由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。
该算法是构建在数学支持的基础之上的。
4阶龙格-库塔方法(RK4)可模拟N=4的泰勒方法的精度。
这种算法可以描述为，自初始点开始，利用下面的计算方法生成近似序列 (1-1) 。

3、 一、一阶微分方程形式 二、可分离变量的微分方程及其求解 三、例题 四、小结 一、一阶微分方程形式 首先，对一阶微分方程作一次概要的介绍： 例 一阶微分方程： 可以写成 即 也可以写成 一般，一阶微分方程都具有以下三种等价形式： （1） （2） （3） 问题：如何求解一阶微分方程？难！ 问题的简化：以下几节我们只讨论几种特殊 类型的一阶微分方程： 二、可分离变量的微分方程及其求解 如果一阶。

4、第6章 常微分方程数值解法 计算方法 第6章 常微分方程数值解法 1 引言 2 欧拉法和改进的欧拉法 3 龙格-库塔法 4 阿当姆斯方法 第6章 常微分方程数值解法 计算方法 1 引言 在高等数学里我们已经接触过常微分方程，对于一 些典型的常微分方程，有求解析解的基本方法，但多数 情况下，遇到的问题比较复杂，此时，只能利用近似方 法求解，一般有两种近似方法 。
近似解析方法 数值方法。

5、第七章 常微分方程数值解法 常微分方程中只有一些典型方程能求出初等解(用初等函数表示的解)，大部分的方程是求不出初等解的。
另外，有些初值问题虽然有初等解，但由于形式太复杂不便于应用。
因此，有必要探讨常微分方程初值问题的数值解法。
本章主要介绍一阶常微分方程初值问题的欧拉法、龙格-库塔法、阿达姆斯方法，在此基础上推出一阶微分方程组与高阶方程初值问题的 数值解法；此外，还将简要介绍求解二阶常微分方程值问。

6、序#include#include#includeconst int N=11;double fund(double x,double y);void Euler(double a,double h,double y);void Center(double a,double h,double y);void YuJiao(double a,double h,double y);void SjSj(double a,double h,double y);void Adams(double a,double h,double y);void main()double a,b,h,yN;int i;char option;coutab; cout请。

7、5章中的相应指令说明和例题），编写本次仿真练习题的相应程序。
四. 实验内容1. Matlab中常微分方程求解指令的使用题目一：请用MATLAB的ODE45算法分别求解下列二个方程。
要求:1.编写出Matlab仿真程序；2.画出方程解的图形并对图形进行简要分析；3.分析下列二个方程的关系。
1 2解：程序：新建f1：function f1=f1(t,x)f1=-x2;end新建f2：function f2=f2(t,x)f2=x2;end运行：t,x=ode45(f1,0,40,1)figure(1);plot(t,x);t,x=ode45(f2,0,40,-1)figure(2);plot(t,x)运行截图： 结论：方程一和方程二的图形关于横轴对称题目二：下面方程组用在人口动力学中，可以表达为单一化的捕食者-被捕食者模式（例如，狐狸和兔子）。
其中表示被捕食者， 表示捕食者。
如果被捕食者有无限的食物，并且不会出现捕食者。
于是有，则。

8、066004)摘要:常微分方程是l7世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一.本文从常微分方程的起源谈起.分四个时期介绍其发展过程.关键词:常微分方程;起源;发展中图分类号:NO9文献标识码:A许多有关微分方程的教材都会提到发现海王星的故事.海王星的发现是人类智慧的结晶,也是微分方程巨大作用的体现,体现了数学演绎法的强大威力.1781年发现天王星后,人们注意到它所在的位置总是和万有引力定律计算出来的结果不符.于是有人怀疑万有引力定律的正确性;但也有人认为,这可能是受另外一颗尚未发现的行星吸引所致.当时虽有不少人相信后一种假设,但缺乏去寻找这颗未知行星的办法和勇气.23岁的英国剑桥大学的学生亚当斯承担了这项任务.他利用引力定律和对天王星的观测资料建立起微分方程,来求解和推算这颗未知行星的轨道.1843年1O月21日他把计算结果寄给格林威治天文台台长艾利,但艾利不相信”小人物”的成果,置之不理.两年后,法国青年勒威耶也开始从事这项研究.1846年9月18日,他把计算结果告诉了柏林天文。

9、 .4差分格式的求解 .6收敛性与稳定性.6 数值例子 .9 紧差分格式建立 .12 差分格式求解 .14数值例子 .15总结.19 参考文献 .20 附录 .。

10、 (B) (C) (D) (c为常数）2、下列微分方程是线性的是（ ）(A) (B) (C) (D)3、方程特解的形状为( )(A) (B) (C) (D) 4、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A) (B) (C) (D) 5、微分方程的通解是( )(A) (B) (C) (D)6、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A) (B) (C)(c为常数） (D) 7、下列微分方程是线性的是（ ）(A) (B) (C) (D) 8、方程特解的形状为( )(A) (B) (C)(D)。

11、线性无关的充要条件是_。
、形如_的方程称为欧拉方程。
、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是_。
、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_时，零解是稳定的，对应的奇点称为_。
二、计算题（）1、若试求方程组的解并求expAt、求方程经过（0，0）的第三次近似解三、证明题（）、阶齐线性方程一定存在个线性无关解。
试卷答案一填空题、 、 、零稳定中心二计算题、解：因为，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子，两边同乘得所以解为 即另外y=0也是解、线性方程的特征方程故特征根 是特征单根，原方程有特解代入原方程A=-B=0 不是特征根，原方程有特解代入原方。

12、所以u+xdu/dx=(u),即du/(u)-u=dx/x两端积分,得du/(u)-u=dx/x羇最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解羆3.一阶线性微分方程解法膄一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x)膁先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0解得y=CeP(x)dx,再令y=ueP(x)dx代入原方程蒇解得u=Q(x) eP(x)dxdx+C,所以y=eP(x)dxQ(x)eP(x)dxdx+C螇即y=CeP(x)dx+eP(x)dxQ(x)eP(x)dxdx为一阶线性微分方程的通解羁4.可降阶的高阶微分方程解法荿y(n)=f(x)型的微分方程袆y(n)=f(x)蒇y(n-1)= f(x)dx+C1肂y(n-2)= f(x)dx+C1dx+C2蚂依次类推,接连积分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n个任意常数的通解蕿y”=f(x,y) 型的微分方程羃令y=p则y”=p,所以p=f(。

13、因此，（1），（3），（4）均是三阶微分方程，故应选（C）2、 函数（）是微分方程的通解. （）(A) (B) （C） (D) 答案 D难度等级1 知识点：常微分方程通解的定义分析：判断一个函数是否是微分方程的通解，首先是函数代入方程能使方程变为恒等式，其次函数中所含任意常数的个数应与方程的阶数一致，选项（A）中不含任意常数，是方程的特解，选项（C）中任意常数的个数多于一个，因此不能选，（B）不满足方程，故应选（D）3、 下列等式中（）是线性微分方程. (A) (C) (B) (D) 答案： B难度等级1 知识点：线性常微分方程的定义分析：线性常微分方程是指方程中所含未知函数及其各阶导数均是一次有理整式，因为(A),(C),(D)选项中出现了非线性项,故应选（B）4、 微分方程 是（）.（A）阶常系数非齐次线性常微分方程 （B）阶常系数齐次线性常微分方程（C）阶变系数非齐次线性常微分方程 （D）阶常变系数齐次线性常微分方程答案： C难度等级1。

14、得到即 ,其中为任意常数。
3、 求方程的通解难度等级：1；知识点：一阶线性微分方程.分析 方程为一阶非齐次线性微分方程.解 先求对应的齐次方程,得通解为 ，变动常数为的待定函数，设代入原方程，有积分得 代回得 ,其中为任意常数。
4、 求方程满足的特解难度等级：1；知识点：一阶线性微分方程.分析 这是一阶非齐次线性微分方程的初值问题.解 先求对应方程的通解，由公式 即有，再代入初始条件解得，故特解为 5、 解方程难度等级：1；知识点：一阶线性微分方程.分析 这是一阶非齐次线性微分方程的初值问题.解 由通解公式得代入初始条件可求得，故原初值问题的解为6、 求方程的解。
难度等级：1；知识点：一阶线性微分方程.分析 这是积分方程，两端求导可化为一阶非齐次线性微分方程，但要注意满足初值.解 在方程的两端对求导，得,即 在方程中取，得,于是得到一阶线性微分方程初值问题按一阶线性方程求定解的公式，得 .7、 求微分方程(其中为已知函数)的通解。

15、自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
常用的方法有变分法和有限差分法。
变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。
虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。
随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。
从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。
从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。
一、MATLAB方法简介及应用1.1 MATLAB简介MATLAB是美国Mat。

16、若 )(xy 在 ),( 上连续，则方程 yxxy )(dd 的任一非零解 与 x 轴相交 7在方程 0)()( yxqyxpy 中，如果 )(xp ， )(xq 在 ),( 上连续，那么它的任一非零解在 xoy平面上 与 x 轴相切 8向量函数组 )(,),(),( 21 xxx nYYY 在其定义区间 I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式 0)( xW ， Ix 9方程 0d)1(1 ) d( 22 yxyxyx 所有常数解是 10方程 04 yy 的基本解组是 11方程 1dd yxy 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 12若 )(),( 21 xyxy 是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点 二、单项选择题 1方程 yxxy 31dd 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ） （ A）上半平面 （ B） xoy 平面 （ C）。

17、方程的常点。
,若 p(z)、q(z) 中至少有一个在 z0 点不解析，称 z0 点为方程的奇点。
,有限远处 p(z)、q(z) 有两个奇点， z = 0 和 z = 1 。
,所以，z = 0 和 z = 1 是超几何方程的奇点，有限远处的其它点为方程的常点。
,勒让德方程,有限远处 p(z)、q(z) 有两个奇点， z = 1 和 z = -1 。
,所以，z = 0 和 z = 1 是勒让德方程的奇点，有限远处的其它点为方程的常点。
,要判断 z = 是否为方程的奇点，作自变量变换,二阶线性齐次常微分方程,可以化为,标准形式为,若 t = 0 是常点/奇点，则 z = 就是常点/奇点。
,和 不含 t 负幂项,t = 0 ( z = )为方程常点的条件,可见， z = 是勒让德方程和超几何方程的奇点。
,将 代入方程得,求二阶线性常微分方程，使其解为 和 。
,设所求方程为,即,(1)代入(2)得,将 代入方程得,即,即所求方程为,若 p(z) 和 q(z) 在圆 内单值。

18、情况 ； 紧接着 ,在第一 章 综述 了 基 于 Sturm-Liouville问题 的传统分离变量法， 内容涉及到 分离变量法的力学背景 、理论基础、基本 思想 、计算 步骤 、算例等几方面 . 作为对 偏微分方程求解方法 的补充，我们还就 非线性领域的 分离变量法 做了一个摘要 ; 最后 , 在本文的主体部分 第二 章中力图进一步完善辛 -Fourier展开法 （ 基于 Hamilton体系的分离变量法）的应用体系 , 主要工作包括以下三方面：第一， 在 Hamilton 体系下 尝试 求解常微分方程 并验证了该解法的 正确性 ；第二， 利用 辛 -Fourier 展开法在 Hamilton 体系下求出了二阶椭圆型方程的通解 ,这比 前人 所做的工作都完善 ；第三， 利用 辛 -Fourier 展开方法 初步 探讨了抛物型方程 ，虽然没有得出 满意的 结果，但是也取得了一些收获 . 关键词：传统分离变量法； Sturm-Liouville问题； Hamilton系统；辛空间； 辛 -Fourier 展开法 精品文档，知识共享！ Abstract The method of 。

19、变量可分离型，齐次型，线性 方 程。
对于一阶微分方程，首先要看是 否 可以经过 恒 等变形将它的变量分离； 对于一阶线性微分方程，先用分离 变量法求解其相应的齐次方程，再用常数变易法求解非齐次方程；当然也可直接代下列通解公式： Cdxexqey dxxpdxxp )( 齐次型微分方程 )(xyfy 令 xyu ，则方程化为关于未知数 u 与自变量 x 的变量可分离的微分方程。
三、二阶微分方程的解法 2 1特殊类型的二阶常微分方程 本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法： （ 1） )(xfy ，直接积分； （ 2） ),( yxfy ，令 py ， （ 3） ),( yyfy ，令 py ，则 pdydpy 这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程。
2二阶线性常系数微分方程 二阶线性常系数微分方程求解的关键是： （ 1）特征方程 对于相应的齐次方程，利用特征方程 02 qp 求通解： （ 2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点 )()( xPexf mx。

20、4y=0 的解，进一步验证它是通解。
5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程 dxdy =2x 6.什么叫积分一个微分方程？ 7什么是求解常微分方程的初等积分法？ 8分离变量一阶方程的特征是什么？ 9求下列方程的通解 （ 1） y sinx （ 2） x2 y2 y +1=y （ 3） tgxdxdy =1+y （ 4） dxdy =exp(2x-y) （ 5） dxdy = 21y 2 （ 6） x2 ydx=(1- y2 +x-2 x2 y2 )dx （ 7） ( x2 +1)( y2 -1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11试给出一阶方程 y f(x,y)或 p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0 为齐次方程的特征。
说明二个方程的关系。
12求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何？ 13求解下列方程 dxdy 222 yx xy14求解下列方程 （ 1）（ x+2y） dx xdy=0 精品文档 ，知识共享！ (2) dxdy =xy +yx215. dxdy =22 yx xy16(x2 +y2 )d。

21、型来定量或定性地加以解决 . 的试题来自实际，是“真问题 数 学建模 计算机处理”的“三合一”准科研性质的一种竞赛，对上述这种有普遍意义和数学含量高，必须用计算机处理才能得到数值解的扩散问题，当然成为试题的重要来源，例如， -90，就是这类试题；-90要研究治疗帕金森症的多巴胺（ dopamine）在人脑中的分布，此药液注射后在脑子里经历的是扩散衰减过程，可以由线性抛物型方程这一数学模型来刻划 . -90要研究单层住宅混凝土地板中的温度变化，也属扩散（热传导）问题，其数学模型与 -90 一样，也是线性抛物型方程 . 本文交代扩散问题建模的思路以及如何推导出相应的抛物型方程，如何利用积分变换求解、如何确定方程与解的表达式中的参数等关键数学过程，且以 -90题为例，显示一个较细致的分析、建模、求解过程 . 1 抛物型方程的导出 设 ( , , , )u x y z t 是 t 时刻点 ( , , )xyz 处一种物质的浓度 . 任取一个闭曲面 S ，它所围的区域是 ，由于扩散，从 t 到 tt 时刻这段。

22、统.研究的内容是分析自动控制系统稳、准、快三方面的性能以及依据性能要求对系统进行设计.当控制系统的输入发生变化时，其输出往往要经过一个动态过程才能跟上输入的变化，系统的内在性能可以通过其动态过程表现出来。
,动态过程的数学表述就是描述系统各动态变量之间关系的数学表达式，这样的数学表达式称为系统的数学模型（mathematical model）.可见，在分析系统性能之前必须先建立系统的数学模型.,建立系统数学模型方法主要有两种:解析法和实验法. 解析法就是深入到系统内部，根据系统所遵循的物理规律，经过数学推导，得到数学模型.实验法是在系统的输入端加上一定形式的试验信号，通过实验测出系统输出信号，再根据输入、输出特性确定数学模型.,在经典控制理论中，控制系统的数学模型有多种，常用的有微分方程、传递函数、动态结构图等.对线性定常系统，微分方程是最基本的数学模型，最常用的数学模型是在此基础上转换来的传递函数和动态结构图。
,列写微分方程，目的在于确定输出量与输入量之间的函数关系，在输入信号已知的情况下，求解出输出量随时间变化的函数关系曲线，就可以测出系统的稳、准、快的性能指标. 2。

23、要讨论了常微分方程的高精度求解方法 的相关解法问题。
文章首先 案例引入微分方程概念，然后 给出了微分方程的基本概念。
科学和工程中建立数学模型时常用到微分方程。
由于它们通常没有已知的解析解，因而需要求其数值近似解。
先从常微分方程解析解法出发，分析解析解法在实际运用中的局限性，引入常微分方程的数值解法，呈现常微分方程数值求解的三个步骤：将问题离散化，建立或寻找一个递推格式，按步进方式计算。
再从对精度需求出发从低阶数值方法到高阶数值方法进行逐步的探讨，分析各种方法的数学原理，阐述其推导方法，比较不同方法的优缺点，重点介绍实用的龙格 库塔方法、欧拉方法、 休恩方法、泰勒级数法和预报 校正方法，并以编写相应程序作总结。
最后，再讨论高阶常微分方程和一阶常微分方程组：一般的高阶常微分方程都可以通过相应的变量代换转化为一阶常微分方程组，一阶常微分方程的初值问题求数值解与一阶常微分方程的初值问题求数值解的方法基本相同。
关键词：龙格 库塔方法；欧拉方法；休恩方法；泰勒级数法；预报 校正方法； 精品文档 随意编辑 High accuracy method for solving ordi。

24、 042 052 yx xy得 21yx令 2,1 yvxu ， 则有 vuuvdudv 22 ，由第一题的结果知此方程解为3)()( vucuv ， 还原变量并化简得： .)1(3 3 yxcxy （）142 12 yx yxy； 解：令 yxv 2 ， 则 12 12121 vvdxdydxdv ， 即 12 14 vvdxdv ，此方程为变量分离方程， 分离变量并积分得： cxvv 14ln8321 ， 还原变量并化简得： cyxxy 184ln348 （） xyyxy 33 解： 当 0y 时， 方程两边同时乘以 32y , 则 233 222 xyxyy ， 令 2yz ， 则 322 xxzdxdz , 此方程为一阶线性方程，由公式得： 122 xcez x 学海无涯苦作舟！ 还原变量得： 122 )1( 2 xcey x . 0y 也是方程的解 2. 利用适当。

25、度,下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向,物体在弹性力与阻,取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.,设时刻 t 物位移为 x(t).,(1) 自由振动情况.,弹性恢复力,物体所受的力有:,(虎克定律),成正比, 方向相反.,建立位移满足的微分方程.,2018年8月29日星期三,3,据牛顿第二定律得,阻力,即,这就是在有阻尼的情况下，描述物体自由振动的方程。
,(2) 强迫振动情况.,若物体在运动过程中还受铅直外力,则得强迫振动方程:,2018年8月29日星期三,4,可以看出，自由振动和强迫振动的微分方程都是二阶微分方程而且未知函数及其各阶导数都是一次幂的，,我们把这种方程称为二阶线性微分方程。
,其一般形式可,表示为,n 阶线性微分方程的一般形式为,时, 称为非齐次的方程,时, 称为齐次的方程.,2018年8月29日星期三,5,证毕,二、线性微分方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边, 得,(叠加原理),定理1,2018年8月29日星期三,6,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并。

26、题课,一、内容小结 二、题型练习,二、题型练习,（一）直接求解 （二）变量代换 （三）综合题 （四）应用题,二、题型练习,（一）直接求解 （二）变量代换 （三）综合题 （四）应用题,关键：判类型,掌握特点,基本概念,阶、,齐次 、,线性 、,通解 、,特解 、,全部解,类型与解法,可分离变量方程,齐次方程,一阶线性方程,伯努利方程,关于x、y可分离,关于x、y为齐次,关于y、y为一次 或关于x、x为一次,n不等于0和1,关键：判类型,例1,例2,例3,例4,例5,例6,解微分方程,解微分方程,解微分方程,解微分方程,解微分方程,解微分方程,掌握特点,分解,x、y项 次数相等,y、y一次,x、x一次,变量代换,明确思路,可分离 变量,齐次,线性,二、题型练习,（一）直接求解 （二）变量代换 （三）综合题 （四）应用题,二、题型练习,（一）直接求解 （二）变量代换 （三）综合题 （四）应用题,例7,例8,例9,例10,解微分方程,解微分方程,解微分方程,解微分方程,二、题型练习,（一）直接求解 （二）变量代换 （三）综合题。

27、 二、线性微分方程的结构,高阶线性微分方程,一、高阶微分方程的概念 二、线性微分方程的结构,二、线性微分方程解的结构,（一）线性齐次方程解的结构 （二）线性非齐次方程解的结构,二、线性微分方程解的结构,（一）线性齐次方程解的结构 （二）线性非齐次方程解的结构,(叠加原理),定理1,注,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,例:,不一定是所给二阶方程的通解.,则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.,例如：,在( , )上：,故它们在任何区间 I 上都线性相关;,若在某区间 I 上,必需全为 0 ,在任何区间 I 上都 线性无关.,线性相关与线性无关,定义：,两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,线性无关,是二阶线性齐次方程的两个线性无关的特解,方程,特解,通解,推论,定理2,例,二、线性微分方程解的结构,（一）线性齐次方程解的结构 （二）线性非齐次方程解的结构,二、线性微分方程解的结构,（一）线性齐次方程解的结构 （二）线性非齐次方程解的结构,定理3,定理4,(非齐次方程解的叠加原理),。

28、方程,型,只含x的项,逐次积分,型,缺少y的项,设,则,型,缺少x的项,设,则,基本思路,通过变量代换化为低阶微分方程,注,对于初值问题,应边降阶边确定常数.,一、内容小结,(一) 可降阶的高阶微分方程 (二) 线性微分方程解的结构 (三) 常系数线性齐次方程 (四) 常系数线性非齐次方程,一、内容小结,(一) 可降阶的高阶微分方程 (二) 线性微分方程解的结构 (三) 常系数线性齐次方程 (四) 常系数线性非齐次方程,记,1.,是齐次方程的通解.,2.,3.,4.,一、内容小结,(一) 可降阶的高阶微分方程 (二) 线性微分方程解的结构 (三) 常系数线性齐次方程 (四) 常系数线性非齐次方程,一、内容小结,(一) 可降阶的高阶微分方程 (二) 线性微分方程解的结构 (三) 常系数线性齐次方程 (四) 常系数线性非齐次方程,二阶常系数线性齐次方程,方程形式,求解方法,写出特征方程,解出特征根,写出对应通解,通解公式,二相异实根,重根,二共轭复根,n阶常系数线性齐次方程,方程形式,特征方程,一、内容小结,(一) 可降阶的高阶微分方程 (二) 线性微分方程解的。

29、适用范围：,速度、尺度要求,惯性参考系,单位制和量纲,基本量：长度（m），时间（s），质量（kg）,量 纲：长度L，时间T，质量M,9-2 质点的运动微分方程,1 、在直角坐标轴上的投影,或,矢量形式,直角坐标形式,2、在自然轴上的投影,由,有,自然形式,3 、质点动力学的两类基本问题,第一类问题：已知运动求力.,第二类问题：已知力求运动.,混合问题：第一类与第二类问题的混合.(未知量既有力也有加速度),例题 一质点M在xy平面内运动，已知运动轨迹为x=b cos(kt)，y=c sin(kt),b,c,k为常数。
试分析质点的受力。
,解:,有心力作用.,例题 一质点以水平初速度v0在空中受重力和空气阻力作自由落体运动,若空气阻力大小F=kv（k为常数）,方向与速度相反。
试求质点的运动方程。
,解：,1、受力分析，画示力图,2、建立质点运动微分方程，求解。
,初始条件：,第一个方程的解：,初始条件：,初始条件：,第二个方程的解：,初始条件：,初始条件：,例题 一小球在光滑圆弧面顶部以初速度为零向下滑动。
试求运动过程中小球的速度和圆弧面的约束力，。

30、此方程的通解为 xrxr eCeCy 21 21 ( r 为待定常数 ), 所以令的解为 则微分 其根称为 特征根 . 函数 因为 为常数时 r为常数。
2. 当 042 qp 时 , 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 可以证明 因此原方程的通解为 xre)xCC(y 121 ,exy xr12 是微分方程的一个特解，且这两个解线性无关 3. 当 042 qp 时 , 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解 : x)i(ey 1 )xs i nix( c ose x x)i(ey 2 )xs i nix( c o sex 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解 : )yy(y 21211 )yy(y i 21212 xc o se x xs i ne x 因此原方程的通解为 )xs i nCxc o sC(ey x 21 小结 : )q,p(yqypy 为常数0,qrpr 02 特征方程 : xrxr eCeCy 21 21 实根。

31、社会科学领域中有着十分广泛的应用,由于学时有限，高等数学中的常微分方程仅包含几种特殊类型的一阶微分方程的求解，可通过降阶求解的高阶微分方程，二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程及其解的结构和特殊情况下的求解方法。
,本章先从解决这类实际问题入手，引出微分方程的一些基本概念，然后着重讨论一些特殊类型的微分方程的求解方法。
,重点,五种标准类型的一阶方程的求解,可降阶的高阶方程的求解,二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解,难点,求解全微分方程,求常系数非齐次线性方程的通解,基本要求,明确微分方程的几个基本概念,牢固掌握分离变量法，能熟练地求解可分离变量的微分方程,牢固掌握一阶线性微分方程的求解公式，,会将Bernoulli 方程化为一阶线性方程来求解,掌握全微分方程的解法,会用降阶法求解几种特殊类型的高阶方程,掌握二阶线性微分方程解的结构并能熟练地应用特征根法、待定系数法求解二阶常系数线性方程,一、问题的提出,解,解,代入条件后知,故,开始制动到列车完全停住共需,二、微分方程的定义,微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数。

32、又介绍了一些可降阶的微分方程类型。
接着讨论了二阶变系数微分方程的幂级数解法，并论述了如何利用变量代换法将某些变系数方程化为常系数方程。
另外，本文还介绍了求解初值问题的另一种方法拉普拉斯变换法。
最后，给出了二阶微分方程的存在唯一性定理的证明以及它的一些应用。
关键词二阶线性微分方程，常系数，变系数，通解，特解，存在唯一性IITITLEANALYSISOFTHESOLUTIONEXISTENCEPROBLEMFORSECONDORDERORDINARYDIFFERENTIALEQUATIONABSTRACTINSCIENCE,ENGINEERINGTECHNOLOGY,WEOFTENNEEDTOCONVERSIONSOMEPRACTICALPROBLEMSINTOSECONDORDERORDINARYDIFFERENTIALEQUATIONSTHEREFORE,TOSTUDYTHEMETHODSOFDIFFERENTTYPESOFSECONDORDERORDINARYDIFFERENTIALEQUATIONANDTOINVESTIGATETHEEXISTENCEANDUNIQUENESSOF。

33、2.摩尔浓度,单位体积混合物中所含某组分i 的摩尔数称为该组分的摩尔浓度，以符号 ci 表示,kmol/m3,ni混合物中组分 i 的摩尔数。
,若混合物由N个组分组成，则混合物的总摩尔浓度为,一、混合物组成的表示方法,质量浓度与摩尔浓度的关系：,混合物的平均摩尔质量；,Mi组分 i 的摩尔质量。
,一、混合物组成的表示方法,3. 质量分数,混合物中某组分i 的质量占混合物总质量的分数称为该组分的质量分数，以符号 ai 表示：,G混合物的总质量。
,若混合物由 N 个组分组成，则,一、混合物组成的表示方法,4. 摩尔分数,混合物中某组分 i 的摩尔数占混合物总摩尔数的分数称为该组分的摩尔分数，以符号 xi 表示：,n混合物总摩尔数。
,若混合物由 N 个组分组成，则,一、混合物组成的表示方法,组分A的质量分数与摩尔分数的关系为,一、混合物组成的表示方法,二、质量传递的基本方式,1. 分子传质,又称分子扩散，简称扩散，是由于分子的无规则热运动而产生的物质传递现象。
分子传质在气相、液相和固相中均能发生 。
,费克定律,对于由组分A和组分B组成的混合物,或,2.对流传质。