各类微分方程的解法.doc

1、南京林业大学各类微分方程的解法1.可分离变量的微分方程解法一般形式:g(y)dy=f(x)dx直接解得g(y)dy=f(x)dx设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐式通解2.齐次方程解法一般形式:dy/dx=(y/x) 令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=(u),即du/(u)-u=dx/x两端积分,得du/(u)-u=dx/x最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解3.一阶线性微分方程解法一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x)先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0解得y=CeP(x)d

2、x,再令y=ueP(x)dx代入原方程解得u=Q(x) eP(x)dxdx+C,所以y=eP(x)dxQ(x)eP(x)dxdx+C即y=CeP(x)dx+eP(x)dxQ(x)eP(x)dxdx为一阶线性微分方程的通解4.可降阶的高阶微分方程解法y(n)=f(x)型的微分方程y(n)=f(x)y(n-1)= f(x)dx+C1y(n-2)= f(x)dx+C1dx+C2依次类推,接连积分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n个任意常数的通解y”=f(x,y) 型的微分方程令y=p则y”=p,所以p=f(x,p),再求解得p=(x,C1)即dy/dx=(x,C1),所以y=(x,C1)dx+

3、C2y”=f(y,y) 型的微分方程令y=p则y”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=(y,C1)即dy/dx=(y,C1),即dy/(y,C1)=dx,所以dy/(y,C1)=x+C25.二阶常系数齐次线性微分方程解法一般形式:y”+py+qy=0,特征方程r2+pr+q=0特征方程r2+pr+q=0的两根为r1,r2微分方程y”+py+qy=0的通解两个不相等的实根r1,r2y=C1er1x+C2er2x两个相等的实根r1=r2y=(C1+C2x)er1x一对共轭复根r1=+i,r2=-iy=ex(C1cosx+C2sinx)6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法一般

4、形式: y”+py+qy=f(x)先求y”+py+qy=0的通解y0(x),再求y”+py+qy=f(x)的一个特解y*(x)则y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py+qy=f(x)的通解求y”+py+qy=f(x)特解的方法: f(x)=Pm(x)ex型令y*=xkQm(x)exk按不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2再代入原方程,确定Qm(x)的m+1个系数 f(x)=exP(x)cosx+Pn(x)sinx型令y*=xkexQm(x)cosx+Rm(x)sinxm=max,n,k按+i不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1再代入原方程,分别确定Qm(x)和Rm(x)的m+1个系数附微分方程在物理学中的应用:找准合适的研究对象确定正确的数学模型联列合理的微分方程解出最佳的方程结果执笔：缪张华2