高等数学

1、第二章 微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学 导数描述函数变化快慢 微分描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数) 导数与微分 导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出. 英国数学家 Newton 一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 五、单侧导数 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数的。

2、空间间曲线线的曲率和挠挠 率 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系1 Frenet标 架 曲率 挠率 Frenet公式 Frenet标 架 曲线线 的活动动坐标标系 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系2 自然参数方程：r = r(s) 一般参数方程：r = r(t) 记记号 ： d 2 r ds 2 d 2 r , dt 2 r , r , , dr ds dr dt r。

3、第九章 曲线积分与曲面积分 第五节 对坐标的曲面积分 一、有向曲面 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧 通常我们遇到的曲面都是双侧的曲面的方向 可以用曲面上的单位法向量n cosa , cosb , cosg的 方向来确定 例如由方程zz(x, y)表示的曲面分为上侧与下侧 ， x y z O 在曲面的上侧cosg 0， 在曲面的下侧cosg 。

4、第九章 曲线积分与曲面积分 第四节 对面积的曲面积分 1. 实例 所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 切平面也连续转动. 一、对面积的曲面积分的概念与性质 前面已经介绍了两类曲线积分，对第一 类曲线积分 其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问 题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小 段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和 式 抽象概括得到对面积。

5、第九章 曲线积分与曲面积分 第三节 格林公式及其应用 一、格林公式 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 域, 否则称为复连通区域. 复连通区域单连通区域 D D 区域连通性的分类 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区 域D总在他的左边. 格林公式 定理1 证明(1) y x o a b D c d A B C E 同理可证 y x o d 。

6、第九章 曲线积分与曲面积分 第二节 对坐标的曲线积分 一、问题的提出 实例: 变力沿曲线所作的功 常力所作的功 分割（化整为零） 求和 取极限 近似值 精确值 二、对坐标的曲线积分的概念 1.定义 类似地定义 2.存在条件 ： 3.组合形式 4.推广 5.性质 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. 三、对坐标的曲线积分的计算 定理 3.下限a对应于L的起点 上限 对应于L的终点 不一定小于 在公。

7、第九章 曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分 一、问题的提出 实例1:密度为 的 曲线形构件的质量 匀质之质量 分割 求和 取极限 近似值 精确值 实例2:柱面的面积 分割 求和 取极限 近似值 精确值 二、对弧长的曲线积分的概念 1.定义 被积函数 积分弧段 积分和式 曲线形构件的质量 柱面的面积 2.存在条件 ： 3.推广 注意： 4.性质 5.几何与物理意义 三、对弧长曲线积。

8、第八章 重积分 第四节 重积分的应用 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性( 即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应 地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在 闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时， 相应地部分量可近似地表示为 的形式， 其中 在 内这个 称为所求量U 的元素，记为 ，所求量的积分表达式为 。

9、第八章 重积分 第三节 三重积分的概念与计算 问题的提出： 设空间立体 V 的密度函数为 求立体 V 的质量 M 为了求 V 的质量，仍采用：分割、近似代替、 求和、取极限四个步骤. 首先把 V 分成 n 个小块 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的体积 记为 一、三重积分的概念 f ( x, y, z )， 其次在每个小块 Vi 上任取一点 则 Vi 的质量 然后对每个小块 V。

10、第七章 多元函数微分学 第八节 多元函数的极值 二元函数极值的定义 一、多元函数的极值 (1 ) (2 ) (3 ) 例1 函数 处有极小值在 例函数 处有极大值在处有极大值在 例 处无极值 在 函数 回忆：一元函数极值的必要条件 费马定理 定义 多元函数取得极值的条件 证 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点. 驻点极值点 问题：如何判定一个驻点是。

11、第七章 多元函数微分学 第七节 偏导数的几何应用 1. 设空间曲线的方程 (1)式中的三个函数均可导. 一、空间曲线的切线与法平面 考察割线趋近于极限位置切线的过程 上式分母同除以 曲线在M处的切线方程 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面：过M点且与切线垂直的平面. 解 切线方程 法平面方程 2. 空间曲线方程为 法平面方程为 例2 3.空间曲线方程为 也可直接用求导公式： 切线方。

12、第七章 多元函数微分学 第六节 方向导数与梯度 讨论函数 在一点P0沿某一方 向的变化率问题 一、方向导数 （如图） P0 P 证 解 推广可得三元函数方向导数的定义 二、梯度的概念 结论 类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值. 梯度的概念可以推广到三元函数 解 由梯度计算公式得 故 1、方向导数的概念 2、。

13、第七章 多元函数微分学 第五节 隐函数求导法 一、一个方程的情形 隐函数的求导公式 解令 则 解1 利用公式 令 则 两边对 x 求偏导 解2 将方程两边关于x求导，并注意z是x,y的函数， 再对 x 求导 思路 ： 解1用公式法 于是， 整理得 解2 整理得 整理得 二、方程组的情形 设方程组 确定函数 下面推导公式： 即 上述方程组等式两边对x求导， 现 这是关于的 二元线性方程组。
方程组。

14、第七章 多元函数微分学 第四节 多元复合函数的求导法则 一、多元复合函数求导的链式法则 定理 链式法则如图示 证 解 例2 解 若 z = f ( u , v, w )有连续偏导数， 链式法则可推广到有多个中间变量的情况. 例如有三个中间变量的情况 多元复合函数的复合关系是多种多样的，我们不可 能把所有的公式都写出来，也没有必。

15、第七章 多元函数微分学 第三节 全微分及其应用 一、全微分的定义 全微分的定义 对照一元函数的微分, y = f (x ), 若y = Ax +0(x) 则dy = Ax = f (x0) x . 自然会提出以下问题. (1)若z = f (x, y)在点(x0, y0)可微, 微分式 dz = Ax +By中系数 A, B 如何求, 是否与z的偏导有 关? (2)在一元函。

16、第七章 多元函数微分学 第二节 偏导数 一、偏导数的定义及其计算法 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 在 处 1.由偏导数定义知, 所谓 f (x, y) 对x 的偏 导数, 就是将 y 看作常数, 将 f (x, y) 看作一元 函数来定义的. 注 因此,在实际计算时, 求 f x (x, y)时, 只须将 y 看作常数,用一元函数求导公式求即可. 。

17、第七章 多元函数微分学 第一节 多元函数 理学院数学系 主讲教师：付一平 一、平面点集 第一节 多元函数 坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为 平面点集记作 E(x y)| (x y)具有性质P 例如 平面上以原点为中心、r为半径的圆内所 有点的集合是 C(x y)| x2y2<r2 或CP| |OP|r 其中P表示坐标为(x y。

18、 一、一阶微分方程形式 二、可分离变量的微分方程及其求解 三、例题 四、小结 一、一阶微分方程形式 首先，对一阶微分方程作一次概要的介绍： 例 一阶微分方程： 可以写成 即 也可以写成 一般，一阶微分方程都具有以下三种等价形式： （1） （2） （3） 问题：如何求解一阶微分方程？难！ 问题的简化：以下几节我们只讨论几种特殊 类型的一阶微分方程： 二、可分离变量的微分方程及其求解 如果一阶。

19、四川大学数学学院 徐小湛 April 2011 给给出了 利用积积分区域的对对称性 和被积积函数的奇偶性 计计算各种积积分的命题题 并给给出了详细证详细证 明 1 四川大学数学学院 徐小湛 April 2011 利用积积分区间间的对对称性 和被积积函数的奇偶性 计计算定积积分 2 四川大学数学学院 徐小湛 April 2011 命题 1 证 3 四川大学数学学院 徐小湛 April 2011 若 。

20、习 题 课 基本内容 典型例题 第七章 多元函数微分学 教学要求 1 第七章 多元函数微分学 习题课 一、基本内容 1. 多元函数的概念 2. 多元函数的极限 一元函数在某点的极限存在的充要 和一元函数极限的差异： 必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋 而多元函数 于P0时, 多元函数的基本概念 条件是左右极限都存在且相等; 都有极限, 且相等. 2 第七章 多元函数微。

21、2000高等数学下册(化工类 )统考试卷及解答 一、 填空题 1、4分设向量，又向量，则在轴上的投影是 ；在轴上的分量是 2、4分设，而，则 。
3、4分已知直线过点且与两直线 都垂直，则方程是 4、4分设曲线段的质量密度分布为，则的质量可表示为 ；若为，则质量等于 。
5、4分设为半球面，则 。

22、 高等数学课程学习指南 第1章 函数 极限 连续函数 本章是高等数学的基础知识，主要讨论三项基本内容：函数、极限和连续。
函数概念反映着存在于物质世界中的各种变量间的联系以及它们的依从关系；而极限概念是高等数学的“灵魂”，高等数学中的许多重要概念都是建立在极限论的基础之上的，它是学习以后各章的不可缺少的重要工具；连续性是函数的重要性质。
因此学好第一章，才能掌握学习高等数学的主动权。
在本章的学习中，重。

23、程的表达式直接观察得到特解，因此特解不总包含在通解中.二、微分方程的常见类型及其解法1. 可分离变量的微分方程及其解法(1).方程的形式：.(2). 方程的解法：分离变量法(3). 求解步骤. 分离变量，将方程写成的形式；. 两端积分：，得隐式通解；. 将隐函数显化.2. 齐次方程及其解法(1).方程的形式：.(2).方程的解法：变量替换法(3). 求解步骤引进新变量，有及；代入原方程得：；分离变量后求解，即解方程；变量还原，即再用代替.3. 一阶线性微分方程及其解法(1).方程的形式：.一阶齐次线性微分方程:.一阶非齐次线性微分方程:.(2).一阶齐次线性微分方程 的解法: 分离变量法.通解为,().(公式)(3).一阶非齐次线性微分方程的解法: 常数变易法.对方程，设为其通解，其中为未知函数，从而有 ，代入原方程有 ，整理得 ，两端积分得 ，再代入通解表达式，便得到一阶非齐次线性微分方程的通解 ，(公式)即非齐次线性方程通。

24、D. 满分：5分3. DA. B. C. D. 满分：5分4.下列极限计算不正确的是（ ）。
DA. B. C. D. 满分：5分5. DA. B. C. D. 满分：5分6. DA. 0B. 1C. D. 满分：5分7. DA. -1,1B. 0,1 C. D. 。

25、 （B） （C） （D）4设函数，则函数在点处（ ）.（A）连续且可导 （B）连续且可微 （C）连续不可导 （D）不连续不可微5点是函数的（ ）.（A）驻点但非极值点 （B）拐点 （C）驻点且是拐点 （D）驻点且是极值点6曲线的渐近线情况是（ ）.（A）只有水平渐近线 （B）只有垂直渐近线 （C）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D）既无水平渐近线又无垂直渐近线7的结果是（ ）.（A） （B） （C） （D）8的结果是（ ）.（A） （B） （C） （D）9下列定积分为零的是（ ）.（A） （B） （C） （D）10设为连续函数，则等于（ ）.（A） （B）（C）（D）二填空题（每题4分，共20分）1设函数 在处连续，则.2已知曲线在处的切线的倾斜角为，则.3的垂直渐近线有条.4.5.三计算（每小题5分，共30分）1求极限 。

26、会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。
会运用等价无穷小量代换求极限。
4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
第二节函数的连续性复习考试要求1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。
2.会求函数的间断点。
3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。
4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。
第二章一元函数微分学第一节导数与微分复习考试要求1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。
2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。
4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。
会求分段函数的导数。
5.了解高阶导数的概念。
会求简单函数的高阶导数。
6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。
第二节导数的应用复习考试要求1.熟练掌握用洛必达法则求“0&#。

27、A. 有界性B. 奇偶性C. 周期性D.单调性3.下列极限运算正确的是（）A. lim x sin 1 = 0B. lim sin x = 1x0xxxC.lim(1- 1 )x = eD. lim x sin 1 = 1xxx0x4.当 x 0 时，与 x 等价无穷小的是（）A. cos xB. tan xC. 1- cos xD. 1- ex5.函数 y = cos 2x 的二阶导数（）A. - 2 sin 2xB. - 2 cos 2xC. - 4 sin 2xD. - 4 cos 2x6.若函数 F (x) 可微，则 d F (x)dx =（）A. F (x)B. F (x) + CC. F (x)dxD. F (x)dx + C7. 曲线 f (x) 在区间(a, b) 上单调增加。

28、A解析 难度易分数2题型单选题章节类别模拟题干题目编号03选项A.AB.BC.CD.D答案A解析 难度易分数2题型单选题章节类别模拟题干题目编号04选项A.AB.BC.CD.D答案A解析 难度易分数2题型单选题章节类别模拟题干题目编号05选项A.AB.BC.CD.D答案D解析 难度易分数2题型单选题章节类别模拟题干题目编号06选项A.AB.BC.CD.D答案D解析 难度中分数2题型单选题章节类别模拟题干题目编号07选项A.AB.BC.CD.D答案C解析 难度易分数2。

29、设通项为：原极限等价于：4设，则【 A】A BC D解：对原式关于x求导，并用导数乘以dx项即可，注意三角函数求导规则。
所以，即5函数在区间上极小值是【 D】A-1 B1 C2 D0解：对y关于x求一阶导，并令其为0，得到；解得x有驻点：x=2，代入原方程验证0为其极小值点。
6对于函数的每一个驻点，令，若，则函数【C】A有极大值 B有极小值 C没有极值 D不定7多元函数在点处关于的偏导数【C】A BC D8向量与向量平行，则条件：其向量积是【B】A充分非必要条件 B充分且必要条件C必要非充分条件 D既非充分又非必要条件9向量、垂直，则条件：向量、的数量积是【B】A充分非必要条件 B充分且必要条件C必要非充分条。

30、5.6.7.8.9.10.二、1.2.3.4.三、四、五、六、欢迎您的光临，word文档下载后可以修改编辑。
双击可以删除页眉页脚。
谢谢！单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善 教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。
教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。
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31、会求函数的连续区间,判断函数间断点的类型;8. 理解并掌握闭区间上连续函数的主要性质.二.一元函数微分学1. 清楚导数和微分的概念及函数可导、可微、连续之间的关系;2. 熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握隐函数和由参数方程确定函数的二阶导数、特殊函数的高阶导数、幂指函数导数的计算方法;3. 理解Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理、Taylor 定理(公式的内容和意义,能利用这些定理证明一些特殊点的存在性,或证明恒等式及不等式;4. 能利用导数解决函数的单调性和极值、曲线的凹凸性和拐点、方程根的存在性、函数的最值等问题.三.一元函数积分学1. 理解原函数与不定积分的概念;2. 会用第一换元(凑微分法求不定积分,能灵活运用第二换元法求不定积分;3. 熟练掌握分部积分方法,能利用递推或循环运算等方法求不定积分;4. 会求简单有理函数和简单无理函数的不定积分;5. 理解定积分的定义;清楚定积分的性质(线性性质、保号性质、积分区间的可加性、积分中值定理等;6. 理解变上限积分的定义、性质及求导方法,清楚连续。

32、但不等价的无穷小；D. 是较低阶无穷小.4. ( )。
A.-1 B.0 C.1 D.不存在 .5. 设, 则A.B.C.D.6. 当时，是（ ）.A.无穷小量； B.无穷大量； C.有界变量； D.无界变量. .7. 函数是（ ）函数.A.单调 B.有界 C.周期 D.奇 .8. 设则常数( )。
A.0 B.-1 C.-2 D.-3 .9. 下列函数在区间上单调增加的是（ ）A.B.C.D.10. 设函数，则的连续区间为（）A.B.C.D.11. 当时，与比较，则（ ）.A.是较高阶的无穷小量；B.是较低阶的无。

33、解析 难度易分数2题型单选题章节类别模拟题干题目编号03选项A.AB.BC.CD.D答案A解析 难度易分数2题型单选题章节类别模拟题干题目编号04选项A.AB.BC.CD.D答案A解析 难度易分数2题型单选题章节类别模拟题干题目编号05选项A.AB.BC.CD.D答案D解析 难度易分数2题型单选题章节类别模拟题干题目编号06选项A.AB.BC.CD.D答案D解析 难度中分数2题型单选题章节类别模拟题干题目编号07选项A.AB.BC.CD.D答案C解析 难度易分数2。

34、1、设，则（ ）大工高等数学（上）课程考试 模拟试卷（B） 第2页 共5页A、B、C、D、2、当时，下列变量中不是无穷小量的是（ ）A、B、C、D、3、设函数则在处（ ）A、左导数不存在B、右导数不存在C、导数D、不可导4、设在内连续，且，则在点处（ ）A、的极限存在，且可导B、的极限存在，但不一定可导C、的极限不存在D、的极限不一定存在5、函数在点处（ ）A、无定义B、不连续C、可导D、连续，但不可导6、设，则（ ）A、B、C、D、7、在计算积分时，为使被积函数有理化，可作变换的是（ ）A、B、C、D、8、，则（ ）A、16B、8C、4D、29、（ ）A、0B、C、D、210、（ ）A、0B、1C、D、2二、填空题（本大题共。

35、A ）-1,1,5. B） -1,-1,5. C） 1,-1,5. D）-1,-1,6.解 (1) c=3a-2b =31,-1,3-22,-1,2=3-4,-3+2,9-4=-1,-1,5.3. 设a=1,-1,3, b=2, 1, -2，求用标准基i, j, k表示向量c=a-b; （ A ）A ）-i-2j+5k B）-i-j+3k C）-i-j+5k D）-2i-j+5k解c=-1,-2,5=-i-2j+5k .4. 求两平面和的夹角是：（C）A ） B） C） D）解由公式（6-21）有，因此，所求夹角5. 求平行于轴，且过点和的平面方程是：（D ）A）2x+3y=5=0 B）x-y+1=0 C）x+y+1=0 D）解由于平面平行于轴，因此可设这平面的方程为因为平面。

36、是现实的境遇却让我们无法脱身，我们只能思念、感叹，每逢佳节倍思亲。
年年岁岁花相似，岁岁年年人不同。
转眼，我们已经长大，离开了父母亲人，离开了学校师生，离开了书生意气的轻狂，开始学会一个人的生活，向大人的方向一步步的跟进。
岁月在流逝，阅历随之增长，思乡之情越发疯狂的蔓延，就连睡梦呓语都是方言的味道。
看的故事多了，心中对母爱、对父爱、对乡情有了更为独特的情愫，每逢佳节便撩动我多愁善感的心，思亲之情犹如海浪澎湃着我难以平静。
慈母手中线，游子身上衣。
多少年过去了，我一直穿着母亲手工制作的鞋垫，从春花到秋实，从寒来至暑往，走完四季的轮回；从儿时母亲手工做的棉鞋到现在自己买的运动鞋，鞋垫陪我走完了懵懂的青春。
去年的一天，母亲打电话问我穿多大的鞋，她说再给我做十双。
我疑惑的问母亲为什么要做那么多，我穿不完。
母亲说她眼睛看不清楚了，这是最后一次给我做鞋垫了，多做几双，多穿几年。
听到这里我不禁留下了眼泪，瞬间感觉母亲已经老了，而我却远在千里之外不能尽孝。
月有阴晴圆缺，人有悲欢离合，家乡发生了很多的事，电话成了我与亲人的寄托，虽然电话中父母的声音没有太大的变化，但是我脑中总会浮现他。

37、tt故 t0 时刻的角速度为l i ml i ml i m (t0t) (t0)(t )t 0t 0 tt 0t02 当物体的温度高于周围介质的温度时物体就不断冷却若物体的温度 T与时间 t 的函数关系为 TT(t) 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解 物体在时间间隔 t0 t0t内温度的改变量为T T(tt) T(t)平均冷却速度为TT (tt) T(t)tt故物体在时刻 t 的冷却速度为limTlimT (tt ) T (t ) T (t)t 0tt0t3 设某工厂生产 x 单位产品所花费的成本是 f(x)元 此函数 f(x)称为成本函数成本函数 f(x)的导数 f (x)在经济学中称为边际成本试说明边际成本 f (x)的实际意义解。

38、 ）.A. B. C. D.5.函数的极小值是（ ）.A.2 B. C.1 D.6.设，则（ ）.A. B. C. D.7.若级数收敛，则（ ）.A. B. C. D.8.幂级数的收敛域为（ ）.A. B C. D.9.幂级数在收敛域内的和函数是（ ）.A. B. C. D.10.微分方程的通解为（ ）.A. B. C. D.二.填空题（4分5）1.一平面过点且垂直于直线，其中点，则此平面方程为_.2.函数的全微分是_.3.设，则_.4.的麦克劳林级数是_.5.微分方程的通解为_。

39、 适用班级： 07级理工科 姓名： 学号： 班级： 学院： 专业： 考试日期： 2008.1.15.下午 题号一二三四五六七八九十总分累分人 签名题分15151614141412 100得分考生注意事项：1、本试卷共 7页，请查看试卷中是否有缺页或破损。
如有立即举手报告以便更换。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 得分评阅人 1. 设 在处连续，则常数 。
2. 设存在，则 。
3. 函数 的极小值等于 ，。

40、 题目 20： 学海无涯苦作舟！ 题目 21： 题目 22： 题目 23： 题目 24： 题目 25： 题目 26： 学海无涯苦作舟！ 题目 27： 题目 28： 题目 29： 题目 30： 学海无涯苦作舟！ 题目 31： 题目 32： 题目 33： 题目 34： 题目 35： 题目 36： 学海无涯苦作舟！ 题目 37： 题目 38： 题目 39： 题目 40： 学海无涯苦作舟！ 题目 41： 题目 42： 题目 43： 题目 44： 题目 45： 题目 46： 学海无涯苦作舟！ 题目 47： 题目 48： 题目 49： 题目 50： 学海无涯苦作舟！ 题目 51： 题目 52： 题目 53： 题目 54： 题目 55： 题目 56： 学海无涯苦作舟！ 题目 57： 题目 58： 题目 59： 题目 60： 学海无涯苦作舟！ 题目 61： 题目 62： 题目 63： 题目 64： 题目 65： 题目 66： 学海无涯苦作舟！ 题目 67： 题目 68： 题目 69： 题目 70： 学海无涯苦作舟！ 题目 71： 题目 72： 题目 73： 题目 74： 题目 75： 题目 76： 题。