常微分方程期中测试试卷.doc

1、常微分方程试题库（五）、证明题， (每题10分)1. 试证：如果是满足初始条件的解，那么.2. 设和是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式，其中为常数3. 假设不是矩阵的特征值，试证非齐线性方程组，有一解形如：，其中是常数向量.4. 设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积分因子.5. 设在上连续，且，求证：方程的任意解均有.6. 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解.7. 阶齐线性方程一定存在个线性无关解.8. 设是一阶非齐次线性方程于区间上的任一解，是其对应一阶齐次线性方程于区间上的一个非零解。则含有任意常数C的表达式：是一阶非齐次线性方程于

2、区间上的全部解的共同表达式。9. 设矩阵函数，在（a, b）上连续，试证明，若方程组与有相同的基本解组，则。10. 证明： 一个复值向量函数是（LH）的解的充要条件，它的实部和虚部都是（LH）的解。（五）、证明题参考答案及评分标准 (每题10分) 1. 试证：如果是满足初始条件的解，那么.证明：因为是的基本解矩阵，是其解，所以存在常向量使得： ， （2分）令，则： ， （2分）所以 ， （2分）故 （4分）2. 设和是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式，其中为常数证明：设在区间上连续，由刘维尔公式可知，对任意，它们的朗斯基行列式满足： ， （4分）而在方程中，所以 ， （4分）即 ，

3、（2分）3. 假设不是矩阵的特征值，试证非齐线性方程组，有一解形如：.其中是常数向量.证明：要证是解，就是要证能够确定常数向量，它使得 ， （2分）即，成立。 （2分）亦即 ， （2分）由于不是的特征值，故，从而存在逆矩阵， 那么可取向量 ， ， （2分）这样方程就有形如的解. （2分）4. 设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积分因子.证明：先证必要性，设方程为线性方程，即 ， （2分）所以 ， ， （2分）即它有仅依赖与x的积分因子，且 是其积分因子。（1分）再证充分性，因为在方程，中所以 ， （2分） （1分）如果它有仅依赖与的积分因子，则是的函数，设 （1分）关于积

4、分得：，是的可微函数，故方程可表为：是线性方程. （2分）5. 设在上连续，且，求证：方程的任意解均有.证明：设为方程的任一解，它满足初始值条件，由常数变易法有：， （4分）于是 （2分） = 0 + （4分）6. 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解.证明：设为黎卡提方程的一个特解，则 ， （2分）令，则有 （3分）整理得： （3分）它是的伯努利方程，可用初等积分法求它的通解. （2分）7. 阶齐线性方程一定存在个线性无关解.证明：设的系数矩阵在区间上连续，任意取定一点和个线性无关的维常向量。 （2分）对于每一个，以表示满足初始条件的解向量。 （2分） 由存在与唯一性

5、定理可知，此解向量在区间上存在且有定义。 （2分）由于常向量组是线性无关的，从而向量函数组于区间上线性无关. （4分）8. 设是一阶非齐次线性方程于区间上的任一解，是其对应一阶齐次线性方程于区间上的一个非零解。则含有任意常数的表达式：是一阶非齐次线性方程于区间上的全部解的共同表达式。证明：将直接代入一阶非齐次线性方程可知，对任意常数，都是一阶非齐次线性方程的解。 （4分）反之，设是一阶非齐次线性方程的任一解，则是其对应齐次方程的解。 （2分）任取，由于是其对应一阶齐次线性方程于区间上的一个非零解，所以。 （2分）令，则 和都是其对应齐次方程的解，并且在时取相同的值，故由初值问题解的唯一性知，应

6、有，即。（2分）9. 设矩阵函数，在（a, b）上连续，试证明，若方程组与在（a, b）上有相同的基本解组，则，.证明：因为方程组与在（a, b）上有相同的基本解组，所以可设是其基本解矩阵。 （2分）从而有： ， （2分）与 ，成立。 （2分）所以 ， （2分）又由于是其基本解矩阵，所以，即可逆，故，. （2分）10. 证明： 一个复值向量函数是（LH）的解的充要条件，它的实部和虚部都是（LH）的解。证明：设是的解，是实函数矩阵，（2分）则： ， （1分）从而 ， （1分）所以，且即它的实部和虚部都是（LH）的解。 （2分）反之，若，成立。则 ， （2分）即向量函数是（LH）的解。 （2分）1

7、 填空题 （1）向量函数组在其定义区间上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式， （2）线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于 个，其中， 2 单项选择题（1）一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ ） （A）不是其对应齐次微分方程组的解 （B）是非齐次微分方程组的解 （C）是其对应齐次微分方程组的解 （D）是非齐次微分方程组的通解 （2）两个不同的线性齐次微分方程组（ ）的基本解组(A) 一定有相同 (B) 可能有相同 (C) 一定有相似 (D) 没有相同 （3）向量函数组在区间I上线性相关的（ ）条件是在区间I上它们的朗斯基行列式 （A）充分 （B）充分必要 （C）必要非充分

8、（D）必要（4） 方程组的任一解的图像是空间中的（ ）（A）一条曲线 （B）两条曲线 （C）一个曲面 （D）两个曲面正确答案：A （5）若A(x), F(x)0在(-,+)上连续，那么线性非齐次方程组的任一非零解 ( ).（A）可以与轴相交 （B）不可以与轴相交（C）可以与x轴相切 （D）不可以与x轴相切 正确答案：A3 求下列方程组的通解： （1） （2） （3） （4） （5） 解（1）特征方程为 ，特征根为， 和对应的特征向量分别为 故原方程组的通解为 （2）方程组的特征方程为 即 特征根为 ， 对应的解为 其中是对应的特征向量的分量，满足 可解出 同样，可解出对应的特征向量的分量为 故原方程组的通解为 （3） 特征方程为 即 特征根为 ， 对应特征向量应满足 可确定出 同样可算出对应的特征向量为 所以，原方程组的通解为 （4）解 方程组的特征方程为 即 特征根为 ， 对应的解为 其中是对应的特征向量的分量，满足 可解得 同样可算出对应的特征向量分量为 所以，原方程组的通解为 （5） 特征方程为 特征根为 ， 对应特征向量为 对应的特征向量为 所以，原方程组的通解为