《高等数学(上)》习题.doc

1、第一章 函数与极限本章要点：1.函数极限的概念（对极限的、定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出求N或不作过高要求。）2.极限四则运算法则。3.两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。4.无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。5.函数在一点连续的概念。6.间断点的概念，并会判别间断点的类型。7.初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理.）本章目标：1.理解函数的概念的理解复合函数的概念，了解反函数的概念。2.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3.掌握基本初等函数的性质及其图形。4.会建立简单实际问题中的函数

2、关系式。5.理解极限的概念（对于给出求N或不作过高要求。）6.掌握极限的四则运算法则。7.了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。8.了解无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。9.理解函数在一点连续的概念。10.了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。11.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理。）本章重点：1.函数极限的概念，会求一些简单函数的极限。2.函数在一点连续的概念，会判断一些简单函数间断点的类型。本章难点1.两个极限存在准则；2.判别间断点的类型。第一章 总结本章主要介绍了极限的概念、极限存在的判定

3、准则，极限的求法以及连续函数的定义与性质.利用极限的定义证明函数（或数列）以某确定常数为极限，是本章的难点之一。极限存在性问题是本章的重点，也是难点.一般地，常用以下方法判定一个极限是否存在：(1)利用单调有界准则；(2)利用夹逼准则；(3)利用柯西准则；(4)利用左右极限是否存在且相等；(5)利用子数列或部分极限。掌握好求极限的方法是学好高等数学所必须的，这是本章的重点内容。目前为止，我们可以(1)利用定义验证极限；(2)利用极限四则运算法则求极限；(3)利用重要极限求极限；(4)利用无穷小量等价代换求极限；(5)利用夹逼准则求极限；(6)利用单调有界数列必有极限准则求极限；(7)利用函数连

4、续性求极限等等.在后面的章节中，我们还会陆续介绍其它一些求极限的方法。函数连续性的概念是本章的又一重点，如何判定函数的连续性和间断点，怎样确定间断点的类型，闭区间上连续函数有哪些性质，都是需要同学们深刻理解，牢固掌握的。第一节函数（作业一）一、单项选择题 1.设函数，它的定义域是【 】. A.； B.； C.； D.2.设那么【 】. A.0； B.-2； C.； D.3.开区间是【 】. A.3的邻区； B.以2为中心，1为半径的邻区； C.1的邻区； D.以2为中心，1.5为半径的邻区.4.函数的反函数是【 】. A.； B.； C.； D.5.函数是【 】. A.奇函数； B.偶函数；

5、C.非奇非偶函数； D.奇、偶性取决于的取值情况.6.设是奇函数，是偶函数，则是【 】. A.即不是奇函数，又不是偶函数； B.偶函数； C.有可能是奇函数，也可能是偶函数； D.奇函数.7.满足不等式（为常数，）的所有的区间表示为【 】. A.； B.； C.； D.8.若，则有【 】. A.； B.； C.； D.9.设那么【 】. A.； B.； C.； D.10.使等式成立的所有构成的区间为【 】. A.； B.； C.； D.二、填空题11. .12. .13. .14. .15. .16. .17. .三、计算题18.求下列函数定义域(1) ； (2) ；(3) ； (4) 19.

6、作下列函数的图形(1) ； (2) .第一节函数（作业二）一、单项选择题 1.当函数的自变量的增量时，相应的函数的增量【 】. A.一定大于零； B.一定小于零； C.一定不大于零； D.不一定大于零.2.下列函数中满足关系的函数是【 】.A.； B.； C.； D.3.设函数的定义域，则的定义域是【 】.A.； B.； C.； D.4.在同一坐标系下，方程与代表的图形【 】.A.是同一条曲线； B.关于轴对称； C.关于轴对称； D.关于直线对称.5.要使是奇函数，则【 】.A.； B.； C.； D.6.设的定义域是，则的定义域是【 】.A.； B.； C.； D.7.设是奇函数，是奇函数

7、，则是【 】.A.既不是奇函数，又不是偶函数； B.偶函数；C.有可能是奇函数，也可能是偶函数； D.奇函数.8.曲线上对应于的点是【 】.A.； B.； C.； D.9.函数在内【 】.A.是无界的； B.是有界的； C.是常数； D.小于零.10.下列各对函数中，互为反函数的是【 】.A.； B.；C.； D.二、填空题11. .12. .13. .14. .15. .16. .17.设，那么 .18.设函数那么函数的值域是 .19.设函数它的反函数是 .20.开区间中每个点都是它的 点.三、计算题21.设是定义在上以为周期的函数，当时，写出的表达式22.设是定义在上的奇函数，当时，写出的

8、表达式23.下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的？(1) ； (2) ；(3) ； (4) .第二节数列的极限（作业一 ）一、单项选择题 1.数列的极限为【 】A.； B.； C.不存在； D.2.数列的一般项为【 】A.； B.； C.； D.3.极限【 】A.； B.； C.； D.4.极限【 】A.； B.； C.； D.5.极限【 】A.； B.； C.； D.二、填空题6. .7. .8. .9. .10. .11. .12. .13. .14. .15. .三、计算题16.用数列极限的定义验证数列的极限是217.求下列数列极限(1) ； (2)；(3) ； (4).第二节数列的极

9、限（作业二 ）一、单项选择题 1.设数列满足：对任意的，则【 】A.； B.； C.； D.2.极限【 】A.； B.； C.； D.3.极限【 】A.； B.； C.； D.4.极限【 】A.； B.； C.； D.5.【 】A.； B.； C.； D.6.因为，那么【 】A. ； B.； C. ； D.二、填空题8. .9. .10. .11. .12. .三、计算题13.求下列函数的极限。(1) ；(2) .14.下列结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例（1）若则（2）若，则；（3）若，则；（4）若则；（5）若则;（6）若对任何实数，则.第三节函数的极限（作业一）一、单

10、项选择题 1.下列各函数的极限存在的是【 】.A.； B.； C.； D.2.极限【 】.A.； B.； C.； D.3.若，则【 】.A.； B.； C.； D.4.设函数,那么【 】.A.； B.； C.； D.5.设函数，则【 】.A.； B.； C.； D.不存在.6.设，又则【 】.A. ； B.； C. ； D.二、填空题7. .8. .9. .10. .11. .12. .13. .14. .三、计算题15.设，作的图形，并求在处的左、右极限16.设，试求在处的左、右极限17. 已知，求的值.第三节函数的极限（作业二）一、单项选择题 1.若，则【 】.A.； B.； C.； D.

11、2.若，则【 】.A.； B.； C.； D.3.极限【 】.A.； B.； C.； D.4.极限【 】.A.； B.； C.； D.5.若函数在点处的极限存在，则【 】.A.必存在且等于极限值 ； B.存在但不等于极限值；C.在处的函数值可以不存在； D.如果存在，则必等于极限值.二、填空题6. .7. .8. .9. .10. .11.求 .12. .13. .14. .15. .16. .17. .18. .19. .三、求解下列各题20.用函数极限定义说明下列极限成立。(1) ；(2) .21.设，求.22.设，证明不存在性.第四节无穷小量与无穷大量一、单项选择题 1.当时，下列变量中

12、为无穷大的是【 】.A.； B.； C.； D.2.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是【 】.A.； B.； C.； D.3.当时，是【 】.A.的同阶无穷小量； B.的等价无穷小量；C.比高阶的无穷小量； D.比低阶的无穷小量.4.若其中为常量，为一当时的无穷小量，则【 】.A.； B.； C.； D.不存在.5.当时，【 】.A.极限不存在； B.是无穷大量； C.是无穷小量； D.是未定式.6.无穷大量减去无穷大量是【 】.A.无穷小量； B.零； C.常量； D.未定式.7.极限【 】.A.； B.； C.； D.8.当时，是【 】.A.比低阶的无穷小量； B.比高阶的无穷小量；

13、C.与的同阶无穷小量； D.与的等价无穷小量.9.【 】.A. B. C. D.二、填空题10. .11. .12. .13. .14. .15. .16. .17. .18. .19. .20. .三、完成下列各题21. 证明：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；有限个无穷小量的积仍是无穷小量22.函数当自变量在什么变化过程中是无穷小量？在什么变化过程中是无穷大量？23.当时，下列变量中哪些是等价无穷小量. ，24.当时，下列哪些函数是与同阶的无穷小量？哪些是比更高阶的无穷小量？ ，, ，第五节函数的连续性与间断点（作业一）一、单项选择题 1.函数的连续区间是【 】.A.； B.；C.； D

14、.2.为使函数在处连续，应取【 】.A.； B.； C.； D.；3.设处连续，则【 】.A.； B.； C.； D.4.设函数，函数在在连续，则分别为【 】.A.； B.； C.； D.二、填空题5. .6. .7. .8. .9. .三、完成下列各题10.设函数 (1) 函数在定义域内是否连续？(2) 画出函数的图形11.设，问常数为何值时，函数在其定义域内连续？为什么？12.某水果站在水果大量到货时规定， 50kg以下标价0.80元/kg，满50kg的标价0.70元/kg，满150公斤时标价0.60元/kg. 试列出收费金额与购买量的函数关系.问该函数是否为连续函数？13.将100元按6

15、%作连续复利计算，问20年后本利和应是多少？（已知）第五节函数的连续性与间断点（作业二）一、单项选择题 1.设在内连续，则在内必有【 】.A.最小值 B.零值 C.最大值 D.极值2.函数的间断点为【 】.A. B. C. D.3.设函数，那么函数的所有间断点是【 】.A. B.和 C. D.和4.如果在处连续，且，那么【 】.A. B. C. D.二、填空题5. .6. .7. .8. .9. .三、完成下列各题10.求下列函数的间断点，并说明类型(1) ； (2) . (3) ； (4) . 11.证明方程在1与2之间至少存在一个实根.12.已知，求常数，.13.判定是的什么类型间断点.1

16、4.函数在上是否有界？当时，是否为无穷大？为什么？第一章综合练习题1.设求，2 讨论下列函数的奇偶性与周期性.(1) ； (2) ； (3) .3.指出下列函数的单调区间并判定其是否有界(1) ； (2) ；(3) ； (4) .4.求下列函数的反函数 (1) ； (2) 5.设，且，求6.已知，求7.设 求 8.设，求.9证明：如果在连续，且存在，则必有界.10. 填空题(1) .(2) .(3) .(4) .(5) .(6) .(7) .(8) .(9) .(10) .(11) .(12) .(13) .(14) .(15) .(16) .(17) .(18) .(19) .(20) .(

17、21) .(22) .(23) .(24) .(25) .(26) .11.求下列函数的间断点，并说明类型(1) ； (2) .第二章 导数与微分本章要点1.导数和微分的概念。2.导数的几何意义。3.函数的可导性与连续性之间的关系。4.导数的四则运算法则和复合函数的求导法。5.微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。6.高阶导数的概念。7.求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数。本章目标1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。2.会用导数描述一些物理量。3.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数。了解微分的四则运算法则和一阶微

18、分形式不变性。4.了解高阶导数的概念。5.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。6.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。本章重点1.导数与和微分的概念。2.导数与和微分计算。本章难点1.复合函数求导法。2.隐函数求导法。3.参数方程确定的函数的求导。第一节导数概念一、单项选择题 1.设，其中为常量，则【 】.A.； B.； C.； D.2.设曲线在点处的切线的斜率为，则点的坐标为【 】.A.； B.； C.； D.3.函数在处的导数为【 】.A.； B.； C.； D.不存在.4.函数的图像在点的切线平行于轴，则为【 】.A.； B.； C.； D.5.设在内连续，且

19、，则在点处【 】.A.的极限存在，且可导； B.的极限存在且等于，但不一定可导；C.的极限不存在； D.的极限不一定存在.6.设，则【 】.A.； B. C. D.7.一物体作直线运动，路程与时间的关系为，则它的速度为【 】.A. B.； C.； D. 8.曲线在时的切线斜率是【 】.A.； B.； C.； D.9.曲线在点处的切线斜率是【 】.A.； B.； C.； D.二、填空题10. .11. .12. .13. .14.设（为常数），则 .15.设（为常数），则 .16.曲线在点处的切线斜率是 .17.设，则 .18.设，则 .19.设，其中函数在处可导，则 .三、讨论下列函数在给定点

20、处的连续性与可导性,若可导,求出.20. ； 21. ；22. ； 23. .第二节导数的计算 （四则运算）一、单项选择题 1.若，则【 】.A.； B.； C.； D.2.设，则【 】.A.； B.； C.； D.3.曲线在点处的切线斜率是【 】.A. ； B.； C.； D.4.若，则【 】.A.； B.； C.； D.二、填空题5.设 , 则 .6.设,则 .7.设 ,则 .8.设,则 .9.设 ,则 .10.设,则 .11.设 ,则 .12.设,则 .13.设 ,则 .14.设,则 .15.设 ,则 .16.设,则 .17.设,则 ， .18.设, 则 ， .19.设,则 .三、完成下列各题20.求曲线上横坐标为的点处的切线方程和法线方程.21.为何值时,曲线与曲线相切,并求曲线在该切点处的切线和法线方程.22.证明: 双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形面积都等于.第二节导数的计算 （复合函数求导法）一、单项选择题 1.若，则【 】.A.； B.； C.； D.2.若，则【 】.A.； B.； C.； D.3.若，则【 】.A.； B.； C.； D.4.若，则【 】.A.； B.