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《高等数学(上)》习题.doc

1、第一章 函数与极限本章要点:1.函数极限的概念(对极限的、定义可在学习过程中逐步加深理解,对于给出求N或不作过高要求。)2.极限四则运算法则。3.两个极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则),会用两个重要极限求极限。4.无穷小、无穷大,以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。5.函数在一点连续的概念。6.间断点的概念,并会判别间断点的类型。7.初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大、最小值定理.)本章目标:1.理解函数的概念的理解复合函数的概念,了解反函数的概念。2.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3.掌握基本初等函数的性质及其图形。4.会建立简单实际问题中的函数

2、关系式。5.理解极限的概念(对于给出求N或不作过高要求。)6.掌握极限的四则运算法则。7.了解极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则),会用两个重要极限求极限。8.了解无穷小、无穷大,以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。9.理解函数在一点连续的概念。10.了解间断点的概念,并会判别间断点的类型。11.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大、最小值定理。)本章重点:1.函数极限的概念,会求一些简单函数的极限。2.函数在一点连续的概念,会判断一些简单函数间断点的类型。本章难点1.两个极限存在准则;2.判别间断点的类型。第一章 总结本章主要介绍了极限的概念、极限存在的判定

3、准则,极限的求法以及连续函数的定义与性质.利用极限的定义证明函数(或数列)以某确定常数为极限,是本章的难点之一。极限存在性问题是本章的重点,也是难点.一般地,常用以下方法判定一个极限是否存在:(1)利用单调有界准则;(2)利用夹逼准则;(3)利用柯西准则;(4)利用左右极限是否存在且相等;(5)利用子数列或部分极限。掌握好求极限的方法是学好高等数学所必须的,这是本章的重点内容。目前为止,我们可以(1)利用定义验证极限;(2)利用极限四则运算法则求极限;(3)利用重要极限求极限;(4)利用无穷小量等价代换求极限;(5)利用夹逼准则求极限;(6)利用单调有界数列必有极限准则求极限;(7)利用函数连

4、续性求极限等等.在后面的章节中,我们还会陆续介绍其它一些求极限的方法。函数连续性的概念是本章的又一重点,如何判定函数的连续性和间断点,怎样确定间断点的类型,闭区间上连续函数有哪些性质,都是需要同学们深刻理解,牢固掌握的。第一节函数(作业一)一、单项选择题 1.设函数,它的定义域是【 】. A.; B.; C.; D.2.设那么【 】. A.0; B.-2; C.; D.3.开区间是【 】. A.3的邻区; B.以2为中心,1为半径的邻区; C.1的邻区; D.以2为中心,1.5为半径的邻区.4.函数的反函数是【 】. A.; B.; C.; D.5.函数是【 】. A.奇函数; B.偶函数;

5、C.非奇非偶函数; D.奇、偶性取决于的取值情况.6.设是奇函数,是偶函数,则是【 】. A.即不是奇函数,又不是偶函数; B.偶函数; C.有可能是奇函数,也可能是偶函数; D.奇函数.7.满足不等式(为常数,)的所有的区间表示为【 】. A.; B.; C.; D.8.若,则有【 】. A.; B.; C.; D.9.设那么【 】. A.; B.; C.; D.10.使等式成立的所有构成的区间为【 】. A.; B.; C.; D.二、填空题11. .12. .13. .14. .15. .16. .17. .三、计算题18.求下列函数定义域(1) ; (2) ;(3) ; (4) 19.

6、作下列函数的图形(1) ; (2) .第一节函数(作业二)一、单项选择题 1.当函数的自变量的增量时,相应的函数的增量【 】. A.一定大于零; B.一定小于零; C.一定不大于零; D.不一定大于零.2.下列函数中满足关系的函数是【 】.A.; B.; C.; D.3.设函数的定义域,则的定义域是【 】.A.; B.; C.; D.4.在同一坐标系下,方程与代表的图形【 】.A.是同一条曲线; B.关于轴对称; C.关于轴对称; D.关于直线对称.5.要使是奇函数,则【 】.A.; B.; C.; D.6.设的定义域是,则的定义域是【 】.A.; B.; C.; D.7.设是奇函数,是奇函数

7、,则是【 】.A.既不是奇函数,又不是偶函数; B.偶函数;C.有可能是奇函数,也可能是偶函数; D.奇函数.8.曲线上对应于的点是【 】.A.; B.; C.; D.9.函数在内【 】.A.是无界的; B.是有界的; C.是常数; D.小于零.10.下列各对函数中,互为反函数的是【 】.A.; B.;C.; D.二、填空题11. .12. .13. .14. .15. .16. .17.设,那么 .18.设函数那么函数的值域是 .19.设函数它的反函数是 .20.开区间中每个点都是它的 点.三、计算题21.设是定义在上以为周期的函数,当时,写出的表达式22.设是定义在上的奇函数,当时,写出的

8、表达式23.下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?(1) ; (2) ;(3) ; (4) .第二节数列的极限(作业一 )一、单项选择题 1.数列的极限为【 】A.; B.; C.不存在; D.2.数列的一般项为【 】A.; B.; C.; D.3.极限【 】A.; B.; C.; D.4.极限【 】A.; B.; C.; D.5.极限【 】A.; B.; C.; D.二、填空题6. .7. .8. .9. .10. .11. .12. .13. .14. .15. .三、计算题16.用数列极限的定义验证数列的极限是217.求下列数列极限(1) ; (2);(3) ; (4).第二节数列的极

9、限(作业二 )一、单项选择题 1.设数列满足:对任意的,则【 】A.; B.; C.; D.2.极限【 】A.; B.; C.; D.3.极限【 】A.; B.; C.; D.4.极限【 】A.; B.; C.; D.5.【 】A.; B.; C.; D.6.因为,那么【 】A. ; B.; C. ; D.二、填空题8. .9. .10. .11. .12. .三、计算题13.求下列函数的极限。(1) ;(2) .14.下列结论是否正确?若正确,请给出证明;若不正确,请举出反例(1)若则(2)若,则;(3)若,则;(4)若则;(5)若则;(6)若对任何实数,则.第三节函数的极限(作业一)一、单

10、项选择题 1.下列各函数的极限存在的是【 】.A.; B.; C.; D.2.极限【 】.A.; B.; C.; D.3.若,则【 】.A.; B.; C.; D.4.设函数,那么【 】.A.; B.; C.; D.5.设函数,则【 】.A.; B.; C.; D.不存在.6.设,又则【 】.A. ; B.; C. ; D.二、填空题7. .8. .9. .10. .11. .12. .13. .14. .三、计算题15.设,作的图形,并求在处的左、右极限16.设,试求在处的左、右极限17. 已知,求的值.第三节函数的极限(作业二)一、单项选择题 1.若,则【 】.A.; B.; C.; D.

11、2.若,则【 】.A.; B.; C.; D.3.极限【 】.A.; B.; C.; D.4.极限【 】.A.; B.; C.; D.5.若函数在点处的极限存在,则【 】.A.必存在且等于极限值 ; B.存在但不等于极限值;C.在处的函数值可以不存在; D.如果存在,则必等于极限值.二、填空题6. .7. .8. .9. .10. .11.求 .12. .13. .14. .15. .16. .17. .18. .19. .三、求解下列各题20.用函数极限定义说明下列极限成立。(1) ;(2) .21.设,求.22.设,证明不存在性.第四节无穷小量与无穷大量一、单项选择题 1.当时,下列变量中

12、为无穷大的是【 】.A.; B.; C.; D.2.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是【 】.A.; B.; C.; D.3.当时,是【 】.A.的同阶无穷小量; B.的等价无穷小量;C.比高阶的无穷小量; D.比低阶的无穷小量.4.若其中为常量,为一当时的无穷小量,则【 】.A.; B.; C.; D.不存在.5.当时,【 】.A.极限不存在; B.是无穷大量; C.是无穷小量; D.是未定式.6.无穷大量减去无穷大量是【 】.A.无穷小量; B.零; C.常量; D.未定式.7.极限【 】.A.; B.; C.; D.8.当时,是【 】.A.比低阶的无穷小量; B.比高阶的无穷小量;

13、C.与的同阶无穷小量; D.与的等价无穷小量.9.【 】.A. B. C. D.二、填空题10. .11. .12. .13. .14. .15. .16. .17. .18. .19. .20. .三、完成下列各题21. 证明:有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量;有限个无穷小量的积仍是无穷小量22.函数当自变量在什么变化过程中是无穷小量?在什么变化过程中是无穷大量?23.当时,下列变量中哪些是等价无穷小量. ,24.当时,下列哪些函数是与同阶的无穷小量?哪些是比更高阶的无穷小量? ,, ,第五节函数的连续性与间断点(作业一)一、单项选择题 1.函数的连续区间是【 】.A.; B.;C.; D

14、.2.为使函数在处连续,应取【 】.A.; B.; C.; D.;3.设处连续,则【 】.A.; B.; C.; D.4.设函数,函数在在连续,则分别为【 】.A.; B.; C.; D.二、填空题5. .6. .7. .8. .9. .三、完成下列各题10.设函数 (1) 函数在定义域内是否连续?(2) 画出函数的图形11.设,问常数为何值时,函数在其定义域内连续?为什么?12.某水果站在水果大量到货时规定, 50kg以下标价0.80元/kg,满50kg的标价0.70元/kg,满150公斤时标价0.60元/kg. 试列出收费金额与购买量的函数关系.问该函数是否为连续函数?13.将100元按6

15、%作连续复利计算,问20年后本利和应是多少?(已知)第五节函数的连续性与间断点(作业二)一、单项选择题 1.设在内连续,则在内必有【 】.A.最小值 B.零值 C.最大值 D.极值2.函数的间断点为【 】.A. B. C. D.3.设函数,那么函数的所有间断点是【 】.A. B.和 C. D.和4.如果在处连续,且,那么【 】.A. B. C. D.二、填空题5. .6. .7. .8. .9. .三、完成下列各题10.求下列函数的间断点,并说明类型(1) ; (2) . (3) ; (4) . 11.证明方程在1与2之间至少存在一个实根.12.已知,求常数,.13.判定是的什么类型间断点.1

16、4.函数在上是否有界?当时,是否为无穷大?为什么?第一章综合练习题1.设求,2 讨论下列函数的奇偶性与周期性.(1) ; (2) ; (3) .3.指出下列函数的单调区间并判定其是否有界(1) ; (2) ;(3) ; (4) .4.求下列函数的反函数 (1) ; (2) 5.设,且,求6.已知,求7.设 求 8.设,求.9证明:如果在连续,且存在,则必有界.10. 填空题(1) .(2) .(3) .(4) .(5) .(6) .(7) .(8) .(9) .(10) .(11) .(12) .(13) .(14) .(15) .(16) .(17) .(18) .(19) .(20) .(

17、21) .(22) .(23) .(24) .(25) .(26) .11.求下列函数的间断点,并说明类型(1) ; (2) .第二章 导数与微分本章要点1.导数和微分的概念。2.导数的几何意义。3.函数的可导性与连续性之间的关系。4.导数的四则运算法则和复合函数的求导法。5.微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。6.高阶导数的概念。7.求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数。本章目标1.理解导数和微分的概念,理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。2.会用导数描述一些物理量。3.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法,掌握基本初等函数。了解微分的四则运算法则和一阶微

18、分形式不变性。4.了解高阶导数的概念。5.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。6.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。本章重点1.导数与和微分的概念。2.导数与和微分计算。本章难点1.复合函数求导法。2.隐函数求导法。3.参数方程确定的函数的求导。第一节导数概念一、单项选择题 1.设,其中为常量,则【 】.A.; B.; C.; D.2.设曲线在点处的切线的斜率为,则点的坐标为【 】.A.; B.; C.; D.3.函数在处的导数为【 】.A.; B.; C.; D.不存在.4.函数的图像在点的切线平行于轴,则为【 】.A.; B.; C.; D.5.设在内连续,且

19、,则在点处【 】.A.的极限存在,且可导; B.的极限存在且等于,但不一定可导;C.的极限不存在; D.的极限不一定存在.6.设,则【 】.A.; B. C. D.7.一物体作直线运动,路程与时间的关系为,则它的速度为【 】.A. B.; C.; D. 8.曲线在时的切线斜率是【 】.A.; B.; C.; D.9.曲线在点处的切线斜率是【 】.A.; B.; C.; D.二、填空题10. .11. .12. .13. .14.设(为常数),则 .15.设(为常数),则 .16.曲线在点处的切线斜率是 .17.设,则 .18.设,则 .19.设,其中函数在处可导,则 .三、讨论下列函数在给定点

20、处的连续性与可导性,若可导,求出.20. ; 21. ;22. ; 23. .第二节导数的计算 (四则运算)一、单项选择题 1.若,则【 】.A.; B.; C.; D.2.设,则【 】.A.; B.; C.; D.3.曲线在点处的切线斜率是【 】.A. ; B.; C.; D.4.若,则【 】.A.; B.; C.; D.二、填空题5.设 , 则 .6.设,则 .7.设 ,则 .8.设,则 .9.设 ,则 .10.设,则 .11.设 ,则 .12.设,则 .13.设 ,则 .14.设,则 .15.设 ,则 .16.设,则 .17.设,则 , .18.设, 则 , .19.设,则 .三、完成下列各题20.求曲线上横坐标为的点处的切线方程和法线方程.21.为何值时,曲线与曲线相切,并求曲线在该切点处的切线和法线方程.22.证明: 双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形面积都等于.第二节导数的计算 (复合函数求导法)一、单项选择题 1.若,则【 】.A.; B.; C.; D.2.若,则【 】.A.; B.; C.; D.3.若,则【 】.A.; B.; C.; D.4.若,则【 】.A.; B.

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