2.1.2-指数函数及其性质.doc

1、2.1.2指数函数及其性质1指数函数的定义一般地，函数yax (a0，且a1)叫做指数函数理解指数函数的定义，需注意的几个问题：(1)因为a0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.(2)规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a0，如果a0，且a1.(3)指数函数解析式的特征：ax的系数是1，a为常量，x为自变量，有些函数貌似指数函数，实际上却不是，例如yax1 (a0，a1)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，例如yax (a0，a1)，因为这可等价化归为yx .2yax (a0，a1)的图象图象0a1性质定义域(，)值域(0，)过定点a0且a1，无论a

2、取何值恒过点(0,1)各区间取值当x0时，0y1当x1当x0时，y1当x0时，0yag(x) (a0，a1)不等式中变量x的取值范围(即比较指数大小)其基本思路是由指数函数的单调性得出不等式f(x)g(x)或f(x)g(x)，然后解不等式得到x的取值范围. 题型一函数的定义域、值域(1)函数y的定义域是_；(2)求函数y的定义域和值域(1)解析由13x0，得3x130，因为函数y3x在实数集上是增函数，所以x0，故函数y的定义域为(，0答案(，0(2)解由x20，得x2，所以此函数的定义域为2，)当x2，)时，0，又00，故此函数的值域为(0,1点评本题中的函数都不是指数函数，但都与指数函数有

3、关根据指数函数的定义域为R，值域为(0，)，结合前一章求函数定义域和值域的方法，可以求解一些简单函数的定义域和值域在求解中要注意正确运用指数函数的单调性在求值域问题时，既要考虑指数函数的单调性，还应注意指数函数的值域为(0，) 题型二指数函数的图象如图是指数函数y=ax，y=bx，y=cx，y=dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()Aab1cdBba1dcC1abcdDab1dc解析由图象可知、的底数必大于1，、的底数必小于1，过点(1,0)作直线x1在第一象限内分别与各曲线相交，可知1dc，ba1，从而知a，b，c，d与1的大小关系为ba1d0，且a1)解(1)yx在上是减函数，又

4、0.10.2，故0.1，即.(3)由0.821而.(4)当a1时，aa，当0aa.点评当两个幂函数底数相同时，要比较这两个数的大小可根据它们的特征构造相应的指数函数，借助函数的单调性来比较大小此题中第(3)小题的两个数不能看成某个指数函数的两个函数值，此时可以借助一些特殊数如0或1来搭桥间接比较两个数的大小，而第(2)小题则可以通过指数运算化为底数相同的两个幂，可构造指数函数来比较大小因此，在利用指数函数的性质比较大小时，要注意以下几点：(1)同底数幂比较大小，可直接根据指数函数的单调性比较；(2)同指数幂比较大小，可利用作商和指数函数的性质判定商大于1还是小于1，从而得出结论；(3)既不同底

5、也不同指数幂比较大小，可找中间媒介(通常是1或0)，或用作差法，作商法来比较大小 题型四综合应用已知函数f(x)x3.(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)求证：f(x)0.(1)解由2x10，得x0，所以函数的定义域为(，0)(0，)(2)解f(x)(x)3x3x3f(x)，又因为函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，所以f(x)为偶函数(3)证明当x(0，)时，2x1，即2x10，又0，x30，所以f(x)x30，由于f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，知当x(，0)时，f(x)0也成立，故对于x(，0)(0，)，都有f(x)0.点评指数函数是一种具体的初等函数，常

6、与第一章学习的函数单调性、奇偶性等知识点融合在一起，此时按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可，本例在第(3)问中，巧妙地应用了偶函数的性质而使问题巧妙地求解求函数y9x23x2的值域错解设3xt，则9xt2，yt22t2(t1)23，ymin3，从而y9x23x2的值域为3，)错因分析若y3，则9x23x1，显然不成立错因在于没有注意t3x0这一隐含条件，在利用换元法时，一定要注意换元后新变量的取值范围正解设3xt (t0)，则yt22t2(t1)23，当t0时，y2，y9x23x2的值域为(2，)1指数函数的图象和性质是高考的重要考点之一，常在与其他知识的交汇处考查2本节内容

7、在高考中几乎每年都涉及，多以选择题或填空题的形式出现1(山东高考)已知集合M1,1，N，则MN等于()A1,1 B1 C0 D1,0解析Nx|1x12，xZx|2x1，且xZ1,0，MN1答案B2(江苏高考)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x1对称，且当x1时，f(x)3x1，则有()AfffBfffCfffDfff解析当x1时，函数递增，且以x1为对称轴所以自变量与1的差值的绝对值越大，函数值越大答案B1函数f(x)2|x|的值域是()A(0,1 B(0,1)C(0，) DR答案A解析|x|0，02 Ba2C0a1 D1a2答案D解析由题意知0a11，解得1ay1y2 By2y

8、1y3Cy1y2y3 Dy1y3y2答案D解析y140.921.8，y280.4821.44，y31.521.5.因为函数y2x在实数集上是增函数，且1.81.51.44，所以y1y3y2.6已知1nm0，则指数函数ymx，ynx的图象为()答案C解析由0mn1可知应为两条递减曲线，故只可能是选项C或D，进而再判断与n和m的对应关系，判断方法很多，不妨选择特殊点，令x1，则对应的函数值分别为m和n，由mn知选C.7函数y的定义域是(，0，则a的取值范围是_答案(0,1)解析由ax10，得ax1.根据指数函数的性质知a(0,1)8解不等式ax50，且a1)解当a1时，原不等式可变为x52；当0a

9、4x1.解得x1时，原不等式的解集为(2，)；当0a0，函数f(x)是定义域为实数集R的偶函数(1)求实数a的值；(2)证明：f(x)在(0，)上是增函数(1)解f(x)是R上的偶函数，f(x)f(x)，即，即3x0，0，又根据题意，可得a0，又a0，所以a1.(2)证明由(1)知f(x)3x，设任意的x1，x2(0，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)3x13x2(3x13x2).因为0x1x2，所以3x10，所以3x1x21，则10，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.2指数函数的图象和性质a10a0时，y1；当x0时，0y

10、1；当x0时，0y1.当x1单调性是R上的增函数是R上的减函数 一、指数函数定义的应用例1函数y(a23a3)ax是指数函数，求a的值分析由题目可获取以下主要信息：函数解析式中ax的系数为a23a3；此函数为指数函数解答本题只需紧扣指数函数的定义解由y(a23a3)ax是指数函数，可得，解得，a2.点评判断一个函数是否为指数函数：(1)切入点：利用指数函数的定义来判断；(2)关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x.变式迁移1指出下列函数哪些是指数函数？(1)y4x；(2)yx4；(3)y4x; (4)y(4)x；(5)yx；(6)y4x2；(7

11、)yxx；(8)y(2a1)x (a且a1)；(9)y4x；(10)y42x.解(1)、(5)、(8)、(9)、(10)为指数函数其中(9)y4xx，(10)y42x(42)x16x符合指数函数的定义而(2)中底数x不是常数，而4不是变数；(3)是1与指数函数4x的乘积；(4)中底数40且y1(2)定义域为R.|x|0，y|x|的值域为y|y1点评求定义域要根据函数自身的要求，找出关于x的不等式，解不等式或不等式组可得定义域求值域要根据定义域，根据函数的单调性，解答本题可利用换元思想化成指数函数变式迁移2求下列函数的定义域和值域：(1)y3；(2)y .解(1)定义域为2，)，0，y31，值域

12、为1，)(2)1x0，x1，即x0，函数y 的定义域为0，)令tx，0t1，01t1，01，所以指数函数y1.7x在(，)上是增函数，2.53，1.72.51.73.(2)1.250.20.80.2，00.81，指数函数y0.8x在(，)上为减函数，0.80.11.701,0.93.10.93.1.(4)利用指数函数的单调性知4.54.14.53.6，又4.53.60,3.73.60，3.6，1,3.61，3.61，从而4.53.63.73.6，4.54.13.73.6.点评两数比较大小问题，一般方法是将其转化为同一函数的两个函数值的大小比较问题对于1.70.3与0.93.1，不能直接看成某一

13、个指数函数的两个值，所以(3)题无法用(1)、(2)两题的方法来进行比较可在这两个数值之间找到中间量1，使这两个数值分别与数值1进行比较，进而比较出1.70.3与0.93.1的大小(4)题直接比较有困难，可找中间变量4.53.6.变式迁移3比较，2，3，的大小解将，2，3，分成如下三类：(1)负数3；(2)大于0小于1的数；(3)大于1的数，2.4，而42，30，a1)在区间1,2上的最大值比最小值大，求a的值分析解答本题可结合函数单调性，对a进行分类讨论求值解(1)若a1，则f(x)在1,2上递增，最大值为a2，最小值为a.a2a，即a或a0(舍去). (2)若0a0，a1)在区间1,2上的

14、最大值与最小值之和为6，求a的值解f(x)ax在1,2上是单调函数，f(x)在1或2时取得最值aa26，解得a2或a3，a0，a2.1指数函数的定义及图象是本节的关键通过图象可以求函数的值域及单调区间2利用指数函数的性质可以比较两个指数幂的大小(1)当两个正数指数幂的底数相同时，直接利用指数函数的单调性比较大小(2)当两个正数指数幂的底数不同而指数相同时，可利用两个指数函数的图象比较它们的大小(3)当两个正数指数幂的底数不同而且指数也不相同时，可考虑能否利用“媒介”数来比较它们的大小3通过本节的学习，进一步体会分类讨论思想在解题中的应用一、选择题1若指数函数f(x)(a1)x是R上的减函数，那

15、么a的取值范围为()Aa2C1a0 D0a0且a1)Cy(|a|2)x Dy(a2)ax答案C解析y(|a|2)xx，|a|22，00.4已知a30.2，b0.23，c(3)0.2，则a，b，c的大小关系为()Aabc BbacCcab Dbca答案B解析c3,1aac.5函数y2x的图象为()答案A二、填空题6指数函数yf(x)的图象经过(，e)，则f()_.答案解析设f(x)ax，则ae，f()a(a)1e1.7函数y的定义域是_答案(，2解析由42x0，得2x4，x2.8若a0.80.7，b0.80.9，c1.20.8，则a，b，c的大小关系是_答案cab解析y0.8x单调递减，1ab，

16、又c1，cab.三、解答题9已知函数f(x)ax23x4，g(x)ax22x2 (a0，a1)，若f(x)g(x)，试确定x的范围解由f(x)g(x)得ax23x4ax22x2.当a1时，x23x4x22x2，x2；当0a1时，x23x4x22x2，x1时，x的范围是(2，)；当0a1时，x的范围是(，2)10求下列函数的定义域和值域. (1)y212xx2；(2)y31；(3)y.解(1)函数定义域为R.令u12xx2(x1)222，所以y2u(0,4，函数y212xx2的值域为(0,4(2)函数的定义域为x|x0令u，则u(，0)(0，)所以y3u1u1(1,0)(0，)所以函数的值域为(1,0)(0，)(3)函数定义域为(，0)(0，)值域为(，1)(0，)