1、第四章 幂函数、指数函数和对数函数4.1实数指数幂和幂函数14.1.1有理数指数幂14.1.2无理数指数幂104.1.3幂函数174.2指数函数284.2.1指数爆炸和指数衰减284.2.2指数函数的图象与性质35第一课时指数函数的图象和性质35第二课时指数函数性质的应用(习题课)434.3对数函数504.3.1对数的概念504.3.2对数的运算法则564.3.3对数函数的图象与性质64第一课时对数函数的图象与性质64第二课时对数函数性质的应用(习题课)724.4函数与方程794.4.1方程的根与函数的零点794.4.2计算函数零点的二分法864.5函数模型及其应用934.5.1几种函数增长快
2、慢的比较934.5.2形形色色的函数模型994.1实数指数幂和幂函数4.1.1有理数指数幂新课程标准解读核心素养理解n次方根、n次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简求值数学抽象、数学运算公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一名成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生问题若x23，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎样表示？知识点一根式1n次方根定义若一个(实)数x的n次方(nN，n2)等于a，即xna，则称x是的n次方根性质n为奇数a的n次方根
3、记作 (1)当a0时，0；(2)当a0时，0；(3)当a0时，x规定 0；负数没有偶次方根2根式(1)定义：式子叫作根式(nN，n2)，其中n叫作根指数，a叫作被开方数；(2)性质：(n1，且nN)()n；注意与()n的区别(1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，当n为奇数时，a；当n为偶数时，|a|(2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a. 正数a的n次方根一定有两个吗？提示：不一定当n为偶数时，正
4、数a的n次方根有两个，且互为相反数；当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1) 3.()(2)81的4次方根是3.()答案：(1)(2)2(多选)若xna(x0)，则下列说法中正确的有()A当n为奇数时，x的n次方根为aB当n为奇数时，a的n次方根为xC当n为偶数时，x的n次方根为aD当n为偶数时，a的n次方根为x答案：BD3若有意义，则x的取值范围是_；若有意义，则x的取值范围是_答案：R知识点二分数指数幂1分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：a(a0，m，nN且n2)负分数指数幂规定：a(a0，m，nN且n2)0的分数指数幂0的正
5、分数指数幂为，0的负分数指数幂没有意义2指数幂的运算性质(1)asatast(a0，s，tQ)；(2)(as)tast(a0，s，tQ)；(3)(ab)tatbt(a0，b0，tQ)1为什么分数指数幂的底数规定a0?提示：当a0)()(2)分数指数幂a可以理解为个a相乘()(3)0的任何指数幂都等于0.()(4)化简式子()2的结果是.()答案：(1)(2)(3)(4)根式的概念例1(1)16的平方根为_，27的5次方根为_；(2)已知x76，则x_解析(1)(4)216，16的平方根为4.27的5次方根为.(2)x76，x.答案(1)4(2)判断关于n次方根的结论应关注两点(1)n的奇偶性决
6、定了n次方根的个数；(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号跟踪训练1(多选)下列说法正确的是()A16的4次方根是2B.的运算结果是2C当n为大于1的奇数时，对任意aR都有意义D当n为大于1的偶数时，只有当a0时才有意义解析：选CD16的4次方根应是2；2，所以正确的应为C、D.2已知m102，则m等于()A.BC. D解析：选Dm102，m是2的10次方根又10是偶数，2的10次方根有两个，且互为相反数m.利用根式的性质化简与求值例2(链接教科书第94页例1)化简与求值：(1) ；(2) (3) ；(4) .解(1) 5.(2) 3.(3)a，12a0，.(4)原式yx|xy|yx.
7、当xy时，原式xyyx0；当x0)，(a0), (a0)解a；a(a0)；aa2；(a0)a； (a0) a.根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数 分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子；(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题 跟踪训练1(多选)下列结论中正确的有()A(2)(2)B(2)(3)(2)(3)C当a0时，(ar)s(as)rD.()解析：选CD对于A选项，(2)0，而(2)无意义，错误；对于B选项，左侧，右侧无意义，错误C、D均正确2用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)：(1)；(2)a3；(3) .
8、解：(1)a.(2)a3a3aaa.(3) bb(a2)ba.有理数指数幂的运算例4(链接教科书第95页例4)计算下列各式：(1)(0.002) 10(2)1()0；(2)(a2b3)(4a1b)(12a4b2c)解(1)原式(1)150010(2)11010201.(2)原式4a21b31(12a4b2c)a3(4)b2(2)c1ac1.指数幂运算的解题通法(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数；(4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，
9、运用指数幂的运算性质来解答；(5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一跟踪训练计算下列各式(式子中字母都是正数)：(1)0.027；(2).解：(1)0.027()20.090.09.(2)原式2(6)(3)ab4ab04a.1若xy0，则使2xy成立的条件可能是()Ax0，y0 Bx0，y0Cx0，y0 Dx0，y0解析：选B2|xy|2xy，xy0.又xy0，xy0，故选B.2(多选)下列运算结果中，一定正确的是()Aa3a4a7 B(a2)3a6C.a D解析：选ADa3a4a34a7，故A正确；当a1时，(12)31，显然不成立，故B不正确；
10、|a|，故C不正确； ，故D正确故选A、D.3若2a3，则 的化简结果是()A52a B2a5C1 D1解析：选C原式|2a|3a|，2a0，y0)：(1)x_；(2)x_；(3)xy_答案：(1)(2)(3)5计算：(0.008 1)10(0.027)_解析：原式33.答案：4.1.2无理数指数幂牛顿(Newton 16431727)是大家所熟悉的物理学家，可是你知道他在数学史上的贡献吗？他在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里说：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，写成a2，a3，a4，所以可将，写成a，a，a，将，写成a1，a2，a3，”，这是牛顿首次使用任意实数指数，这正是这节课我
11、们要学习的指数幂的拓展过程问题你能归纳出指数幂的运算性质吗？知识点一有理指数幂的基本不等式1(1)对任意的有理数r和数a，若a1，则ar1；若a1，则ar1，则ar1；若a1和两有理数rs，有ars1，即aras；(2)对任意的正数as，有ars1，即aras.对于任意的正有理数，若0a1，a与1有怎样的关系提示：因为0a1，则a1，如若不然a1，则a1，与已知矛盾，故a1，又因为正有理数，即m为正整数，所以a0，u是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂在幂au表达式中，a叫作底数，u叫作指数，由此u可取任意实数2实数指数幂的基本不等式(1)对任意的正数u和正
12、数a，若a1，则au1；若a1，则au1；(2)对任意的负数u和正数a，若a1，则au1.3实数指数幂的运算性质实数指数幂运算性质指数、底数取值范围arasarsr，sR，且a0(ar)sarsr，sR，且a0(ab)rarbrrR，且a0，b0如何理解无理数指数幂(1)无理数指数幂通常用近似逼近的方法转化为有理数指数幂，即用无理数指数幂的不足近似值(逢数都舍)和过剩近似值(逢数进位)不断地逼近无理数指数幂的准确值具体方法是：先取无理数指数的两种近似值(不足近似值和过剩近似值)，然后计算无理数指数幂的不足近似值和过剩近似值，这两个值可以无限逼近一个实数a(a0，是无理数)；(2)0的正无理数指
13、数幂为0，0的负无理数指数幂没有意义 计算下列各式：(1)aa(a0)；(2)(2)；(3)428.解：(1)aaaa01.实数指数幂的化简与求值例1(链接教科书第98页例6)化简(式中各字母均为正数)：(1)(xy)；(2)4x3x (y)y；(3) .解(1)原式xyxy.(2)原式12xy12y.(3)法一(从里向外化)：a.法二(从外向里化)：(aa)a.化简幂的一般原则和技巧(1)在进行幂和根式的化简时，一般原则是：先将负指数幂化为正指数幂，将小数化为分数，将根式化为分数指数幂，将底数(较大的整数分解质因数)化成指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行运算，达到化简和求值的目的；(2)化
14、简指数幂的几个常用技巧如下：(ab0)；a，a(a使式子有意义)；“1”的代换，如1a1a，1aa等 跟踪训练化简：(1) (a0，b0)；(2)(a0且a1)解：(1)法一(由内向外化)：ab.法二(由外向内化)：ab.(2)原式aa0.条件求值问题例2已知aa，求下列各式的值：(1)aa1；(2)a2a2.解(1)将aa两边平方，得aa125，即aa13.(2)将aa13两边平方，得a2a229，即a2a27.母题探究(变设问)在本例条件下，a2a2_解析：令ya2a2，两边平方，得y2a4a42(a2a2)2472445，y3，即a2a23.答案：3解决条件求值问题的一般方法对于条件求值
15、问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a0，b0)：(1)a2abb(ab)2；(2)ab(ab)(ab)；(3)ab(ab)(aabb)；(4)ab(ab)(aabb) 跟踪训练已知x，y，求的值解：.因为x，y，所以原式248.幂运算基本不等式的应用例3设a0，b0，且ab，试比较aabb与abba的大小解aabbba.当ab0时，1，ab0，则1，于是aabbabba；当ba0时，01，ab1，于是a
16、abbabba；综上所述，对于不相等的正数a，b，都有aabbabba.作商法，即判断商与1的大小关系，得出结论，要特别注意当商与1的大小关系确定后必须对商式的分子、分母的正负作出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤 跟踪训练已知a0，b0，证明 .证明：11.a0，b0，0，0，.1若a2x1，则等于()A21B22C21 D1解析：选Ca2xa2x11121.2设x，y是正数，且xyyx，y9x，求x的值解：xyyx，y9x，x9x(9x)x，(x9)x(9x)x，x99x.x89.x.4.1.3幂函数新课程标准解读核心素养通过具体实例，结合yx，y，yx2，y，yx3的图象，
17、理解它们的变化规律，了解幂函数，会求幂函数的解析式数学抽象、直观想象、逻辑推理我们以前学过函数yx，yx2，y.问题(1)这三个函数的解析式有什么共同的特点吗？(2)你能根据初中学过的整数指数幂的运算，把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗？知识点一幂函数的概念1定义：当x为自变量而为非零实数时，函数yx叫作(次)幂函数2幂函数分类(1)整数次幂函数当为1，2，3正整数时，此幂函数是正整数次幂函数，一般写成yxn(xR，nZ)；当为1，2，3，负整数时，此幂函数是负整数次幂函数一般写成yxn(nZ且x0)，正整数次幂函数和负整数次幂函数统称为整数次幂函数(2)当为，分数时，此幂函数是分数次幂函
18、数如yx，yx等3幂运算的基本不等式的推广：对任意的正数r和两正数ab，有1，即arbr.对任意的负数r和两正数ab，有1，即ar0时，它在0，)上有定义且递增，值域为0，)，函数图象过(0，0)和(1，1)两点；(2)当”“”或“幂函数的概念例1(1)在函数yx2，y2x2，y(x1)2，y3x中，幂函数的个数为()A0B1C2 D3(2)若f(x)(m24m4)xm是幂函数，则m_解析(1)根据幂函数定义可知，只有yx2是幂函数，所以选B.(2)因为f(x)是幂函数，所以m24m41，即m24m50，解得m5或m1.答案(1)B(2)5或1判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂
19、函数的依据是该函数是否为yx(为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.跟踪训练1(多选)下列函数中是幂函数的是()Ay By4x2Cy2x1 Dyx解析：选AD幂函数是形如yx(为常数)的函数，A是1的情形，D是的情形，所以A和D都是幂函数；B中x2的系数是4，不是幂函数；易知C不是幂函数2已知函数f(x)(a2a1)x为幂函数，则实数a的值为()A1或2 B2或1C1 D1解析：选C因为f(x)(a2a1)x为幂函数，所以a2a11，即a2或1.又a20，所以a1.幂函数图象及其应用例2(链接教科书第103页习题8题)点(
20、，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)g(x)；(2)当x1时，f(x)g(x)；(3)当x(0，1)时，f(x)g(x)解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)；(2)依据图象确定幂指数与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断 跟踪训练1若幂函数yf(x)的图象经过点(2，)，则f(3)()A. BC3 D9解析：选B
21、设幂函数yf(x)x，其图象经过点(2，)，则2，解得.f(x)x，f(3).故选B.2下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是()Ayx2，yx，yx，yx1Byx3，yx2，yx，yx1Cyx2，yx3，yx，yx1Dyx，yx，yx2，yx1解析：选B注意到函数yx20，且该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，该函数图象应与对应；yx的定义域、值域都是0，)，该函数图象应与对应；yx1，其图象应与对应幂函数的性质例3(链接教科书第101页例9)探讨幂函数f(x)x的单调性解f(x)x的定义域为(0，)x1，x2(0，)，且x1x10，所以x1x20，于是f(x2)f(x1)0，即
22、f(x2)f(x1)，所以幂函数f(x)x是减函数母题探究(变条件)本例若增加条件“(a1) (32a) ”，求实数a的取值范围解：因为f(x)x在区间(0，)上是减函数，所以(a1) (32a) 等价于解得a0时，yx是增函数；当f(1a)的实数a的取值范围是_解析：设幂函数为f(x)x，因为其图象过点(2，8)，所以28，解得3，所以f(x)x3.因为f(x)x3在R上为增函数，所以由f(a3)f(1a)，得a31a，解得a2.所以满足不等式f(a3)f(1a)的实数a的取值范围是(2，)答案：(2，)比较幂值的大小例4(链接教科书第101页例8)比较下列各组数的大小：(1)与；(2)与；
23、(3)与.解(1)幂函数yx0.5在(0，)上是单调递增的，又，.(2)幂函数yx1在(，0)上是单调递减的，又.(3)函数y1x为(0，)上的增函数，又1，11.又函数y2x在(0，)上是增函数，且1，11，.比较幂值大小的2种方法跟踪训练比较下列各组值的大小：(1)(0.31)，0.35；(2)1.2，1.4，1.42.解：(1)yx为R上的偶函数，(0.31)0.31.又函数yx在0，)上单调递增，且0.310.35，0.310.35，即(0.31)0.35.(2)yx在0，)上是增函数，且1.21.4，1.21.4.易知1.41.42，1.21.40，b0)的图象与性质解：函数f(x)
24、ax(a0，b0)具有如下基本性质：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在上单调递减，在上单调递增，在(0，)上有最小值2；f(x)在上单调递减，在上单调递增，在(，0)上有最大值2；(3)在第一象限内，函数图象向上与y轴无限接近、向右与直线yax无限接近；在第三象限内，函数图象向下与y轴无限接近，向左与直线yax无限接近该函数的图象如图所示1下列函数中是幂函数的是()Ayx4x2By10xCy Dyx1解析：选C根据幂函数的定义知，y是幂函数，yx4x2，y10x，yx1都不是幂函数2下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，)上单调递减的函数是()Ayx2 Byx1Cyx2 Dyx解析：选A
25、所给选项都是幂函数，其中yx2和yx2是偶函数，yx1和yx不是偶函数，故排除选项B、D，又yx2在区间(0，)上单调递增，不合题意，yx2在区间(0，)上单调递减，符合题意，故选A.3已知2.42.5，则的取值范围是_解析：因为02.42.5，而2.42.5，所以yx在(0，)上为减函数，故0.答案：(，0)4比较下列各组数的大小：(1)，；(2)，.解：(1)由幂函数yx在(0，)上单调递增，得.4.2指数函数4.2.1指数爆炸和指数衰减新课程标准解读核心素养1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义数学抽象2.理解指数函数的概念；会应用指数函数模型解决实际问题数学建模问题(1)某种细胞每过
26、30分钟便由1个分裂成2个，则经过2个小时，这种细胞能由1个分裂成多少个？(2)如果将上述问题改为“经过x次分裂，这种细胞能由1个分裂成y个”，你能用分裂次数x表示个数y吗？知识点一指数函数的概念在幂的表达式au中，如果底数是常数a而取指数为自变量x，则得到的一类函数yax(x)叫作指数函数，其中a0，且a1.对指数函数概念的再理解 为什么指数函数的底数a0，且a1?提示：如果a0，当x0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x0时，ax无意义如果a0，且a1.1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)yx2是指数函数()(2)指数函数yax中，a可以为负数()(3)y2x1是指数函数()答
27、案：(1)(2)(3)2若函数f(x)是指数函数，且f(2)2，则f(x)_解析：设f(x)ax(a0，a1)，f(2)2，a22，a，即f(x)()x.答案：()x知识点二指数增长和指数衰减1指数增长：当底数a1时，指数函数yax的值从au增长到auT的增长率(auTau)auaT1是一个常量时，这个量被描述为指数式增长也称指数增长2指数衰减：如果底数0a，当n8时，y0，且a1)是指数函数，则k_，b_；(3)若函数f(x)是指数函数，且f(2)9，则f(x)_解析(1)中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；中y2x12x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；是指数函数(2)根据
28、指数函数的定义，得解得(3)由题意设f(x)ax(a0且a1)，因为f(2)a29，所以a3，所以f(x)3x.答案(1)(2)12(3)3x1判断一个函数是指数函数的方法(1)看形式：判断其解析式是否符合yax(a0，且a1)这一结构特征；(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数2求指数函数的解析式或函数值(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键；(2)求指数函数的函数值的关键是求指数函数的解析式 跟踪训练1
29、若函数y(2a1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是()A(0，1)(1，)B0，1)(1，)C.(1，) D解析：选C依题意得2a10，且2a11，解得a，且a1，故选C.2已知函数f(x)为指数函数，且f，求f(2)的值解：设f(x)ax(a0且a1)，由f得，a，所以a3，又f(2)a2，所以f(2)32.指数增长模型的应用例2(链接教科书第105页例1)某林区2020年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求yf(x)的表达式，并求此函数的定义域解现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为2002005%200(15%)经过2年后木材蓄积量为：200(15%)200(15%)5%200(15%)2.经过x年后木材蓄积量为200(15%)x.yf(x)200(15%)x.函数的定义域为xN.指数增长模型的特点及求解策略(1)利用数学方法解决实际问题时，应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题；(2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p0，则对于经过时间x后的总量y可以用yN(1p)x来表示，其中1p1
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