第二十六讲 含参数的一元二次方程的整数根问题.doc

1、第二十六讲 含参数的一元二次方程的整数根问题对于一元二次方程ax2bxc=0(a0)的实根情况，可以用判别式=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质本讲结合例题来讲解一些主要的方法例1 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x720有两个不相等的正整数根解法1 首先，m2-10，m1=36(m-3)20，所以m3用求根公式可得由于x1，x2是正整数，所以m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2这时x1=6，x2=4解法2

2、首先，m2-10，m1设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m23，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=2，3，5经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根说明 一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法例2 已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x2a2-13a15

3、=0(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值分析 “至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来解 因为a0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5例3 设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x10有有理根，求m的值解 一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数令=(m-1)2-4mn2，其中n是非负整数，于是m2-6m+1=n2，所以 (m-3)2-n2=8，(m-3n)(m-3-n)8由于m-3nm-3-n，并且(m-3n)+(m-3-n)=2(m

4、-3)是偶数，所以m-3n与m-3-n同奇偶，所以说明 一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决例4 关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值解 当a=0时，原方程变成-6x-2=0，无整数解当a0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式4(a-3)2-4a(a-2)4(9-4a)为完全平方数，从而9-4a是完全平方数令9-4a=n2，则n是正奇数，要使x1为整数，而n为正奇数，只能n=1，从而a=2要使x2为整数，即n-34，n可取1，5，7

5、，从而a=2，-4，-10综上所述，a的值为2，-4，-10说明 本题是前面两种方法的“综合”既要用判别式是平方数，又要用直接求根有时候，往往是几种方法一同使用例5 已知关于x的方程x2(a-6)xa=0的两根都是整数，求a的值解 设两个根为x1x2，由韦达定理得从上面两式中消去a得x1x2+x1+x26，所以 (x11)(x2+1)=7，所以a=x1x2=0或16说明 利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于x1，x2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的例6 求所有有理数r，使得方程rx2+(r+1)x(r-1)=0的所有根是整数分析 首先对r=0和r0进行讨论r=0时，是

6、关于x的一次方程；r0时，是关于x的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效可用韦达定理，先把这个有理数r消去解 当r=0时，原方程为x-1=0，所以x=1当r0时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为x1，x2，且x1x2，则消去r得x1x2-x1-x22，所以(x1-1)(x2-1)=3例7 已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax22(2a-1)x4(a-3)=0至少有一个整数根，求a的值解 将原方程变形为(x2)2a= 2(x6)显然x20，于是由于a是正整数，所以a1，即所以 x2+2x-80，(x4)(x-2)0，所以

7、-4x2(x-2)当x=-4，-3，-1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，说明 从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4，2；当a=3，6，10时，方程只有一个整数根有时候，在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解例8 已知方程x2+bx+c=0与x2+cxb=0各有两个整数根x1，x2(2)求证：b-1cb1；(3)求b，c的所有可能的值解 (1)由x1x20知，x1与x2同号若x10，则x20，(2)由(1)知，x10，x20，所以x1-1，x2-1由韦达定理c-(b-1)=x1x2x1x21=(x11)(x2+1)0，所以 cb-1同理有所以 cb

8、+1，所以 b-1cb+1(3)由(2)可知，b与c的关系有如下三种情况：(i)c=b1由韦达定理知x1x2=-(x1x2)1，所以 (x11)(x21)=2，解得x1x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6(ii)c=b由韦达定理知x1x2=-(x1x2)，所以 (x1+1)(x21)=1，所以x1=x2=-2，从而b=4，c=4(iii)c=b-1由韦达定理知所以综上所述，共有三组解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)练习二十六1填空：(1)方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1，x2，(2)已知k为整数，且关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x18=0有

9、两个不相同的正整数根，则k=_(3)两个质数a，b恰好是关于x的方程x2-21xt=0的两个根，(4)方程x2+pxq=0的两个根都是正整数，并且p+q=1992，则方程较大根与较小根的比等于_(5)已知方程(a2-1)x2-2(5a+1)x24=0有两个不相等的负整数根，则整数a的值是_2设m为整数，且4m40，又方程(x2-2(2m-3)x+4m2-14m+80有两个整数根，求m的值及方程的根3已知关于x的一元二次方程x2+(m-17)x+m-2=0的两个根都是正整数，求整数m的值4求使关于x的方程a2x2ax1-7a2=0的两根都是整数的所有正数a5求所有的整数a，使得关于x的二次方程ax22axa-90至少有一个整数根