数学分析

1、 外文翻译： 数学分析原理第四章连续性第一节函数的连续性 原文来源：“Principles of Mathematical Analysis.”from Walter Rudin 译文正文： 在定义2.1和2.2中引进了函数概念和一些与它有关的术语.虽然我们（在后面各章里）主要感兴趣的是实函数和复函数（即值是实数或复数的函数），但是。

2、.6、已知，则_.7、改变累次积分的顺序，_.8、第二型曲面积分_，其中为球面，取外侧.得分评卷人二、单项选择题（每小题2分，共16分）1、下列平面点集，不是区域的是（ ）（A） （B）（C） （D）2、下列论断，正确的是（ ）（A）函数在点处的两个累次极限都不存在，则该函数在处重极限必定不存在.（B）函数在点处的两个累次极限都存在且相等，则该函数在处重极限必定存在.（C）函数在点处的偏导数都存在，则该函数在处可微.（D）函数在点处可微，则该函数在处必定连续.3、方程在原点附近能确定连续可微的隐函数形式是（ ）(A) (B) (C) (D) 以上选项都不对.4、设，其中，则等于（ ）（A） （B） （C） （D）5、设平面曲线：在上具有一阶连续偏导数，且点与的坐标分。

3、当。
问题基础、灵活、巧妙、新颖既着眼于熟悉的题型和在此基础上的演变，又着眼于情景创新，有利于考查考生真实的数学水平，充分发挥中考数学试题的测评、选拔和导向功能进一步引导教学回到“回归基础、回归教材、回归通性通法，关注后续学习”的正确轨道上来试卷结构：试题为A、B卷，总分150分考试时间120分钟全卷共28个题，A卷20个题，共100分；B卷8个题，共50分A卷10个选择题，每小题3分，共30分；4个填空题，每小题4分，共16分；6个解答题，共54分B卷5个填空题，每小题4分，共20分；3个解答题，共30分考点分析：整个初中知识可以分为三大板块：数与代数，空间与几何，统计与概率。
其中考试所占比重最多的是数与代数，50%左右。
其次是空间与几何约为38%，统计与概率是最少也是最简单的一个板块，约为12%。
具体分值情况参看下表2011年2010年2009年2008年2007年2006年2005年数与代数84777570816675空间与几何51565560。

4、羃芅莆螅羂莈薂蚁羂肇莅薇羁芀薀羆羀莂蒃袂罿蒄蚈螇羈膄蒁蚃羇芆蚇蕿肆荿葿袈肆肈蚅螄肅膀蒈蚀肄莃螃蚆肃蒅薆羅肂 膅荿袁肁芇薄 螇肀荿莇蚃膀聿薃蕿腿膁莅袇膈芄薁袃膇蒆莄蝿膆膆虿蚅膅芈蒂羄膄莀蚇袀膄蒃蒀螆芃膂蚆蚂衿芅葿薈袈莇蚄羆袈膆蒇袂袇艿螂螈袆莁薅蚄袅蒃莈羃袄膃薃衿羃芅莆螅羂莈薂蚁羂肇莅薇羁芀薀羆羀莂蒃袂罿蒄蚈螇羈膄蒁蚃羇芆蚇蕿肆荿葿袈肆肈蚅螄肅膀蒈蚀肄莃螃蚆肃蒅薆羅肂膅荿袁 肁芇薄螇肀荿莇蚃膀聿薃蕿腿膁莅袇膈芄薁袃膇蒆莄蝿膆膆虿蚅膅芈蒂羄膄莀蚇袀膄蒃蒀螆芃膂蚆蚂衿芅葿薈袈莇蚄羆袈膆蒇袂袇艿螂螈袆莁薅蚄袅蒃莈羃袄膃薃衿羃芅莆螅羂莈薂蚁羂肇莅薇羁芀薀羆羀莂蒃袂罿蒄蚈螇羈膄蒁蚃羇芆蚇蕿肆荿葿袈肆肈蚅螄肅膀蒈蚀肄莃螃蚆肃蒅薆羅肂 膅荿袁肁芇薄 螇肀荿莇蚃膀聿薃蕿腿膁莅袇膈芄薁袃膇蒆莄蝿膆膆虿蚅膅芈蒂羄膄莀蚇袀膄蒃蒀螆芃膂蚆蚂衿芅葿薈袈莇蚄羆袈膆蒇袂袇艿螂螈袆莁薅蚄袅蒃莈羃袄膃薃衿羃芅莆螅羂莈薂蚁羂肇莅薇羁芀薀羆羀莂蒃袂罿蒄蚈螇羈膄蒁蚃羇芆蚇蕿肆荿葿袈肆肈蚅螄肅膀蒈蚀肄莃螃蚆肃蒅薆羅肂膅荿袁 肁芇薄螇肀荿莇蚃膀聿薃蕿腿膁莅袇膈芄薁袃膇蒆莄蝿膆膆虿蚅膅芈蒂羄膄莀蚇袀膄蒃蒀螆芃膂蚆蚂衿芅葿薈袈莇蚄羆袈膆。

5、8); z,(1， xy)yx x， yz,ln(x， lny)z,arctan(9); (10); 1,xy y222x(x， y， z)z(11); (12); u,eu,x z1y(13); (14); u,xu,222x， y， z nn u,axy,a,a(15)，为常数 ; (16)为常数。
uax,a,ijijijji,iiii,j,1i,1 ,z,z54432解 (1) ， ,6y,12xy。
,5x,24xy,y,x 32,z2x,z2xy22(2) ，。
,2xln(x， y)， 2222,y,xx， yx， y ,z1,zx,y， ,x,(3) ， 。
2,y,xyy ,z,z,(4) ， ,xcos(xy),sin(2xy)。
,y,cos(xy),sin(2xy),y,x ,z,zxx,e(xcosy,siny)(5) ， 。
,e(cosy， xsiny， siny),y,x 222,zxx,zxx222,sec,sec(6) ，。
2,xyy,yyy, ,z1xyyxyzxxy,1xy,coscos,coscoss。

6、32,3,5M求 Mugrad 以及Mugrad 解： 42 yxxu ， 24 xyyu， 46 zzu 所以， 3Mxu， 5 Myu， 0Mzu 因此， 0,5,3g ra d Mu ， 34053g ra d 222 Mu 2 利用幂级数的性质求级数 1 !1n nn 的和 解： 令 11!1nnxn nxf ，则该级数的收敛域为 x 由于幂级数可以在其收敛区间内逐项微分，因此有 11 11 1 !1!1 n nn nn n xnnxn nxn nxf 所以， 1 1!n nxnnxxf 逐项积分，得 1!1! 1 11 0 10 1 10 xnnnx nxnnx exndttnndttnndtt tf 即 。

7、1后就得到一个正项级数,它们具有相同的敛散性.,有界, 即存在某正数M, 对一切正整数 n 有,单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界,定理).这就证明了定理的结论.,仅靠定义和定理12.5来判断正项级数的收敛性是不,容易的，因此要建立基于级数一般项本身特性的收,敛性判别法则.,定理12.6 (比较原则),级数, 如果存在某正数N, 对一切 n N 都有,则,证 因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛,散性,因此不妨设不等式(1)对一切正整数都成立.,由(1)式可得,对一切正整数 n, 都有,则由(2)式对一切 n 有,(ii)为(i)的逆否命题,自然成立.,例1,解,例2 若级数,在实际使用上,比较原则的极限形式通常更方便.,正项级数,若,则,n N时,恒有,或,(ii) 当l = 0时,由(4)式右半部分及比较原则可得,若,则对于正数1, 存在相应的正数N,当,n N 时, 都有,也发散.,例4 正项级数,散.,行比较. 由于,注意到,二、比式判别法和根式判别法,本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象,而得到的, 但在使用时只要根据级数一般项本身的,特征就能作出判。

8、积, 这时函数 F 的傅里叶级数展开式是:,就可以将 f 变换成以 为周期的关于变量 t 的函数,其中,(2),(2)式分别得,与,这里(4)式是以2l 为周期的函数 f 的傅里叶系数, (3),式是 f 的傅里叶级数.,知道,例1 将函数,展开成傅里叶级数.,里叶级数.根据 (4) 式,有,代入(5)式, 得,二、偶函数与奇函数的傅里叶级数,是奇函数. 因此, f 的傅里叶系数(4)是,设 f 是以 2l 为周期的偶函数, 或是定义在 上,于是 f 的傅里叶级数只含有余弦函数的项, 即,其中如 (6) 式所示 (7) 式右边的级数称为余弦级数.,同理, 若 f 是以 2l 为周期的奇函数, 或是定义在,上的奇函数, 类似可推得,所以当 f 是奇函数时, 它的傅里叶级数只含有正弦,函数的项, 即,数.,其中,当且 f 为奇函数时, 则它展成的正弦级数为,其中,数展开成余弦级数或正弦级数? 方法如下: 首先将,上(如图15-8(a)或(b). 然后求延拓后函数的,傅里叶级数, 即得(10)或(12)形式.,也可以不作延拓直接使用公式(11)或(12), 计算出它,的傅里叶系数, 。

9、果数列(2)发散, 则称函数,点都收敛时, 就称(1)在数集 D 上收敛. 这时 D 上每,根据这个对应法则所确定的 D 上的函数, 称为函数,列(1)的极限函数. 若将此极限函数记作f, 则有,或,的收敛域.,证,式所表示的函数.,又,显然是发散的. 所以,的函数列的收敛域是,这就证明了 在( , 1 上收敛, 且极限就是(3),例2,所以函数列,注 对于函数列, 仅停留在讨论在哪些点上收敛是远,远不够的，重要的是要研究极限函数与函数列所具,有的解析性质的关系. 例如, 能否由函数列每项的,连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导,性; 或极限函数的导数或积分, 是否分别是函数列,每项导数或积分的极限. 对这些更深刻问题的讨论,必须对它在 D上的收敛性提出更高的要求才行.,时，,由定义看到, 一致收敛就是对 D 上任何一点, 函数列,趋于极限函数的速度是 “一致” 的. 这种一致性体现,每一点都收敛. 反之, 在 D 上每一点都收敛的函数列,它在 D 上不一定一致收敛.,为: 与 相对应的 N 仅与 有关, 而与 x 在 D 上的,取值无关, 因而把这。

10、序, 即(1)式成立.,上一致收敛, 且,存在, 则有,定理13.9可以逆过来用: 若各项为连续函数的函数,列在区间 I 上其极限函数不连续, 则此函数列在区,间 I 上一定不一致收敛.,其极限函数,敛, 且每一项都连续, 则,上都可积. 于是(3)变为,存在,再根据定积分的性质, 当 时有,这就证明了等式,这个定理指出: 在一致收敛的条件下, 极限运算与,积分运算的顺序可以交换.,(其图象如图136所示).,连续函数列, 且对任意,例1 设函数,收敛于 0 的充要条件是 .,限运算与积分运算交换的充分条件, 不是必要条件.,函数的导数存在且等于g.,由 g 的连续性及微积分学基本定理得,这就证明了等式(4).,由定理条件, 对任一 总有,与前面两个定理一样, 一致收敛是极限运算与求导,运算交换的充分条件, 而不是必要条件, 请看下例.,例2 函数列,与,在上述三个定理中, 我们都可举出函数列不一致收,敛但定理结论成立的例子. 在今后的进一步学习中,(如实变函数论)将讨论使上述定理成立的较弱条件,但在目前情况下, 只有满足一致收。

11、部分和数列Sn,它的奇数项,和偶数项分别为,由条件(i), 上述两式中各个括号内的数都是非负的,从而 S2m, S2m-1 是一个区间套.由区间套定理,存,推论 若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件, 则收敛,级数(1)的余项估计式为,对于下列交错级数, 应用莱布尼茨判别法, 容易检验,它们都是收敛的:,在惟一的实数 S, 使得,收敛, 则称原级数(5)为绝对收敛级数.,各项绝对值组成的级数,定理12.12 绝对收敛的级数是收敛的.,证 由于级数(6)收敛,根据级数的柯西收敛准则,对,二、绝对收敛级数及其性质,若级数,由于,因此由柯西准则知级数(5)也收敛.,对于级数(5)是否绝对收敛,可引用正项级数的各种,判别法对级数(6)进行考察.,整数 r, 有,的各项绝对值所组成的级数是,例1 级数,例如级数(2)是条件收敛,而级数(3)、(4)则是绝对收,敛.,全体收敛的级数可分为绝对收敛级数与条件收敛级,数两大类.,下面讨论绝对收敛级数的两个重要性质.,1.级数的重排,我们把正整数列1,2,n, 到它自身的一一映射,若级数(5)收敛,但级数(6)不收敛,则称级数(5。

12、 则,这个推论称为黎曼勒贝格定理.,推论2 若 f 为可积函数,则,证 由于,所以,其中,左边的极限为零.,同样可以证明,显见 与 和 f 一样在 上可积.由推论1,(7),当 t = 0 时, 被积函数中的不定式由极限,来确定.,证 在傅里叶级数部分和,中, 用傅里叶系数公式代入, 可得,分, 再由第十二章3 的 (21) 式, 即,由上面这个积分看到,被积函数是周期为 的函数,这就得到,(8)式也称为 f 的傅里叶级数部分和的积分表达式.,现在证明定理15.3(收敛定理).重新叙述如下:,于 f 在点 x 的左、右极限的算术平均值,即,证 只要证明在每一点 x 处下述极限成立:,即,或证明同时有,与,先证明 (10) 式. 对 (9) 式积分后得到,又得到,从而(10)式可改写为,令,由1, (13) 式得到,所以 在 上可积. 根据预备定理1和推论2,这就证得 (12)式成立, 从而(10)式成立.,用同样方法可证 (11) 也成立.,。

13、形如(2)的任,还在哪些点收敛? 我们有下面重要的定理.,定理14.1 (阿贝耳定理) 若幂级数(2)在,且有界, 即存在某正数 M, 使得,则有,证,注 由定理14.1知道: 幂级数(2)的收敛域是以原点,为中心的区间！这是非常好的性质.若以2R表示区,间的长度, 则称R为幂级数的收敛半径. 事实上, 收,敛半径就是使得幂级数(2)收敛的所有点的绝对值的,上确界. 所以有,(ii),为幂级数(2)的收敛区间. 怎样求得幂级数(2)的收敛,半径和收敛区间呢?,定理14.2 对于幂级数(2), 若,则当,证,径,(iii),注 由定理14.2可知, 一个幂级数的收敛域等于它的,收敛区间再加该区间端点中使幂级数收敛的点.,在第十二章2第二段曾经指出: 若,幂级数(2)的收敛半径. 究竟用比式法还是根式法,可以参考第十二章的相关说明.,例1,所,的收敛域为,例2 设有级数,由于,*定理14. 3(柯西-阿达玛(Cauchy-Hadamard)定理),对于幂级数(2), 设,则有,注 由于上极限(5)总是存在, 因而任一幂级数总能,由(5)式得到它的收敛半径.,*例3 设有级数,。

14、来的重要结论.,可以由函数 f 得到一个幂级数,所要着重讨论的问题. 请先看一个例子.,例1 由于函数,二段末尾), 即,上例说明, 具有任意阶导数的函数, 其泰勒级数并不,都能收敛于该函数本身, 哪怕在很小的一个邻域内.,那么怎样的函数, 其泰勒级数才能收敛于它本身呢?,本定理的证明可以直接从第六章3泰勒定理推出.,勒级数, 并称等式,开式.,由级数的逐项求导性质可得:,即幂级数展开式是惟一的.,这时(3)式就变成,称为麦克劳林级数.,从定理14.11知道, 余项对确定函数能否展开为幂级,积分型余项、拉格朗日型余项和柯西型余项, 以便,于后面的讨论. 它们分别是,二、初等函数的幂级数展开式,例2 求k次多项式函数,的幂级数展开式.,解 由于,即多项式函数的幂级数展开式就是它本身.,例3 求函数 f (x) = ex 的幂级数展开式.,解,显见,对任何实数 x, 都有,例4,林级数:,例5,用柯西型余项. 此时有,处的泰勒展开式:,其收敛域为,到 f 的展开式, 这已在前面例2中讨论过.,考察它的柯西型余项,由比式判别法,于,1,所以在,论如下:,对于收敛区间端点的情形,。

15、x U a ,有 0( ) ( )g x U b (3) lim ( )ubf u A 用 定义证明 , lim ( )xaf g x A . 三 . (10 分 )证明数列 nx : c o s 1 c o s 2 c o s1 2 2 3 ( 1 )n nx nn 收敛 . 四 . (12 分 )证明函数 1()fxx 在 ,1a (0 1)a 一致连续 ,在 (0,1 不一致连续 . 五 . (12 分 )叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界 . 六 . (10 分 )证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点 . 七 . (12 分 )确定 ,ab使 2lim ( 1 ) 0x x x a x b . 八 . (14 分 )求函数 32( ) 2 9 1 2f x x x x 在 15 , 42 的最大值与最小值 . 九 . (14 分 )设函数 ()fx在 , ab 二阶可导 , ( ) ( ) 0f a f b.证明存在 ( , )ab 。

16、主要感兴趣的是实函数和复函数（即值是实数或复数的函数），但是我们也要讨论向量值函数（ 即在 Rk中取值的函数 ） 和在任意度量空间中取值的函数 .我们在这个更一般的基础上将要讨论的定理，并不会因为我们限制在 （例如）实函数而显得更容易些，放弃不必要的假定和用适当普遍的措辞来叙述和证明定理，反而会使得情景确实简洁了 . 我们的函数的定义域也是度量空间，遇有不同的要求，便加以适当的说明 . 函数的极限 4.1 定义 令 和 是度量空间，假设 XE ， 将映入内且是的极限点凡是我们写当 px 时 qxf )( ，或 qxfpx )(lim（） 的时候，就是存在一个点 Yq 具有以下的性质：对于每个，存在着，使得 ),( qxfdY （） 对于满足 ),(0 pxd X （） 的一切点 Ex 成 立 记号 YX dd 和 分别表示和中的距离 如果和（或）换成实直线，复平面或某一欧式空间 kR ，那么距离 YX dd 和 自然该换成绝对值或相应的范数（见第段） 应当注意 。

17、某定数为极限等相应陈述；理解并能证明收敛数列、极限唯一性、单调性、保号性及不等式性质；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调有界定理，会用这些定理求某些收敛数列的极限；初步理解柯西准则在极限理论中的重要意义，并逐步学会应用柯西准则判定某些数列的敛散性； 教学重点、难点 ：本章重点是数列极限的概念；难点则是数列极限的 定义及其应用 . 教学时数 ： 14 学时 1 数列极限的定义 教学目的 ：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。
教学重点 、 难点 ：数列极限的概念 ， 数列极限的 N 定义及其应用。
教学时数 ： 4学时 一、 引入新课： 以齐诺悖论和有关数列引入 学海无涯苦作舟！ 二、 讲授新课： （一） 数列 ： 1.数列定义 整标函数 .数列给出方 法 : 通项 ,递推公式 .数列的几何意义 . 2.特殊数列 : 常数列 ,有界数列 ,单调数列和往后单调数列 . （二） 数列极限 : 以 为例 . 定义 ( 的 “ ”定义 ) 定义 (。

18、出现而贯穿全部内容，因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环本文就关于求极限的重要方法作一个比较全面的概括，力图在方法的正确灵活运用方面，对读者有所助益关键词洛必达法则；中值定理；定积分；泰勒公式引言在数学分析中极限的求法不拘一格,各种各样归纳法,演绎法,比较法等多种方法都可以用于极限的求解过程中在数学分析中求极限的方法虽然比较繁多但是却不集中,本文根据所学知识探讨了数学分析中极限求解的几种思路和方法,结合具体的例子分析了一般极限的求解过程,给出了一般极限求解的方法和技巧,揭示了极限求解的解题思路这些方法虽不能适用于所有极限的求解但仍然具有一定代表性文献49为本文提供了大量的理论依据文献12主要讨论了极限的求解方法文献3主要讨论运用泰勒公式求极限文献567从例题的角度分析总结求极限的方法文献10就如何正确运用洛必达法则进行了分析本文在综合了大量文献和资料的基础上,以数学分析中的理论为基础,对一些比较重要的方法进行系统的归纳和总结求极限的方法灵活多样,本文只对一些常见的极限的求解进行了概括和归纳并大致总结了以下几种重要方法利用迫敛性求极限,利用变量变换法求极限,利用四。

19、YY；,L可视为COS,SIN,XLY，此时2222XY；,XXTLYYTTZZT，也有相应的公式。
相关习题P213EXIP222EX1第二型曲线积分（与方向有关）一计算公式（1）利用对称性。
（2）利用公式。
（适用被积函数比较简单，曲线方程比较容易写出。
）设,ABXXTLLYYT,T光滑，,AXYBXY，,FXY在L上连续，则,LPXYDXQXYDYPXTYTXTQXTYTYTDT，注意下限对应起点，上限对应终点。
WORD文档可自由复制编辑,LYYXXAB可视为,XABLYYX；,LXXYYCD可视为,XXYLYCD；,L可视为COS,SIN,XLY；,ABXXTLLYYTZZT,T，,AXYZBXYZ，也有相应的公式。
（3）利用格林公式（平面曲线）。

20、续性；收敛点；有限开覆盖济南大学毕业论文IIABSTRACTINTHISPAPER,SEVENFUNDAMENTALTHEOREMSANDRELATEDCONTENTSETONTHEREALNUMBERAREDESCRIBEDTOTHECONTINUITYOFTHEREALNUMBERSYSTEMFORTHEJUSTICE,ORDERTHATFIRST,IUSEASINGLETHEOREMPROVETHEOTHERSTHERELATIONSHIPBETWEENINTERVALSETSOFTHEOREMS,FINITEOPENCOVERINGTHEOREMANDOTHERTHEOREMSAREFOCUSEDONINTHISPAPERAFTERTHECYCLEPROOFWHICHISDIFFERENTFROMTHENORMALONE,IDRAWTHECONCLUSIONOFTHEIREQUIVALENCETOEACHOTHERFINALLY,IINTRODUCETHEIMPORTANTAPPLICATIONINTHEFIELDSOFCONTINUOUSFUNCTIONOFITSNATURE。

21、牛顿曾经说过“反证法是数学家最精当的武器之一”。
具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。
它不仅是解决问题的有力手段，而且推动了数学的发展，开辟了数学领域的新天地数学是在归纳、发现、推广中发展的。
反证法在数学的发展中功不可没。
反证法不但在数学的发展和证明中有同等重要的作用，而且，在学习、领会和深入钻研数学的时候，也离不开反证法因为条件的强弱，使用范围的宽窄，都需要用反证法作对比，才能加深理解，如果命题有错误，证明有漏洞，也只有靠反证法去证实，并从反证法中得到修补的启示。
反证法是一种重要的反证手段，往往会成为数学殿堂的基石。
学会构造反证法是一种重要的数学技能。
反证法的重要性要想充分的发挥出来，关键还在于具体的作出所需的反证法。
至于反证法的作法，也如证明一样，因题而异，方式多变。
1反证法的基本思想反证法是一种间接的证明方法，它的基本思想是“否定推理矛盾肯定”，这种证明方法之所以令学生难以理解，是因为在证明过程中，每一步的结论到下一步完全符合逻辑，但每一步的结论却其实不能发生，从逻辑的观点来看，反证法实际上是通过证明与命题B。

22、出申请，提交题目变动论证报告。
课题来源由系论文指导委员会提供课题研究的目的和意义目的数学分析在数学研究中占有绝对的基础地位。
在学习数学分析的过程中，我发现一些抽象的概念和严谨的形式化理论让人很难理解。
文章浅谈了反例在数学分析中的应用。
主要目的就是通过介绍数学分析中数列、函数、积分等的反例加深对问题的理解，并帮助初学者更深入理解有关数学对象的性质，另外扩充了用一些常见题型构造反例解决问题。
这不仅能让初学者增加知识、拓宽思路也能提高分析问题和解决问题的能力，并且通过构造反例培养发散性思维和创造性思维。
意义通过对本文的学习能让初学者加深对知识的理解和掌握，并且反例在数学分析中的应用有能够加深对正确结论的全面理解。
为学者更好掌握各种理论知识和强化概念提供一个的强有力的工具。
国内外同类课题研究现状及发展趋势纵观数学的发展史，新思想往往都是与事实相悖的结果。
而反例的应用正是这一思想的一步步进化。
通过研究国内外数学分析中反例的文献发现大部分都是研究，某命题的条件有悖于该命题的具体事例；某命题的结论有悖于该命题条件的具体事例；判定某一命题为虚假的特殊的具体事例。
对于数学分析中的一些概念、定理、公式、和。

23、小题，每小题3分，满分15分）1、设数列NX与数列NY满足0LIMNNNYX，则下列断言正确的是（）。
（A）若NX发散，则NY必发散。
（B）若NX无界，则NY必无界。
（C）若NX有界，则NY必为无穷小。
（D）若NX1为无穷小，则NY必为无穷小。
2、设函数XXXF，则0F为（）。
（A）（B）不存在。
（C）（D）3、若,XXFXF在0，内0,0XFXF，则XF在,0内有（）。
（A）0,0XFXF。
（B）0,0XFXF。
本试卷共5页，6个大题。
2（C）0,0XFXF。
（D）0,0XFXF。
4、设XF是连续函数，且DTTFXFXEX，则XF等于（）。
（A）XFEFEXX。
（B）XFEFEXX。
（C）XFEFEXX。
（D）XFEFEXX。
5、设函数XXAXF3SIN31SIN在3X处取得极值，则（）。
（A）3,1FA是极小值。
（B）3,1FA是极大值。
（C）3,2FA是极小值。
（D）3,2FA是极大值。
三、计算题（本题共7个小。

24、小题，每小题3分，满分15分）1、设数列NX与数列NY满足0LIMNNNYX，则下列断言正确的是（）。
（A）若NX发散，则NY必发散。
（B）若NX无界，则NY必无界。
（C）若NX有界，则NY必为无穷小。
（D）若NX1为无穷小，则NY必为无穷小。
2、设函数XXXF，则0F为（）。
（A）（B）不存在。
（C）（D）3、若,XXFXF在0，内0,0XFXF，则XF在,0内有（）。
（A）0,0XFXF。
（B）0,0XFXF。
本试卷共5页，6个大题。
2（C）0,0XFXF。
（D）0,0XFXF。
4、设XF是连续函数，且DTTFXFXEX，则XF等于（）。
（A）XFEFEXX。
（B）XFEFEXX。
（C）XFEFEXX。
（D）XFEFEXX。
5、设函数XXAXF3SIN31SIN在3X处取得极值，则（）。
（A）3,1FA是极小值。
（B）3,1FA是极大值。
（C）3,2FA是极小值。
（D）3,2FA是极大值。
三、计算题（本题共7个小。

25、研究方向之一。
”概率论方法不仅能解决一些随机的数学问题，而且还可以解决一些确定的数学问题2，而且某些在数学分析中很难解决的问题，只要运用合适的概率论模型或是定理，就能得到很好的解决。
然而现如今多数有关概率论与数学分析联系的文献不是很全面，本文归纳概括了概率论在数学分析中的应用，选择了比较典型的五类概率论方法解决极限问题、概率论方法解决无穷级数问题、概率论方法解决积分问题、概率论方法解决恒等式问题及概率论方法解决不等式问题，而且在每一类的问题讨论中引入很多概率论中的定理和公式，清晰地阐述概率论在数学分析知识间的运用。
PROBABILITYTHEORYASABRANCHOFMATHEMATICSHASCLOSECONNECTIONWITHOTHERSUBJECTSANDTHEIRBRANCHES,ITHASWIDEAPPLICABILITYFAMOUSMATHEMATICIANANDACADEMICIANWONGCHIKUN,INHISLITERATURE1POINTEDOUT“ITISONEOFTHEMOSTIMPORTANTRESEARCHDIRECTIONSTOUSEPROBABIL。