数学外文翻译---数学分析原理第四章连续性第一节函数的连续性.doc

1、 外文翻译： 数学分析原理第四章连续性第一节函数的连续性原文来源：“Principles of Mathematical Analysis.”from Walter Rudin译文正文： 在定义2.1和2.2中引进了函数概念和一些与它有关的术语.虽然我们（在后面各章里）主要感兴趣的是实函数和复函数（即值是实数或复数的函数），但是我们也要讨论向量值函数（即在Rk中取值的函数）和在任意度量空间中取值的函数.我们在这个更一般的基础上将要讨论的定理，并不会因为我们限制在（例如）实函数而显得更容易些，放弃不必要的假定和用适当普遍的措辞来叙述和证明定理，反而会使得情景确实简洁了. 我们的函数的定义域也是度

2、量空间，遇有不同的要求，便加以适当的说明.函数的极限4.1定义 令和是度量空间，假设，将映入内且是的极限点凡是我们写当时，或（）的时候，就是存在一个点具有以下的性质：对于每个，存在着，使得（）对于满足（）的一切点成立记号分别表示和中的距离如果和（或）换成实直线，复平面或某一欧式空间，那么距离自然该换成绝对值或相应的范数（见第段）应当注意，但是上面的定义中，并不一定要求是的点此外，即使，也完全可能我们还可以将这个定义用序列的极限改述为：4.2 定理 令，和是定义4.1说的那些，那么（）当且仅当（）对于中合于，（）的每个序列成立证假定（）成立，取中满足（）的给定了，那么就有，使得当且时，同样又有使

3、得当时，这样，对于，我们有这就证明了（）成立反过来，假定（）不成立这时便有某一个，使得对于每个，都有点（依赖于），对于这来说，但取我们就在中找到一个满足（），但使（）式不成立的序列推论如果在有极限，那么这极限是惟一的这可以由定理3.2（）及定理4.2推出来4.3定义设有定义在上的两个复函数和，我们用表示一个函数，它给的每个点配置的数是我们用类似的方法定义两个函数的差，积及商，约定商只定义在的那些使如果给的每个点配置同一个数，那么就叫做一个常数函数，或简单地叫做一个常数，并记作设和都是实函数，如果对于每个来说，那么有时为了简便，就记作类似地，如果和把映入内，便用来定义及；再若是是实数，便定义4.

4、4 定理 如果，是度量空间，是的极限点，与是上的复函数，而且那么（）（）（）证依照定义.，这些论断可以从序列的类似性质（定理.）直接退出来评注如果与将映入内，那么（）仍然成立，而（）就要变为（）（参看定理.）连续函数.定义设与是度量空间，并且将映入内，如果对于每一个总存在对于一切满足的点来说，就说在连续如果在的每一点都连续，就说在上连续应该注意，要使在点连续，必须在点有定义（这一点请与定义.后面的说明对比一下）如果是的一个孤立点，那么由我们的定义推知，每一个以为定义域的函数都在点连续因为，不管取的哪个总可以选一个使得满足的点只有；于是.定理在定义.里所假定的情况下，再假定是的极限点那么，在点连

5、续当且仅当证只要将定义.和.对比一下就清楚了现在我们转到函数的复合下面定理的一种简述是：连续函数的连续函数是连续的.定理设,是度量空间，将映入内，将的值域映入内，而是由定义的到的映射如果，并且在点连续，那么在点连续这个函数叫做和的复合函数或者和合成记号在本书中经常用证设已经给定因为在连续，便有使得当和有又因为在点连续，那么存在着，使得当和有由此知道：当和有所以在点连续.定理将度量空间映入度量空间内的映射在上连续，当且仅当对于的每一个开集来说，是中的开集（逆像的定义已见于定义.）这是连续性的一个极有用的一个特征证设在上连续而是中开集我们必须证明，的每个点都是的内点设，且由于是开集，必定存在着,使

6、得当有，而由于在点连续，就又存在，使当有.所以，只要就保证了.反之，设对于中的每个开集来说，是中的开集固定了与，令满足的一切所成的集，那么是开集，因而是开集，因而存在着使得当有然而一旦，便将要，所以这就完成了定理的证明推论将度量空间映入度量空间内的映射是连续的，当且仅当对于中的每个闭集， 是闭集这由本定理即可推知因为一个集是闭集，当且仅当它的余集是开集然而对每个，现在我们转到复值和向量值函数，以及定义在的子集上的函数定理设与是度量空间上的复连续函数，那么，与在上连续在最后的情形中，当然必须假定对于一切证在的孤立点无需证明在极限点，论断是定理与定理的直接结果定理（）设是度量空间上的实函数，并且是

7、由（）定义而将映入内的映射那么，连续当且仅当都连续（）如果与是将映入内的连续映射，那么与都在上连续函数叫做的分量注意，是把映入内的映射，而则是上的实函数证部分（）能由不等式 推出来的，其中部分（）是（）与定理的直接结果例如果是点的坐标由（）定义的函数必然在上连续，这因为不等式表示，我们可以在定义中取这些函数有时称为坐标函数重复应用定理可以证明每个单项式（）在上连续，其中是非负的整数因为常数显然是连续的，所以（）式用常数乘后还连续由此推知，每个由（）给出的多项式在上连续这里系数是复数，是非负的整数，并且（）中的和只有有限多项更进一步，的每个有理函数，即形式如（）的两个多项式的商，只要它的分母不为零，便在上连续从三角形不等式容易看出（11）所以，映射是上的连续函数. 现在，如果f是一个由度量空间X映入内的连续映射，并且在X上由定义，那么，用定理4.7可以推知，是X上的连续实函数.4.12 评注 我们定义了一个度量空间X的某个子集E上定义的函数的连续概念.然而，E在X中的余集在这个定义中不起任何作用（注意，这情况同函数的极限有些不同）因此，去掉 的定义域的余集我们毫不介意.这就是说，我们可以只谈度量空间映入另一度量空间内的连续映射，而不谈子集的映射.这样可以简化某些定理的叙述和证明.我们已经在定理4.8到4.10中应用了这个原理，并且在下边关于紧性的一节中还要这样做. . .此处忽略！