自适应风电叶片振动设计.doc

1、目录1 绪论21.1 选题背景及意义21.2自适应叶片振动主动控制的主要技术及国内外研究现状31.2.1振动主动控制技术31.2.2飞机发动机的自适应叶片振动控制研究41.3智能、压电技术的研究51.3.1智能材料与结构概念和振动主动控制技术相结合51.3.2自适应智能结构振动主动控制技术51.3.3压电技术应用现状61.3.4 压电陶瓷71.4本文的研究内容72压电陶瓷的力学和电学性能分析72.1压电陶瓷的介电性质72.2压电陶瓷的弹性关系92.3压电陶瓷的压电效应表达式102.3.1正压电效应102.3.2 逆压电效应132.3.3 压电方程143压电智能悬臂梁的主动振动控制143.1 压

2、电智能悬臂梁状态空间的动力学建模143.1.1压电智能悬臂梁的振动模态分析及压电作动器分析153.1.2 压电传感器分析183.1.3 压电智能悬臂梁状态空间的动力学模型193.2 压电智能悬臂梁振动控制器的设计223.2.1线性二次型最优控制器233.2.2 加权矩阵的选择243.2.3压电智能悬臂梁主动振动控制仿真253.3压电驱动器位置的最优配置284总结与展望294.1主要工作总结294.2今后研究方向和研究内容展望30参考文献30ABSTRACT31自适应风电叶片振动控制设计摘 要：本文主要是对基于压电智能机构的自适应风电叶片振动主动控制技术进行了理论的分析和研究。首先分析了压电陶瓷

3、的力学和电学性能，阐述了正、逆压电效应，推导出了压电方程。其次，把风电叶片简化成柔性悬臂梁，建立了压电智能悬臂梁状态空间的动力学模型，针对此系统利用最优控制理论进行主动振动控制，设计了在系统低阶模态空间的振动控制器，并通过计算机仿真说明了此主动振动控制方法的有效性。关键字：自适应叶片 压电智能结构 悬臂梁 最优控制理论 主动振动控制1 绪论1.1 选题背景及意义（1）世界风力发电的现状和前景16-21风能是世界上能源利用中增长速度最快的清洁能源，是未来基于可持续发展和零污染电能的一线希望。在过去的几年中，新建风能设备己经超过了新建核能设备。日前，中、大型风力发电机组己在世界上40多个国家陆地和

4、近海井网运行，风电增长率比其它电源增长率高的趋势仍然继续。1990年到2002年7年中，风电平均增长率为31%，风电电量己经占到世界总电量的0.4%。 2002年欧洲风能协会与绿色和平组织发表了一份标题为“风力12（Wind Force 12)”的报告。风能12%是一个世界性的行动方案，即使全球电能消耗在20年内翻一番，风能仍能提供全世界电能总量的12%。现在，全世界有45个以上的国家正积极促进风能事业的发展。到2002年底，世界累计装机容量为32037MW，其中2002年新安装的容量为7231MW。2007年世界风力发电机的装机容量将达到83319MW。据新能源研究咨询机构BTM统计，全球装

5、机容量从2001年到2009年复合年增长率为26.2，截止至 2009年12月31日累计装机容量为160,084兆瓦。2009年新增装机容量38,103兆瓦，相比2008年全球范围装机容量增长31，这一增长率创下了历年之最。显示，截至2009年底全球风电累计装机容量达160,084MW。中国的累计装机容量仅次于美国排名第二，占全球总量的16%。据BTM预计，到 2014年底，中国的累计装机容量将达到104,853MW，占全球总量的23%；2011年底中国将在装机容量上超越美国。同时，BTM认为在2009 年排名前五的国家中，中国会是从2009年到2014年这个时期内CAGR（复合年增长率）最高

6、的国家。 20092014年五大风电应用国家装机容量即复合增长率国家20092010201120122013201420092014年复合增长率MW中国258533985354853703538685310485332.30%美国351594315953159681598315910015923.30%印度10827133271582719327233272732720.30%西班牙1878420784232842528427784297849.70%德国2581327813302133271335713392138.70%（2）课题的研究意义风能是一种清洁的可再生能源。据世界气象组织（WMO

7、)分析，全球总风能为3x1017kW其中可利用的风能为2x1010kW。因此，开发和利用风能资源，不仅可以为21世纪寻找新的替代能源，而且有利于环境保护。风力发电己进入商业化发展的前期阶段，与之相配套的叶轮技术的发展也十分迅速。风力发电机的风轮是接受风能的最主要部件，也是风力发电机中最基础和最关键的部件，其良好的设计、可靠的质量和优越的性能是保证机组正常稳定运行的决定因素。叶片是风机的核心部件。叶片的受力很复杂，在旋转过程中受气动力、弹性力、和惯性力的耦合作用。随着风电行业的飞速发展，风机叶片的柔性不断加大，使得叶片容易发生振动。剧烈的振动会加速叶片材料的疲劳，减少其有效寿命，甚至会引起叶片的

8、断裂，造成很大的经济损失。因此，对风机叶片振动的研究越来越重要。1.2自适应叶片振动主动控制的主要技术及国内外研究现状1.2.1振动主动控制技术 振动控制技术起源于对旋转机械共振响应的研究1,2，为了防止结构产生共振破坏而发展了减振、隔振技术。这种传统的被动隔振技术包括隔离振动系统和隔离基础振动两大类，对它的研究导致了金属弹簧和橡胶型减振器在工业中普遍应用。后来，邓哈陀3关于动力吸振器的研究以及本世纪五十年代开始的对于高分子聚合物的粘弹性材料研究又导致了被动式吸振、阻振技术的广泛应用。 作为振动工程领域的一个重要分支,振动控制一般分为被动、主动和半主动控制等类型。振动主动控制是指在振动控制过程

9、中，根据所检测到的振动信号，应用一定的控制策略，经过实时计算，进而驱动作动器对控制目标施加一定的影响，达到抑制或消除振动的目的。其控制效果好，适应性强，正越来越受到人们的重视。振动主动控制关键的技术是控制方法及策略。 在振动主动控制过程中，一般采取两种不同的控制方法，即前馈控制和反馈控制方法。前馈控制就是把与干扰输入有关的信号输入给控制器，而控制器产生信号驱动控制作动器来抵消干扰输入。而反馈控制则是使在初始扰动下已被放大的系统响应信号，经过补偿电路来控制作动器，从而消除初始振动引起的剩余影响。 在振动主动控制中，需根据控制对象的具体情况采取不同的控制策略。目前最常用的控制策略有模态控制法、极点

10、配置法、最优控制法、自适应控制法、鲁棒控制法、智能控制法等。文献4在常规极点配置法的基础上，提出了同时优化系统极点和传感器/作动器位置的联合优化设计方法。祁建城、李若新等5在汽车主动悬架中采用最优控制，根据座位人体振动响应特性构造了频域计权形式二次型性能指标函数。在性能指标函数中采用与频率相关的计权矩阵可以对系统特定频带的振动状态施以重权或弱权，以体现设计者对此振动频带的关心程度Venhovens PJTH6在其文章中阐述了自适应半主动悬架控制的成就和发展。丁科、侯朝桢7对车辆主动悬架的自适应控制研究中，采用具有在线辨识的最小方差自校正调节器，经实验验证具有较好减振效果。顾家柳等人用鲁棒H控制

11、理论研究了实现转子系统振动鲁棒控制的最优对策，给出了转子系统鲁棒H控制器的设计方法，并且进一步研究了控制中的时滞问题。Yoshikazu 等提出一种用于减少汽车振动主动悬置鲁棒控制综合法，仿真结果表明振动被明显改善。Vlsoy AG等研究了二次型最优控制的主动悬架系统的稳定鲁棒性。Toshio Yoshimura7将模糊控制方法应用到车辆主动悬架的控制中。孙涛、陈龙将模糊控制方法应用到半主动悬架系统的研究中，仿真结果表明对汽车平稳性有一定改善。 现有的控制理论和方法，大多都是根据系统已发生的行为特征进行控制的，属事后控制。已发生行为，一般来说由于系统的惯性，会在较短的时间内持续下去,所以这些控

12、制在多数情况下是可用的、有实际效果的，但是很难做到完全真正的实时性、准确性和适应性，因而难以使控制系统质量得到进一步地提高。80 年代由我国学者邓聚龙提出的灰色预测控制理论，则是从已发生的行为特征量中，寻找系统发展规律，按其预测系统未来的行为，并根据未来的行为趋势，确定相应的控制决策。所以，这种控制是着眼于系统未来行为的预控制、超前控制，它具有较强的自适应性、通用性、实时性和准确性，且结构简单，技术明了，是一种具有广阔前景的新型控制。灰色预测理论创建以来，人们为了将它应用于振动控制，进行了一定的研究，但多数还处于仿真阶段。胡芬，潘仲麟等人利用灰色 GM(1,1)模型预测打桩噪声和振动的传播，预

13、测值与实测值基本一致，预测精度达到一级。朱西平，刘永寿等人将灰色预测控制运用于转子振动主动控制中，Matlab 仿真计算结果表明，该控制方法是可行的、有效的。 1.2.2飞机发动机的自适应叶片振动控制研究 飞机发动机叶片的振动一直是研究者们致力解决的一个重要问题。该课题研究主要是为了减小叶片的振动，探索新的控制算法，对平板叶片的弯曲和扭转振动进行了理论和实验研究，以期待得到较好的解决方案。目前，现役发动机风扇叶片由于叶片长、高负荷，并要求抗冲击损伤能力，因此均采用钢叶片。但是，这种状况难以适应未来高性能发动机的要求。将结构形状的自适应技术用于叶片结构，形成自适应智能复合材料叶片，将使叶片具有振

14、动自适应控制，将大大改善和提高风扇或压气机的压缩效率和发动机的工作品质，增大飞机的飞行范围和机动飞行能力，对于提高战机的作战性能和任务品质、推进国防与国民经济建设将产生重大的作用。该课题研究的自适应材料风扇叶片是采用碳纤维多维编织和树脂传递制作与成型技术，并将传感元件埋入这种复合材料中制成风扇叶片，使之具有振动自适应控制，从而构成自适应风扇叶片。1.3智能、压电技术的研究1.3.1智能材料与结构概念和振动主动控制技术相结合将具有仿生命功能的材料融合于基体材料中，使制成的构件具有人们期望的智能功能，这种结构称为智能材料结构(Smart/Intelligent Materials andStruc

15、tures)8。从仿生学的角度来看，智能材料与结构相当于一个由骨骼、神经、肌肉和大脑组成的系统。这其中基体材料(Matrix)相当于人体的骨骼；融合于基体材料中的传感元件(Sensor)相当于神经系统，具有感官功能；驱动元件(Actuator)相当于人体的肌肉；处理和控制系统(Processing and Control System)可视为人的大脑，它根据从传感元件得到的信息，经分析判断后指挥驱动元件动作，实现自诊断(Self-Diagnosis) 、自修复(Self-Renovation) 、自适应(Self-Adaptation)等功能。 传统振动主动控制技术本身有其相对独立的发展过程，

16、同时随着智能材料与结构概念的提出，它又作为智能材料与结构研究领域中的一项重要研究内容。智能材料与结构概念赋予了振动主动控制技术新的构成形式。传统振动主动控制技术中的传感元件、驱动元件以及控制系统与被控对象相对独立，分布配置，从而带来较大的额外负载。而基于智能材料与机构设计思想的振动主动控制系统则将传感元件、驱动元件以及控制系统融合于基体结构之中，既作为功能元件，也承受载荷，从而构成了结构简单，负载量小的振动主动控制系统。这在航空航天以及军事领域有着及其重要的应用价值。各国学者对这一领域已经展开了广泛、深入的研究。目前国内外研究学者对基于智能材料与结构的振动主动控制研究工作主要有：梁、板、薄壁管

17、等结构的振动主动控制研究；直升机桨叶振动主动控制研究；飞机座舱振动与噪声主动控制研究等。1.3.2自适应智能结构振动主动控制技术 自适应智能结构（简称自适应结构）是智能材料与结构的一个重要部分。自适应结构指的是基体材料、传感和驱动材料以及微电子处理控制系统集成或融合在一起的一个整体。这个整体不仅具有承受载荷、传递运动的能力，而且具有检测（应力、应变、损伤、温度、压力等）、动作（改变结构内部应力应变分布、改变结构外形和位置）、改变结构的特性（阻尼、自振频率、光学特性、周围磁场分布）等功能。即结构根据不断变化着的外界环境和自身状况，在自诊断的基础上作自适应地调整，而始终处于最佳工作状态。随着复合材

18、料的出现以及微电子技术和计算机技术的飞速发展，自适应结构技术在结构噪声和振动控制的研究中已经取得了很大的进展，并在向实用化迈进。段勇等人针对空间柔性自适应桁架结构制作了实验模型，在其上布置压电传感器和作动器，借助测控系统平台，采用改进的二次积分力反馈控制方法研究了空间柔性自适应桁架结构的振动主动控制问题。实验研究表明该控制方法行之有效。唐纪晔等人针对板壳型自适应结构，研究了压电材料作为作动器的自适应结构的振动控制。利用四节点压电复合材料层合板单元进行自适应结构的有限元动力分析，采用模态控制方法，将结构的各阶模态的阻尼比作为控制目标，并以此计算出各压电片的控制电压，达到控制结构振动的目的。朱晓锦

19、等人论述了自适应滤波前馈控制方法实现结构振动主动控制的设计思想，详细论述了基于这一思想所开发的自适应控制系统构成与设计方法，在此基础上对一压电机敏桁架结构进行了振动主动控制实验，取得了良好的抵消振动效果。随着自适应结构振动主动控制技术的完善，自适应叶片振动主动控制技术也得到了一定的发展。但由于各种叶片结构复杂，现在的研究大多通过简单结构来进行模拟实验。孙长任在文献中介绍了利用形状记忆合金对悬臂平板叶片进行错频以实现振动主动控制的原理及试验研究。首先推导出回复力作用下的复合平板叶片的弯曲振动特性。然后对平板叶片进行了振动主动控制试验。根据理论分析和试验研究，提出了一些利用形状记忆合金进行振动主动

20、控制的特点和规律。1.3.3压电技术应用现状 随着科学技术的发展，以往那种只注意利用材料某一方面特性的时代已去，现在人们己经将注意力转向对材料交叉藕合效应的研究。王晓明等介绍了有关这些效应的线性电磁热弹性固体的基本理论，并着重进行了力学分析。董聪和夏人伟12认为，这些祸合效应的开发与利用，对智能结构的产生与应用起到了关键性的作用。其中，力一电祸合效应是智能结构中最常用的祸合现象，己经受到了广泛的重视，开始应用到了形状和振动控制中。江冰13等对国外有关智能结构的研究及应用作了简要评述，从中可以看到，感测单元和控制单元通常都由压电材料制成，通过感应单元得到有关结构当前信息的电信号，经过处理，通过施

21、加电压进行控制。黄文虎14等也在综述航天柔性材料结构的振动控制时指出:压电材料非常适合航天结构的需要。总之，压电材料在今后智能结构形状和振动控制的研究和工程应用中，占有极其重要的地位。压电材料能够自适应环境的变化，实现机械能和电能之间的相互转化，具有集传感、执行和控制于一体的特有属性，是智能材料系列中的主导材料。1979年，Cawley和Adamsla9首次分析了结构中的压电单元，为粘贴或埋入弹性结构的压电元件建立了静态和动态模型。Lee10详细描述了层合板中压电传感器和驱动器的本构关系，Ha11等人为含有分布式压电传感器和驱动器的复合材料结构建立了有限元分析模型。智能结构中的压电驱动器有两种

22、主要形式，一种是以可变形构件的形式连接在整体结构中，例如在空间析架结构中采用长度可调节的压电陶瓷连接单元，可实现结构动的主动控制，另一种以埋入或表面粘贴的方式与结构材料相结合，这一方面的应用包括板壳结构的振动和噪声的主动控制压电层板的变形控制，自适应控制结构应力分布、抑制损伤的扩展等。错钦酸铅(PZT)压电陶瓷和聚偏二氟乙烯(PVDF)压电薄膜是压电驱动器的两类主要选择材料。1.3.4 压电陶瓷具有压电效应的陶瓷属于多晶体，是压电体的一种主要形式，通常由具有自发电极化的铁电材料烧成(人工制造)。由于自发极化方向完全是随机取向，在无外电场情况下，极化效应在总体上互相抵消，趋于平衡，因此不具有压电

23、性能。当对压电陶瓷施加强直流电场(如30一4OKV/cm)，经过2-3小时后，极化方向就会趋于电场的方向。经过以上过程的极化处理，外电场撤掉后，陶瓷中仍保持着一定的剩余极化强度，当压电陶瓷在外力或外电场作用下，剩余极化强度就会发生相应的变化而呈现压电效应。常用的压电陶瓷主要有一元系压电陶瓷、二元系压电陶瓷和多元系压电陶瓷三种。一元系压电陶瓷主要有钦酸钡(BaTIO3)、钦酸铅(PbTIO3)和妮酸钾(KnbO3)等。一元系压电陶瓷(如钦酸钡)是最早的压电陶瓷材料，是发展其它压电陶瓷材料的基础。二元系压电陶瓷是由两种化学通式为AB03(钙钦矿)型结构的化合物所组成的固溶体。通常调节两种AB03型

24、结构的摩尔比，以及采用取代元素和添加物的改性方法，可获得各种不同性能和不同用途的材料。二元系压电陶瓷主要有PZT，这是一种典型的压电陶瓷，具有比较高的机电藕合系数是制造压电传感器和作动器的常用材料。此外，还有妮酸钾钠和偏妮酸铅钡等。多元系压电陶瓷是在具有钙钦矿型结构的PZT二元系中再加一种或多种化学通式为ABO3型的化合物而形成的多元系固溶体。多元系压电陶瓷主要有铌镁钴钦酸铅和锑锰错钦酸铅等。1.4本文的研究内容(1) 绪论 在查阅大量的文献的基础上，首先阐述了风力发电的现状和前景，介绍了自适应结构、压电智能材料及其主动控制技术等方面的内容。(2) 作了压电陶瓷的力学和电学性能分析，介绍了压电

25、效应、压电方程(3) 把风电叶片简化成柔性悬臂梁，对压电智能悬臂梁系统的振动模态和压电作动器、传感器进行了分析，建立了压电智能悬臂梁状态空间的动力学模型，针对此系统利用最优控制理论进行主动振动控制，针对此系统设计了在系统低阶模态空间的振动控制器，并通过计算机仿真。并对一对压电元件的最优位置布置作了简单介绍。(4) 总结与展望2压电陶瓷的力学和电学性能分析2.1压电陶瓷的介电性质一般说来，不导电的物质称为电介质，压电陶瓷就是一种电介质，电介质的特点是在电场作用下会产生极化，它是以感应方式而不是以传导的方式传递电的作用。为了描述电介质的极化程度，引入极化强度的概念。极化强度P等于单位体积内的电偶极

26、矩矢量之和，即: P= (2-1)实验证明，极化强度P与电场强度之间成比例关系，即: P= *E (2-2)式中:称为介质的极化率。由电学理论可知，电位移D和电场强度E、极化强度P之间的关系，用MKS单位制表示为: D=E+P (2-3) 式中:为真空的介电常数。把式（2-2）代入（2-3）中即得：D=(+)E=E (2-4)式中：称为介电常数，它是描述介质极化程度的一个物理量，反映了介质的介电性质和介质的极化性质。描写各向同性介质的介电性质，只需要一个介电常数分量，而描写完全各向异性介质的介电性质，需要六个独立的介电常数分量。由此可见，独立介电常数分量的个数与介质的对称性有关。压电晶体各大晶

27、系的介电常数矩阵是不同的。压电陶瓷的对称性与六角晶系类似，因此，其介电常数矩阵形式与六角晶系的介电常数矩阵形式一致，描述如下: (2-5)介电常数的单位为法拉/米，有时还使用相对介电常数k，即: k= (2-6)式中：=8.8510-12法拉/米。如果用矩阵形式来表示介电关系，而不用以上的矢量形式，则有: = （2-7） 即： D= （2-8）式中： D= (2-9) E= (2-10)2.2压电陶瓷的弹性关系 在外力的作用下，作为弹性体的压电晶体的大小和形状都要发生变化，其应变分量与应力分量根据虎克定律用矩阵的形式描述如下: = (2-11)式中： 称为弹性柔顺常数矩阵，其分量中，=。介质的

28、弹性柔顺常数是描述介质弹性的一个物理量，单位是米2/牛顿，弹性刚度常数则为牛顿/米2，两者互为倒数关系。压电晶体的弹性柔顺常数也与对称性有关。描写各向同性介质的弹性柔顺常数的独立分量只有两个，描写完全各向异性介质的弹性柔顺常数的独立分量共有二十一个。因此，与上面关于介电性质的描述相同，独立的弹性柔顺常数分量的个数也与介质的对称性有关，压电晶体各大晶系的弹性柔顺常数矩阵也是不同的。因为压电陶瓷的对称性与六角晶系类似，所以，其弹性柔顺常数矩阵形式与六角晶系的弹性柔顺常数矩阵形式一致，描述如下:s= (2-12) 所以，压电陶瓷的弹性关系为：:= （2-13） 即： S=s*T (2-14) 2.3

29、压电陶瓷的压电效应表达式2.3.1正压电效应 图2.1 压电效应示意图对于图2.1所示的压电陶瓷，根据正压电效应，在与1方向垂直的面积为A1的面上施加压力F1，在与3方向垂直的电极面面积A3上产生累了电荷q3,这些量之间由实验证明存在如下关系: (2-15)其中d31称为压电常数，它反应了压电陶瓷的压电性质，它的第一个下标表示电效应方向，第二个下标表示力效应方向。等于单位面积上的电荷，即电荷密度，常用表示。等于单位面积上的作用力（伸缩应力），常用T1表示，：于是（2-15）可以写成： （2-16）同样，在与2、3方向垂直的面上施加压力、，我们可以得到下面的关系式： (2-17) (2-18)式

30、中：和d33都称为压电常数。 以上是压电陶瓷分别受到伸缩应力T1、T2、T3的作用结果，如果压电陶瓷同时受到T1、T2、T3的作用，则电荷密度的表达: (2-19)下面再分析压电陶瓷受剪切应力作用的情况。如果压电陶瓷受到如图2.2所示的剪切应力的作用，实验证明，可得到如下的关系式： (2-20)式中：d15称为压电常数。同样，在剪切应力T4作用下，可得到如下关系式： (2-21) 式中： 也称为压电常数。 图2.2 剪切应力和剪切应变示意图 而在剪切应力T6的作用下，没有压电效应产生。综上所述，我们得到压电陶瓷的正压电效应表达式为： （2-22） （2-23） （2-24）习惯上，常用电位移D

31、来代替面电荷密度，在SI单位制中，有： 、 、 （1-25）因此，正压电效应表达式又可以写成： （2-26） （2-27） （2-28）式中各量得单位为：电位移D为库伦/米2;应力T为牛顿/米2;压电常数d为库伦/牛顿或米伏。 上面三个公式写成矩阵的形式为：= （2-29）即： D=d*T (2-30) 其中d为压电常数矩阵。2.3.2 逆压电效应 压电陶瓷在外电场的作用下，会产生形变，这就是逆压电效应。如果将压电陶瓷置于外电场中，然后测量各个方向的形变，可得到如下的关系式: （2-31） （2-32） （2-33） （2-34） （2-35） （2-36）这就是压电陶瓷的逆压电效应表达式。其

32、中E的单位为伏/米；d31 d33 d15和正压电效应表达式中的意义相同。 把上面6个式子写成矩阵的形式为： = (2-37)即： S=dt*E (2-38) 其中dt为d的转置。2.3.3 压电方程以上分析的正、逆压电效应表达式是压电陶瓷分别在电场E=0和应力T=0的情况下导出的，如果压电陶瓷在电场和应力的同时作用下，并考虑到压电陶瓷的介电关系和弹性关系，即综合式（2-8）、（2-14）、（2-30）和（2-38），我们得到如下的方程： (2-39a,b)这就是压电陶瓷的第一类压电方程，其中sE 为压电陶瓷在常电场下的弹性柔顺常数矩阵，即短路柔顺常数矩阵，为压电陶瓷在常应力下的介电常数矩阵，

33、即自由介电常数矩阵。3压电智能悬臂梁的主动振动控制 3.1 压电智能悬臂梁状态空间的动力学建模 本节中，我们将首先将风电叶片简化为柔性悬臂梁，在其靠近根部的地方贴上一对压电元件，如下图。然后建立压电智能悬臂梁在状态空间的动力学模型，在其模态空间内对感兴趣的振动模态进行主动控制。由于采用的初始条件为悬臂梁端点的初始位移，在此初始条件下，悬臂梁的衰减振动响应中，主要以低阶模态为主，因此，我们仅取其前两阶模态组成的模态空间，进行主动振动控制分析。3.1.1压电智能悬臂梁的振动模态分析及压电作动器分析如图2.1所示的压电智能悬臂梁，我们首先对它进行振动模态分析。图2.1压电智能悬臂梁示意图 悬臂梁在o

34、xy平面内作弯曲振动时，描述它的运动形态的是中性轴上点的挠度y，它是坐标x和时间t的函数： Y=y(x,t) (3-1)假设压电陶瓷片与悬臂梁粘贴完好，并且忽略压电陶瓷片和粘贴层对悬臂的振动特性的影响，则在控制电路开路时悬臂梁在外界载荷作用下的振动微分方程为: （3-2）其中、为用有限元法对悬臂梁离散化后得到的质量阵和刚度阵，对于粘性阻尼矩阵通常是使用比例阻尼假设，即粘性阻尼矩阵由正比于刚度矩阵和质量矩阵的两部分组成： （3-3）其中和为比例系数，一般由试验测定，这种阻尼又称为瑞利阻尼。根据结构无阻尼自由振动方程，可以求出结构各阶的固有频率以及相应的固有振型向量，将这些向量组成固有振型矩阵。固

35、有振型对比例阻尼具有正交性，比例阻尼矩阵在进行模态坐标变换时能够被对角化。根据固有振型的展开定理，系统振动响应的位移向量可用它的固有振型 的线性组合表示，即： = (3-4)或写成矩阵形式： (3-5)其中是固有振型矩阵，它相当于坐标变换矩阵，它把模态座标系的模态坐标向量转换为物理坐标下的位移向量。 将方程（3-5）代入方程（3-2）中，并前乘，则得： (3-6)令： （3-7） = （3-8） （3-9）其中： = i=1,2n (3-10)通常假设： （3-11） 则方程（3-6）变换为： (3-12) （3-13） 第i个方程可表示为： (3-14)这就是压电智能悬臂梁在压电作动器控制开

36、路情况下在模态空间的单自由度受迫振动方程，其中为第i阶结构阻尼，为第i阶固有频率。压电作动器在外接控制电路输入电压的作用下将对悬臂梁产生一个力矩作用，其表达形式为15 (3-15)其中，h(x)为Heaviside阶跃函数，u为输入电压，是一个随时间变化的单值，Ka为比例常数，其表达式可写为： (3-16)其中b为悬臂梁的宽度，d31为压电常数，Ep为压电陶瓷的弹性模量，tb 、 tp分别为悬臂梁和压电陶瓷片的厚度，x1 、x2分别为压电陶瓷片两端距悬臂梁固定端的距离，如图3-2所示。 图3-2 悬臂梁和压电陶瓷的尺寸参数将方程（3-15）对x求导，得到压电作动器对悬臂梁的模态作用力为: (3

37、-17)于是，压电智能悬臂梁在压电作动器的主动控制力作用下的振动微分方程为: (3-18)令： (3-19)则方程（3-18）变换为： （3-20）3.1.2 压电传感器分析 根据材料力学中关于梁的对称弯曲正应力和小变形情况下挠曲轴近似微分方程的分析，我们可以得到如下的两个关系式: （3-21） （3-22）其中y为合耦梁横截面上的点到梁中性轴的距离，为弯曲变形的曲率半径。将方程（3-22）代入到方程（3-21）中，得到： （3-23）又根据第三章的分析，压电陶瓷在1方向的应力，3方向的电场作用下，电位移的表达式为: （3-24）压电陶瓷作为传感器时，E3=0，所以: (3-25)将方程（3-23）代入到方程（3-25）中，则： （3-26）此时，压电陶瓷表面电荷量为: （3-27）所以压电传感器两个表面电极间的电压为： (3-28)将方程（3-4）对x求导，代入到方程（3-28）中，可得： (3-29)令： (3-30) 再令： （3-31）则压电传感器的输出电压为: （3-32）3.1.3 压电智能悬臂梁状态空间的动力学模型根据前面两小节的分析，我们可以很容易地得出系统在状态空间的动