1、第五章 三角函数5.1任意角与弧度制15.1.1角的概念的推广15.1.2弧度制115.2任意角的三角函数205.2.1任意角三角函数的定义20第一课时用比值定义三角函数20第二课时用有向线段表示三角函数285.2.2同角三角函数的基本关系345.2.3诱导公式43第一课时诱导公式一至四43第二课时诱导公式五、六505.3三角函数的图象与性质565.3.1正弦函数、余弦函数的图象与性质56第一课时正弦函数、余弦函数的图象57第二课时正弦函数、余弦函数的性质635.3.2正切函数的图象与性质755.4函数yAsin(x)的图象与性质83第一课时函数yAsin(x)的图象及变换83第二课时函数yA
2、sin(x)图象与性质的应用(习题课)915.5三角函数模型的简单应用995.1任意角与弧度制5.1.1角的概念的推广新课程标准解读核心素养1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角数学抽象2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合数学抽象3.了解象限角的概念数学抽象周日早晨，小明起床后，发现自己的闹钟停在5：00这一刻，他立即更换了电池，调整到了正常时间6：30，并开始正常的学习问题小明在调整闹钟时间时，时针与分针各转过了多少度？知识点一任意角的概念1角的概念角可以看作是平面内一条射线绕着其端点从初始位置旋转到终止位置时所形成的图形2角的分类名称定义图形正角一条射线绕着
3、端点以逆时针方向旋转所形成的角负角以顺时针方向旋转所形成的角零角没有作任何旋转所形成的角3角的加法(1)若两角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称；(2)设，是任意两个角，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是；(3)相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角的相反角记为，()当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？提示：不是的虽然始边、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)小于90的角都是锐角()(2)大于90的角都是钝角()(3)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度
4、数是120.()答案：(1)(2)(3)2下列说法正确的是()A最大的角是180B最大的角是360C角不可以是负的 D角可以是任意大小答案：D3下列所示图形中，的是_；的是_解析：在中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以.在中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以().同理可知，中，中.答案：知识点二象限角与终边相同的角1象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限2各象限角的集合象限角象限角的集合表示第一象限角|k360k36090
5、，kZ第二象限角|k36090k360180，kZ第三象限角|k360180k360270，kZ第四象限角|k360270k360360，kZ3.终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和对集合S|k360，kZ的理解(1)角为任意角，“kZ”不能省略；(2)k360与中间要用“”连接，k360可理解成k360()；(3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360的整数倍 1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)终边相同的角一定相等()(2)30是第四象
6、限角()(3)第二象限角是钝角()(4)225是第三象限角()答案：(1)(2)(3)(4)2与 610角终边相同的角表示为(其中kZ)()Ak360230 Bk360250Ck36070 Dk180270答案：B3179角是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案：C任意角的概念例1(多选)下列说法正确的是()A锐角都是第一象限角B第一象限角一定不是负角C小于180的角是钝角、直角或锐角D在90180范围内的角不一定是钝角解析锐角是大于0且小于90的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以A正确；350角是第一象限角，但它是负角，所以B错误；0角是小于180的角，但它既不是
7、钝角，也不是直角或锐角，所以C错误；由于在90180范围内的角包含90角，所以不一定是钝角，所以D正确答案AD理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需要举一个反例即可 跟踪训练1射线OA绕端点O逆时针旋转120到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270到达OC位置，则AOC()A150B150C390 D390解析：选B各角和的旋转量等于各角旋转量的和所以120(270)150，故选B.2下列结论：三角形的内角必是第一、二象限角；始边相同
8、而终边不同的角一定不相等；钝角比第三象限角小其中正确的结论为_(填序号)解析：90的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故不正确；始边相同而终边不同的角一定不相等，故正确；钝角大于100，而100的角是第三象限角，故不正确答案：终边相同的角的表示例2(链接教科书第153页例2)已知角2 021.(1)把改写成k360(kZ，0360)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求，使与终边相同，且360360；(3)求与终边相同的最大负角与最小正角解(1)由2 021除以360，得商为5，余数为221，取k5，221，则5360221.又221是第三象限角，为第三象限角(2)与2 021角终边相同的
9、角为k3602 021，kZ.令360k3602 021360，kZ，k可取6，5，将k的值代入k3602 021中，得角为139，221.(3)由(2)知，与终边相同的最大负角是139，最小正角是221.终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360的整数倍；(2)终边在同一直线上的角之间相差180的整数倍；(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90的整数倍 跟踪训练1(2021吉林实验中学高一月考)将880化为k360(0360，kZ)的形式是()A160(3)360 B200(2)360C160(2)360 D200(3)360解析：选D易知880200(3)360，故选D
10、.2在直角坐标系中写出下列角的集合：(1)终边在x轴的非负半轴上；(2)终边在yx(x0)上解：(1)在0360范围内，终边在x轴的非负半轴上的角有一个0.故终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为|k360，kZ(2)在0360范围内，终边在yx(x0)上的角有一个45.故终边在yx(x0)上的角的集合为|k36045，kZ象限角的判定例3(链接教科书第153页例1)(1)(多选)在160；480；960；1 530这四个角中，是第二象限角的是()A BC D解析第二象限角需满足k36090k360180，kZ，分析可知：是第二象限角；是第二象限角；是第二象限角；不是第二象限角故选A、B、C.答
11、案ABC(2)已知是第二象限角，求角所在的象限解是第二象限角，k36090k360180(kZ)3604536090(kZ)当k为偶数时，令k2n(nZ)，得n36045n36090，这表明是第一象限角；当k为奇数时，令k2n1(nZ)，得n360225n360270，这表明是第三象限角为第一或第三象限角母题探究1(变设问)在本例(2)的条件下，求角2的终边的位置解：是第二象限角，k36090k360180(kZ)k7201802k720360(kZ)角2的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上2(变条件)若将本例(2)中的“第二象限”改为“第一象限”，如何求解？解：k360k36090(k
12、Z)，k180k18045(kZ)当k2n(nZ)时，n360n36045，是第一象限角当k2n1(nZ)时，n360180n360225，是第三象限角是第一或第三象限角1给定一个角判断它是第几象限角的思路判断角是第几象限角的常用方法为将写成k360(其中kZ，在0360范围内)的形式，观察角的终边所在的象限即可2分角、倍角所在象限的判定思路(1)求解的思维模式应是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住内在联系，确定解题方略；(2)由的象限确定2的象限时，应注意2可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出如135，而2270就不再是象限角 跟踪训练11 060的终边落在()A第一象限 B第二象限C第
13、三象限 D第四象限解析：选A因为1 060336020，所以1 060的终边落在第一象限2若是第四象限角，则180是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：选C因为是第四象限角，则角应满足：k36090k360，kZ，所以k360k36090，kZ，则k360180180k360270，kZ，当k0时，180180270，故180为第三象限角1期中考试，数学科目从上午8时30分开始，考了2小时从考试开始到考试结束分针转过了()A360 B720C360 D720解析：选D因为分针转一圈(即1小时)是360，所以从考试开始到考试结束分针转过了720.故选D.2已知集合A|为
14、锐角，B|为小于90的角，C|为第一象限角，D|为小于90的正角，则下列等式中成立的是()AAB BBCCAC DAD解析：选D集合A中锐角满足090；集合B中90，可以为负角；集合C中满足k360k36090，kZ；集合D中满足090.故AD.3下面各组角中，终边相同的是()A390，690 B330，750C480，420 D3 000，840解析：选B33036030，75072030，330角与750角的终边相同4若角满足180360，角5与有相同的始边与终边，则角_解析：角5与具有相同的始边与终边，5k360，kZ，得4k360，kZ，k90，kZ.又180360，270.答案：27
15、05.1.2弧度制新课程标准解读核心素养1.理解1弧度的角的定义，了解弧度制的概念，能进行角度与弧度之间的互化数学抽象、数学运算2.体会引入弧度制的必要性数学抽象3.理解弧度制下弧长与面积公式数学运算公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在他的一部划时代著作无穷小分析概论中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于2弧度，1弧度等于周角的.这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算问题按照上述定义30是多少弧度？知识点一度量角的两种制度角度制定义用“度”作为单位来度量角的单位制
16、1度的角1度的角等于周角的，记作1弧度制定义以“弧度”为单位来度量角的单位制1弧度的角把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角.1弧度记作1 rad(rad可省略不写)1用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或 “rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可2不管是以弧度还是以度为单位度量角的大小，都是一个与半径大小无关的定值 知识点二角度制与弧度制的换算1弧度数的计算2弧度与角度的换算1一个角的度数是否对应一个弧度数？提示：是一个给定的角，其度数和弧度数都是唯一确定的2在大小不同的圆中，长度为1的弧所对的圆心角相等吗？提示：不相等这是因为长度为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆
17、中，由于半径不同，所以圆心角也不同1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位()(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关()(3)1的角是周角的，1 rad的角是周角的.()(4)1 rad的角比1的角要大()答案：(1)(2)(3)(4)2(多选)下列转化结果正确的是()A60化成弧度是B化成度是600C150化成弧度是D.化成度是15答案：ABD知识点三扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，(02)为其圆心角，则(1)弧长公式：lR；(2)扇形面积公式：SlRR2在应用弧长公式、扇形面积公式时，要注意的单位是“弧度”，而不是“
18、度”，若已知角是以“度”为单位的，则应先化成“弧度”，再代入计算1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)扇形的半径为1 cm，圆心角为30，则扇形的弧长lr|13030(cm)()(2)圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，弧长所对的扇形的面积不变()答案：(1)(2)2已知扇形的半径r30，圆心角，则该扇形的弧长等于_，面积等于_答案：575角度与弧度的换算例1(链接教科书第156页例4、例5)将下列角度与弧度进行互化：(1)；(2)；(3)10；(4)855.解(1)18015 330.(2)180105.(3)1010.(4)855855.角度制与弧度制的互化原则和方法
19、(1)原则：牢记180 rad，充分利用1 rad和1 rad进行换算；(2)方法：设一个角的弧度数为，角度数为n，则 rad；nn rad.注意用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少的形式，如无特别要求，不必把写成小数 跟踪训练1把下列弧度化为角度：(1)_；(2)_解析：(1)690.(2)390.答案：(1)690(2)3902把下列角度化为弧度：(1)1 500_； (2)6730_解析：(1)1 5001 500.(2)673067.567.5.答案：(1)(2)用弧度制表示角的集合例2(链接教科书第157页练习2题)把下列角化成2k(02，kZ)的形式，指出它是第几象限角并
20、写出与终边相同的角的集合(1)；(2)1 485.解(1)82，它是第二象限角，与终边相同的角的集合为.(2)1 485536031510，它是第四象限角，与终边相同的角的集合为.弧度制下与角终边相同的角的表示在弧度制下，与角的终边相同的角可以表示为|2k，kZ，即与角终边相同的角可以表示成加上2的整数倍注意(1)注意角度与弧度不能混用；(2)各终边相同的角需加2k，kZ. 跟踪训练1若2k(kZ)，则的终边在()A第一象限B第四象限Cx轴上 Dy轴上解析：选D2k(kZ)，6k(kZ)，3k(kZ)当k为奇数时，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上综上，的终边在y
21、轴上，故选D.2若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是()A.B.C.D.(kZ)解析：选D阴影部分的两条边界分别是和角的终边，所以的取值范围是(kZ)扇形的弧长公式及面积公式的应用例3(链接科书第156页例6)若扇形的面积是4 cm2，它的周长是10 cm，则扇形圆心角(正角)的弧度数为()A.B C.D解析设扇形的半径为r，圆心角为(02)，由题意，得由得，r，把代入，得221780.解得或8(舍去)故扇形圆心角的弧度数为.答案A关于弧度制下扇形问题的解决方法(1)三个公式：|，Slrr2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程(组)求值；(2)弧长、面积的最
22、值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积)，利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解 跟踪训练1弧长为3，圆心角为135的扇形的半径为_，面积为_解析：因为135，所以扇形的半径为4，面积为346.答案：462已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，面积为S，则l2r40，所以l402r，所以Slr(402r)r(r10)2100.所以当半径r10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，这时2 rad.扇形的弧长公式的应用如图，点P，Q从点A(4，0)同时出发，沿圆周运动，点
23、P按逆时针方向每秒钟转，点Q按顺时针方向每秒钟转.问题探究1点P，Q第一次相遇时用了多少秒？提示：设点P，Q第一次相遇所用的时间是t s，则tt2，解得t4，第一次相遇时用了4 s.2点P，Q第一次相遇时各自走过的弧长是多少？提示：第一次相遇时，点P运动到角的终边与圆相交的位置，点Q运动到角的终边与圆相交的位置，点P走过的弧长为4，点Q走过的弧长为4.3若点Q也按逆时针方向转，则点P，Q第一次相遇时用了多少秒？提示：设点P，Q第一次相遇的时间为t s，则tt2，解得t12 s所以第一次相遇时用了12 s.迁移应用圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图所示放置的边长为1的正方形(正方形的顶点A
24、和点P重合)沿着圆周逆时针滚动经过若干次滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路程为()A2BC. D解析：选D因为圆O的半径r1，正方形的边长a1，所以以正方形的一边为弦时所对应的圆心角为，正方形在圆周上滚动时，点的位置如图所示，故当点A首次回到点P的位置时，正方形在圆周上滚动了2圈，而自身滚动了3圈设第i(iN)次滚动点A的路程为Ai，则A1AB，A2AC，A3DA，A40，所以点A所走过的路程为3(A1A2A3A4).1.对应的角度为()A75B125C135 D155解析：选C由于1 rad，所以135，故选C.2在半径为8 cm的圆中，的圆心角所对的弧长为()A. cm B c
25、mC. cm D cm解析：选A根据弧长公式，得l8(cm)3与角终边相同的角是()A. B2k(kZ)C2k(kZ) D(2k1)(kZ)解析：选BA错误，2，与角的终边不同；B正确，2k，kZ，当k2时，得0，2)上的角为，与角有相同的终边；C错误，2k，kZ，当k1时，得0，2)上的角为，与角的终边不同；D错误，(2k1)，kZ，当k0时，得0，2)上的角为，与角的终边不同4用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为_解析：若角的终边落在x轴上方，则2k2k(kZ)答案：|2k0.()(2)若tan 0，则一定是第一象限角()(3)若sin 0，则角是第三角限角()答案：(1)(2)(3)
26、三角函数的定义及应用例1(链接教科书第160页例1)(1)已知角的终边经过点P(4a，3a)(a0)，求sin ，cos ，tan 的值；(2)已知角的终边落在直线xy0上，求sin ，cos ，tan 的值解(1)r5|a|.若a0，则r5a，故sin ，cos ，tan .若a0，解得m .答案：2已知角的终边落在射线y2x(x0)上，求sin ，cos 的值解：设射线y2x(x0)与单位圆的交点为P(x，y)，则解得即P，所以sin y，cos x.三角函数值符号的判定例2(链接教科书第162页例3)(1)若角同时满足sin 0且tan 0，则角的终边一定位于()A第一象限B第二象限C第
27、三象限 D第四象限(2)填空sin 285cos(105)_0(填“”或“”)解析(1)由sin 0，可知的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合由tan 0，可知的终边可能位于第二象限或第四象限，故的终边只能位于第四象限(2)因为285是第四象限角，所以sin 2850.因为105是第三象限角，所以cos(105)0.答案(1)D(2)正弦、余弦函数值的正负规律 跟踪训练1若0，则点(tan ，cos )位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选B由0知为第四象限角，则tan 0，点在第二象限2若角的终边经过点P(3，a)(a0)，则()Asin 0 Bsin
28、 0Ccos 0 Dcos 0解析：选C由三角函数的定义可知，sin 符号不确定，cos 0，故选C.3判断下面各式的符号：(1)sincos；(2)cos 6sin 6.解：(1)0，cos0，sincos0.(2)60，sin 60，cos 6sin 60，则实数a的取值范围是()A(2，3 B(2，3)C2，3) D2，3解析：选A由cos 0，sin 0可知，角的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上，所以解得2a3.3若三角形的两内角，满足sin cos 0，则此三角形必为()A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D以上三种情况都可能解析：选Bsin cos 0，cos 0，为钝角4若角60的终边上有一点(4，a)，则a的值是_解析：由题意，得tan 60，解得a4.答案：45已知角的终边在直线yx上，且cos ”或“”)答案
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