1、应力状态分析应力状态分析第第 5 5 章章20242024年年3 3月月2020日日 应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述 平面应力状态的坐标变换平面应力状态的坐标变换 应力圆应力圆 主应力、主方向、最大切应力主应力、主方向、最大切应力 三向应力状态特例分析三向应力状态特例分析 广义胡克定律，应变比能广义胡克定律，应变比能 重要应用实例重要应用实例 结论与讨论结论与讨论第第 5 5 章章 应力状态分析应力状态分析 应力状态的概念应力状态的概念 及其描述及其描述1、问题的提出问题的提出 应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述2 2、应力的三个重要概念、应力的三个重要概念3 3、一点
2、应力状态的描述、一点应力状态的描述1、问题的提出问题的提出请看下面几段动画请看下面几段动画：低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢和铸铁的拉伸实验 低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢和铸铁的扭转实验 应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述低碳钢低碳钢韧性材料拉伸时为什么会出现韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？滑移线？铸铸 铁铁 应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述为什么脆性材料扭转时沿为什么脆性材料扭转时沿4545螺螺旋面断开？旋面断开？低碳钢低碳钢铸铸 铁铁 应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述拉拉 中中 有有 切切根据微元的局部平衡根据微元的局部平衡 应力状态的概念及其描述应力状态的
3、概念及其描述切切 中中 有有 拉拉根据微元的局部平衡根据微元的局部平衡 应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述 重要结论重要结论 不不仅仅横横截截面面上上存存在在应应力力，斜斜截截面面上上也也存存在在应应力力；不不仅仅要要研研究究横横截截面面上上的的应应力力，而而且且也也要要研研究究斜斜截面上的应力截面上的应力。应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述2 2、应力的三个重要概念、应力的三个重要概念m 应力的点的概念应力的点的概念;m 应力的面的概念应力的面的概念;m 应力状态的概念应力状态的概念.应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述 横横截截面面上上正正应应力力分分析析和和切
4、切应应力力分分析析的的结结果果表表明明：同同一一面面上上不不同同点点的的应应力力各各不不相相 同同，此此 即即应应 力力 的的 点点 的的 概概 念念。F FNNxxF FQQ 应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述 微元平衡分析结果表明：即使同一微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即的，此即应力的面的概念应力的面的概念。应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述 过一点不同方向面上应力的集合，过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的称之为这一点的应力状态应力状态（State of State of the Stres
5、ses of a Given Pointthe Stresses of a Given Point）。）。应应 力力哪一个面上哪一个面上？哪一点哪一点？哪一点哪一点？哪个方向面哪个方向面？指明指明 应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述3 3、一点应力状态的描述、一点应力状态的描述l 微微 元元（ElementElement）各边边长各边边长,dxdydz 微元及其各面上的应力微元及其各面上的应力 应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述(Three-Dimensional State of Stresses)三向（空间）应力状态三向（空间）应力状态yxz 应力状态的概念及其描述应力
6、状态的概念及其描述(Plane State of Stresses)平面（二向）平面（二向）应力状态应力状态xy 应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述xyxy单向应力状态单向应力状态(One Dimensional State of Stresses)纯剪应力状态纯剪应力状态(Shearing State of Stresses)应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述三三向向应应力力状状态态平平面面应应力力状状态态单向应力状态单向应力状态纯剪应力状态纯剪应力状态特例特例特例特例 应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述示例一示例一：FPl/2l/2S平面平面 应力状态的概念及
7、其描述应力状态的概念及其描述5 54 43 32 21 15 54 43 32 21 1123S S平面平面平面平面 应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述示例一示例一示例二示例二FPlaS 应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述xzy4321S平面平面示例二示例二 应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述yxzMzFQyMx4321143示例二示例二 应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述 平面应力状态的平面应力状态的 坐标变换坐标变换 平面应力状态的坐标变换平面应力状态的坐标变换 正负号规则正负号规则 平衡原理的应用平衡原理的应用 微元局部的平衡方程微元局部的平衡方程
8、 应力变换矩阵应力变换矩阵 平面应力状态的坐标变换平面应力状态的坐标变换 正负号规则正负号规则正正 应应 力力拉为正拉为正 压为负压为负 正正 负负 号号 规规 则则 平面应力状态的坐标变换平面应力状态的坐标变换 正负号规则正负号规则正负号规则正负号规则切切 应应 力力 使微元或其使微元或其局部顺时针方局部顺时针方向转动为正；向转动为正；反之为负。反之为负。正负号规则正负号规则 平面应力状态的坐标变换平面应力状态的坐标变换 正负号规则正负号规则正负号规则正负号规则q q 角角 由由 x正向正向反时针转到反时针转到x正向者为正；正向者为正；反之为负。反之为负。yxqq正负号规则正负号规则 平面应
9、力状态的坐标变换平面应力状态的坐标变换 正负号规则正负号规则正负号规则正负号规则 平衡原理的应用平衡原理的应用 微元局部的平衡方程微元局部的平衡方程 平面应力状态的坐标变换平面应力状态的坐标变换 平衡对象平衡对象微元局部的平衡方程微元局部的平衡方程 平衡方程平衡方程 yx 参加平衡的量参加平衡的量dAq qxxyy用用用用 斜截面截取的微斜截面截取的微斜截面截取的微斜截面截取的微 元局部元局部元局部元局部应力乘以其作用的应力乘以其作用的应力乘以其作用的应力乘以其作用的 面积面积面积面积 平面应力状态的坐标变换平面应力状态的坐标变换 平衡原理的应用平衡原理的应用平衡原理的应用平衡原理的应用q q
10、 q qq q q q -coscos)coscos(d dA Axx-q q q qq q q qyyd dA A(sinsin)sinsin yxdAq q d dA A xx+q q q qq q q qd dA A(coscos)sinsinxyxy+q q q qq q q qd dA A(sinsin)coscosyxyxxdAq q 平面应力状态的坐标变换平面应力状态的坐标变换 平衡原理的应用平衡原理的应用平衡原理的应用平衡原理的应用-xy xy d dA A+q q q qq q q qxxd dA A(coscos)sinsin+q q q qq q q qxyxyd dA
11、A(coscos)coscos-q q q qq q q qyyd dA A(sinsin)coscos-q q q qq q q qyxyxd dA A(sinsin)sinsin yxdAq q dAq q 平面应力状态的坐标变换平面应力状态的坐标变换 平衡原理的应用平衡原理的应用平衡原理的应用平衡原理的应用用用用用 斜截面截取斜截面截取斜截面截取斜截面截取xy 平面应力状态的坐标变换平面应力状态的坐标变换 平衡原理的应用平衡原理的应用平衡原理的应用平衡原理的应用最后，得到以下四个方程：最后，得到以下四个方程：平面应力状态的坐标变换平面应力状态的坐标变换 平衡原理的应用平衡原理的应用平衡原
12、理的应用平衡原理的应用 平面应力状态的坐标变换平面应力状态的坐标变换 应力变换矩阵应力变换矩阵 应力变换矩阵应力变换矩阵应力变换矩阵应力变换矩阵将上式写成矩阵形式将上式写成矩阵形式其中其中 x y=y x ,xy =y x 平面应力状态的坐标变换平面应力状态的坐标变换 矩阵矩阵 T 称为称为“变换矩阵变换矩阵”（Transformation Matrix)；T T 为为 T 的转的转置矩阵。置矩阵。令令令令 应力变换矩阵应力变换矩阵应力变换矩阵应力变换矩阵 平面应力状态的坐标变换平面应力状态的坐标变换 上述结果表明，一点的应力状态，在上述结果表明，一点的应力状态，在不同的坐标系中有不同的表现形
13、式，但不同的坐标系中有不同的表现形式，但它们之间是可以转换的。这种转换称之它们之间是可以转换的。这种转换称之为为 “应力的坐标变换应力的坐标变换”，简称为，简称为“应力变换应力变换”（Transformation of Transformation of StressesStresses）。应力变换矩阵应力变换矩阵应力变换矩阵应力变换矩阵 平面应力状态的坐标变换平面应力状态的坐标变换x-y坐标系坐标系x-y坐标系坐标系xp-yp坐标系坐标系应力变换的实质应力变换的实质同一点的应力同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式：状态可以有各种各样的描述方式：应力变换矩阵应力变换矩阵应力变换矩阵应力变换
14、矩阵 平面应力状态的坐标变换平面应力状态的坐标变换 应应 力力 圆圆 应力圆方程应力圆方程 应应 力力 圆圆 几种对应关系几种对应关系 应力圆的画法应力圆的画法 应力圆的应用应力圆的应用 应应 力力 圆圆 应力圆方程应力圆方程 应应 力力 圆圆 应力圆方程应力圆方程应力圆方程应力圆方程 利用三角恒等式，可以将前面所得的关利用三角恒等式，可以将前面所得的关于于 x 和和 x y 的方程写成的方程写成R Rc c 应应 力力 圆圆 应力圆方程应力圆方程应力圆方程应力圆方程 应应 力力 圆圆 几种对应关系几种对应关系 应应 力力 圆圆 几种对应关系几种对应关系几种对应关系几种对应关系二倍角对应二倍角
15、对应半径转过的角度是方向半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。面法线旋转角度的两倍。转向对应转向对应半径旋转方向与方向面法半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；线旋转方向一致；点面对应点面对应应力圆上某一点的坐标值应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切对应着微元某一方向面上的正应力和切应力；应力；点点点点 面面面面 对对对对 应应应应caA 应应 力力 圆圆 几种对应关系几种对应关系几种对应关系几种对应关系C转向对应、二倍角对应转向对应、二倍角对应yx 22aA AA A a 应应 力力 圆圆 几种对应关系几种对应关系几种对应关系几种对应关系rr 点面对应点面对应应力圆上
16、某一点的坐标值应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切对应着微元某一方向面上的正应力和切应力应力；rr 转向对应转向对应半径旋转方向与方向面法半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；线旋转方向一致；rr 二倍角对应二倍角对应半径转过的角度是方向半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。面法线旋转角度的两倍。应应 力力 圆圆 几种对应关系几种对应关系几种对应关系几种对应关系 应应 力力 圆圆 应力圆的画法应力圆的画法 应力圆的画法应力圆的画法应力圆的画法应力圆的画法 在在在在 x x -x坐标系中，标定与微元垂直的坐标系中，标定与微元垂直的坐标系中，标定与微元垂直的坐标系中，标定与
17、微元垂直的A A、D D面上面上面上面上 应力对应的点应力对应的点应力对应的点应力对应的点a a和和和和d d 连连连连 ad ad 交交交交 xx 轴于轴于轴于轴于c c点，点，点，点，c c即为圆心，即为圆心，即为圆心，即为圆心，c cd d或或或或ca ca 为为为为应力圆半径应力圆半径应力圆半径应力圆半径ADa(x,xy)d d(y y,yxyx)cR R 应应 力力 圆圆ADa a(x x,xyxy)d d(y y,yxyx)c 应力圆的画法应力圆的画法应力圆的画法应力圆的画法 应应 力力 圆圆 应应 力力 圆圆 应力圆的应用应力圆的应用 应用过程中，应当将应力圆应用过程中，应当将应
18、力圆作为思考、分析问题的工具，作为思考、分析问题的工具，而不是计算工具。而不是计算工具。应应 力力 圆圆 应力圆的应用应力圆的应用应力圆的应用应力圆的应用 x x x xA AD D xyxy xxo od da ac cxyy45x245245245245b be eB BE E 应应 力力 圆圆 应力圆的应用应力圆的应用应力圆的应用应力圆的应用xyB BE E x x x x xx xyxy yxyx yyB BE E 应应 力力 圆圆 应力圆的应用应力圆的应用应力圆的应用应力圆的应用 轴向拉伸时轴向拉伸时45方向面既有方向面既有正应力又有切应力，但正应力正应力又有切应力，但正应力不是最大
19、值，切应力却最大。不是最大值，切应力却最大。x x x xB BE E 应应 力力 圆圆 应力圆的应用应力圆的应用应力圆的应用应力圆的应用 o o xyxy xxa a(0 0,)d d(0 0,-,-)A A A AD Db be ec c245245245245 yy xx B BE E 应应 力力 圆圆 应力圆的应用应力圆的应用应力圆的应用应力圆的应用 xx yy B BE E B BE E 应应 力力 圆圆 应力圆的应用应力圆的应用应力圆的应用应力圆的应用 纯剪应力状态下，纯剪应力状态下，4545方向方向面上面上只有只有正应力没有切应力，正应力没有切应力，而且正应力为最大值。而且正应力
20、为最大值。B BE E 应应 力力 圆圆 应力圆的应用应力圆的应用应力圆的应用应力圆的应用 主应力、主方向、主应力、主方向、最大切应力最大切应力 主方向主方向 主应力、主方向、最大切应力主应力、主方向、最大切应力 面内最大切应力面内最大切应力 主平面与主应力主平面与主应力 主平面与主应力主平面与主应力 主应力、主方向、最大切应力主应力、主方向、最大切应力主平面与主方向主平面与主方向 xyxy xx yy yxyx xyxy xxo oc c2 2 ppa ad dA A A AD D主平面主平面（Principal PlanePrincipal Plane）：）：）：）：=0,=0,=0,=0
21、,与应力圆上和横轴交点对应的面与应力圆上和横轴交点对应的面与应力圆上和横轴交点对应的面与应力圆上和横轴交点对应的面 主应力、主方向、主应力、主方向、最大切应力最大切应力 主平面与主应力主平面与主应力主平面与主应力主平面与主应力 xyxy xxo o xyxy xxo o主主主主 应应应应 力力力力主应力主应力（Principal StressesPrincipal Stresses）：）：）：）：主平面上的正应力主平面上的正应力主平面上的正应力主平面上的正应力 主应力、主方向、主应力、主方向、最大切应力最大切应力 主平面与主应力主平面与主应力主平面与主应力主平面与主应力(主平面定义主平面定义主
22、平面定义主平面定义)主应力表达式主应力表达式 主应力排序主应力排序：1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 xyxy xxo oc c2 2 ppa ad d 主应力、主方向、主应力、主方向、最大切应力最大切应力 主平面与主应力主平面与主应力主平面与主应力主平面与主应力 主方向主方向 主应力、主方向、最大切应力主应力、主方向、最大切应力 主方向主方向主方向主方向（Direction of Principal StressesDirection of Principal Stresses)：负号表示顺时转向负号表示顺时转向 主应力、主方向、主应力、主方向、最大切应力最大切应力 主方向主方
23、向主方向主方向 面内最大切应力面内最大切应力 主应力、主方向、最大切应力主应力、主方向、最大切应力 对应应力圆上的对应应力圆上的最高点的面上切应最高点的面上切应力最大，称为力最大，称为“面面内最大切应力内最大切应力”（Maximum Shearing Maximum Shearing Stress in PlaneStress in Plane）。xy xo maxc 主应力、主方向、主应力、主方向、最大切应力最大切应力 面内最大切应力面内最大切应力面内最大切应力面内最大切应力 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析 定义定义 三向应力状态的应力圆三向应力状态的应力圆 平面应力状态作为三向
24、应力平面应力状态作为三向应力 状态的特例状态的特例 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析 定义定义 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析mm 三向应力状态三向应力状态三个主应力都不为零的三个主应力都不为零的应力状态；应力状态；mm 特例特例 三个主应力中至少有一个是已知三个主应力中至少有一个是已知的的(包括大小和方向包括大小和方向)。据此，平面应力状态。据此，平面应力状态即为三向应力状态的特例。即为三向应力状态的特例。定定定定 义义义义 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析 z x y xy yx至少有一个主应力及其主方向已知至少有一个主应力及其主方向已知至少有一个主应力及其
25、主方向已知至少有一个主应力及其主方向已知 y xy yx x z三向应力状态特例的一般情形三向应力状态特例的一般情形 定定定定 义义义义 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析 1 1 2 2 3 3 三向应力状态三向应力状态三向应力状态三向应力状态 的应力圆的应力圆的应力圆的应力圆 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析 xy xIIIIII 平行于平行于 1的方向面其上之应力与的方向面其上之应力与 1无关无关，于是由于是由 2、3可作出应力圆可作出应力圆 I 3 2 1I 平行于平行于 2的方向面其上之应力与的方向面其上之应力与 2无关，无关，于是由于是由 1、3可作出应力圆可作出
26、应力圆IIIIII 2 1 3 平行于平行于 3的方向面其上之应力与的方向面其上之应力与 3无关无关，于是由于是由 1、2可作出应力圆可作出应力圆 III 33IIIIII 22 11 三向应力状态三向应力状态三向应力状态三向应力状态 的应力圆的应力圆的应力圆的应力圆 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析zpypxpIIIIII 1 2 3 x x max=1 2 3 2 1 2 3 1 3 2 1 2 3 1 3 1 3 2 3 2 1 三向应力状态三向应力状态三向应力状态三向应力状态 的应力圆的应力圆的应力圆的应力圆 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析 在三组特殊方向面中都有
27、各自的面内在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力最大切应力,即：即：三向应力状态三向应力状态三向应力状态三向应力状态 的应力圆的应力圆的应力圆的应力圆 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析 一点处应力状态中的最大切应力一点处应力状态中的最大切应力只是只是、中最大者，即中最大者，即:三向应力状态三向应力状态三向应力状态三向应力状态 的应力圆的应力圆的应力圆的应力圆 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析2002003003005050o max 平面应力状态作为平面应力状态作为平面应力状态作为平面应力状态作为三向应力状态的特例三向应力状态的特例三向应力状态的特例三向应力状态的特例
28、三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析O20020050503003005050 平面应力状态作为平面应力状态作为平面应力状态作为平面应力状态作为三向应力状态的特例三向应力状态的特例三向应力状态的特例三向应力状态的特例 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析O3003005050 平面应力状态作为平面应力状态作为平面应力状态作为平面应力状态作为三向应力状态的特例三向应力状态的特例三向应力状态的特例三向应力状态的特例 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析(1)(1)(2)(2)排序确定排序确定排序确定排序确定(3)(3)作为三向应力作为三向应力 状态的特例状态的特例平面应力状态特点
29、平面应力状态特点 平面应力状态作为平面应力状态作为平面应力状态作为平面应力状态作为三向应力状态的特例三向应力状态的特例三向应力状态的特例三向应力状态的特例 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析 重要应用实例重要应用实例承受内压薄壁容器任意点的应力状态承受内压薄壁容器任意点的应力状态plpDlm t )D(m m mp D 2 t(2 l)t tp 重要应用实例重要应用实例 m mp d 2)D(m 重要应用实例重要应用实例ppDl t(2 l)t t 重要应用实例重要应用实例 重要应用实例重要应用实例lm t 结论与讨论结论与讨论1 1、关于应力和应力状态的关于应力和应力状态的几点重要结
30、论几点重要结论 m 应力的点的概念应力的点的概念;m 应力的面的概念应力的面的概念;m 应力状态的概念应力状态的概念.变形体力学变形体力学基基 础础 结论与讨论结论与讨论 怎样证明怎样证明怎样证明怎样证明A AA A截截截截面上各点的应力状态面上各点的应力状态面上各点的应力状态面上各点的应力状态不会完全相同。不会完全相同。不会完全相同。不会完全相同。2 2、平衡方法是分析一点处应力状态最重、平衡方法是分析一点处应力状态最重要、最基本的方法要、最基本的方法A A A AA A A A 结论与讨论结论与讨论 论证论证论证论证A AA A截面上截面上截面上截面上必然存在切应力，而必然存在切应力，而必
31、然存在切应力，而必然存在切应力，而且是非均匀分布的；且是非均匀分布的；且是非均匀分布的；且是非均匀分布的；关于关于关于关于A A点的应力状态点的应力状态点的应力状态点的应力状态有多种答案、请用有多种答案、请用有多种答案、请用有多种答案、请用 平衡的概念分析哪一种是正确的平衡的概念分析哪一种是正确的平衡的概念分析哪一种是正确的平衡的概念分析哪一种是正确的A AA A 结论与讨论结论与讨论3 3、怎样将应力圆作为一种分析问题的重要、怎样将应力圆作为一种分析问题的重要手段，求解较为复杂的应力状态问题手段，求解较为复杂的应力状态问题A A A A2 2 2 2 B B B B2 2 2 2 怎样确定怎
32、样确定怎样确定怎样确定C C点处的主应力点处的主应力点处的主应力点处的主应力 结论与讨论结论与讨论4 4、一点处的应力状态有不同的表示方法，、一点处的应力状态有不同的表示方法，而用主应力表示最为重要而用主应力表示最为重要 请分析图示请分析图示 4 种应力状态中，哪几种种应力状态中，哪几种 是等价的是等价的 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 04545 0 0 0 04545 结论与讨论结论与讨论5 5、注意区分面内最大切应力与所有方向面、注意区分面内最大切应力与所有方向面中的最大切应力中的最大切应力一点处的最大切应力一点处的最大切应力2 23 31 1-maxmax=t t 结论与讨
33、论结论与讨论6 6、正确应用广义胡克定律某一方向的正应变、正确应用广义胡克定律某一方向的正应变不仅与这一方向的正应力有关不仅与这一方向的正应力有关 承受内压的容器，怎样从表面一点处承受内压的容器，怎样从表面一点处承受内压的容器，怎样从表面一点处承受内压的容器，怎样从表面一点处某一方向的正应变推知其所受之内压，或某一方向的正应变推知其所受之内压，或某一方向的正应变推知其所受之内压，或某一方向的正应变推知其所受之内压，或间接测试其壁厚间接测试其壁厚间接测试其壁厚间接测试其壁厚.4545o o 结论与讨论结论与讨论本本本本 章章章章 作作作作 业业业业第一次第一次 5 51 1，5 53 3，5 54 4第二次第二次 5 52 2，5 55 5，5 57 7第三次第三次 5 59 9，5 514 14，5 51515谢谢 谢谢 大大 家家 ！谢谢谢谢大大家家 ！返回主目录返回主目录返回主目录返回主目录返回本章第一页返回本章第一页返回本章第一页返回本章第一页
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