matlab大作业-平衡杆小球位置控制系统-华中科技大学.doc

1、MATLAB语言、控制系统分析与设计大作业平衡杆小球位置控制系统设计与仿真专 业：电气工程及其自动化 班 级： 设 计 者： 学 号： 华中科技大学电气与电子工程学院2008年1月平衡杆小球位置控制系统设计与仿真一、问题描述与实验要求A ball is placed on a beam, see figure below, where it is allowed to roll with 1 degree of freedom along the length of the beam. A lever arm is attached to the beam at one end and a s

2、ervo gear at the other. As the servo gear turns by an angle theta, the lever changes the angle of the beam by alpha. When the angle is changed from the vertical position, gravity causes the ball to roll along the beam. A controller will be designed for this system so that the balls position can be m

3、anipulated. For this problem, we will assume that the ball rolls without slipping and friction between the beam and ball is negligible. The constants and variables for this example are defined as follows: Mmass of the ball0.11 kgRradius of the ball0.015 mDlever arm offset0.03 mGgravitational acceler

4、ation9.8 m/s2Llength of the beam1.0 mJballs moment of inertia9.99e-6 kgm2Rball position coordinateAlphabeam angle coordinateThetaservo gear angleSystem EquationsThe Lagrangian equation of motion for the ball is given by the following:Linearization of this equation about the beam angle, alpha = 0, gi

5、ves us the following linear approximation of the system:The equation which relates the beam angle to the angle of the gear can be approximated as linear by the equation below:Substituting this into the previous equation, we get: Design requirementsThe design criteria for this problem are: Settling t

6、ime less than 3 seconds Overshoot less than 5%1数学模型的建立将上面推导的简化式做拉普拉斯变换，得到： 变化后得到： 化简为：2设计目标希望能精确小球的位置，即要求小球的稳态误差为零，同时希望因扰动引起的稳态误差也能为零。对于动态性能的要求，希望小球能较快且平稳，期望调节时间Ts为3s，超调量小于5%。根据时域和频域指标的关系，可将时域性能指标转换为频率响应的约束条件。如系统的带宽与闭环系统自然振荡频率wn和阻尼比z有关，而zwn与调节时间有关。相角裕度PM和阻尼比z有关，进而与超调量相关。 （1-4）zeta = -log(.05)/sqrt(p

7、i2+(log(.05)2);PM = 100*zeta; wbw = (4/(3*zeta)*sqrt(1-2*zeta2)+sqrt(4*zeta4-4*zeta2+2);得 z 0.6901，PM 69.0107 deg，wbw 1.9785 rad/sec3开环响应 首先用MATLAB描述上述模型，并观察开环系统阶跃响应。J=9.99e-6;m=0.11;R=0.015;g=9.8;d=0.03;l=1.0;num=m*g*d*R*R;den=(J+m*R*R)*l 0 0;ball=tf(num,den)bode(ball)margin(ball)Bode图如下：图1-1 小球位置开

8、环频率特性曲线由图1-1知原系统的相角裕度为0 deg，截止频率为0.458rad/sec，由此判断闭环系统的调节时间不能满足设计要求。期望的截止频率为1.9785rad/sec，相角裕度为70 deg，而校正前系统在1.9785rad/sec处的幅度为-20dB，相角为-180 deg。需增加系统截止频率和相角裕度。二、闭环系统控制器设计1 概述将小球的位置做完控制量，构成闭环，系统闭环控制框图如图2-1所示，控制器设计采用串联校正，设计思想采用开环频率特性设计方法，即根据系统的开环频率性能指标确定校正器参数。图2-1 闭环系统控制框图设计步骤：（1）根据稳态误差要求确定系统控制器结构；根据

9、调节时间的要求确定截止频率。（2）确定未校正系统需增加的最大相位超前角及新的幅值穿越频率；（3）确定控制器的传递函数；（4）校验，验算校正后系统性能。2 控制器设计（1）确定控制器的结构由上图可知，为了达到象角要求，需要增加一个积分环节并添加一个零点，构成PI控制器，零点的位置以低于截止频率10倍频程即可。由期望的截止频率wc所对应的幅值Mag（wc），确定PI的增益Kp，Ki。 （2-1） （2-2）由此确定PI控制器的传递函数为： （2-3）J=9.99e-6;m=0.11;R=0.015;g=9.8;d=0.03;l=1.0;num=m*g*d*R*R;den=(J+m*R*R)*l 0

10、 0;ball=tf(num,den);w=logspace(0,2,101);mag,phase,w=bode(num,den,w)L=find(w5.5);wc=w(L(1)Mag=20*log10(mag(L(1)Kp=10(-Mag/20)Ki=0.1*wc*Kpsysc=tf(Kp Ki,1 0)bode(sysc*ball);margin(sysc*ball);图2-2 PI校正后系统BODE图根据图2-2所示，加PI校正后系统的截止频率为2rad/sec满足要求，但相角裕度PM为-5.7 deg，需增加滞后校正环节，欲减小的相角由超调量的要求确定。（2）确定超前校正环节参数根据超

11、前校正步骤，已知待补偿相角和计算校正器参数a和T。 （2-4） （2-5）由此确定超前校正控制器的传递函数为：从上面的图可以看出，相角裕度应该再提高96。但是可知，超前校正控制器的加入会影响截止频率，从而减小相角裕度，所以在这里，我们选用大于96的超前角100。PM=100;a = (1+sin(PM*pi/180)/(1-sin(PM*pi/180);mag0,phase0,w0=bode(sysc*ball);adb=20*log10(mag0);am=-10*log10(a);wgc=spline(adb,w0,am);T = 1/(wgc*sqrt(a);con2 = tf(a*T 1

12、,T 1);w = logspace(2,3,101);bode(con2*sysc*ball,w)margin(con2*sysc*ball)图形如下：图2-3 加超前校正的系统BODE图 可以看到相角裕度为78.3，满足相角裕度要求，截止频率比期望的大了一些。 3）确定控制器的零极点和增益通过调整增益K1使系统的截止频率在指定范围。mag1,phase1,w1=bode(con2*sysc*ball,w)L1=find(w15);wc1=w1(L1(1)Mag1=20*log10(mag1(L1(1)K1=10(-Mag1/20)bode(K1*con2*sysc*ball,w)margi

13、n(con2*sysc*ball);图2-4 校正后的系统BODE图（4）校验，验算校正后系统性能。这时候的时域响应情况为：figure(2)sys_cl = feedback(K1*sysc*con2*ball,1); %CLOSED-LOOP SYSTEMt = 0:0.01:1;step(sys_cl,t)图2-5 校正后闭环系统阶跃响应由上图可知，响应时间非常的短，远远低于期望的3sec，但是系统的超调量为33%，也远大于需要的5%。在这里，反复的调整参数，PM于截止频率Wc。最后当PM=85，Wc=2rad/sec时，得到如下响应曲线：图2-6 校正后闭环系统阶跃响应响应的超调量为4

14、%，响应时间为0.66sec，符合设计要求。校验扰动下的稳态误差:d_cl=feedback(ball,K1*sysc*con2); % DISTRUBANCE STEPsys_d=zpk(d_cl)figure(3)step(sys_d,t)图形如下：图2-7 校正后扰动输入系统阶跃响应三、结论 由以上的仿真和设计可以看到，设计出的系统完全符合要求：控制器为：controller= K1*sysc*con2系统传递函数如下： 0.20946 s (s+229)-(s+0.44) (s+0.2086) (s2 + 228.4s + 2.484e004)性能指标为超调量4%，调节时间0.66s，

15、单位阶跃输入和扰动输入的稳态误差均为0。四、课程学习体会控制理论作为一门以应用为主的学科，其灵魂在于工业应用。因此，在长期逗留在书本上的学习中，我们虽然表面上掌握了许多控制理论知识，但是感性认识的缺乏以及控制中许多约定俗成的规范，使得我们脑海中始终没有形成一幅控制理念的图画，感觉课程深奥，难懂。非常幸运的，我们能够开设一门matlab课程设计的课程，它让我们在一台简单的计算机上，就能够看到控制的过程；简单的换掉几个参数，就能很快仿真出新的控制结果，给我们理解控制理论以及其他种种缺乏感性认识的课程提供了强有力的工具。让人欣喜！感谢老师在教学过程中的指导！五、附录本文所设计程序清单：J=9.99e

16、-6;m=0.11;R=0.015;g=9.8;d=0.03;l=1.0;num=m*g*d*R*R;den=(J+m*R*R)*l 0 0;ball=tf(num,den);bode(num,den)margin(num,den)figure(2)w=logspace(0,2,101);mag,phase,w=bode(num,den,w)L=find(w2);wc=w(L(1)Mag=20*log10(mag(L(1)Kp=10(-Mag/20)Ki=0.1*wc*Kpsysc=tf(Kp Ki,1 0)bode(sysc*ball,w)margin(sysc*ball)figure(3)

17、PM=85;a = (1+sin(PM*pi/180)/(1-sin(PM*pi/180);mag0,phase0,w0=bode(sysc*ball);adb=20*log10(mag0);am=-10*log10(a);wgc=spline(adb,w0,am);T = 1/(wgc*sqrt(a);con2 = tf(a*T 1,T 1);w = logspace(2,3,101);bode(con2*sysc*ball,w)margin(con2*sysc*ball)figure(4)mag1,phase1,w1=bode(con2*sysc*ball,w)L1=find(w12);wc1=w1(L1(1)Mag1=20*log10(mag1(L1(1)K1=10(-Mag1/20)bode(K1*con2*sysc*ball,w)margin(K1*con2*sysc*ball)figure(5)sys_cl = feedback(K1*sysc*con2*ball,1); %CLOSED-LOOP SYSTEMt = 0:0.01:1;step(sys_cl,t)d_cl=feedback(ball,K1*sysc*con2); % DISTRUBANCE STEPsys_d=zpk(d_cl)figure(6)t = 0:0.01:30;step(sys_d,t).