弹塑性力学之应力分析.pdf

1、弹 塑 性 力 学弹 塑 性 力 学许强许强土木工程学院土木工程学院第二章 应力分析第二章 应力分析2-1 外力和应力矢量2-1 外力和应力矢量2-2 应力张量2-3 平衡方程和运动方程2-4 主应力2-5 最大剪应力2-6 球应力张量和偏应力张量2-2 应力张量2-3 平衡方程和运动方程2-4 主应力2-5 最大剪应力2-6 球应力张量和偏应力张量第二章 应力分析第二章 应力分析本章将从静力学（或动力学）的观点出发，分析物体内任 意一点处的内力，研究内力和外力所应满足的条件，即建 立平衡方程（或运动方程）。由于本章将从静力学（或动力学）的观点出发，分析物体内任 意一点处的内力，研究内力和外力

2、所应满足的条件，即建 立平衡方程（或运动方程）。由于假定位移是很小的假定位移是很小的，所 以在分析中将忽略物体的变形，这种近似只会引起高阶小 量的误差。另外在分析中不涉及材料性质，故所得结论也 适用于其它小变形连续介质力学问题。，所 以在分析中将忽略物体的变形，这种近似只会引起高阶小 量的误差。另外在分析中不涉及材料性质，故所得结论也 适用于其它小变形连续介质力学问题。2-1 外力和应力矢量2-1 外力和应力矢量作用在物体上的力作用在物体上的力体力面力作用在物体内部点上的外力，如重力、旋转机械的离心力等作用在物体内部点上的外力，如重力、旋转机械的离心力等是外部介质或物体通过接触作用在物体表面上

3、的力。是外部介质或物体通过接触作用在物体表面上的力。0limVV=Ff0limSS=FTdefdef体力的量纲：力长度-3 面力的量纲：力长度-2 1.外力外力说明：说明：(1)f 是坐标的连续分布函数是坐标的连续分布函数；(2)f 的加载方式是任意的的加载方式是任意的(如：重力，惯性力等如：重力，惯性力等)(3)X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。的正负号由坐标方向确定。iiXYZX=+=fijkeX、Y、Z 为体力矢量在坐标轴上的投影为体力矢量在坐标轴上的投影(1)体力体力 弹性体内弹性体内单位体积单位体积上所受的外力上所受的外力VFxyzOijkXYZ0limVV=Ff(2.1)单位：单

4、位：N/m3kN/m3(2)面力面力 作用于物体表面作用于物体表面单位面积单位面积上的外力上的外力0limSS=FT(2.2)iiXYZX=+=TijkeX Y Z为面力矢量在坐标轴上的投影单位：为面力矢量在坐标轴上的投影单位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕)说明：说明：(1)是坐标的连续分布函数是坐标的连续分布函数；T(2)的加载方式是任意的的加载方式是任意的;T(3)的正负号由坐标方向确定。的正负号由坐标方向确定。X Y ZSFxyzOijkXYZ在本书中，总是假定体力是已知的；而作用在物体表面上的面 力也许是已知的，也许是未知的。在本书中，总是假定体力是

5、已知的；而作用在物体表面上的面 力也许是已知的，也许是未知的。2.应力应力(1)一点应力的概念一点应力的概念SF F内力内力(1)物体内部分子或原子间的相互作 用力物体内部分子或原子间的相互作 用力;(2)由于外因作用引起的相互作用力由于外因作用引起的相互作用力.(不考虑不考虑)P0limSS=FT(1)P点的内力面分布集度点的内力面分布集度(2)应力矢量应力矢量.-P点的应力点的应力-F的极限方向的极限方向由外因引起的在由外因引起的在 P点的某一面上内力分布集度点的某一面上内力分布集度应力分量应力分量n(法线法线)应力的法向分量应力的法向分量 正应力应力的切向分量正应力应力的切向分量 剪应力

6、剪应力单位单位:与面力相同与面力相同MPa(兆帕)应力关于坐标连续分布的应力关于坐标连续分布的(,)x y z=(,)x y z=FnPS?()aFnPS?()b0(,)limSS=FTT r n(2.3)为为P点处外法线方向为点处外法线方向为n的微分面上 的应力矢量或应力。并有的微分面上 的应力矢量或应力。并有一点的全应力可沿过该点的某一微分面的法向和切向分解，也可将其沿直角坐标 系的3个坐标轴方向分解，即有一点的全应力可沿过该点的某一微分面的法向和切向分解，也可将其沿直角坐标 系的3个坐标轴方向分解，即有(,)(,)=T rnT r n(2.4)iiT=Te(2.5)nP?TnniiTn=

7、nT n(2.6)22T=nn(2.7)1T2T3T通过物体内同一点可以作无数个不同外法向的微分面。显然不同微 分面上的应力矢量是不一定相同的。通过物体内同一点可以作无数个不同外法向的微分面。显然不同微 分面上的应力矢量是不一定相同的。把物体内同一点处所有微分面 上的应力情况称为该点的应力状态。把物体内同一点处所有微分面 上的应力情况称为该点的应力状态。2-2 应力张量2-2 应力张量问题提出：问题提出：过一点的任意微分面上的应力是否可由过该点的有限个 不同微分面上的应力矢量表征出来？过一点的任意微分面上的应力是否可由过该点的有限个 不同微分面上的应力矢量表征出来？如果能通过一点处的有限个指

8、定微分面上的应力来表征过该点的任意微分面上的应力，则一点的 应力描述就能够得以全面。如果能通过一点处的有限个指 定微分面上的应力来表征过该点的任意微分面上的应力，则一点的 应力描述就能够得以全面。回答是肯定的回答是肯定的。如。如x面的应力面的应力,xxyxz y面的应力面的应力,yyxyzz面的应力面的应力,zzxzy 1e2e3e1e2e3e1e2e3e313233212223111213xyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx用矩阵表示：用矩阵表示：xxyxzyxyyzzxzyz=其中，只有6个量独立。其中，只有6个量独立。xyxyyx=yzzy=剪应力互等定理剪应力互等定理应力

9、符号的意义：应力符号的意义：zxxz=第第1个下标个下标 x 表示表示所在面的法线方向；第所在面的法线方向；第2个下标个下标 y 表示表示的真实方向的真实方向.应力应力正负号正负号的规定：的规定：正应力正应力 拉为正，压为负。剪应力拉为正，压为负。剪应力 坐标坐标正面正面上，与坐标正向一致时为正；坐标上，与坐标正向一致时为正；坐标负面负面上，与坐标正向相反时为正。上，与坐标正向相反时为正。xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx结论：结论：取三个微分面，如 取三个微分面，如“正面正面”，它们的外法向单位矢量分别是 基矢量，它们的外法向单位矢量分别是 基矢量e1、e2、e3。这

10、三个微分面上的。这三个微分面上的应力矢量应力矢量分别用分别用T1、T2和和T3表 示。把这三个表 示。把这三个应力矢量应力矢量沿基矢量方向分解（如图4.3所示），得沿基矢量方向分解（如图4.3所示），得iijj=Te(2.8)ij的意义：的意义：11是是T1在在e1方向的分量，与其作用面 垂直，是正应力；方向的分量，与其作用面 垂直，是正应力；12和和13分别是分别是T1在在e2和和e3方向 的分量，与作用面相切，是剪应力分量，其它类似。方向 的分量，与作用面相切，是剪应力分量，其它类似。111213212223313233xxyxzijyxyyzzxzyz=(2.9)根据式（2.4），外法向

11、单位矢量为根据式（2.4），外法向单位矢量为ei的微分面上的应力矢量为的微分面上的应力矢量为()()()iiiiijjijj=TTeT eTee(2.10)和坐标轴任意倾斜的微分面上的应力和坐标轴任意倾斜的微分面上的应力前面已定义了平行于（给定）坐标面的微分面上的应力。前面已定义了平行于（给定）坐标面的微分面上的应力。现在讨论现在讨论：倘若 过域内一点的六个微分面上的应力均为已知，求过该点的法向为任意方位 的相应微分面上的应力。为此，设：倘若 过域内一点的六个微分面上的应力均为已知，求过该点的法向为任意方位 的相应微分面上的应力。为此，设P是物体中的任一点，过该点取一个小 四面体是物体中的任一

12、点，过该点取一个小 四面体Pabc，如图4.4所示。，如图4.4所示。3eabcP1e2en矢量矢量n可表示成可表示成221 13 31 123 1132123/()()/(2)()/(2)iiiinab ac ab acdxdxdxdxdSdSdx dxdx dxdx dxdSdS=+=uu ruu ruu ruu rneeeeeeeee于是，有于是，有iidSn dS=(2.11)22ddt=uu&作用在四面体上的体积力和惯性力之和为，其中作用在四面体上的体积力和惯性力之和为，其中 是质 量密度，是质 量密度，dV为四面体的体积为四面体的体积hdShdS/3。根据/3。根据DAlember

13、t原理，得原理，得()dVfu&用用u表示质点的位移，表示质点的位移，t表示时间，则加速度为表示时间，则加速度为()iidSdSdV+=TTfuO&利用式（2.11）和，上式可化成利用式（2.11）和，上式可化成/3dVhdS=13()iinh+=TTfuO&固定固定P点，保持点，保持n不变，令不变，令h趋于零，从上式得趋于零，从上式得iin=TTn (2.12a)强调：强调：上式中，（对于上述四面体）上式中，（对于上述四面体）T表示法向为表示法向为n的斜微分面的斜微分面abc上的应力矢量或全应 力，而上的应力矢量或全应 力，而T1、T2、T3 则分别为对应于法线为则分别为对应于法线为x、y、

14、z轴的微分面上的应力矢量或全应力。轴的微分面上的应力矢量或全应力。3eabcP1e2enT-1T-3T-2T微元体的动 态平衡方程微元体的动 态平衡方程iiijij=eTee 其中 是一个二阶张量，称为应力张量。上式 也可以写成分量形式其中 是一个二阶张量，称为应力张量。上式 也可以写成分量形式ijijTn=(2.12b)111212313112122232321312323333 nxyxzxnxyyzynxzyzzlmnnnnTlmnnnnTlmnnnnT=+=+=+=+=+=+=XYZ即即说明：说明：式（式（2.12b）表明，当域内某点处平行于坐标面的微分面上的应力描述为已知，且过该点指

15、定斜微分面的法向方向也已知时，则可由式（）表明，当域内某点处平行于坐标面的微分面上的应力描述为已知，且过该点指定斜微分面的法向方向也已知时，则可由式（2.12b）求得该斜微分面上的应力矢量）求得该斜微分面上的应力矢量T向坐标轴方向的投影值向坐标轴方向的投影值Ti。而而1 1233 3iiTTTT=+=Teeee(2.5)结论：结论：式(2.12)表明，过一点任意微分面上的应力矢量可由三个相互垂 直的微分面上的应力矢量表示出来，也即可由应力张量表示出来。故应力 张量完全确定了一点的应力状态。式(2.12)表明，过一点任意微分面上的应力矢量可由三个相互垂 直的微分面上的应力矢量表示出来，也即可由应

16、力张量表示出来。故应力 张量完全确定了一点的应力状态。T的正应力分量和剪应力分量为的正应力分量和剪应力分量为(2.13)iiijijTnnn=nT nn n222=nnT(2.14)既然是张量，则在坐标变换时，其分量满足张量的变换规律，即既然是张量，则在坐标变换时，其分量满足张量的变换规律，即i ji ij jij =(2.15)ijijTn=111212313112122232321312323333 nxyxzxnxyyzynxzyzzlmnnnnTlmnnnnTlmnnnnT=+=+=+=+=+=+=XYZ即即静力（或应力）边界条件：静力（或应力）边界条件：当上述所讨论的域内点当上述所讨

17、论的域内点P挪动到挪动到物体的边界面 上时，这时式（物体的边界面 上时，这时式（2.12）中的法向）中的法向n则表示物体表面在则表示物体表面在P点的外法向单位矢 量，而点的外法向单位矢 量，而T则表示由于外部介质的作用所产生的对该物体表面上的作用力，即则表示由于外部介质的作用所产生的对该物体表面上的作用力，即“面力 面力”。于是，式（。于是，式（2.12）又可表示物体表面上的外力与内力之间的 关系，即物体表面上任意点的平衡条件，亦力的边界条件。通常写为）又可表示物体表面上的外力与内力之间的 关系，即物体表面上任意点的平衡条件，亦力的边界条件。通常写为T上一节研究的是一点的应力状态，本节要研究应

18、力状态在物体 中的上一节研究的是一点的应力状态，本节要研究应力状态在物体 中的变化变化问题。应力的变化并不是任意的，应力张量的变化必须满 足平衡条件或动量定理和动量矩定理。问题。应力的变化并不是任意的，应力张量的变化必须满 足平衡条件或动量定理和动量矩定理。2-3 平衡方程和运动方程2-3 平衡方程和运动方程()VSdVdS+=fuTO&(2.16)SSVdSdSdV=Tn 从物体中任意切出一块体积从物体中任意切出一块体积V，其表面为，其表面为S，则作用在上的体积力、惯性力和面力的合力必须为零，即，则作用在上的体积力、惯性力和面力的合力必须为零，即利用式（2.12）和奥高公式，上式中的第二项可

19、化为利用式（2.12）和奥高公式，上式中的第二项可化为故式（2.16）成为故式（2.16）成为()VdV+=&fuO 假定被积函数是连续的，又由于积分域假定被积函数是连续的，又由于积分域V可任意选择，故要求被积函数满足可任意选择，故要求被积函数满足其分量形式为其分量形式为+=&fu(2.17a),ji jiifu+=&(2.17b)作用在作用在V上的所有力的动量矩之和为零，即上的所有力的动量矩之和为零，即()VSdVdS+=rfur TO&(2.18)故式（2.16）成为故式（2.16）成为()VdV+=&fuO 上式亦为质点的运动方程；若，则称其为域内任意点的平衡方程。上式亦为质点的运动方程

20、；若，则称其为域内任意点的平衡方程。0iu=&上式中的第二项为上式中的第二项为()iikkjjSSSdSdSxndS=r Trnee 由式（1.74）可知由式（1.74）可知,()()kkjjiikj kjkjkjiiVVxdVedV=+=+eeeeer,()iikjjkVxdV=ee故式(2.18)可化成故式(2.18)可化成()kjkjiiVedV+=&rfueO 由式（2.17）可知，上式变成由式（2.17）可知，上式变成kjkjiiVedV=eO动态 平衡动态 平衡由于由于V的任意性，则从上式可得的任意性，则从上式可得233213113212213()()()kjkjiie=+=eee

21、eO即即ijji=(2.19a)上式表明，应力张量是上式表明，应力张量是对称对称的，九个应 力分量中只有六个是独立的。这一结论 可由的，九个应 力分量中只有六个是独立的。这一结论 可由剪应力互等定理剪应力互等定理证之。剪应力互等 定理可叙述为：过物体内任意一点的两 个相互垂直的微分面上，与这两个微分 面的交线垂直的两个剪应力相等。证之。剪应力互等 定理可叙述为：过物体内任意一点的两 个相互垂直的微分面上，与这两个微分 面的交线垂直的两个剪应力相等。为了帮助读者理解运动方程和剪应力互 等定理，下面用更直观的方法来推导它 们。为了帮助读者理解运动方程和剪应力互 等定理，下面用更直观的方法来推导它

22、们。1e2e3eaa111213212223333231111111dxx+121211dxx+131311dxx+222222dxx+212122dxx+232322dxx+313133dxx+323233dxx+333333dxx+图4.5（考虑体力）微元体的力平 衡示意图（考虑体力）微元体的力平 衡示意图由一元函数的Taylor展开式可知：由一元函数的Taylor展开式可知：20000012f xf xfxxxfxxx=+()()()()()()!L，则，则L+222)(!21dxxdxxxxxdxxxx+x=正L+222)(!21dxxdxxxyxyxydxxxyxy+xy=正根据根据

23、DAlembert原理,所有作用在微元体上的力在原理,所有作用在微元体上的力在e1方向的投影之和为零，即方向的投影之和为零，即11211112311232121321131231313123112112311233()()()0dx dx dxdx dxdx dx dxdx dxxxdx dx dxdx dxf dx dx dxu dx dx dxx+=&同理，可建立微元体上的力分别在同理，可建立微元体上的力分别在e2 2、e3 方向的投影之和为零的动态平衡方程。对这三个平衡方程，分别略去高阶小量，可获得简化后的形式，即方向的投影之和为零的动态平衡方程。对这三个平衡方程，分别略去高阶小量，可获

24、得简化后的形式，即112131112312223221231323333123fuxxxfuxxxfuxxx+=+=+=123&（2.17c）动态平衡微分方程动态平衡微分方程纳维（纳维（Navier）方程）方程说明：说明：式（式（2.17）表示物体内部的平衡条件；描述物体内任意一点的应力分量与体力、惯性力之间的动平衡关系。）表示物体内部的平衡条件；描述物体内任意一点的应力分量与体力、惯性力之间的动平衡关系。再由作用在微元体上的所有力对再由作用在微元体上的所有力对aa轴（即与轴（即与e1 对应的轴）取矩之和为零，即得对应的轴）取矩之和为零，即得13321213113231211223113232

25、22222213232132223332233333123231233332123()()22()()2()()22dxdxdxdx dxdxdx dxxxdxdxdx dxdx dx dxdxxxdxdxdx dxdx dx dxdxxxdxf dx dx dxf+2312332212331232022dxdx dx dxdxdxu dx dx dxu dx dx dx+=&上式两边同除以上式两边同除以d dx1 d dx2 d dx3 3，并略去高阶小量，化简后可得到下面的第一式。类 似地可得到后面两式。即，并略去高阶小量，化简后可得到下面的第一式。类 似地可得到后面两式。即2332133

26、12112,=(2.19b)最后指出最后指出，独立的应力分量只有，独立的应力分量只有六六个，而运动方程或平衡方程只有个，而运动方程或平衡方程只有三三个。所以在一般的情况下，弹性力学问题是个。所以在一般的情况下，弹性力学问题是超静定超静定的，要确定应力分量必须补 充其它条件。的，要确定应力分量必须补 充其它条件。2-4 主应力2-4 主应力如果作用在某一微分面上的应力矢量和这一微分面垂直，即这一微分面上只 有正应力而无剪应力，则这一微分面称如果作用在某一微分面上的应力矢量和这一微分面垂直，即这一微分面上只 有正应力而无剪应力，则这一微分面称为主平面为主平面，其法线方向称为，其法线方向称为应力主方

27、向应力主方向，其上的应力称为，其上的应力称为主应力主应力。如果三个坐标轴方向都是主方向，则称这一坐标系。如果三个坐标轴方向都是主方向，则称这一坐标系为主 坐标系为主 坐标系。（亦将直角坐标方向沿主应力方向放置，以构成主坐标系。）。（亦将直角坐标方向沿主应力方向放置，以构成主坐标系。）=Tn用用n表示主平面的单位法向矢 量，以 表示主应力，于是主 平面上的应力矢量为表示主平面的单位法向矢 量，以 表示主应力，于是主 平面上的应力矢量为把上式代入（2.12a），得把上式代入（2.12a），得=Tn n=nn即即(2.20)类似特征方程（1.46）的导出，应力张量的特征方程和三个不变量为类似特征方程

28、（1.46）的导出，应力张量的特征方程和三个不变量为321230III+=(2.21)其中其中11232221211222233331112233121223313123()detiiiijjijijIII =+=+=+=(2.22)2-5 最大剪应力2-5 最大剪应力为简单起见，取应力张量的三个相互垂直的特征矢量作为基矢量 为简单起见，取应力张量的三个相互垂直的特征矢量作为基矢量 ei，则由谱定理可知（式1.49），则由谱定理可知（式1.49）31iiii=ee(2.23)在法向单位矢量为在法向单位矢量为n的微分面上，有的微分面上，有31iiiin=T ne(2.24)2ijijiin nn

29、=nn T(2.25)222222()iiiinn=nnT T(2.26)分三种情况来求一点处的最大剪应力及其作用的微分面。分三种情况来求一点处的最大剪应力及其作用的微分面。分三种情况来求一点处的最大剪应力及其作用的微分面。分三种情况来求一点处的最大剪应力及其作用的微分面。（1）三个主应力相等，即（1）三个主应力相等，即1=2=3利用ni ni=1，从式（2.26）可得n=0，即过该点的任何微分面上 剪应力都为零。事实上，我们在证明谱定理时就知道，此时任何方 向都是主方向。（2）三个主应力中有两个相等，不妨设（2）三个主应力中有两个相等，不妨设1=2 3则式（2.26）可化成222222222

30、 21311233123()()nnnnnn=+n222222 213331333(1)(1)nnnn=+(a)进一步化简得132=n最大剪应力计算式最大剪应力计算式这个最大剪应力可以发生在与一个圆锥面相切的任何微分面上，这个圆锥面与这个最大剪应力可以发生在与一个圆锥面相切的任何微分面上，这个圆锥面与x3 轴成角轴成角45，见图，见图4.6。由 对 的导数为零，由 对 的导数为零，。2n23n这个最大剪应力可以发生在与一个圆锥面相切的任何 微分面上，这个圆锥面与这个最大剪应力可以发生在与一个圆锥面相切的任何 微分面上，这个圆锥面与x3轴成角轴成角45，见图，见图4.6。45o45o1x2x3x

31、（3）三个主应力互不相等（3）三个主应力互不相等()10iinn=n(b)20jjnn+=n(c)是 的函数，但三个 不独立，满足约束条件2ninin使用拉格朗日乘子法来求 的极值，则2n其中为拉氏乘子，而2222222()22 242(2)iijjjjjjjjjjjjnnnnnnnn =nnnnnn（对（对j不求和）不求和）()(1)2iijjjnnnnn=n即即211122222333(2)0(2)0(2)0nnn +=+=+=nnn(d)于是式(c)化成2(2)0jjjn+=n（对（对j不求和）不求和）由于由于n是单位矢量，故其三个是单位矢量，故其三个ni i 不能同时为零。不能同时为零

32、。22211223320,20,20 +=+=+=nnn分析：分析：2.若三个若三个ni 全不为零，则式（全不为零，则式（d）为）为1.设三个设三个ni 中有二个为零，如，则有，此为主方向，必有，不是所要求的解。中有二个为零，如，则有，此为主方向，必有，不是所要求的解。120nn=31n=0n=从上面的前两式和后两式分别可得 和，故从上面的前两式和后两式分别可得 和，故1 1=3 3，这是 不可能的。，这是 不可能的。12()/2n=+23()/2n=+3.故三个故三个ni 中只能有一个为零，也必须有一个为零。中只能有一个为零，也必须有一个为零。3.故三个故三个ni 中只能有一个为零，也必须有

33、一个为零。中只能有一个为零，也必须有一个为零。若若n n1 1=0,=0,n n2 2 0,0,n n3 3 0，从（d）的后两式得0，从（d）的后两式得22223320,20 +=+=nn将上列两式相减，可求出将上列两式相减，可求出232+=n把它代入(2.25)式，并利用 和，可解得把它代入(2.25)式，并利用 和，可解得10n=22231nn+=123110,22nnn=同理可得下列两组解同理可得下列两组解12311,0,22nnn=12311,022nnn=求得ni后，利用式（2.25）和(2.26)可求出相应的正应力和剪应 力，结果列于表4.1中。1n012122n120123n1

34、2120n232132122n232+132+122+表4.1.正应力和剪应力1e2e3e45o45o12322,0,22nnn=由于我们已规定1 2 2，故最大剪应力是13max2=它作用在和e2平行且平分e1和e3的夹角的微分面上，如图4.7所示。2-6 球应力张量和偏应力张量2-6 球应力张量和偏应力张量用 表示应力张量的第一不变量，称 为球应力张量。球 应力张量的三个主值相等，所以任意方向都是它的主方向。用 表示应力张量的第一不变量，称 为球应力张量。球 应力张量的三个主值相等，所以任意方向都是它的主方向。ii=13ij为偏应力张量。为偏应力张量。13=SI(2.27a)或称张量或称张

35、量13ijijijS=(2.27b)若若n是应力主方向的单位矢量，则从式（2.20）可得是应力主方向的单位矢量，则从式（2.20）可得1133()()=Inn(2.28)如用如用S表示偏应力张量的主值，则上式就是（表示偏应力张量的主值，则上式就是（类似特征方程（类似特征方程（1.46）的导出）的导出）S=S nn(2.29)因此很清楚，偏应力张量的主方向和应力主方向一致，偏应力张量的主值为因此很清楚，偏应力张量的主方向和应力主方向一致，偏应力张量的主值为13iiS=(2.30)偏应力张量的三个不变量为122212112222333311122331230detiiijjiISIS SS SS SS SSSSI=+=S(2.31)也可以表示成2I122222221122223333111223316()()()6()I=+(2.32)最后指出，球应力张量和偏应力张量在塑性力学和粘弹性力学中 是非常有用的概念。最后指出，球应力张量和偏应力张量在塑性力学和粘弹性力学中 是非常有用的概念。