量子力学知识点小结.docx

1、量 子 力 学量子力学知识总结 物理111 杨涛认真、努力、坚持、反思、总结量子力学知识点小结一、绪论1.光的粒子性是由黑体辐射、光电效应和康普顿效应（散射）三个实验最终确定的。2.德布罗意假设是任何物质都具有波粒二象性，其德布罗意关系为和3.波尔的三个基本假设是定态条件假设、4.自由粒子的波函数5.戴维孙革末的电子在晶体上衍射实验证明了电子具有波动性。二、波函数及薛定谔方程（一）波函数的统计解释（物理意义）A.波函数的统计解释 。B. 波函数的统计解释位置处单位体积没找到粒子的几率。例：已知体系处于波函数所描写的状态，则在区间内找到粒子的概率是. 已知体系处于波函数所描写的状态，则在球壳内找

2、到粒子的概率是，在立体角内找到粒子的概率是.（注：）（二）态叠加原理：如果和是体系的可能状态，那么它们的线性叠加 （为复数）也是这个体系可能的状态。 含义：当体系处于和的线性叠加态（为复数）时，体系既处于态又处于态，对应的概率为和. （三）概率密度（分布）函数（四）薛定谔方程：问题：1.描写粒子（如电子）运动状态的波函数对粒子（如电子）的描述是统计性的.2. 薛定谔方程是量子力学的一个基本假设，不是通过严格的数学推导而来的（五）连续性方程：问题：波函数的标准条件单值、连续、有界。（六）定态薛定谔方程： 即：定态的特点：（1）粒子的几率密度和几率流密度与时间无关 （2）能量具有确定的值（可由自由

3、粒子的波函数进行验证）（3）各力学量的平均值不随时间变化定义：哈密顿算符于是定态薛定谔方程可写为： 这种类型的方程称为本征值方程，被称为算符的本征值，称为算符的本征方程。讨论定态问题，就是要求出（或）和，含时间的薛定谔方程的一般解，可以写成这些定态波函数的线性迭加： 为常数。（七）一维无限深势阱问题设粒子的势能：在势阱外 （1）在势阱内：因为，所以其定态薛定谔方程为： （2）令 （3）则方程（2）可化为标准形式： （4）其通解为： （5）式中，为两个待定常数，单从数学上看，为任何值方程（2）都有解，然而，根据波函数连续性要求，在势阱边界上，有 （6） （7）由（5）式和（6）式得： 令波函数不

4、能恒为零，而不能为零，所以必须 ，于是 （8）再根据（7）式得所以必须满足： 取负数给不出新的波函数。这告诉我们k只能取下列值 (9)由(3）式可知，粒子的能量只能取下列值： (10)将（9）式代入到（8）式中，并把势阱外的波函数也包括在内，我们就得到能量为的波函数。 （11）注：，波函数无意义（11）式中A可由归一化条件确定知：最后得到能量为的归一化波函数为：总结：1、可得：2、可得： 3、可得：问题：粒子在一维无限深势阱中运动时，若阱宽减小，则其能级间隔会增大.（八）一维线性谐振子问题：一维线性谐振子的势能：定态薛定谔方程： 令： 最后可求得一维线性谐振子的能量与对应的波函数为： 与之相应

5、的波函数为：归一化因子 其中：为厄米多项式且有：小结：一维线性谐振子： 一维线性谐振子的基态能量与对应的波函数问题：1.线性谐振子能量的本征方程是或.定义算符：克罗内克符号：对线性谐振子：注：上述算符仅适用于线性谐振子2.设是一维线性谐振子的波函数，则有： 0 0 三、量子力学中的力学量 （一）线性算符若则称为线性算符，其中为两个任意函数，是常数（复数）.（二）厄米算符如果对于任意两个函数和，算符满足下列等式：则称为厄米算符.注：两个厄密算符之和仍为厄密算符，但两个厄密算符之积却不一定是厄密算符，除非两者可以对易。在量子力学中刻划力学量的算符都是线性厄米算符（三）算符的本征值和本征函数如果算符

6、作用在一个函数，结果等于乘上一个常数： 本征方程则称为的本征值，为属于的本征函数本征方程的物理意义：如果算符表示力学量，那么当体系处于的本征态时，力学量有确定值，这个值就是在态中的本征值。（四）常用力学量的算符表示：算符与力学量的关系：量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本征函数组成完全系，当体系处于波函数描写的状态时，测量力学量所得的数值，必定是算符的本征值之一，测得的概率是.（）坐标表象下： （五）动量算符和角动量算符 1.动量算符：动量算符的本征值方程2.角动量算符角动量平方算符与角动量分量算符的本征函数和本征值球谐函数是角动量平方算符与角动量分量算符共同的本征函数.（不做记忆

7、要求）因此角动量平方算符与角动量分量算符的本征值分别为和，其中称为角量子数称为磁量子数.简并：对于一个本征值有一个以上的本征函数的情况称为简并简并度：对应同一本征值的本征函数的数目称为简并度问题：1.不考虑电子自旋，氢原子的第条能级的简并度为.2. 考虑电子自旋，氢原子的第条能级的简并度为.3. 球谐函数是算符和的共同本征函数，相应的本征值为：和.（六）类氢离子问题：哈密顿算符：的本征值方程：该方程的解： 为径向函数：不做记忆要求.基态波函数； （重点公式） 类氢离子的能量： 类氢离子的波函数： 基态波函数； （七）算符的对易关系： 定义：对于算符和，如果则称算符和对易，如果则称算符和反对易（

8、注：）.泡利算符满足反对易关系，即定理：如果两个算符对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数，该定理的逆定理也成立。 问题：1.写出下列算符的对易关系 . . . . . 2.若力学量对应算符和满足，则表示它们相互对易且有一组共同的本征函数。（八）测不准原理 对于算符和，设 （九）平均值公式已知算符是线性厄米算符，它的正交归一本征函数是对应的本征值是，若体系处于归一化波函数所描写的状态，则力学量在该体系下的平均值（期望值）公式为：问题： 1.求证：厄米算符的本征值为实数.证明：设为厄密算符，为的本征值，表示所属的本征函数，即：因为：（为厄密算符）取，则有：即是实数。2.求证：厄米算符的属于

9、不同本征值的本征函数相互正交.证明：设是厄米算符的本征函数，它们所属的本征值互不相等.则有：且当时，又是厄米算符，故，因此有;用右乘（4）式两边并对整个空间积分得：用左乘（2）式两边并对整个空间积分得：又 由（5）（7）式可得：联立（3）（8）可知：.证毕. 3.设粒子做一维运动，波函数为：是任意常数，求 （1）归一化常数（2）概率分布函数（3）概率最大位置（4）在内发现粒子的概率。（5）和的平均值解：（1）由归一化条件得： （2）概率分布函数为; （3）由（2）可知，当时，即概率最小位置，根据极值条件： 又：故：为概率最大位置，且有.（4）在内发现粒子的概率即在内发现粒子的概率是. 上述积分

10、用分部积分法求解.参考积分公式：4.求一维线性谐振子处在第一激发态时几率最大位置。解：由得：一维线性谐振子处在第一激发态的波函数为：，于是概率分布函数为：显然满足束缚态条件，此位置概率为0. 由极值条件在又：（伽马）函数：定义：性质：注：双阶乘运算故概率最大位置是5.一维运动的粒子的状态是其中，求 （1）粒子动量的概率分布函数； （2）粒子的平均动量解：由归一化条件得： 推广： 动量的本征函数（1）该波函数在动量表象下的形式为： 于是粒子动量的概率分布函数为：（2）动量的期望值为：6.体系处于态中则 （ B ）A.是体系角动量平方算符、角动量z分量算符的共同本征函数B. 是体系角动量平方算符的

11、本征函数，不是角动量z分量算符的本征函数C. 不是体系角动量平方算符的本征函数，是角动量z分量算符的本征函数D. 既不是体系角动量平方算符的本征函数，也不是角动量z分量算符的本征函数四、态和力学量的表象（一）态的表象已知对任意力学量，既有分立的本征值，对应本征函数是也有连续的本征值（在一定范围内变化），对应的本征函数是，当体系处于波函数所描写的状态，则该体系在表象下所描写的状态（即波函数表示为算符的本征函数形式）.由态叠加原理可得：式中 则在力学量表象下的描述可用列矩阵表示：由归一化条件知：表示在所描写的状态中测量力学量所得结果为的概率，则表示测量结果在到之间的概率.（二）算符的矩阵表示设算符

12、作用于波函数后，得出另一函数.在坐标表象中记作：.该方程在表象中的形式（如上文所述，此处仅讨论的分立本征值情况）：于是有：以左乘上式两边并对的整个区域积分得：又： 所以有：令则：即为在表象中的表述方式.其中：为算符在表象中的矩阵元，易证：矩阵满足为厄米矩阵问题 若矩阵满足条件，则称为厄米矩阵.（三）量子力学公式的矩阵表述1.期望值（平均值）公式 将波函数按的本征函数展开：最后得：即：亦即：2.本征值方程即： （1）为其矩阵表示.于是： （2）该方程为线性齐次代数方程，非零解条件：即久期方程： （3）求解久期方程可得一组值：，即为的本征值，代入（2）式可与对应的本征函数（本征矢）即：，其中.（四

13、）狄拉克符号1.狄拉克符号的引入 态空间中的与在形式上具有明显的不对称性，狄拉克认为它们应该分属于两个不同的空间伴随空间 引入符号，称为右矢微观体系的一个量子态用表示，的集合构成右矢空间，在右矢空间中的分量表示可记为矩阵 （1）约定：右矢空间的态矢一律用表示 力学量的本征态矢一律用量子数，或连续本征值表示 引入符号 ，称为左矢 微观体系的一个量子态也可用表示，但在同一表象中与的分量互为共轭复数 （2）的集合构成左矢空间2 .基矢的狄拉克符号表示 离散谱 力学量完全集的本征函数具有离散的本征值时，对应的本征矢或等，构成正交归一化的完全系，可以作为矢量空间的基矢，作为基矢可表示为 第n行 （3）

14、（1）基矢具有正交归一性 （4） （2）展开定理 （5） 两边同时左乘得 （6） 说明展开系数是态矢在基矢上的分量 （3）封闭性 把代入中得， 所以 （7） 称为基矢的封闭性 狄拉克符号运算中非常重要的关系式连续谱 当力学量本征值构成连续谱时，对应的基矢记为 （1）正交归一性 （8） （2）展开定理 （9） （10） （3）封闭性 （11）3. 关于一维线性谐振子的讨论引入新算符 湮灭算符 产生算符 对易关系：则：均是非厄米算符.定义：（厄米算符） 记 同理可得另一个定义：，记 则：问题：1.设为算符和的共同本征矢，则： 2. 定义算符，则. 2.已知在和的共同的共同表象中，算符的矩阵为求它的

15、本征值和归一化本征函数.解：由于算符的矩阵为 故其本征值方程为 即：可得久期方程为：解得：.（1）时，有可得：归一化得，即为本征值对应的归一化本征函数. （2）时，有可得：设得对应归一化本征函数为，同理可得本征值为对应的归一化本征函数. （）五、微扰理论（一）非简并定态微扰理论以和表示的本征值和本征函数： 能量的一级修正为：能量的二级修正为： 波函数的一级修正为：于是:波函数的近似值为：能量的近似值为：（二）变分法思想：根据体系基态能量最小，即（为任意波函数），表明任意波函数算出的的平均值总大于体系的基态能量.因此可以选取许多试探波函数计算的平均值，找出最小的一个来接近.变分法求体系基态能量步

16、骤：1.选取含参数的试探波函数2.计算平均能量3.由极值条件求出最小值，即为的近似值.氢原子一级斯塔克效应：是指将氢原子放入外电场中，能级简并部分地被消除（原来是四度简并的能级，在一级修正中将分裂为三个能级）.（三) 选择定则 中心力场中，电偶极跃迁的选择定则为， .问题：1.根据选择定则，氢原子发生跃迁能实现的是（D）A. B. C. D. 2.设在表现中, 的矩阵表示为:（均为实数）的两个不同本征值（或该方程的精确求解），用微扰理论求能量至二级修正值。解：由题意，在能量表象中， 和的矩阵为：表示所有的项求和.本题中只有两个值，故时，只能取，因此有：表示矩阵元，即矩阵的第行第列的元素，且有：

17、为体系的波函数.在非简并状态下的微扰理论由能量的一级修正公式得：能量的一级修正为:由能量的二级修正公式得：能量的二级修正为：因此能量的近似值为： 3.一电荷为的线性谐振子受恒定弱电场作用，电场沿正方向，用微扰法求体系的定态能量和波函数.解：依题意体系的哈密顿算符为：由于电场是弱电场，故可视为微扰，令：记：为无微扰时线性谐振子哈密顿算符的本征函数 由微扰理论得：能量的一级修正为： 又：因此能量的二级修正：波函数的一级修正为：仅当时，且有：当时，当时，故得, 表达式如题所述。综上：能量的近似值是波函数的近似值是六、自旋与全同粒子（一）电子自旋1.施特恩革拉赫实验以及光谱的精细结构证明了电子具有自旋

18、；施特恩革拉赫实验是将基态氢原子束通过狭缝和不均匀磁场，发现原子束分立为两条。2.乌伦贝克和哥德斯密脱假设：（1）每个电子都具有自旋角动量,且在空间任何方向的投影只能取两个数值：（2）每个电子都具有自旋磁矩,且有：式中是电子的电荷，是电子的质量.在空间任意方向的投影只能取两个数值：式中是玻尔磁子.精细结构是考虑了电子的自旋磁矩，超精细结构是考虑了电子的自旋磁矩和原子核的磁矩.简单塞曼效应：将电子放入较强外磁场中（不考虑电子自旋与轨道相互作用），观察到谱线发生分裂（奇数条）.复杂塞曼效应：将电子放入较弱外磁场中（考虑电子自旋与轨道相互作用），观察到谱线发生分裂（偶数条）.（二）电子的自旋算符和自

19、旋函数1.自旋算符:对易关系： 本征值：由于在空间任意方向上的投影只能取两个数值，故和三个算符的本征值均为，即有：令得：称为自旋量子数.引入泡利算符（） 对易关系： 反对易关系：因此有: 本征值：和三个算符的本征值均为，即有：算符和及和在表象下的矩阵：泡利矩阵2.电子的自旋波函数考虑电子自旋时，电子的波函数表示为：又，故：于是：，规定第一行对应于，第二行对应于.电子处于（自旋向上）的态时，波函数为：;电子处于（自旋向下）的态时，波函数为：.若为归一化波函数，则：波函数的概率密度是：令: 则：和分别表示时刻在点周围单位体积内找到自旋和自旋的电子的概率.当不考虑自旋与轨道相互作用时，电子的波函数可

20、表示为：式中是描写电子自旋状态的自旋函数（或称自旋波函数），自旋算符仅对波函数中的自旋函数有作用.在表象中：自旋函数是的本征函数，所属（对应）本征值是；自旋函数是的本征函数，所属（对应）本征值是.且这两个本征函数相互正交：问题：1.在表象中，在自旋态中的可能测值为和，相应的概率为和 .解析：自旋态为故可表示为，因此它为和的线性叠加，故其测量值可能为和，相应的概率为和 .（考查态叠加原理及自旋函数）2.电子自旋角动量的各分量在表象中的矩阵、.3.在表象中，则其本征值为. 解析：由得：久期方程 （三）两个角动量的耦合以表示体系的两个角动量算符且相互独立则有:令：称为体系总角动量，且有：由上述讨论可

21、知：（1）算符两两相互对易，故它们有一组共同的本征矢（本征函数）构成完全系，其中为与这些算符对应的量子数.即有：和且：以作为为基矢的表象称为无耦合表象.（2）算符两两相互对易，它们有共同的本征矢构成完全系，其中为与这些算符对应的量子数，即有：和 构成正交归一完全系，以它们为基矢的表象称为耦合表象.且有：，可取共个值.将按完全系展开：系数：称为矢量耦合系数或克莱布希高登系数.又故：（四）全同粒子全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子.全同性原理：全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变，这个论断被称为全同性原理，量子力学基本原理之一.费米子：电子、质子、中子

22、等自旋为或奇数倍的粒子.（费米子所组成的全同粒子体系的波函数是反对称的.）波色子：光子（自旋为）、处于基态的氦原子（自旋为零）、粒子（自旋为零）以及其它自旋为零或的整数倍的粒子.（波色子所组成的全同粒子体系的波函数是对称的.）（五）两个电子的自旋函数设体系的哈密顿算符不含电子自旋相互作用项，则两电子自旋函数是每个电子自旋函数之积：式中依次是第一个电子和第二个电子的自旋分量.用可以构成两电子的对称自旋函数和反对称自旋函数，它们是的共同本征函数：注：此处用到两个角动量的耦合：设第一个电子和第二个电子的自旋角动量平方算符与自旋角动量分量算符依次为对应的量子数依次为.且有： 于是总自旋量子数： 即：总

23、自旋角动量在方向投影对应量子数满足：于是有： 问题：已知由两个电子组成的全同粒子体系的波函数的空间部分是反对称的，写出其所有可能的自旋波函数.解：由于电子是费米子，故体系的波函数是反对称的; 又体系的波函数的空间部分是反对称的，故体系的自旋波函数必须是对称的，因此有：即为所求.注：若体系的波函数的空间部分是对称的，则自旋波函数必须是反对称的，故有：为所求波函数，习题：设氢原子的状态是求：（1）轨道角动量分量和自旋角动量分量的期望值（2）总磁矩的分量的平均值（用玻尔磁子表示）.解：故（1）轨道角动量分量的期望值为:自旋角动量分量的期望值为:（2）总磁矩的分量的平均值为：注：由则：而由可得：力学量的测量值为和对应概率为： 和同理：习题7.2,7.3重视请勿外传|物理111 杨涛37