高中数学解题方法——排列组合的常见题型及其解法.docx

1、排列组合的常见题型及其解法 排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元素的顺序有关。复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基本的排列、组合问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。一. 特殊元素（位置）用优先法把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。解法1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有

2、种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有种站法，故站法共有：480（种）解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有种，故站法共有：（种）二. 相邻问题用捆绑法对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有种，然后女生内部再进行排列，有种，所以排法共有：（种）

3、。三. 相离问题用插空法元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？解：先将其余4人排成一排，有种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有种，所以排法共有：（种）四. 定序问题用除法对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，则有种排列方法。例4. 由数字0、1、2、3、4、5组

4、成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？解：不考虑限制条件，组成的六位数有种，其中个位与十位上的数字一定，所以所求的六位数有：（个）五. 分排问题用直排法对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。例5. 9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？解：9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来处理，不同的坐标共有种。六. 复杂问题用排除法对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。在应

5、用此法时要注意做到不重不漏。例6. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）A. 150种B. 147种C. 144种D. 141种解：从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类。第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点共面，有3种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有：（种）。七. 多元问题用分类法按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算，最

6、后计算总数。例7. 已知直线中的a，b，c是取自集合3，2，1，0，1，2，3中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。解：设倾斜角为，由为锐角，得，即a，b异号。（1）若c0，a，b各有3种取法，排除2个重复（，），故有：3327（条）。（2）若，a有3种取法，b有3种取法，而同时c还有4种取法，且其中任意两条直线均不相同，故这样的直线有：33436（条）。从而符合要求的直线共有：73643（条）八. 排列、组合综合问题用先选后排的策略处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。例8. 将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共

7、有多少种？解：可分两步进行：第一步先将4名教师分为三组（1，1，2），（2，1，1），（1，2，1），共有：（种），第二步将这三组教师分派到3种中学任教有种方法。由分步计数原理得不同的分派方案共有：（种）。因此共有36种方案。九. 隔板模型法常用于解决整数分解型排列、组合的问题。例9. 有10个三好学生名额，分配到6个班，每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案？解：6个班，可用5个隔板，将10个名额并排成一排，名额之间有9个空，将5个隔板插入9个空，每一种插法，对应一种分配方案，故方案有：（种）浅谈数学填空题的解题方法 填空题题小，跨度大，覆盖面广，形式灵活，可以有目的、和谐地综合一些问题

8、，突出训练学生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力和基本运算能力。从填写内容上，主要有两类，一类是定量填写，另一类是定性填写。要想又快又准地答好填空题，除直接推理外，还要讲究一些解题策略，下面谈谈几种解题方法，请大家教正。一. 定义法有些问题直接去解很难奏效，而利用定义去解可以大大地化繁为简，速达目的。例1. 的值是_。解：从组合数定义有：又代入再求，得出466。例2. 到椭圆右焦点的距离与到定直线x6距离相等的动点的轨迹方程是_。解：据抛物线定义，结合图1知：图1轨迹是以（5，0）为顶点，焦参数P2且开口方向向左的抛物线，故其方程为：二. 直接计算法从题设条件出发，选用有关定理、公式，直接计

9、算求解，这是解填空题最常用的方法。例3. 设函数的定义域是n，n+1（），那么在f(x)的值域中共有_个整数。解：直接计算，可得个。例4. 等比数列，公比，则：_。解：原式三. 数形结合法有些问题可以借助于图示分析、判断、作出定形、定量、定性的结论，这就是图解法。例5. 函数的值域_。图2解：原函数变为，可视上式为x轴上的点P（x，0）到两定点A（-2，-1）和B（2，2）的距离之和，如图2，则。故值域为。四. 特例法有的填空题答案是一个“定值”时，实质上有一种暗示作用，可以分析特殊数值，特殊位置，特殊数列，特殊图形等来确定这个“定值”，这种方法有时能起到难以置信的效果。例6. 面积为S的菱形

10、绕其一边所在直线旋转一周所得旋转体的表面积为_。解：以正方形代替菱形，设边长为a，则表面例7. 已知是公差不为零的等差数形，若Sn是的前n项和，那么_。解：取符合条件的特殊数列，则故五. 观察法运用特殊值，加上类比、观察常常可以提高解题速度。例8. 设，且，直线通过定点_。解：联合观察：发现时，即满足条件，同时，相交直线的交点是唯一的。故定点是（1，1）。六. 淘汰法当全部情况为有限种时，也可采用淘汰法。例9. 已知，则与同时成立的充要条件是_。解：按实数b的正、负分类讨论。当b0时，而等式不可能同时成立；当b0时，无意义；当b0时，若a0，b0，容易验证，这确是所要求的充要条件。七. 分析推

11、理法通过仔细审题，对问题进行逻辑分析，然后推理出符合条件的答案。例10. 已知不等式的解集是A，的解集是B，则不等式组的解集是_。解：设g（x）的定义域为S，由于的解集是B，所以的解集是。故所求不等式组的解集是。总之，我们在平时训练时，要善于思考，分析题意，灵活运用有关数学知识，在有多种方案可以解决问题的时候，努力选择更合理的解题方案，要不断提高解题过程中合理性、简捷性的意识，以达到巧解妙算的效果，力求做到费时少，准确率高。巧构造 妙解题 1. 直接构造例1. 求函数的值域。分析：由于可以看作定点（2，3）与动点（-cosx，sinx）连线的斜率，故f(x)的值域即为斜率的最大、最小值。解：令

12、，则表示单位圆表示连接定点P（2，3）与单位圆上任一点（，）所得直线的斜率。显然该直线与圆相切时，k取得最值，此时，圆心（0，0）到这条直线的距离为1，即所以故例2. 已知三条不同的直线，共点，求的值。分析：由条件知为某一元方程的根，于是想法构造出这个一元方程，然后用韦达定理求值。解：设（m，n）是三条直线的交点，则可构造方程，即（*）由条件知，均为关于的一元三次方程（*）的根。由韦达定理知2. 由条件入手构造例3. 已知实数x，y，z满足，求证：分析：由已知得，以x，y为根构造一元二次方程，再由判别式非负证得结论。解：构造一元二次方程其中x，y为方程的两实根所以即故0，即3. 由结论入手构造例4. 求证：若，则分析：待证式的左边求和的分母是三次式，为降低分母次数，构造一个恒不等式。所以左边故原式得证。例5. 已知实数x，y满足，求证：分析：要证原式成立，即证即证由三角函数线知可构造下图，此时不等式右边为图中三个矩形的面积之和，而单位圆的面积为，所以故结论成立。