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1、应用统计第十一章第十一章 时间数列分析时间数列分析学习目标学习目标1.时间序列及其分解原理时间序列及其分解原理2.平稳序列的平滑和预测方法平稳序列的平滑和预测方法3.有有趋势序列的的分析和预测方法趋势序列的的分析和预测方法4.复合型序列的综合分析复合型序列的综合分析11.1 时间序列及其分解11.1.1 时间序列的构成要素11.1.2 时间序列的分解方法时间序列时间序列(times series)1.同同一一现现象象在在不不同同时时间间上上的的相相继继观观察察值值排排列列而成的数列而成的数列2.形形式式上上由由现现象象所所属属的的时时间间和和现现象象在在不不同同时时间上的观察值两部分组成间上的

2、观察值两部分组成3.排排列列的的时时间间可可以以是是年年份份、季季度度、月月份份或或其其他任何时间形式他任何时间形式时间序列的分类时间序列的分类时间序列的分类时间序列的分类1.平稳序列平稳序列(stationary series)基基本本上上不不存存在在趋趋势势的的序序列列，各各观观察察值值基基本本上上在某个固定的水平上波动在某个固定的水平上波动或或虽虽有有波波动动，但但并并不不存存在在某某种种规规律律，而而其其波波动可以看成是随机的动可以看成是随机的 2.非平稳序列非平稳序列(non-stationary series)有趋势的序列有趋势的序列线性的，非线性的线性的，非线性的 有趋势、季节性

3、和周期性的复合型序列有趋势、季节性和周期性的复合型序列 时间序列的构成要素时间序列的构成要素趋势、季节、周期、随机性趋势、季节、周期、随机性1.趋势趋势(trend)呈现出某种持续向上或持续下降的状态或规律呈现出某种持续向上或持续下降的状态或规律 2.季节性季节性(seasonality)也称季节变动也称季节变动(Seasonal fluctuation)时间序列在一年内重复出现的周期性波动时间序列在一年内重复出现的周期性波动 3.周期性周期性(cyclity)也称循环波动也称循环波动(Cyclical fluctuation)围绕长期趋势的一种波浪形或振荡式变动围绕长期趋势的一种波浪形或振荡

4、式变动 4.随机性随机性(random)1.也称不规则波动也称不规则波动(Irregular variations)2.除去趋势、周期性和季节性之后的偶然性波动除去趋势、周期性和季节性之后的偶然性波动 趋势、季节、周期、随机性趋势、季节、周期、随机性趋势、季节、周期、随机性趋势、季节、周期、随机性时间序列的构成模型时间序列的构成模型1.时时间间序序列列的的构构成成要要素素分分为为四四种种，即即趋趋势势(T)、季季节节性性或或季季节节变变动动(S)、周周期期性性或或循循环环波波动动(C)、随随机机性性或或不不规规则则波波动动(I)非非平平稳序列稳序列2.时间序列的分解模型时间序列的分解模型乘法模

5、型乘法模型 Yi=TiSiCiIi1.加法模型加法模型 Yi=Ti+Si+Ci+Ii 图形描述图形描述11.2 时间序列的描述与形态的识别图形描述图形描述(例题分析例题分析)图形描述图形描述(例题分析例题分析)时间序列形态的识别时间序列形态的识别时间序列形态的识别时间序列形态的识别识别与判断方法：理论判断、经验判断、识别与判断方法：理论判断、经验判断、图形判断、图形判断、自相关系数数列判断自相关系数数列判断、差分法、差分法判断等。判断等。1、自相关系数、自相关系数自相关指时间数列前后各期数值之间的相关关自相关指时间数列前后各期数值之间的相关关系。对自相关强度的测定便是自相关系数。系。对自相关强

6、度的测定便是自相关系数。时间序列形态的识别时间序列形态的识别时间延迟为时间延迟为1的自相关系数：的自相关系数：时间延迟为时间延迟为2的自相关系数：的自相关系数：时间序列形态的识别时间序列形态的识别时间延迟为时间延迟为k的自相关系数：的自相关系数：当当n很大时很大时（-1rk1）时间序列形态的识别时间序列形态的识别2.判别准则判别准则（1）时间数列所有自相关系数）时间数列所有自相关系数r1，r2，rk都都近似于零时，该时间数列为随机性时间数列。近似于零时，该时间数列为随机性时间数列。r1r2r3r4r5r6r701-1rr值值原数列原数列yt0时间序列形态的识别时间序列形态的识别（2）r1较较大

7、大，r2、r3渐渐次次减减小小，r4开开始始趋趋近近于于零，表明该时间数列为平稳型时间数列。零，表明该时间数列为平稳型时间数列。r1r2r3r4r5r6r701-1rr值值原数列原数列yt0时间序列形态的识别时间序列形态的识别（3）r1最大，最大，r2、r3等逐渐递减，但不等于零，等逐渐递减，但不等于零，表明该时间数列为趋势型时间数列。表明该时间数列为趋势型时间数列。r1r2r3r4r5r6r701-1rr值值原数列原数列yt0时间序列形态的识别时间序列形态的识别（4）r值有周期性变化，每隔几个便有一个高值有周期性变化，每隔几个便有一个高峰，表明该时间数列为季节型时间数列。峰，表明该时间数列为

8、季节型时间数列。r1r2r3r4r5r6r701-1rr值值原数列原数列yt01季度季度 2季度季度 3季度季度 4季度季度 11.3 平稳序列的分析和预测11.3.1 简单平均法11.3.2 移动平均法11.3.3 指数平滑法简单平均法简单平均法简单平均法简单平均法 (simple average)1.根据过去已有的根据过去已有的t期观察值来预测下一期的数值期观察值来预测下一期的数值 2.设设时时间间序序列列已已有有的的其其观观察察值值为为 Y1，Y2，Yt，则第，则第t+1期的期的预测值预测值Ft+1为为3.有了第有了第t+1的实际值，便可计算出的预测误差为的实际值，便可计算出的预测误差为

9、 4.第第t+2期的预测值为期的预测值为 简单平均法简单平均法(特点特点)1.适适合合对对较较为为平平稳稳的的时时间间序序列列进进行行预预测测，即即当当时时间序列没有趋势时，用该方法比较好间序列没有趋势时，用该方法比较好2.如如果果时时间间序序列列有有趋趋势势或或有有季季节节变变动动时时，该该方方法法的预测不够准确的预测不够准确3.将将远远期期的的数数值值和和近近期期的的数数值值看看作作对对未未来来同同等等重重要要，从从预预测测角角度度看看，近近期期的的数数值值要要比比远远期期的的数数值值对对为为来来有有更更大大的的作作用用。因因此此简简单单平平均均法法预预测测的结果不够准确的结果不够准确 移

10、动平均法移动平均法移动平均法移动平均法(moving average)1.对简单平均法的一种改进方法对简单平均法的一种改进方法2.通通过过对对时时间间序序列列逐逐期期递递移移求求得得一一系系列列平平均均数作为趋势值或预测值数作为趋势值或预测值3.有简单移动平均法和加权移动平均法两种有简单移动平均法和加权移动平均法两种简单移动平均法简单移动平均法(simple moving average)1.将最近将最近k期数据加以平均作为下一期的预测值期数据加以平均作为下一期的预测值 2.设移动间隔为设移动间隔为k(1kt)，则，则t期的期的移动平均值移动平均值为为 3.t+1期的简单移动平均期的简单移动平

11、均预测值预测值为为4.预测误差用均方误差预测误差用均方误差(MSE)来衡量来衡量 简单移动平均法简单移动平均法(特点特点)1.将每个观察值都给予相同的权数将每个观察值都给予相同的权数 2.只只使使用用最最近近期期的的数数据据，在在每每次次计计算算移移动动平平均均值值时，移动的间隔都为时，移动的间隔都为k3.主要适合对较为平稳的时间序列进行预测主要适合对较为平稳的时间序列进行预测4.应用时，关键是确定合理的移动间隔长应用时，关键是确定合理的移动间隔长对对于于同同一一个个时时间间序序列列，采采用用不不同同的的移移动动步步长长预预测测的的准确性是不同的准确性是不同的选选择择移移动动步步长长时时，可可

12、通通过过试试验验的的办办法法，选选择择一一个个使使均方误差达到最小的移动步长。均方误差达到最小的移动步长。简单移动平均法简单移动平均法(例例题题分析分析)【例】对对居居民民消消费费价价格格指指数数数数据据，分分别别取取移移动动间间隔隔k=3和和k=5，用用Excel计计算算各各期期的的居居民民消消费费价价格格指指数数的的平平滑滑值值(预预测测值值)，计计算算出出预预测测误误差差，并并将将原原序序列列和和预预测测后的序列绘制成图形进行比较后的序列绘制成图形进行比较 用用Excel进行移动平均预测进行移动平均预测简单移动平均法简单移动平均法(例例题题分析分析)简单移动平均法简单移动平均法(例例题题

13、分析分析)加权移动平均法加权移动平均法(weighted moving average)1.对对近近期期的的观观察察值值和和远远期期的的观观察察值值赋赋予予不不同同的的权权数数后再进行预测后再进行预测当当时时间间序序列列的的波波动动较较大大时时，最最近近期期的的观观察察值值应应赋赋予予最最大的权数，较远的时期的观察值赋予的权数依次递减大的权数，较远的时期的观察值赋予的权数依次递减当当时时间间序序列列的的波波动动不不是是很很大大时时，对对各各期期的的观观察察值值应应赋赋予近似相等的权数予近似相等的权数所选择的各期的权数之和必须等于所选择的各期的权数之和必须等于12.对对移移动动间间隔隔(步步长长

14、)和和权权数数的的选选择择，也也应应以以预预测测精精度度来来评评定定，即即用用均均方方误误差差来来测测度度预预测测精精度度，选选择择一个均方误差最小的移动间隔和权数的组合一个均方误差最小的移动间隔和权数的组合 指数平滑平均法指数平滑平均法指数平滑法指数平滑法(exponential smoothing)1.是加权平均的一种特殊形式是加权平均的一种特殊形式2.对过去的观察值加权平均进行预测的一种方法对过去的观察值加权平均进行预测的一种方法3.观观察察值值时时间间越越远远，其其权权数数也也跟跟着着呈呈现现指指数数的的下下降降，因而称为指数平滑因而称为指数平滑4.有一次指数平滑、二次指数平滑、三次指

15、数平滑等有一次指数平滑、二次指数平滑、三次指数平滑等 5.一一次次指指数数平平滑滑法法也也可可用用于于对对时时间间序序列列进进行行修修匀匀，以以消除随机波动，找出序列的变化趋势消除随机波动，找出序列的变化趋势 一次指数平滑一次指数平滑(single exponential smoothing)1.只有一个平滑系数只有一个平滑系数2.观察值离预测时期越久远，权数变得越小观察值离预测时期越久远，权数变得越小 3.以以一一段段时时期期的的预预测测值值与与观观察察值值的的线线性性组组合合作为第作为第t+1期期的预测值，其预测模型为的预测值，其预测模型为 Y Yt t为第为第为第为第t t期的实际观察值

16、期的实际观察值期的实际观察值期的实际观察值 F Ft t 为第为第为第为第t t期的预测值期的预测值期的预测值期的预测值 为平滑系数为平滑系数为平滑系数为平滑系数 (0(0 1)1，增长率随着时间增长率随着时间t的增加而增加的增加而增加若若b0，b1，趋势值逐渐降低到以趋势值逐渐降低到以0为极限为极限指数曲线指数曲线(a，b 的求解方法的求解方法)1.采采取取“线线性性化化”手手段段将将其其化化为为对对数数直直线线形形式式2.根根据据最最小小二二乘乘法法，得得到到求求解解 lga、lgb 的的标标准方程为准方程为3.求求出出lga和和lgb后后，再再取取其其反反对对数数，即即得得算算术形式的术

17、形式的a和和b 指数曲线指数曲线(例题分析例题分析)【例例例例】根根根根据据据据人人人人均均均均GDPGDP数数数数据据据据，确确确确定定定定指指指指数数数数曲曲曲曲线线线线方方方方程程程程，计计计计算算算算出出出出各各各各期期期期的的的的趋趋趋趋势势势势值值值值和和和和预预预预测测测测误误误误差差差差，预预预预测测测测20012001年年年年的的的的人人人人均均均均GDPGDP，并并并并将将将将原原原原序序序序列列列列和和和和各各各各期期期期的的的的趋趋趋趋势势势势值值值值序序序序列列列列绘绘绘绘制制制制成成成成图图图图形进行比较形进行比较形进行比较形进行比较 1.指数曲线指数曲线指数曲线指

18、数曲线趋势方程趋势方程趋势方程趋势方程：2.预测的估计预测的估计预测的估计预测的估计标准误差标准误差标准误差标准误差：3.20012001年人均年人均年人均年人均GDPGDP的的的的预测值预测值预测值预测值：指数曲线指数曲线(例题分析例题分析)指数曲线指数曲线(例题分析例题分析)指数曲线与直线的比较指数曲线与直线的比较1.比一般的趋势直线有着更广泛的应用比一般的趋势直线有着更广泛的应用2.可以反应现象的相对发展变化程度可以反应现象的相对发展变化程度上上上上例例例例中中中中，b b=0.170406=0.170406表表表表示示示示1986200019862000年年年年人人人人均均均均GDPG

19、DP的年平均增长率为的年平均增长率为的年平均增长率为的年平均增长率为17.0406%17.0406%3.不同序列的指数曲线可以进行比较不同序列的指数曲线可以进行比较比较分析相对增长程度比较分析相对增长程度比较分析相对增长程度比较分析相对增长程度趋势线的选择趋势线的选择1.观察散点图观察散点图2.根据观察数据本身，按以下标准选择趋势线根据观察数据本身，按以下标准选择趋势线一次差大体相同，配合直线一次差大体相同，配合直线二次差大体相同，配合二次曲线二次差大体相同，配合二次曲线对数的一次差大体相同，配合指数曲线对数的一次差大体相同，配合指数曲线一次差的环比值大体相同，配合修正指数曲线一次差的环比值大

20、体相同，配合修正指数曲线对数一次差的环比值大体相同，配合对数一次差的环比值大体相同，配合 Gompertz 曲线曲线倒数一次差的环比值大体相同，配合倒数一次差的环比值大体相同，配合Logistic曲线曲线3.比较估计标准误差比较估计标准误差11.5 复合型序列的分解11.5.1 季节性分析11.5.2 趋势分析11.5.3 周期性分析季节性分析季节性分析季节指数季节指数(seasonal index)1.刻画序列在一个年度内各月或季的典型季节特征刻画序列在一个年度内各月或季的典型季节特征2.以其平均数等于以其平均数等于100%为条件而构成为条件而构成3.反映某一月份或季度的数值占全年平均数值的

21、大小反映某一月份或季度的数值占全年平均数值的大小4.如如果果现现象象的的发发展展没没有有季季节节变变动动，则则各各期期的的季季节节指指数数应等于应等于100%5.季季节节变变动动的的程程度度是是根根据据各各季季节节指指数数与与其其平平均均数数(100%)的偏差程度来测定的偏差程度来测定如如果果某某一一月月份份或或季季度度有有明明显显的的季季节节变变化化，则则各各期期的的季季节节指数应大于或小于指数应大于或小于100%季节指数季节指数(计算步骤计算步骤)1.计计算算移移动动平平均均值值(季季度度数数据据采采用用4项项移移动动平平均均，月月份份数数据据采采用用12项项移移动动平平均均)，并并将将其

22、其结结果果进进行行“中中心心化化”处理处理将将移移动动平平均均的的结结果果再再进进行行一一次次二二项项的的移移动动平平均均，即即得得出出“中中心化移动平均值心化移动平均值”(CMA)2.计算移动平均的比值，也成为季节比率计算移动平均的比值，也成为季节比率即即将将序序列列的的各各观观察察值值除除以以相相应应的的中中心心化化移移动动平平均均值值，然然后后再再计算出各比值的季度计算出各比值的季度(或月份或月份)平均值，即季节指数平均值，即季节指数3.季节指数调整季节指数调整各各季季节节指指数数的的平平均均数数应应等等于于1或或100%，若若根根据据第第二二步步计计算算的的季节比率的平均值不等于季节比

23、率的平均值不等于1时，则需要进行调整时，则需要进行调整具具体体方方法法是是：将将第第二二步步计计算算的的每每个个季季节节比比率率的的平平均均值值除除以以它它们们的总平均值的总平均值 季节指数季节指数(例例题题分析分析)【例例】下下表表是是一一家家啤啤酒酒生生产产企企业业19972002年年各各季度的啤酒销售量数据。试计算各季的季节指数季度的啤酒销售量数据。试计算各季的季节指数 BEER朝日朝日BEER朝日朝日BEER朝日朝日季节指数季节指数(例例题题分析分析)季节指数季节指数(例例题题分析分析)季节指数季节指数(例例题题分析分析)分离季节因素分离季节因素1.将将季季节节性性因因素素从从时时间间

24、序序列列中中分分离离出出去去，以以便观察和分析时间序列的其他特征便观察和分析时间序列的其他特征2.方法是将原时间序列除以相应的季节指数方法是将原时间序列除以相应的季节指数3.结结果果即即为为季季节节因因素素分分离离后后的的序序列列，它它反反映映了了在在没没有有季季节节因因素素影影响响的的情情况况下下时时间间序序列列的变化形态的变化形态 趋势分析趋势分析趋势分析趋势分析1.根据分离季节性因素的序列确定线性趋势方程根据分离季节性因素的序列确定线性趋势方程 2.根据趋势方程计算各期趋势值根据趋势方程计算各期趋势值3.根据趋势方程进行预测根据趋势方程进行预测该该预预测测值值不不含含季季节节性性因因素素

25、，即即在在没没有有季季节节因因素素影影响响情况下的预测值情况下的预测值如如果果要要求求出出含含有有季季节节性性因因素素的的销销售售量量的的预预测测值值，则则需要将上面的预测值乘以相应的季节指数需要将上面的预测值乘以相应的季节指数 趋势分析趋势分析(例题分析例题分析)趋势分析趋势分析(例题分析例题分析)周期性分析周期性分析周期性分析周期性分析1.近近乎乎规规律律性性的的从从低低至至高高再再从从高高至至低低的的周周而而复复始始的变动的变动2.不不同同于于趋趋势势变变动动，它它不不是是朝朝着着单单一一方方向向的的持持续续运动，而是涨落相间的交替波动运动，而是涨落相间的交替波动3.不不同同于于季季节节

26、变变动动，其其变变化化无无固固定定规规律律，变变动动周周期多在一年以上，且周期长短不一期多在一年以上，且周期长短不一4.时时间间长长短短和和波波动动大大小小不不一一，且且常常与与不不规规则则波波动动交织在一起，很难单独加以描述和分析交织在一起，很难单独加以描述和分析 周期性分析周期性分析(剩余法剩余法)1.先消去季节变动，求得无季节性资料先消去季节变动，求得无季节性资料2.再再将将结结果果除除以以由由分分离离季季节节性性因因素素后后的的数数据据计计算算得得到的趋势值，求得含有周期性及随机波动的序列到的趋势值，求得含有周期性及随机波动的序列3.将将结结果果进进行行移移动动平平均均(MA)，以以消消除除不不规规则则波波动动，即得循环波动值即得循环波动值4.C =MA(C I)周期性分析周期性分析(例题分析例题分析)随机波动随机波动(例题分析例题分析)本章小节本章小节1.时间序列的分解时间序列的分解2.时间序列的描述性分析时间序列的描述性分析3.平稳序列的平滑和预测平稳序列的平滑和预测4.有趋势序列的分析和预测有趋势序列的分析和预测5.复合型序列的分析复合型序列的分析