厦门理工学院2014线性代数练习答案.doc

1、线性代数练习题 第一章 行 列 式 系 专业 班 姓名 学号 1.1 行列式的定义一选择题1若行列式 = 0，则 C （A）2 （B） （C）3 （D）2线性方程组，则方程组的解= C （A）（13，5） （B）（，5） （C）（13，） （D）（）3方程根的个数是 C （A）0 （B）1 （C）2 （D）34下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 AD （A） （B） （C） （D）5若是五阶行列式的一项，则的值及该项的符号为 B （A），符号为正； （B），符号为负；（C），该项为零； （D），符号为负6下列n（n 2）阶行列式的值必为零的是 B （A）行列式主对角线上的元素全为零

2、 （B）上三角行列式主对角线上有一个元素为零 （C）行列式零的元素的个数多于n个 （D）行列式非零元素的个数小于等于n个二、填空题1行列式的充分必要条件是 2排列36715284的逆序数是 13 3若为五阶行列式带正号的一项，则 i = 2 j = 1 4在六阶行列式中，应取的符号为 负号 。三、计算下列行列式：1=182=53=4=15=6=线性代数练习题 第一章 行 列 式 系 专业 班 姓名 学号 1.2-1.3 行列式的性质与计算 一、 选择题：1如果，则 B （A）18 （B） （C） （D）2 = C （A）8 （B）2 （C）0 （D）二、填空题：1行列式 行列式 = 2. 行列

3、式 中元素3的代数余子式是 3. 设行列式，则第三行各代数余子式之和的值为 。4. 设行列式，设是元素的余子式和代数余子式，则= ，= 三、计算下列行列式：1. 计算行列式解：原式2计算n阶行列式解：3. 计算n阶行列式解：线性代数练习题 第二章 矩 阵 系 专业 班 姓名 学号 2.1 矩阵的概念1指出下列矩阵属于何种特殊矩阵 矩阵 ； 上三角矩阵 ； 对角矩阵 ； 4阶单位阵 ; 下三角矩阵 ; 零矩阵 ;2写出下列线性方程组的系数矩阵和增广矩阵。(1) 系数矩阵： 增广矩阵： (2) 系数矩阵： 增广矩阵：3两矩阵称为同型矩阵满足什么条件? 行数和列数分别相同线性代数练习题 第二章 矩

4、阵 系 专业 班 姓名 学号 2.2 矩阵的运算一选择题1有矩阵，下列运算正确的是 B （A）AC （B）ABC （C）ABBC （D）AC+BC 二、填空题：1三、计算题：设，求及四、设，求所有与相乘可换的矩阵解：设，则，。所以， 因此.线性代数练习题 第二章 矩 阵 系 专业 班 姓名 学号 2.3 方阵一、，解：，二、 设，且 求.解：，三、已知是阶方阵,且满足,计算.解：有。所以。四、设,下列等式是否成立。(1) ； 否(2) ； 否(3) 否五、举反例说明下列命题是错误的(1) 若, 则；(2) 若, 则或；(3) 若, 且, 则解：（1）（2）（3） ，六、计算题(1) ； (2)

5、 解：（1）原式=（2）原式=线性代数练习题 第二章 矩 阵 系 专业 班 姓名 学号 2.4 逆矩阵一选择题1设是n阶矩阵的伴随矩阵，则 B （A） （B） （C） （D）2设A，B都是n阶可逆矩阵，则 C （A）A+B 是n阶可逆矩阵 （B）A+B 是n阶不可逆矩阵（C）AB是n阶可逆矩阵 （D）|A+B| = |A|+|B|3设A是n阶方阵，为实数，下列各式成立的是 C （A） （B） （C） （D）4设A，B，C是n阶矩阵，且ABC = E ，则必有 B （A）CBA = E （B）BCA = E （C）BAC = E （D）ACB = E 二、填空题：1已知，其中，则2设，则X =

6、3设A，B均是n阶矩阵，则 = 4设矩阵A满足，则 三、计算与证明题：1 设方阵A满足，证明及都可逆，并求和。证明： 2. 设，求A 的逆矩阵 解：， ， 3. 设且满足，求 解：， ， 且线性代数练习题 第二章 矩 阵 系 专业 班 姓名 学号 2.5 转置矩阵与对称矩阵一选择题1、设，则 B （A） （B） （C） （D）2设A为任意n阶矩阵，下列为反对称矩阵的是 B （A） （B） （C） （D）3设n阶矩阵A，B，C，满足ABAC = E，则 A （A） （B） （C） （D）二、设对称矩阵，计算解：三、 已知，设，计算解：四、证明任意的方阵可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

7、证明：设， 记， ， 五、设,都是阶方阵且为对称矩阵，证明也是对称矩阵。证明：， 六、设是反对称矩阵，是对称矩阵，证明：(1)是对称矩阵；(2)是对称矩阵；(3)是反对称矩阵的充要条件是证明：（1）， （2）， ， （3）， 是反对称的，即，。反之亦成立。线性代数练习题 第二章 矩 阵 系 专业 班 姓名 学号 2.6 初等变换与初等矩阵一、选择题1设，则必有 C （A） （B） （C） （D）二、把矩阵化为行最简形矩阵然后再化成标准形 解：三、用矩阵的初等变换，求矩阵的逆矩阵解：四、 对矩阵进行下面的系列初等变换，则相当于对矩阵左乘或右乘可逆矩阵，请求出相应的可逆矩阵，并指出是左乘还是右乘(

8、1) 交换的第2列和第3列，然后再交换第3列和第4列 (2) 的第1行的元素都乘以加到第2行对应的元素上，然后第2行乘以，最后交换第2行和第3行 (3) 的第列的元素乘以加到第3列对应的元素上去，接着在交换第2行和第3行，然后交换第2列和第3列，最后第二行元素乘以解：（1）五、求下面矩阵方程的解解：线性代数练习题 第二章 矩 阵 系 专业 班 姓名 学号 2.7 矩阵的秩一、选择题1设A，B都是n阶非零矩阵，且AB = 0，则A和B的秩 D （A）必有一个等于零 （B）都等于n （C）一个小于n，一个等于n （D）都不等于n 2设矩阵A的秩为s ，则 C （A）A的所有s1阶子式不为零 （B）

9、A的所有s阶子式不为零（C）A的所有s +1阶子式为零 （D）对A施行初等行变换变成3欲使矩阵的秩为2，则s，t满足 C （A）s = 3或t = 4 （B）s = 2或t = 4 （C）s = 3且t = 4 （D）s = 2且t = 44设是矩阵，是矩阵，则 B （A）当时，必有行列式 （B）当时，必有行列式（C）当时，必有行列式 （D）当时，必有行列式二、填空题：1设，则 2 2已知的秩为2，则a 应满足 三、计算题1 设，求. 2设A ，问k为何值，可使 解：（1） 时，（2） ， （3）四、 设阶方阵满足,证明.证明：， 线性代数练习题 第二章 矩 阵 系 专业 班 姓名 学号 2.

10、8 分块矩阵 一、选择题1设A，B为n阶矩阵，分别为A，B对应的伴随矩阵，分块矩阵，则的伴随矩阵 D （A） （B） （C） （D）二、填空题：1，则 ， = 4 2设，则三、计算题：1设，其中，求解：2. 设，求解：3设，求 及 解：线性代数练习题 第二章 矩 阵 系 专业 班 姓名 学号 2.9 线性方程组有解的条件一选择题：1设是矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充要条件是 D (A) 小于m (B) 小于n (C) 等于m (D) 等于n 2. 如果方程组 对应的齐次方程组 有无穷多解，则 C (A) 必有无穷多解 (B) 可能有惟一解 (C) 可能无解 (D) 一定无解3设是矩阵，如果，

11、则 C (A) 必有无穷多解 (B) 必有唯一解(C) 必有非零解 (D) 必有唯一解二计算题：1. 求解线性方程组 解：，无穷多解 ，所以通解2. 取何值时，线性方程组 有非零解?解：3. 用克拉默法则解方程组解：， 线性代数练习题 第二章 矩 阵 系 专业 班 姓名 学号 综 合 练 习 一、选择题1设n阶矩阵A，B是可交换的，即AB = BA，则不正确的结论是 （A）当A，B是对称矩阵时，AB是对称矩阵 （B）当A，B是反对称矩阵时，AB是反对称矩阵（C） （D）2方阵A可逆的充要条件是 （A）A 0 （B）| A | 0 （C）A* 0 （D）| A* | 0 3设n阶矩阵A，B，C和

12、D满足，则 （A）CDADAB （B）DA （C）AD （D）DABCDA 4. 设A，B为n阶矩阵，分别为A，B对应的伴随矩阵，分块矩阵，则的伴随矩阵 D （A） （B） （C） （D）二填空题：1，则 = 4 2设，则三计算题与证明题：1 已知，设，求2设，A，B与X满足，求X 3设n阶矩阵A满足，试证： （1）A与AE都可逆，并求它们的逆矩阵； （2）A + 2E和A3E不同时可逆线性代数练习题 第三章 向量与向量空间 系 专业 班 姓名 学号 3.1 n维向量及其运算 3.2 向量组的线性相关性一选择题1n维向量组线性相关的充分必要条件是 D （A）对于任何一组不全为零的数组都有（B）

13、中任何个向量线性相关（C）设，非齐次线性方程组有无穷多解（D）设，A的行秩 s.2若向量组线性无关，向量组线性相关，则 C （A）必可由线性表示 （B）必不可由线性表示（C）必可由线性表示 （D）比不可由线性表示二填空题：1 设，其中，则 2 已知线性相关，则 2 3 设向量组线性无关，则满足关系式 三计算题：1 设向量，试问当为何值时 （1）可由线性表示，且表示式是唯一？（2）可由线性表示，且表示式不唯一？（3）不能由线性表示？解：线性相关，且这三个问题可理解成的解的情况。（1）即有解且是唯一解，则。 满足（1）（2） 即有解且是无穷解，则。当时，不满足（2）。当时，不满足（2）。当为0与之

14、外的其他数时，也不满足（2）。所以这样的不存在。（3）即无解。由（2）知，均满足（3）。2. 设向量，试问当为何值时，（1）不能由线性表示？ （2）有的唯一线性表达式？并写出表达式。解：线性相关，且这两个问题可理解成的解的情况。（1） 即无解。所以而当时，；当时，；当时，；所以时无解，满足（1）。（2） 即有解且唯一解。所以。所以满足（2）。所以线性代数练习题 第三章 向量与向量空间 系 专业 班 姓名 学号 3.3 向 量 组 的 秩一选择题：1已知向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是 C （A） （B）（C） （D）2设向量可由向量组线性表示，但不能由向量组（）：线性表示，记向量组（

15、）：，则 B （A）不能由（）线性表示，也不能由（）线性表示（B）不能由（）线性表示，但可由（）线性表示（C）可由（）线性表示，也可由（）线性表示（D）可由（）线性表示，但不可由（）线性表示3设n维向量组的秩为3，则 C （A）中任意3个向量线性无关 （B）中无零向量（C）中任意4个向量线性相关 （D）中任意两个向量线性无关4设n维向量组的秩为，则 C （A）若，则任何n维向量都可用线性表示（B）若，则任何n维向量都可用线性表示（C）若，则任何n维向量都可用线性表示 （D）若，则 二填空题：1已知向量组的秩为2，则t = 3 2已知向量组，则该向量组的秩为 2 3. 向量组，的秩为2，则a =

16、 2 ， b = 5 三计算题：1设， （1）试求的极大无关组 （2）d为何值时，可由的极大无关组线性表示，并写出表达式解：（1） 所以线性无关且，因此是一个极大无关组。（2） 当时，且2已知3阶矩阵A有3维向量x满足，且向量组线性无关。 （1）记，求3阶矩阵，使； （2）求 | A | 解：（1）（2） 线性无关， 即， 可逆。而， 线性代数练习题 第三章 向量与向量空间系 专业 班 姓名 学号 3.4 n维向量空间的定义一选择题：1设向量组线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 （A） （B）（C） （D）2设矩阵A的秩，Em为m阶单位矩阵，下列结论中正确的是 （A）A的任意m个列向量必线

17、性无关 （B）A通过初等行变换，必可以化为（Em0）的形式（C）A的任意m阶子式不等于零 （D）非齐次线性方程组一定有无穷多组解二填空题：1设，三维列向量，已知与线性相关，则a = 2从的基，到基，的过渡矩阵，即满足条件的矩阵T为三计算题：1设，求由向量组所生成的向量空间，并说明是的一个非平凡子空间. 2已知的两个基为， 及 ，求由基到基的过渡矩阵，即满足条件 的矩阵P.线性代数练习题 第三章 向量与向量空间 系 专业 班 姓名 学号 3.5 线性方程组解的结构一选择题：1设A是矩阵，已知，是的基础解系，则 D (A) 线性无关 (B) 线性无关(C) 不能被线性表示 (D) 能被线性表示2设

18、是四元非齐次线性方程组的3个解向量，且，C表示任意常数，则线性方程组的解是 C (A) (B) (C) (D) 3齐次线性方程组 的系数矩阵记为A ，若存在三阶矩阵使得，则 C (A) 且 (B) 且 (C) 且 (D) 且二计算题：1设4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的3个解向量，且，求该方程的通解。解：， ， ，的基础解系个数为1，故任一个非零解向量都是其基础解系。， ， 即为的一个解，也为其基础解系。的通解为，其中。2求非齐次线性方程组的一个解及对应的齐次方程组的基础解系.解：，非齐次方程组有无穷解。非齐次方程组变成为， 一个特解为。齐次方程组为， 令， ， 齐次方程组的通解为，其基础解系为忽略此处. 34