线性代数全书课后答案.docx

1、目录习题2-12习题2-234计算下列矩阵的乘积：4举反例说明下列命题是错误的：6习题2-371判别下列方阵是否可逆，若可逆，求它们的逆矩阵：7所以84利用逆矩阵解下列线性方程组：9习题2-4126求下列矩阵的逆阵：15习题2-5151对下列矩阵作初等行变换，先化为行阶梯形矩阵，再化为行最简形矩阵：154用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：18习题2-6214求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：21习题3-123解：25习题3-2251举例说明下列命题是错误的25同时成立252判别下列向量组的线性相关性：25习题3-3281判断下列各命题是否正确：282求下列向量组的秩，并求一个极大线性无关组

2、：28可由单位向量线性表示.30习题3-4301判别下列集合是否构成向量空间，若构成向量空间，求它的维数及一个基：303证明向量组31习题3-534（1） 有惟一解? （2）无解? （3）有无穷多解?37习题3-638求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并写出通解：382求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系为：413求下列非齐次线性方程组的通解：42求该方程组的通解45习题4-1481把下列向量单位化：482把下列向量组正交化：493把下列向量组正交规范化494验证下列矩阵是否为正交矩阵51解：51习题4-2521求下列矩阵的特征值和特征向量52习题4-357习题4-463它们对应的特征向量

3、必两两正交69习题5-1701把下列二次型化为矩阵形式：702写出下列二次型的矩阵，并求二次型矩阵的秩：703写出下列矩阵所代表的二次型：71习题5-2711用配方法化下列二次型为标准形，并写出所作的可逆线性变换：712求一个正交变换化下列二次型为标准形：72它的特征多项式为73于是所求得正交变换为73它的特征多项式为74它的特征多项式为75它的特征多项式为75它的特征多项式为77习题5-3781判定下列二次型的正定性：78三个顺序主子式为79三个顺序主子式为79三个顺序主子式为79三个顺序主子式为79三个顺序主子式为80三个顺序主子式为80三个顺序主子式为80三个顺序主子式为803判定下列矩

4、阵是否为正定的：81所以矩阵是正定的。81所以矩阵是负定的。81所以矩阵是正定的。81所以矩阵是正定的。81习题2-11由6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3；选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3；选手3胜选手1、2、4而负于选手5、6；选手4胜选手5、6而负于选手1、2、3；选手5胜选手3、6而负于选手1、2、4；选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5若胜一场得1分，负一场得0分，使用矩阵表示输赢状况，并排序解： ，选手按胜多负少排序为：2设矩阵，已知，求解：由于得，解得：。习题2-21设，求（1）；（2）；（3）解：（1）；（2）；（3）2已知，求解：

5、3设，求（1）；（2）；（3）若满足，求；（4）若满足，求解：（1） ；（2）；（3）由得， ；（4）由得，。4计算下列矩阵的乘积：（1）；（2）；（3）； （4）；（5）。（6）。5设，求解：。6设，（1）求及；（2）如果，是否必有？（3）求解：（1），；（2）由（1）知，而；（3）。7已知，求解：。举反例说明下列命题是错误的：（1）若，则；（2）若，则或；（3）若，且，则解：（1）举例若，而；（2）举例若，而且；（3）举例若，且而。9证明： 如果 ，则有（1）；（2）证明：（1）；（2）10设均为阶矩阵，证明下列命题是等价的：（1）；（2）；（3）；（4）证明：（1）（2）因为，所以；（2

6、）（1），所以；（1）（3）因为，所以（3）（1），所以；（1）（4）因为，所以（4）（1），所以。11设与是两个n阶反对称矩阵，证明：当且仅当时，是反对称矩阵证明：先证当时，是反对称矩阵。因为，所以是反对称矩阵。反之，若是反对称矩阵，即，则。习题2-3 1判别下列方阵是否可逆，若可逆，求它们的逆矩阵：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）解：（1），故存在，从而（2），故存在，从而（3），故存在，从而（4），故存在，从而（5），故不存在。（6），故存在，从而。2设，求矩阵使满足解：由1题中的（4）小题知 ，又知所以。3设，解下列矩阵方程：（1）； （2）； （3）解：，（1

7、）（2）(3) 4利用逆矩阵解下列线性方程组：（1） ； （2）解：（1）取，则原方程组为， ，即。（2）取，则原方程组为， ，即。5设（为正整数），证明证明：因为（由）所以。6设方阵满足，证明和都可逆，并求和证明：因为可知，所以可逆且；又有得，所以可逆且。7设，求解：因为，所以，而，所以。8设，求矩阵解：由于，有而且，可知可逆，所以。9设是阶方阵的伴随矩阵，证明：（1）若可逆，则；（2）若，则；（3）；（4）若可逆，则；（5）若可逆，则证明：（1），而可逆，（2），当，则，当，则由，矛盾。故当时，有。（3）若由（2）知此时命题也成立，故有。若，则由，综上有。（4），而可逆，又，即（5）可逆，

8、可逆又， 即， 10设的伴随矩阵，且，求矩阵解：由 而，。11设，其中，求解：故，所以 而， ， ， 故12设，其中，求解：，又故。13设矩阵、及都可逆，证明：（1）也可逆，并且；（2） 证明：（1）可逆且（2），又有（1）知由逆矩阵的唯一性知，。习题2-41设矩阵 ，用分块矩阵计算：（1）；（2）解：先对进行分块，其中，（1）；（2）。2设，求解：先对进行分块，其中，则，而，所以。3设，求解：先对进行分块，其中=，=， 则，而，4设，求及解：，令 A则是分块对角阵，故 5已知分块方阵，其中均为可逆方阵，证明和均可逆，并求和证明：设有矩阵，使，即则，因均为可逆方阵，所以有，即从而可逆且。设有，

9、使，即，因均为可逆方阵，所以有，即，从而可逆且。6求下列矩阵的逆阵：（1）；（2）解：（1）记原方阵为，则，（2）记原方阵为，则可直接凑得而，=习题2-51对下列矩阵作初等行变换，先化为行阶梯形矩阵，再化为行最简形矩阵：（1）； （2）； （3）；（4）；（5）； （6）解：（1）（行阶梯形矩阵）（行最简形矩阵）（2）（行阶梯形矩阵）（行最简形矩阵）（3） （行阶梯形矩阵）（行最简形矩阵）(4) （行阶梯形矩阵）（行最简形矩阵） （5）（行阶梯形矩阵）（行最简形矩阵）（6）（行阶梯形矩阵）（行最简形矩阵）2把可逆矩阵分解为初等阵的乘积解：因为即3设，求解：可以写成从而4用初等行变换求下列矩阵的

10、逆矩阵：（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）（2）（3） （4） 5用初等变换法求矩阵，使，其中，解：6求解矩阵方程，其中。解：，即而 习题2-61在矩阵中，若存在一个阶子式不等于0，那么的秩如何？若的所有阶子式都为0，那么的秩又如何？解：若中存在阶子式不等于0，则的秩若的所有阶子式均为0，则的秩。2在秩为的矩阵中，有没有等于0的阶子式？有没有等于0的阶子式？解：在秩为的矩阵中，可能有等于0的阶子式，也可能有等于0的阶子式。如，而二阶子式，三阶子式，。3从矩阵中划去一行得到矩阵，问与的秩的关系怎样？解：或如第二题中的例子，划去第三行得，则。4求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：（1

11、）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）； （7）解：（1）由知，且为一个最高阶非零子式。（2）由知，且为一个最高阶非零子式。（3）由知，且为一个最高阶非零子式。（4）由知，且为一个最高阶非零子式。（5）由知，且为一个最高阶非零子式。（6）5求的值，使矩阵有最小的秩解：因，所以，要使的秩最小，须，即而因此，当时，的秩最小。6设阶矩阵满足，证明证明：，又7设是阶方阵（），是的伴随矩阵，证明解：当时，当时，的所有阶子式均为，即，当时，至少有一个阶子式不为，即至少有一个非零元素，又，而，从而习题3-11设，求解：2设，且，求解：由得所以。3试问下列向量能否由其余向量线性表示，若能，写出线性表示式

12、： （1），； （2），； （3），；（4），（5），解：（1）设，即从而，解得所以能由线性表示，表示式为。（2）设，即从而，有无穷解所以能由线性表示，表示式不唯一，为 （为任意常数）（3）设即从而，因为，所以有唯一解，解为所以能由线性表示，且表示式为（4）设，即从而，由，式得，代入式所以该方程组无解， 即不能由线性表示。（5）设，即从而所以能由线性表示，表示式为。4已知向量组由向量组的线性表示式为，向量组由向量组的线性表示式为，求向量组由向量组的线性表示式解：所以由的线性表示式为，。习题3-21举例说明下列命题是错误的（1）若向量组线性相关，亦线性相关，则向量组线性相关；（2）若向量组线性相

13、关，则一定可由线性表示；（3）因为当系数都为0时，一定有所以线性无关；（4）若线性相关，亦线性相关，则有不全为0的数，使和同时成立解：（1）如取，与线性相关，与亦线性相关，而线性无关；如再取，同样与线性相关，与亦线性相关，而线性相关；（2）如取，而线性相关，则不能由线性表示；（3）如取，与线性相关，而对有（4）如与线性相关，与亦线性相关，若有使和同时成立，则有。即不存在使和同时成立的不全为的常数。2判别下列向量组的线性相关性： （1）； （2）； （3）； （4）；（5）；（6）解：（1）因为向量中的对应分量不成比例，所以向量组线性无关。（2）因为向量的个数大于向量的维数，所以向量组线性相关。

14、（3）因为，所以线性相关。（4）因为，所以线性无关。（5）因为，所以线性相关。从而线性相关。（6）取，则，即线性无关，所以线性无关。3已知向量组，问当为何值时，向量组线性相关？线性无关？解：因为所以当或时，线性相关。当且时线性无关。4若向量组线性无关，试问（1）都不为0时，是否线性无关？（2）是否线性无关？解：（1）因为线性无关，所以以它们为列向量构成的矩阵的行列式，从而以为列向量构成的矩阵的行列式为，所以线性无关。（2）令即因为线性无关，所以。又知，所以只有零解。故线性无关。5设线性无关，且，证明向量组线性相关解：令，即亦即因为线性无关，所以，而，所以有非零解，从而向量组线性相关6设，证明向

15、量组线性相关证明： 令则亦即取，则，即有非零解，从而向量组线性相关7设向量组线性无关，且，试证向量组线性无关证明 设则因向量组线性无关，故即，故方程组只有零解则，所以线性无关。习题3-31判断下列各命题是否正确：（1）若两个维向量组的秩相同，则这两个向量组等价；（2）若矩阵和的秩相等，则与等价；（3）向量组的秩是指向量组的不同的极大无关组的个数；（4）所有向量组都有极大无关组，且极大无关组不惟一 解：（1）错误，如向量组如取和的秩都是，但这两个向量组不等价。（2）正确，不妨设，则，由等价的传递性知。（3）错误，向量组的秩是向量组极大无关组中向量的个数。（4）错误，若向量组中的向量是零向量，则就

16、没有极大无关组。2求下列向量组的秩，并求一个极大线性无关组：（1）；（2）；（3） ；（4） ；（5）解：（1）因为，即线性无关，所以，且本身就是它的极大无关组。（2）由知，向量组的秩，且为其一个极大线性无关组。（3） 由知，向量组的秩，且为其一个极大线性无关组。 （4）由知，向量组的秩，且为其一个极大线性无关组。（5）由知，向量组的秩，且为其一个极大线性无关组。3若向量组的秩是2，求解：因为线性无关，而，所以一定可由线性表示，设表示式为，即，解得，从而。4设向量组的秩是2，求解：因为向量组的秩为，所以，即。5设是一组维向量，已知维基本单位向量能由它们线性表示，证明线性无关证明：因为向量组可由

17、向量组线性表示，由题设又能由线性表示，所以与等价从而两向量组有相同的秩。又，所以，即线性无关。6设是一组维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一维向量都可由它们线性表示证明：设为一组维单位向量，对于任意维向量则有即任一维向量都可由单位向量线性表示.任意向量，线性相关（因向量个数大于向量的维数），而线性无关，所以可由线性表示（且表示式不唯一）。已知任一维向量都可由线性表示，则单位向量组：可由线性表示，由上题知线性无关。7设，证明：向量组的秩为4证明：因为，即线性无关；又由于，即线性相关。所以可由线性表示，设表示式为，又因为，所以线性无关。取，即由线性无关有即，从而向量组线性无关，即它们的秩

18、为48已知3阶矩阵与3维列向量满足，且向量组线性无关（1）记，求3阶矩阵，使；（2）求解：（1）因为向量组线性无关，所以可逆，从而即记所以。（2）由（1）知，所以，所以。习题3-4 1判别下列集合是否构成向量空间，若构成向量空间，求它的维数及一个基：（1）；（2）；（3）（4）解：（1）任意，所以是向量空间。又，且线性无关。同时任意，设有表达式，即，所以。即可由线性表示，所以是的一个基，该向量的维数为。（2）由于，即，此时所以，故不是向量空间。（3）由于，当时，所以不是向量空间。（4）任意，则， ， 所以是向量空间。由知，且线性无关。而，总有，所以是的一个基，且。2证明向量组是上的一个基证明：

19、，线性无关。从而是上的一个基。3证明向量组构成上的一个基，并把向量用这个基线性表示证明：，线性无关。从而是上的一个基。令 即其中， 可逆。经计算。4由所生成的向量空间记作，由生成的向量空间记作，试证证明：设，任取中一向量,可写成，要证，从而得由得，上式中,把看成已知数,把看成未知数有唯一解，；同理可证： ()，故5在中求一个向量，使它在下面两个基下有相同的坐标：（1） ；（2）解：设向量在两组基下的坐标都是即从而 解得 （为任意常数）此时（为任意常数）。6设中的两个基分别为（1） 求从基到基的过渡矩阵；（2） 求坐标变化公式； （3） 设，求在这两组基下的坐标 解：（1）取，则从到的过渡矩阵。

20、由知。（2）记中的向量在和中的坐标分别为和则由到的坐标变换公式为而由 ，得所求的坐标变换公式为；（3）由，即，解得在基下的坐标为1，0，1由，即，解得在基下的坐标为。习题3-51判别下列线性方程组是否有解？若有，是惟一解还是无穷多解？ （1） ； （2）； （3） ； （4）解：（1） 该线性方程组有解，并且是唯一解。（2） 该线性方程组无解。（3） 该线性方程组有解，并且有无穷多解。（4） 该线性方程组有唯一解，即零解。2确定的值，使下列齐次线性方程组有非零解：（1）； （2）；（3）解：（1），当即或时，方程组有非零解。（2），当即时，方程组有非零解。（3），当即或时，方程组有非零解。3确

21、定的值，使下列非齐次线性方程组有解：（1）；（2）；（3）解：（1）（2）当且时，有解。（3）当，为任意实数时，方程组有解。4取何值时，下列非齐次线性方程组有解？解：当或时，方程组有解。当时,方程组解为；当时,方程组解为；5取何值时，线性方程组（1） 有惟一解? （2）无解? （3）有无穷多解?解： 当,即且时，有唯一解.当且，即时，无解.当且，即时，有无穷多解.此时，增广矩阵为原方程组的解为 ()6设为矩阵，证明：（1）方程有解的充分必要条件是；（2）方程有解的充分必要条件是证明：（1）方程有解(必要性有不等式得到；充分性由不等式得到)。（2） 方程有解方程有解（由（1）（矩阵秩的性质）注：

22、当，即为阶方阵，显然及有解，并有，当时，按题设条件的解和不是唯一的。7设为矩阵，证明：若，且，则 解：因为，所以，且中一定存在非零的阶子式，取一非零的阶子式中的元素构成矩阵，则，且，所以，即。习题3-6求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并写出通解：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）解：（1）对系数矩阵实施行变换：同解的线性方程组为，取得基础解系，。通解为（为任意常数）（2）对系数矩阵实施行变换: 同解的线性方程组为，取得基础解系，。通解为（为任意常数）（3）对系数矩阵实施行变换: 同解的线性方程组为，取得基础解系，。通解为（为任意常数）（4）对系数矩阵实施

23、行变换:同解的线性方程组为，取得基础解系通解为（为任意常数）（5）对系数矩阵实施行变换:同解的线性方程组为，取得基础解系，。通解为（为任意常数）（6）对系数矩阵实施行变换:同解的线性方程组为，取得基础解系，。通解为（为任意常数）（7）对系数矩阵实施行变换:同解的线性方程组为，取得基础解系，。通解为（为任意常数）（8）对系数矩阵实施行变换:同解的线性方程组为，取得基础解系通解为（为任意常数）2求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系为：，解：设所求的齐次方程组为，则为矩阵且即可。是基础解系且 记且且的两个列向量是的一个基础解系（）基础解系可取为，可取 对应的方程组为3求下列非齐次线性方程组的通解：

24、（1）；（2）；（3）；（4）；（5）解：（1）对应的齐次线性方程组为 取得基础解系，同解的线性方程组为取得特解通解为 （，为任意常数）（2）对应的齐次线性方程组为 取得基础解系，同解的线性方程组为 取得特解通解为 （为任意常数）（3）对应的齐次线性方程组为 取得基础解系，同解的线性方程组为取得特解通解为 （，为任意常数）（4）对应的齐次线性方程组为 取得基础解系，同解的线性方程组为 取得特解通解为 （为任意常数）（5）对应的齐次线性方程组为 取得基础解系，同解的线性方程组为 取得特解通解为 （为任意常数）4设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已经它的三个解向量为 其中,求该方程组的通解

25、解：取 ，则又，即的基础解系中有一个解向量。是的基础解系。得通解为 （为任意常数）5设三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，又是的两个解向量，且，求的通解解：， 取，则 即是的特解。又且 是的基础解系。得通解为 （为任意常数）6设有向量组，及向量，问为何值时（1）向量不能由向量组线性表示；（2）向量能由向量组线性表示，且表示式惟一；（3）向量能由向量组线性表示，且表示式不惟一，并求一般表示式解：令即（1）当，时，方程组无解，即不能由线性表示。（2）当时，方程组有唯一解，即可由唯一线性表示。（3）当，时，方程组有无穷解，且无穷解为，即可由线性表示，表示式 （为任意常数）7设 ，证明三直线 相交

26、于一点的充分必要条件为：向量组线性相关，而向量组线性无关证明：记，则相交于一点有唯一解线性相关，而向量组线性无关8设矩阵，其中线性无关，向量，求方程的通解解：因为线性无关，所以因为，所以线性相关，从而线性相关，所以所以。所以的基础解系中所含向量个数为1个由得，即，为的基础解系。又，为的特解。得通解为（为任意常数）9设是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明（1）线性无关；（2）线性无关证明：（1）设 （） 则而，从而（）式为 是基础解系，即线性无关。 线性无关 (2)令则由（1）知线性无关， 线性无关.10设是非齐次线性方程组的个解，为实数，满足，证明也是的解证明

27、： （）当时是的解.习题4-11把下列向量单位化：（1）；（2）解：（1），。（2），。2把下列向量组正交化：（1），；（2），解：(1)根据施密特正交化方法：取，则为正交向量组。（2）取， 。则为正交向量组。3把下列向量组正交规范化（1），；（2），；（3），解：（1）先正交化，取，。再单位化，。则即为所求。（2）先正交化，取，。再单位化，。则即为所求。（3）先正交化，取，。再单位化，。则即为所求。4验证下列矩阵是否为正交矩阵（1）；（2）解：（1），不是正交矩阵。(2)是正交矩阵。5证明：若是正交矩阵，则、也是正交矩阵证明：是正交矩阵，即，即是正交矩阵。，即是正交矩阵。6设，问满足什么条件

28、时，方阵是正交矩阵解：要使为正交矩阵，须，即，即当时是正交矩阵。7设，求（1）、；（2）以及；（3）证明与正交解：（1），。（2），,(3)与正交。习题4-21求下列矩阵的特征值和特征向量（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）解：（1）故的特征值为。当时，对应方程组为，基础解系，为对应的全部特征向量。当时，对应方程组为，基础解系，为对应的全部特征向量。（2） 特征值为当时 对应方程组为，基础解系特征值对应的特征向量为当时 对应方程组为，基础解系特征值对应的特征向量为当时对应方程组为，基础解系特征值对应的特征向量为（3）特征值为当时 对应方程组为，基础解系特征值对应的特征向量为当时 对应

29、方程组为，基础解系特征值对应的特征向量为（4）特征值为当时 对应方程组为，基础解系特征值对应的特征向量为当时 对应方程组为，基础解系特征值对应的特征向量为（5）特征值为当时 对应方程组为，基础解系特征值对应的特征向量为当时 对应方程组为，基础解系特征值对应的特征向量为（6）特征值为当时 对应方程组为，基础解系特征值对应的特征向量为2求矩阵的特征值和特征向量；并问它们的特征向量是否两两正交？解：在第一题（1）中已求出特征值对应的特征向量，。，和不正交。3证明：方阵与它的转置矩阵有相同的特征值证明：与有相同的特征值。4设是方阵的特征值，非零向量称为方阵对应于特征值的特征向量，是方阵的的伴随矩阵，证

30、明（1）为方阵的特征值，非零向量称为方阵对应于特征值的特征向量；（2）若方阵是可逆矩阵，则为方阵的特征值，非零向量称为方阵对应于特征值的特征向量解：（1）是对应于特征值的特征向量 为方阵的特征值，且是方阵对应于特征值的特征向量。（2）方阵是可逆矩阵 ， ，而，即为方阵的特征值，且称为方阵对应于特征值的特征向量。5设是三阶矩阵的特征值为，求（1）的特征值；（2） 解：（1）令，则的特征值为，。（2） 可逆，且即为的三个特征值。令，则，而的特征值为，即。6设是正交矩阵，证明：（1）或；（2）如果是的特征值，那么也是的特征值；（3）的实特征值只能是或证明：（1）是正交矩阵 或。（2）是正交矩阵 设是

31、对应于的特征向量，即 是的特征值（3）由（2）知，与必同时是的特征值 只能取1和-1。7设是三阶矩阵，满足，求（1）的特征值；（2）解：（1）是三阶矩阵 有三个特征值。由，得，即，从而，为的特征值。（2），为的特征值 可逆从而。 的特征值为，（其中） 。8设方阵满足，证明的特征值只有或证明： 或，即0或1是的特征值。则 又，即，而 的取值只可能是0或1 的特征值只有0或1。习题4-31判别下面的矩阵可否对角化若可以，写出使矩阵对角化的可逆矩阵以及与之相似的对角矩阵（1）；（2）；（3）；（4）解：（1） 特征值当时，解方程组,对应方程组，基础解系即的线性无关的特征向量只有一个，从而不能对角化。

32、（2）特征值,对，解方程组对应方程组，基础解系，对，解方程组，对应方程组，基础解系从而有三个线性无关的特征向量，所以可以对角化。取，则可逆，且。（3）特征值,对，解方程组对应方程组，基础解系，对，解方程组对应方程组，基础解系从而有三个线性无关的特征向量，所以可以对角化。取，则可逆，且（4）特征值，对，考虑方程组，对应方程组，基础解系 时三重特征值，而对应的线性无关的特征向量只有一个不能对角化。2设，问为何值时，矩阵可以对角化？解：特征值,要使可以对角化，只需证二重特征值对应有两个线性无关的特征向量即可。即只需要使的秩为1即可。而当时，此时可以对角化。3设矩阵与相似，（1）求和的值（2）求可逆矩

33、阵，使得解：因为与相似，所以与有相同的特征向量。而的特征值为，下求的特征值。是特征值，所以；又因为是特征值代入上式可解得所以当时，。（2）当，时，和的特征知是，当时，即的基础解系 当时，即的基础解系 。当时，即的基础解系。取，则可逆，且。4设都是阶方阵，且，证明：与相似证明： 则可逆， 则与相似5已知阶方阵的特征值为，设，求方阵的特征值及其相似的对角矩阵解：令，则的特征值为 的特征值为，与相似的对角矩阵为。6设，用对角化法计算解：特征值,。当时，即的基础解系当时，即的基础解系取，则，且，即7设矩阵，（1）求的特征值与特征向量；（2）问是否可对角化，若可以，写出使其对角化的可逆矩阵以及与之相似的

34、对角阵；（3）若可对角化，用对角化法计算解：（1）特征值为,当时， 即基础解系，当， 即基础解系从而相应于的特征向量的全体为相应于的特征向量的全体为。 （2）由（1）知，有三个线性无关的特征向量 可对角化。取，则可逆，且（3）由（2）知，而。8证明：方阵，存在可逆矩阵，使得为对角矩阵且证明：，当时，的基础解系，当时，即的基础解系取，则可逆，且。习题4-41试求一个正交矩阵，将下列实对称矩阵化为对角阵（1）；（2）；（3）； （4）解：（1）特征值，当时，对应方程组为，基础解系，单位化。当时，方程组的基础解系，正交化：，单位化：，取，则为正交矩阵且。（2）特征值，当时，所以的基础解系，取 是单位

35、向量。当时，所以的基础解系，单位化。当时，所以的基础解系，单位化。取，则为正交矩阵且。（3）特征值，当时，所以的基础解系， 正交化： ，单位化：，当时，所以的基础解系，单位化。，则为正交矩阵且。（4）特征值，当时，所以的基础解系， ，正交化： ，单位化：，当时，所以的基础解系，单位化。取，则为正交矩阵且。2设实对称矩阵，（1）求可逆矩阵，使得为对角矩阵；（2）求正交矩阵，使得为对角矩阵解：（1）特征值，当时，基础解系，当时，方程组的基础解系取，则可逆，且（2）对（1）中的正交化，单位化：，取，则为正交矩阵且。3设，为同阶实对称矩阵，证明，相似的充分必要条件是，的特征多项式相等如果，为仅为同阶矩

36、阵，是否成立证明：，为实对称矩阵 ，使，即与的特征多项式相等。反之，设实矩阵，有相同的特征多项式，既有相同的特征值，则存在正交矩阵，使得，从而有，即令，因为是正交矩阵，所以是正交矩阵，故有，即与相似。如果，为仅为同阶矩阵，结论不一定成立。如与有相同的特征多项式，但，不相似，因与相似的只有单位矩阵。4设阶实对称矩阵的特征值为、，与特征值对应的特征向量，与特征对应的特征向量，求（1）实对称矩阵对应的特征向量； （2）矩阵解：（1）因为是实对称矩阵的三个不同的特征值它们对应的特征向量必两两正交取，则对应的特征向量必满足方程组而，即是的基础解系，从而是对应的特征向量。（2）由（1）取，则5设阶实对称矩

37、阵的特征值为，与特征值对应的特征向量，求（1）实对称矩阵对应的特征向量；（2）矩阵解：（1）因为是实对称矩阵，所以二重根必有两个线性无关的特征向量，且满足方程，而的基础解系为，即是的特征向量。（2）取，则习题5-11把下列二次型化为矩阵形式：（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）（2）（3）（4）2写出下列二次型的矩阵，并求二次型矩阵的秩：（1）；（2）解：（1）二次型的矩阵，（2）二次型的矩阵，3写出下列矩阵所代表的二次型：（1）；（2）4已知二次型的秩为，求参数及此二次型对应的矩阵解：二次型的矩阵对应的行列式有由于矩阵，所以，即二次型的矩阵为习题5-21用配方法化下列二次型为标准形，并写出所作的可逆线性变换：（1）；（2）；（3）解：（1）令 即二次型化标准型 可逆线性变换为 （2）令 二次型化标准型 可逆线性变换为 （3） 令 则二次型化标准型 可逆线性变换为 2求一个正交变换化下列二次型为标准形：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）解：（1）二次型的矩阵它的特征多项式为于是的特征值为当时 得基础解系，已单位化当时 得基础解系，将其单位化得当时 得基础解系，将其单位化得于是所