【岩土结构基础结构力学】第4讲静定结构位移计算2.pptx

1、2019 年张工培训注册勘察 设计岩土结构基础班第 4 讲：静定结构位移计算主讲：黄老师网络授课 课后视频 及时答疑 专有题库十四、结构力学与结构设计（十四、结构力学与结构设计（1212 题）题）14.1.314.1.3 静定结构位移静定结构位移广义力与广义位移；虚功原理；单位荷载法；荷载下静定广义力与广义位移；虚功原理；单位荷载法；荷载下静定 结构的位移计算结构的位移计算 图乘法；支座位移和温度变化引起的位移；图乘法；支座位移和温度变化引起的位移；互互等定理及其应用等定理及其应用注册土木工程师（岩土）基础考试大纲2十五、结构力学（十五、结构力学（1515 题）题）15.315.3 静定结构的

2、位移静定结构的位移广义力与广义位移广义力与广义位移 虚功原理虚功原理 单位荷载法单位荷载法 荷载下静定结构荷载下静定结构 的位移计算的位移计算 图乘法图乘法 支座位移和温度变化引起的位移支座位移和温度变化引起的位移 互等定互等定理理及其应用及其应用一级注册结构工程师基础考试大纲3八、静定结构在荷载作用下的位移计算位移计算一般公式位移计算一般公式没有支座位移的影响时（没有支座位移的影响时（c c=0=0）微段的变形微段的变形 dqdq、dhdh、dudu 均由实际状态中的荷载引均由实际状态中的荷载引起。起。4ds FQP(a)实际状态 (b)虚拟状态MP MP FNPFN FNdsdsduA d

3、s CFNP MdA dsFQPFQFQ5FPd MCBB13.3.组合结构组合结构正负号规定：正负号规定：MPMP 与与 M1M1 同侧受拉相乘为正，否则为负。同侧受拉相乘为正，否则为负。D D 的方的方向确向确定：当定：当 D D 的计算结果为正时，其方向与单位力指向相同；的计算结果为正时，其方向与单位力指向相同；D D 为为负负 时，其方向与单位力指向相反。时，其方向与单位力指向相反。1.1.梁和刚梁和刚架架2.2.桁架桁架梁和刚架的位移计梁和刚架的位移计算算6度)CV，已知抗弯刚度 EI 为常数。【解】(1)建立 x 坐标，求荷载作用下的MP当 0 x l/2MC MM2 P dxCV

4、 A EI(2)加相应单位力，求 【例】求简支梁在均布荷载 q 作用下跨中截面 C 的竖向位移(即挠(3)计算CV =xl/2 l/2CACx(b)7(a)ABBq1FNFN 及及EAEA沿杆长沿杆长l l均为常数：均为常数：F FNPNP：荷载引起的桁架轴力。受拉为正，受压为负。：荷载引起的桁架轴力。受拉为正，受压为负。：单位力引起的桁架轴力。受拉为正，受压为负：单位力引起的桁架轴力。受拉为正，受压为负。桁架的位移计算桁架的位移计算 在结点荷载作用下，桁架中各杆只有轴力，且同一杆件的在结点荷载作用下，桁架中各杆只有轴力，且同一杆件的F FNPNP、8 9注意：当要求桁架中某杆的角位移时，不能

5、直接在杆上施加单 位力偶，而应将其转换为等效的结点集中荷载。如求 BC 杆的角位移时的单位力偶设置方法 。求桁杆转角时的虚拟状求桁杆转角时的虚拟状态态1d1ddACB 10组合结构的位移计算组合结构的位移计算拱结构的位移计算拱结构的位移计算一般拱的位移计算一般拱的位移计算只要考虑弯曲变形只要考虑弯曲变形的影响已足够精确的影响已足够精确，扁平拱扁平拱 f f l/5l/5 需需 同时考虑弯曲变形和轴向变同时考虑弯曲变形和轴向变形的形的影响，即影响，即11该公式在一定条件下可用图乘该公式在一定条件下可用图乘 法简化计算。法简化计算。计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，常需利用公式计算梁和刚架在荷载作

6、用下的位移时，常需利用公式适用条件适用条件 杆段的轴线为直线；杆段的轴线为直线；杆段的杆段的EIEI为常数；为常数；杆段的杆段的M 图和图和M MP P 图中至少有一个为直线图形图中至少有一个为直线图形。九、图乘法九、图乘法12式中，式中，A A 为一个弯矩图的面积；为一个弯矩图的面积；yCyC 为另一个直线弯矩图中与为另一个直线弯矩图中与 A A 图的形心对应的纵图的形心对应的纵标。标。dAMP形心C MP 图A BdxMyCxxCA B x13M 图Oy 必须符合图乘法的适用条件。必须符合图乘法的适用条件。A A 与与 yCyC 应取自不同的图形。它们位于杆件的应取自不同的图形。它们位于杆

7、件的同侧时相乘为正同侧时相乘为正，否则为负否则为负。取取 yCyC 的图形必须是直线图，不能是折线图或曲线图。的图形必须是直线图，不能是折线图或曲线图。若两者均为直线图，则从任一图中取若两者均为直线图，则从任一图中取 yCyC（另一图则取（另一图则取 A A）均）均可。可。对于对于 EIEI 为分段常数的杆，应当分别对为分段常数的杆，应当分别对 EIEI 等于常数的各段图乘等于常数的各段图乘，然后叠加起来。然后叠加起来。当一个是曲线图形当一个是曲线图形,而另一个是折线图时而另一个是折线图时,应当分段图乘。应当分段图乘。几点说几点说明明14yC1yC2(b)分段图乘o A1O A2o A1yC1

8、yC2MP 图M 图MP 图M 图15(a)EI2EI1A22 记住以下常见图形的面积及其形心位置。常见弯矩图形的面积及其形心位常见弯矩图形的面积及其形心位置置(l+a)/3 (l+b)/3l顶点l(a)(b)(c)ll/3 2l/3a bl/2 l/2二次抛物线 A=lhA=lhA=1 lhhhh16常见弯矩图形的面积及其形心位常见弯矩图形的面积及其形心位置置(d)(e)(f)llll/5 4l/53l/8 5l/8l/4 3l/4二次抛物线 A=lh二次抛物线 A=lh三次抛物线 A=lhh顶点顶点顶点17hha 18 当取当取 A A 的图形较复杂时，应将其分解为简单图形，再分别图的图形

9、较复杂时，应将其分解为简单图形，再分别图乘乘AyC=A1yC1 A2yC2 AyC=A1yC1 A2yC2yC1yC3yC2yC1yC2AyC A1yC1+A2yC2-A3yC3后叠加起来。后叠加起来。abAA1 0 -一 一 一 一 一 O A2A2 byCaA1yC1 yC2 yCbA1aAql 2ql 2bA2MP 图M 图A3 o(d)(b)(c)(a)bbaa(1)(1)若弯矩图为梯形若弯矩图为梯形，可以把它分解为二个三角形，则，可以把它分解为二个三角形，则有有复杂图形分解为简单图复杂图形分解为简单图形形19A A2 2A A1 1C C2 2C C1 1A2A1 C120C2 21

10、l示，可将其中一个图形分解为示，可将其中一个图形分解为 ABDABD 和和 ABCABC 两个三角形，分别与两个三角形，分别与另另 一个图形图乘并求和，即一个图形图乘并求和，即(2)(2)若两个图形都是直线，但都含有不同符号的两部分，如图若两个图形都是直线，但都含有不同符号的两部分，如图所所A1C1A2A(3)(3)若若 M M 图是由竖向均布荷载和杆端弯矩所引起的，可分解为图是由竖向均布荷载和杆端弯矩所引起的，可分解为一一个梯形和一个抛物线形两部分，再将上述两图形分别乘求和。个梯形和一个抛物线形两部分，再将上述两图形分别乘求和。qA a BdxqMA i MBaql 2-D 8-A Bql

11、28A /dx22CBB图示 M 图是由竖向均布荷载和杆端弯矩所引起的另外两种情 况,可分别分解为三角形(或梯形)和抛物线形。23计算步骤 作实际荷载弯矩图 MP 图；建立相应虚设状态,作单位弯矩图 图；M 用图乘法公式 求位移。24【例】求图示简支梁【例】求图示简支梁 A A 端的转角及跨中截面端的转角及跨中截面 C C 的挠度的挠度 CVCV。EIEI 为为常数。常数。q(a)l/2 l/2A C 25B1(2)(2)求求 CVCV(1)求求A (b)MP 图（。）11CV =2 1 (2 1 ql2 l)(5 l)=5ql EI 3 8 2 8 4 384EI41 ql 28【解】先作【

12、解】先作 MPMP 图，如图图，如图(b)(b)所所示。示。l/4(d)M 图(c)M 图()26(b)278(a)【例】求图示刚架中【例】求图示刚架中 A A、B B 两点间的相对线位移两点间的相对线位移 ABAB。各。各杆杆 EIEI 为为 常数。常数。A1 ql 2qll/2 l/21 1BDCl/2l/2 28静定结构在发生支座位移时不引起内力，杆件只有刚体位移而不产生微段变形，即 d=d=du=0，代入一般公式得：十、静定结构在支座移动时的位移计算式中，式中，c c 支座位移。支座位移。FRFR 虚拟状态中与虚拟状态中与 c c 对应的支反力。对应的支反力。乘积的正负号规定为：当虚拟

13、状态的支座反力与实际支座乘积的正负号规定为：当虚拟状态的支座反力与实际支座位移位移C C 的方向一致时取正号，相反时取负号的方向一致时取正号，相反时取负号。注意：式中负号不可漏掉！注意：式中负号不可漏掉！29()【解】在杆端【解】在杆端 A A 处加一单位力偶，求得处加一单位力偶，求得 B B 支杆的支反力，如支杆的支反力，如图图 b b 所示，则所示，则【例】图示简支梁支座【例】图示简支梁支座 B B 产生竖向位移产生竖向位移 B=0.03mB=0.03m，试求，试求杆端杆端 A A 处的转角。处的转角。1A B A B6mFR=1/630(b)(a)AB(a)【解】在【解】在 C C 点加

14、一点加一单位力单位力,求出支座位移处的支反力求出支座位移处的支反力,如图如图(b)(b)所所示。示。(b)()【例】结构的支座位移如图所示，求铰【例】结构的支座位移如图所示，求铰 C C 的竖向位移的竖向位移CVCV。CA6m 6m 0.06mC1B0 04m 8m 12318B1CV31温度变化时位移计算的一般公式为温度变化时位移计算的一般公式为如图示结构截面如图示结构截面K K的竖向位移的竖向位移。32t2十一、静定结构在温度变化时的位移计十一、静定结构在温度变化时的位移计算算FP=1 ds(b)虚拟状态(a)实际状态 dsK/Kt 1t 1（1）d=0（2）du=tds若杆件截面对称于形

15、心轴若杆件截面对称于形心轴,即即tt2实际状态中任一微段 ds 上的变形：温度改变时结构不产生剪切变形ds t2 dst1 dsh 2 h 133dut1hdtt2t=t1 -t2ds t2 dst1 ds（3 3）h 2 h 134dut1hd35正负号规定:温差 t 采用绝对值，若弯矩图中杆件的弯曲温，一致，则乘积 对于桁架，在温度变化时，其位移计算公式为反之取负号度变化引起取正号变形与设桁架各杆长度的制造误差为 l (伸长为正，缩短为 负)，则位移计算公式为:3630,30,内侧温度为内侧温度为 2020 时时 A A 点的水平位移点的水平位移 AHAH 和转角和转角AA。已知。已知 l

16、=4ml=4m，a a=10-5=10-5，各杆均为矩形截面，高度，各杆均为矩形截面，高度 h h=0.4m=0.4m。t1=10 A【例】图示刚架施工时温度为【例】图示刚架施工时温度为 20,20,试求夏季当外侧温度为试求夏季当外侧温度为lt1=10 t2=037l温变引起杆件的弯曲方向为虚线。温变引起杆件的弯曲方向为虚线。=3.6 1 0 一 3 m =3.6=3.6 mmmm ()()【解】外侧温度变化为【解】外侧温度变化为 t1=30-20=10,t1=30-20=10,内侧温度变化为内侧温度变化为t2=20-t2=20-20=0,20=0,故有故有 t=t1-t2=10t=t1-t2

17、=101A1FN38M1l=一 5.5 1 0 一 4 rad（。）l1Mt1=10 At1=10 t2=0391l(a)(c)FNA1l设第一状态为平衡力系状态，第二状态为位移状态，按设第一状态为平衡力系状态，第二状态为位移状态，按照照 虚功原理得：虚功原理得：FP112 =M1d2 +FQ1d2 +FN1du2十二、线性弹性结构的互等定十二、线性弹性结构的互等定理理40反过来，设第二状态为平衡力系状态，第一状态为反过来，设第二状态为平衡力系状态，第一状态为位移状态，按照虚功原理得：位移状态，按照虚功原理得：故有：故有：FP1 12 =FP 2 21功的互等定理功的互等定理在某线性弹性体上作

18、用两组广义力，则第一组力在第二在某线性弹性体上作用两组广义力，则第一组力在第二组组 力引起的位移上所作的功，等于第二组力在笫一组力引起力引起的位移上所作的功，等于第二组力在笫一组力引起的位的位 移上所作的功。移上所作的功。41(a)应用功的互等定理，得：应用功的互等定理，得：112 =12112 =21位移互等定理位移互等定理第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向的第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向的位位 移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向方向 的位移。的位移。位移互等可能是两个线位移之间的互等、两个角位

19、移之位移互等可能是两个线位移之间的互等、两个角位移之间间 的互等，也可能是线位移与角位移之间的互等。的互等，也可能是线位移与角位移之间的互等。21 12(b)FP1=1FP2=1422211左图表示两个角位移互等的情况；右图线位移和角左图表示两个角位移互等的情况；右图线位移和角位位 移在数值上相等的情况。移在数值上相等的情况。431=1k12 1k21(a)第一状态应用功的互等定理，得：应用功的互等定理，得：k212 =k12 1k12 =k21反力互等定理反力互等定理约束约束 1 1 发生单位位移所引起的约束发生单位位移所引起的约束 2 2 的反力，等于约束的反力，等于约束 2 2发发 生单

20、位位移所引起的约束生单位位移所引起的约束 1 1 的反力。的反力。k12k12 与与 k21k21 不仅数值上相等，量纲也相同。反力互等定理不仅数值上相等，量纲也相同。反力互等定理将将 在用位移法计算超静定结构中得到应用。在用位移法计算超静定结构中得到应用。(b)第二状态2442=1211212=-r-r2121 同一线性弹性体系由单位荷载同一线性弹性体系由单位荷载 P1=1P1=1 所引起的与位移所引起的与位移 C2C2 相相应应 的反力的反力 r21r21 在绝对值上等于由单位位移在绝对值上等于由单位位移 C2=1C2=1 所引起的与所引起的与荷载荷载 P1P1 相相 应的位移应的位移 1212 但两者相差一个符号但两者相差一个符号位移与反力互位移与反力互等等4547