【岩土结构基础结构力学】第7讲结构动力学1.pdf

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1、网络授课课后视频及时答疑专有题库岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495262019年张工培训注册勘察设计岩土结构基础班第7讲：结构动力学-结构动力特性与动力反应主讲：黄老师2岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495262注册土木工程师（岩土）基础考试大纲十四、结构力学与结构设计（12题）14.1.5 结构动力特性与动力反应14.1.5 结构动力特性与动力反应单自由度体系；自振周期；频率；振幅与最大动内力；阻尼对振动的影响；单自由度体系；自振周期；频率；振幅与最大动内力；阻尼对振动的影响；一级注册结构工程师基础考试大纲十五、结构力学（15题）15.6 结构动

2、力特性与动力反应15.6 结构动力特性与动力反应单自由度体系周期频率简谐荷载与突加荷载作用下简单结构的动力系数振幅与最大动内力;阻尼对振动的影响;单自由度体系周期频率简谐荷载与突加荷载作用下简单结构的动力系数振幅与最大动内力;阻尼对振动的影响;多自由度体系自振频率与主振型;主振型正交性多自由度体系自振频率与主振型;主振型正交性3岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495263结构动力特性与动力反应一、动荷载及其分类二、动力计算的特点和动力自由度三、单自由度体系的自由振动（无阻尼）四、单自由度体系的自由振动（有阻尼）五、单自由度体系的强迫振动（无阻尼）六、单自由度体系的强迫振动（

3、有阻尼）一、动荷载及其分类二、动力计算的特点和动力自由度三、单自由度体系的自由振动（无阻尼）四、单自由度体系的自由振动（有阻尼）五、单自由度体系的强迫振动（无阻尼）六、单自由度体系的强迫振动（有阻尼）4岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495264一、动荷载及其分类结构在大小、方向和作用点随时间变化的荷载作用下，质量运动加速度所引起的惯性力和荷载相比大到不可忽视时，则把这种荷载称为动荷载。结构在大小、方向和作用点随时间变化的荷载作用下，质量运动加速度所引起的惯性力和荷载相比大到不可忽视时，则把这种荷载称为动荷载。大小、方向和作用点不随时间变化的荷载称为静荷载大小、方向和作用点

4、不随时间变化的荷载称为静荷载。惯性力和荷载相比小到可以忽略不计，这时仍可将其当作静荷载进行分析。而所谓荷载变化的快慢，不仅要看荷载，而且还要看结构动力特性。惯性力和荷载相比小到可以忽略不计，这时仍可将其当作静荷载进行分析。而所谓荷载变化的快慢，不仅要看荷载，而且还要看结构动力特性。5岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495265简谐荷载周期荷载非简谐荷载确定性荷载冲击荷载非周期荷载突加荷载动荷载其他动荷载风荷载非确定性荷载地震荷载其他无法确定规律的动荷载简谐荷载周期荷载非简谐荷载确定性荷载冲击荷载非周期荷载突加荷载动荷载其他动荷载风荷载非确定性荷载地震荷载其他无法确定规律的动

5、荷载动荷载的分类动荷载的分类动荷载可表示为时间和位置（坐标）的函数动荷载可表示为时间和位置（坐标）的函数6岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495266F FP P(t)t(t)tF FP P(t)(t)t tPP()sinF tFt 周期荷载：随时间作周期性变化(转动电机的偏心力)。冲击荷载：短时内剧增或剧减。周期荷载：随时间作周期性变化(转动电机的偏心力)。冲击荷载：短时内剧增或剧减。简谐荷载一般周期荷载简谐荷载一般周期荷载F FP P(t)t(t)tt tr rF FP P 突加荷载突加荷载F FP P(t)t(t)tt tr rF FP P 爆炸荷载爆炸荷载7岩土基础

6、免费群283982936公共基础免费群248495267 随机荷载：(非确定性荷载)荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。（如地震荷载、风荷载）随机荷载：(非确定性荷载)荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。（如地震荷载、风荷载）P(t)t随机荷载随机荷载8岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495268动力计算与静力计算的区别动力计算与静力计算的区别两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载和内力都是时间的函数。建立的方程是微分方程。两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。

7、力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载和内力都是时间的函数。建立的方程是微分方程。二、动力计算的特点和动力自由度动力计算的内容动力计算的内容研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。涉及内外两方面的因素：结构的动力特性：自振频率、阻尼、振型。(自由振动)荷载的变化规律及其动力反应。(强迫振动)研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。涉及内外两方面的因素：结构的动力特性：自振频率、阻尼、振型。(自由振动)荷载的变化规律及其动力反应。(强迫振动)9岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495269动力计算中体系的自由度动力计算中体系的自由度确定运动过程中任意时刻

8、全部质量的位置所需独立几何参数的个数称为体系的振动自由度。质量都是连续分布的，结构都是无限自由度的。常作简化。集中质量法把质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需独立几何参数的个数称为体系的振动自由度。质量都是连续分布的，结构都是无限自由度的。常作简化。集中质量法把质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。II2I厂房排架水平振动时的计算简图梁上集中质量10岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952610水平振动时的计算体系复杂体系可通过加支杆限制质量运动的办法确定体系的自由度。三个自由度1

9、1岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952611几种典型体系的自由度确定自由度为1a 梁式杆（不计轴变）y1EIEI自由度为2EI=y2自由度为1自由度为2y1y2EIEI自由度与质点的数目无关y1y2EIEIEI12岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952612b 弹簧支撑自由度为2y1y2EIEI弹簧和桁架杆不影响体系的自由度自由度为2EIEIc 考虑轴变的桁架杆EIEIEAy2y1自由度为213岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952613【例】自由度为1EIEI1=y1y1自由度为3EI2EIEIy1y1自由度为1EIEI2E

10、IEI1=y1y2y3y114岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952614几点注意：几点注意：对于具有集中质量的体系，其对于具有集中质量的体系，其自由度数并不一定等于集中质量数自由度数并不一定等于集中质量数，可能比它多，也可能比它少。，可能比它多，也可能比它少。体系的体系的自由度与其超静定次数无关自由度与其超静定次数无关。体系的。体系的自由度数目决定了结构动力计算的精度自由度数目决定了结构动力计算的精度。在几何构造分析中所说的自由度是在几何构造分析中所说的自由度是刚体系刚体系的运动自由度，的运动自由度，动力计算中讨论的自由度是动力计算中讨论的自由度是变形体系中质量变形体系

11、中质量的运动自由度。的运动自由度。一个质点两个自由度两个质点一个自由度一个质点两个自由度两个质点一个自由度15岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952615动力体系运动方程的建立用直接平衡法建立体系运动方程的一般步骤为：(1)确定体系质量的分布及动力自由度，建立动力计算模型。简称建模；(2)建立坐标系、确定各自由度的位移参数；(3)根据达朗伯尔原理和所采用的阻尼假设，沿质量各自由度方向加上惯性力和阻尼力；(4)通过分析质量平衡或考虑变形协调，建立体系的运动方程。【理论力学】质点的达朗贝尔原理：作用在质点上的主动力、约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系。0INFFF16岩

12、土基础免费群283982936公共基础免费群2484952616具体的方法有两种：（1）刚度法取每一运动质量为隔离体，分析质量所受的全部外力（动荷载、惯性力和阻尼力，弹性力），建立质量各自由度的瞬时“动平衡”方程。（2）柔度法以结构整体为研究对象，计算位移系数和荷载所引起的自由度方向的位移，叠加列出自由度方向位移的协调条件。惯性力：阻尼力：弹性力：2I0()()sin()F tmy tFt D0()()2cos()F tcy tFt 0()()sin()SF tky tFt 17岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952617单自由度体系动力分析的重要性具有实际应用价值，或进

13、行初步的估算。是多自由度体系动力分析的基础。自由振动：振动过程中没有干扰力作用，振动是由初始移或初始速度或两者共同影响下所引起的。单自由度体系动力分析的重要性具有实际应用价值，或进行初步的估算。是多自由度体系动力分析的基础。自由振动：振动过程中没有干扰力作用，振动是由初始移或初始速度或两者共同影响下所引起的。三、单自由度体系的自由振动（无阻尼）18岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952618自由振动微分方程的建立m 刚度法y(t)l0kmkyky(t)刚度法从质点受力平衡的角度建立自由振动微分方程。弹簧的刚度系数k=柱顶有单位水平位移是在柱顶所需施加的水平力。F 0my

14、tky t my t my t 19岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952619柔度法从体系的位移协调角度建立的自由振动微分方程。取体系为研究对象，加惯性力：mky(t)my ty tmy tk 20岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495262000()cossinsinsincoscossinvy tyttatatat振幅:初始相位角:振幅:初始相位角:00sincosyava2200200arctanvayyv无阻尼自由振动是简谐振动无阻尼自由振动是简谐振动柔度系数等于柱顶有单位水平力时产生的柱顶水平位移。柔度系数等于柱顶有单位水平力时产生的柱顶水

15、平位移。2.自由振动微分方程的解2.自由振动微分方程的解F=1 F=1 1 1k k21岩土基础免费群283982936公共基础免费群24849526213.结构的自振周期和自振频率是周期函数,且周期是3.结构的自振周期和自振频率是周期函数,且周期是2T12fT频率是每秒钟内的振动次数。频率是每秒钟内的振动次数。22 fT 圆频率是2秒内的振动次数。圆频率是2秒内的振动次数。22()sinsin2sin()()y tatataty t，振动一次需要的时间。，振动一次需要的时间。22岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952622自振周期计算公式的几种形式：圆频率计算公式的几种

16、形式：自振周期计算公式的几种形式：圆频率计算公式的几种形式：22222stmWTmkgg用于各质点惯性力共线的单自由度体系。用于各质点惯性力共线的单自由度体系。d柔度系数，在质点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向的位移。k刚度系数，使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。st=Wd在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质点沿振动方向所产生的位移。计算时可根据体系的具体情况，视d、k、Dst三者中哪一个最便于计算来选用。23岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952623一些重要性质：一些重要性质：自振频率（周期）与且只与结构的质量和结构的刚度有关，是

17、结构的固有特性，也称为固有周期（固有频率）自振频率（周期）与且只与结构的质量和结构的刚度有关，是结构的固有特性，也称为固有周期（固有频率）。自振频率与质量的平方根成反比，质量越大，频率越小(周期越大)；自振频率与刚度的平方根成正比，刚度越大，频率于大（周期越小）；。自振频率与质量的平方根成反比，质量越大，频率越小(周期越大)；自振频率与刚度的平方根成正比，刚度越大，频率于大（周期越小）；要改变结构的自振周期，只有改变结构的质量或刚度。要改变结构的自振周期，只有改变结构的质量或刚度。124岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495262431212()2243448llllEIE

18、I【例1】图示三根单跨梁，EI=常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。FP=1l/43221357(2)6216232768llllllEIEIFP=15l/323l/16P=1l/2l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm25岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952625P=1l/2331121222 3 83 8192lllllEIEIFP=1l/8l/8l/8结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。求频率：13148EImlm237687EIml33192EIml据此可得：1:2:3=1:1.512:2 EIl4831EI

19、l19233EIl768732解：求d26岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952626l/2l/2ml/2l/2kACB331296(/2)CBEIEIFll QQ331296(/2)CAEIEIFllFQCA FQCB3192CACBEIkFFlQQ3192mlEImk【例2】用求刚度系数法求图示梁的频率。EI=常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量。1解：求 k求频率：27岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952627【例3】求图示刚架的自振频率。不计柱的质量。EIEIEI1=mlh13EI/h26EI/h26EI/h2k12EI/h33EI/

20、h333331215EIEIEIkhhh315mhEImk解：求 kM求频率：28岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952628h1解法1：求 kMBA=kh=MBCklhEIlEI33lmhEImk2323lhEIk解法2：求 EIlhhlhEI332212231mlhEIm【例4】求图示刚架的自振频率。不计柱的质量。1 I=EIBAClhmI=EIACB1h29岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952629lEImk11kkk133lEI313lEIkk对于静定结构一般计算柔度系数方便。如果振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚结点都不发生转动(如

21、刚性横梁的刚架)计算刚度系数方便。312lEI一端刚结一端铰接的杆的侧移刚度为：33lEI注意：两端刚结的杆的侧移刚度为：解：求刚度系数【例5】求图示梁的自振频率。不计梁的质量。mklEImk13/330岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952630274l272l881l113l33111488(2)63 273 812187llllllEIEIk1l/32l/3m11321878EIkl325878kEIml m解：求梁在质点处的刚度系数k11【例6】求图示梁的自振频率。不计梁的质量。求体系的刚度系数k1350EIkl111333218750825878EIEIkkkl

22、lEIlk1求频率31岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952631忽略阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。简谐荷载作用下有可能出现共振。自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅较大但为有限值。产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内摩擦；周围介质的阻力。四、单自由度体系的自由振动（有阻尼）32岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952632ykykmP(t)P(t)y动平衡方程：mcmk2,(阻尼比）)1(2-=xxwl0222=+wxwll)(=ltCety

23、设解为：特征方程为：1)1（低阻尼）情况21rri其中tCtCeyrrtsincos21220yyy.cy.my.ctyvtyeyrrrtsincos00033岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952633000220020)()sin(yvytgyvyataeyrrrtae-ttyty低阻尼y-t曲线无阻尼y-t曲线阻尼对自振频率的影响.而随,12r当0.2,则0.96r/1在工程结构问题中0.010.1可近似取.TTrr,34岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952634Te)sin()(sin()(1taeTtaeyyrtrTtkk振幅按等比级数递

24、减.阻尼对振幅的影响.振幅ae-t随时间衰减.相邻两个振幅的比kmmc22阻尼系数35岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952635rTkkTeyy2lnln1称为振幅的对数递减率.,1 2.0r则如nkkyynln21设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:经过一个周期后,相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为:2)=1（临界阻尼）情况)1(2-=xxwl=-w lttetCCCey)(21tetvtyy)1(00.022yyytyy0000vtg这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。工程中常用此方法测定阻尼11ln21ln21kkkkryyyy36岩土基础免费群28

25、3982936公共基础免费群2484952636强迫振动结构在荷载作用下的振动。FP(t)强迫振动的微分方程()my kyF tP2()FtyymP2()FtyymP五、单自由度体系的强迫振动（无阻尼）my(t)l0kmy mkymy ky(t)FP(t)FP(t)弹簧的刚度系数k=柱顶有单位水平位移时在柱顶所需施加的水平力。二阶常系数非齐次微分方程，其通解有两部分组成：齐次解：特解：依据荷载情况具体确定特解。12()sincosy tCtCt0myky取质点平衡y37岩土基础免费群283982936公共基础免费群24849526372()FtyymP1.简谐荷载：PsinFtm*Pst222

26、221sinsin11Fytytm*Pst222221sinsin11FytytmPstP2FyFm最大静位移yst是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生的位移.通解:12st221sincossin1yCtCtyt设 t=0 时的初始位移和初始速度均为零，则：1st222,01CyC st221(sinsin)1yytt过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；平稳阶段：后来只按荷载频率振动阶段。(由于阻尼的存在)38岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952638重要的特性：当/0时,1，荷载频率 结构的自振频率时（如0.2）,可作静荷载处理。0/1，位移与荷载同向，随q

27、/w 增大增大。当/1时,，振幅会无限增大，称为“共振”。通常把0.75/1时,1，0，结构几乎无反映。只在静力平衡位置作微小振动。平稳阶段：221sinsin1ststyytyt最大动位移(振幅)为：maxdstyay22max11stdyy动力系数共振1023123|反39岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952639动荷载：PP2stFyFm荷载幅值引起的静位移2211动力系数位移、惯性力、动荷载同频率同相位同时达到幅值。2sinIFmymat,stay当动荷载与质点惯性力共线时两者可合成为一个力。结构在一个力作用下，不论此力如何变化，各截面的内力和位移都按同一比例变

28、化，可采用统一的动力系数。先求动荷载幅值引起的静位移、静内力及动力系数，将静位移、静内力乘以即得动位移和动内力的幅值。（比例算法）无阻尼单自由度体系简谐荷载下的动力反应计算动位移：惯性力：PPsinFtFt siny tat2maxIstFmy 40岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952640当动荷载与质点惯性力不共线时用一般方法：由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达到幅值时内力也达到幅值。将荷载幅值和惯性力幅值加在结构上，按一般静力学方法求解。41岩土基础免费群283982936公共基础免费群24849526412.一般荷载一般荷载作用下的动力反应可用瞬时冲量的动

29、力反应推导。任意荷载FP(t)的动力反应初始静止状态的单自由度体系在任意荷载作用下的位移公式:P01()()sin()dty tFtm(Duhamel积分)初始位移y0和初始速度v0不为零时在任意荷载作用下的位移公式:00P01()cossin()sin()dtvy tyttFtm42岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952642简谐荷载P(t)=Fsint设特解为：y=Asint+Bcost代入上式得：222222222222224)(2,4)(mFBmFAtCtCeyrrtsincos21+Asint+Bcost+Asint+Bcost齐次解加特解得到通解：sin22t

30、mFyyy.六、单自由度体系的强迫振动（有阻尼）43岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495264321122222222)(1)(2,4121tgABtgyBAystP振幅:yp，最大静力位移yst=F/k=F/m2y=Asint+Bcost=yy=Asint+Bcost=yP Psin(t)sin(t)tytyppcossinsincos结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。44岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952644stPyy2122222241与频率比/和阻尼比有关几点讨论：随增大曲线

31、渐趋平缓，特别是在/=1附近的峰值下降的最为显著。当接近时，增加的很快，对的数值影响也很大。在0.75/1.25(共振区)内，阻尼大大地减小了受迫振动的位移，因此,为了研究共振时的动力反应,阻尼的影响是不容忽略。在共振区之外阻尼对的影响较小，可按无阻尼计算。45岩土基础免费群283982936公共基础免费群24849526454.03.02.01.001.02.03.0/=0=0.1=0.2=0.3=0.5=1.046岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952646max并不发生在共振/=1时，而发生在，由y=yPsin(t)可见，只要有阻尼位移总滞后荷载P=Fsint一个

32、相位角，2112112max21)(1)(2tg但因很小，可近似地认为：221当时,180体系振动得很快，FI很大，S、R相对说来较小，动荷主要由FI 平衡，FI 与y同向，y与P反向；位移y、弹性力S，惯性力FI，阻尼力R分别为：)cos(),sin(),sin(),sin(2tyccyRtymmyFtkykyStyyPPIPP.47岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952647当=时,90共振时（=），S与FI刚好互相平衡，有无阻尼均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现位移为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力来平衡动荷载，才出现位移为无限大

33、的现象。21)(1)(2tg)cos(),sin(),sin(),sin(2tyccyRtymmyFtkykyStyyPPIPP.48岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952648弹性动内力幅值的计算 一般方法:由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达到幅值，内力也达到幅值。将位移达到幅值时刻的荷载值和惯性力值加在结构上，按一般静力学方法求解。惯性力与位移同时达到幅值。荷载与位移无阻尼时同时达到幅值。有阻尼时位移总滞后荷载一个相位角。比例算法:无阻尼单自由度体系且荷载作用在振动质点上(动荷载与惯性力共线)时，产生振幅yd的外力P为:FmFFmFAmF2221这意味着，在位

34、移达到幅值时，可用F 代替惯性力和荷载的共同作用（有无阻尼均如此）。F产生的动内力和动位移是F产生的静内力和静位移倍。注意：位移达幅值时，速度为零，故阻尼力为零，计算时不必考虑阻尼力。49岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952649EI=m【例1】图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。再测得周期T=1.5s 及一个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比和阻尼系数c。9.8kN解：0335.04.05.0ln21ln211kkyymNAPk/101

35、96005.0108.94301189.45.122sT=wxk2=wxmc 2=wwxm22cmsNmsN/2.332/33220189.4101960355.02450岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952650【例2】试求例题中图示刚架的自振频率，并与有阻尼自振频率比较。解：624 10 N m28.284 rad/s5000 kgkm22128.284 rad/s 1 0.0428.261 rad/sr100%0.081%rr 工程中取是有足够精度的。r51岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952651m011ln0.03552yy010.5lnln0.2230.4yy2022203224298 101.511182N40.5F ykFTmyT【例3】在横梁处加F=98kN的水平力，横梁发生侧移y0=0.5cm。突然释放。测得周期Tr=1.5s，一个周期后，横梁的侧移为y1=0.4cm。试求：质体的质量、对数衰减率、阻尼比。