信号与系统考点汇总及公式.pdf

1、11)26()1(tf)26(dd)2(tft信号与系统讲义信号与系统讲义1 连续时间信号与离散时间信号2 模拟信号与数字信号3 信号的运算（1）移位、反褶与尺度变换（2）微分和积分（3）两信号相加或相乘4（1）单位阶跃信号)(tu（2）单位冲激信号)(t 抽样性：()()(0)t f t dtf00()()()ttf t dtf t 偶对称性：()()tt 尺度变换性：1()()|atta 相乘性质：()()(0)()f ttft000()()()()f tttf ttt冲激偶信号()1t dt()0t（当0t 时）Ot1212 tf22()()dttdt5 线性时不变系统（1）叠加性与均匀

2、性（2）时不变性（3）因果性第二章1系统的状态（起始状态，初始条件）2 系统的全响应（1）求解方法：经典法，双零法（2）系统响应的分解：自由响应，强迫响应，零状态响应，零输入响应3线性系统的特性（1）响应的可分解性系统响应可以分解为零输入响应和零状态响应。（2）零状态线性当起始状态为零时，系统的零状态响应)(trzs对外加激励信号)(te呈现线性。（3）零输入线性当外加激励为零时，系统的零输入响应)(trzi对于各起始状态呈线性关系。第三章1 周期信号的傅里叶级数（1）三角函数形式的傅里叶级数（2）指数形式的傅里叶级数2 傅里叶变换定义为正变换()()()j tFf f tf t edt逆变换

3、11()()()2j tF tfffed3 傅里叶变换的性质(1)对称性若()()Ff f t，则()2()f F tf(2)线性性若()()(1,2,)if f tFin，则11()()nniiiiiifa f ta F(3)奇偶虚实性若()()()FRjX，则()f t是实偶函数()()fR，即()f为的实偶函数。33()f t是实奇函数()()fjX，即()f为的虚奇函数。(4)尺度变换特性若()()f f tF，则1()()f f atFaa式中a为非零实常数。(5)时移特性若()()f f tF，则00()()j tf f ttFe(6)频移特性若()()f f tF，则00()()

4、j tf f t eF(7)时域微分特性若()()f f tF，则()()()df tfjFdt()()()nnnd f tfjFdt(8)频域微分特性若()()f f tF，则1()()()dFfjt f td 1()()()nnnd Ffjtf td(9)时域积分特性若()()f f tF，则()()(0)()tFffdFj(10)时域卷积定理若1122()(),()()f f tFf f tF，则1212()*()()()f f tf tFF(11)频域卷积定理若1122()(),()()f f tFf f tF，则12121()()()()2f f tf tFF4.周期信号的傅里叶变换

5、周期信号()f t的傅里叶变换是由一些冲激函数组成的，这些冲激位于信号的谐频11(0,2,)处，每个冲激的强度等于()f t的傅里叶级数的相应系数nF的2倍。即1()2()nnf f tFn 其中nF还可用下式获得：1011()nnFFT44上式说明：周期脉冲序列的傅里叶级数的系数nF单脉冲的傅里叶变换0()F在1n频率点的值乘以11T。5 抽样定理（1）时域采样定理第四章：1 拉普拉斯变换的定义及收敛域的确定单边拉普拉斯变换：正变换0()()()stf tF sf tdte逆变换1()()()2jstjF sf tF sdsje 2 拉普拉斯变换的性质（1）线性性若11()()f tF S,

6、22()()f tF S,1,2为常数时，则1 1221122()()()()f tf tF sF s（2）原函数微分若()()f tF s则()()(0)df tsF sfdt11()0()()(0)nnnn rrnrd f ts F ssfdt 式中()(0)rf是 r 阶导数()rrd f tdt在0时刻的取值。（3）原函数积分若()()f tF s，则(1)(0)()()tfF sf t dtss式中0(1)(0)()ff t dt（4）延时性若()()f tF s，则000()()()stf tt u tteF s（5）s 域平移若()()f tF s，则()()atf t eF s

7、a（6）尺度变换若()()f tF s，则1()()sf atFaa（a0）（7）初值定理lim()(0)lim()tosf tfsF s（8）终值定理lim()lim()tsf tsF s（9）卷积定理55若11()()f tF s，22()()f tF s，则有1212()()()()f tf tF s F s12121()()()()2f t f tF sF sj=121()()2jjF p F sp dpj 3 拉普拉斯变换的逆变换部分分式展开法4 系统函数（1）定义（2）零极点分布（3）系统函数()H s的求解方法由冲激响应()h t求得，即()()H sh t。对系统的微分方程进行

8、零状态条件下的拉普拉斯变换，然后由()()()zsRsH sE s获得。根据 s 域电路模型，求得零状态响应的像函数与激励的像函数之比，即为()H s。（4）系统的稳定性时域判断条件频域判断条件第五章1。利用系统函数)(jH求响应2。无失真传输)()(0ttKetr 第七章1。离散时间信号序列（1）单位样值信号（2）单位阶跃序列（3）矩阵序列（4）正弦序列，余弦序列2。信号的基本运算（1）两信号相加（2）移位，反褶，尺度变换3。卷积和的计算66信号与系统概念，公式集：第一章：概论信号与系统概念，公式集：第一章：概论1.信号：信号：信号是消息的表现形式。（消息是信号的具体内容）2.系统：系统：由

9、若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。第二章：信号的复数表示：第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：复数的两种表示方法：设 C 为复数，a、b 为实数。常数形式的复数 C=a+jb a 为实部，b 为虚部；或 C=|C|ej，其中，22|baC为复数的模，tan=b/a，为复数的辐角。（复平面）2.欧拉公式：欧拉公式：wtjwtejwtsincos（前加-，后变减）第三章：正交函数集及信号在其上的分解第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：正交函数集的定义：设函数集合)(),(),(21tftftfFn如果满足：niKdttfjidttftfiT

10、TiTTji2,1)(0)()(21212则称集合F为正交函数集如果niKi,2,11，则称F为标准正交函数集。如果F中的函数为复数函数条件变为：niKdttftfjidttftfiTTiiTTji2,1)()(0)()(2121*其中)(*tfi为)(tfi的复共轭。2.正交函数集的物理意义：正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴；在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。3.正交函数集完备的概念和物理意义：正交函数集完备的

11、概念和物理意义：如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。77如果在正交函数集 tgn,tg,tg,tg321之外，不存在函数 x（t）2120ttdttx，满足等式：210ttidttgtx，则此函数集称为完备正交函数集。一个信号所含有的功率恒等于此信号在完备正交函数集中各分量的功率总和，如果正交函数集不完备，那么信号在正交函数集中各分量的总和不等于信号本身的功率，也就是说，完备性保证了信号能量不变的物理本质。4.均方误差准则进行信号分解：设正交函数集F为)(),(),(21tftftfFn，信号为)(tf所谓正交函数集

12、上的分解就是找到一组系数naaa,21，使均方误差212)()(niiitfatf最小。2的定义为：2112122)()(1TTniiidttfatfTT如果F中的函数为实函数则有：iTTiTTiiTTiiKdttftfdttftfdttftfa212121)()()()()()(如果F中的函数为复函数则有：iTTiTTiiTTiiKdttftfdttftfdttftfa212121)()()()()()(*第四章：连续周期信号的傅里叶级数第四章：连续周期信号的傅里叶级数1.物理意义：物理意义：付里叶级数是将信号在正交三角函数集上进行分解（投影），如果将指标系列类比为一个正交集，则指标上值的大

13、小可类比为性能在这一指标集上的分解，或投影；分解的目的是为了更好地分析事物的特征，正交集中的每一元素代表一种成分，而分解后对应该元素的系数表征包含该成分的多少2.三角函数形式：三角函数形式：)(tf可以表示成：111011211112110)sin()cos()sin()2sin()sin()cos()2cos()cos()(nnnnntnwbtnwaatnwbtwbtwbtnwatwatwaatf88其中，0a被称为直流分量)sin()cos(11tnwbtnwann被称为n次谐波分量。dttfTKdttfaTTTT2/2/102/2/01111)(1)(dttnwtfTKadttnwtfa

14、TTnTTn2/2/112/2/11111)cos()(2)cos()(dttnwtfTKbdttnwtfbTTnTTn2/2/112/2/11111)sin()(2)sin()(3.一般形式：一般形式：0)cos()(nnnnwtctf或者：0)sin()(nnnnwtdtf000adc22nnnnbadc)(nnnabarctg，)(nnnbaarctg4.指数形式：指数形式：ntjnwneFtf1)(dtetfTFTTtjnwn2/2/1111)(1第五章：连续信号的傅里叶变换第五章：连续信号的傅里叶变换1.连续非周期信号的傅里叶变换及性质：连续非周期信号的傅里叶变换及性质：99dtet

15、fwFjwt)()(dwewFtfjwt)(21)(性质：1.对称性：若)()(tffwF，)(tff表示对)(tf做付里叶变换，则：)(2)(wftFf2.线性：若),2,1()()(niwFtffii，则niiiniiiwFatfaf11)()(3奇偶虚实性：若)(tf为实函数，则)(wF的实部)(wR为偶函数，虚部)(wX为奇函数；其幅度谱)(wF为偶函数,相位谱)(w为奇函数：若)(tf为实偶函数,则)(wF为实偶函数若)(tf为实奇函数,则)(wF为虚奇函数4尺度变换：若)()(wFtff，则)(1)(awFaatff其中a为非零的实常数。5时移：若)()(wFtff，则0)()(0

16、jwtewFttff6频移：若)()(wFtff，则)()(00wwFetfftjw即:)(sin)cos(000wwFtwjtwtff）（7微分：若)()(wFtff，1010则)()(wjwFdttdff)()()(wFjwdttfdfnnn8积分：若)()(wFtff，则)()0()()(wFjwwFdfft2.连续周期信号的傅里叶变换：连续周期信号的傅里叶变换：nnnwwFtffwF)(2)()(1dtetfTFTTtjnwn2/2/1111)(13特殊信号的傅里叶变换：特殊信号的傅里叶变换：1.直流信号1)(tf，其付里叶变换得到的频谱即为)(2w2.)(tU的付里叶变换为jww1)

17、(3.单边指数：0,)(tetfatjwawF1)(幅度谱：22/1)(wawF相位谱：)/()(awarctgw4.双边指数：|)(taetf222)(waawF幅度谱：)/(2)(22waawF相位谱：0)(w5.矩形脉冲信号：F（w）wwE)2/sin(26.钟形信号：2)/()(tEetf22)2/()/(cos)(wteEdtwtEewF11117.符号函数：010001)(ttttfjwwF2)(幅度谱wwF2)(相位谱0202)(www第七章：连续时间系统及卷积第七章：连续时间系统及卷积1.连续线性系统：连续线性系统：设某系统，如果该系统对输入)(),(21tftf有输出)(),

18、(21tsts，则该系统对输入)()(2211tfCtfC，有输出)()(2211tsCtsC。该系统为线性系统。2.连续时不变系统：连续时不变系统：设某系统，如该系统对输入)(tf有输出)(ts，则该系统对输入)(Ttf有输出)(Tts。该系统为时不变系统。3.连续因果系统：连续因果系统：如果某系统在0t时刻的输出)(0ts仅于0t时刻前的输入0)(tttf有关，而与0t时刻以后的输入0)(tttf无关，则该系统为因果系统。4.连续稳定系统：连续稳定系统：对有界输入信号的响应还是有界信号的系统是稳定系统。5.卷积公式：卷积公式：dthfts)()()(即为卷积公式，表示为：)()()(tht

19、fts物理意义：将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应 h（t），求解系统对任意激励信号的状态响应。6.连续系统冲激响应、卷积及其物理意义：连续系统冲激响应、卷积及其物理意义：卷积：)()()()(tsttstsiio，称为恒等系统。1212物理意义：指冲激信号)(t经过系统的响应。换句话说，系统函数)(th就是输入信号为)(t时系统的输出信号。7.连续互连系统的冲激响应：连续互连系统的冲激响应：级联：h(t)=h1(t)h2(t)并联：h(t)=h1(t)+h2(t)8.连续系统卷积的时域及频域的性质及对应关系：连续系统卷积的时域及频域的性质及对应关系：)()()(thtfts，则：)

20、()()(wHwFwS)()()(tltfts，则：)()(21)(wLwFwS时域卷积等价与频域乘积的物理意义：从广义上看，任何一个系统（h(t)）都可以看成是一个滤波器。因为它们均实现了一定的频率选择性。第八章：离散信号的傅里叶变换：第八章：离散信号的傅里叶变换：1.离散周期信号的傅里叶变换：离散周期信号的傅里叶变换：10)/2()(NknNjkkeanx10)/2()(1NnnNjkkenxNa2.离散时间付里叶变换及性质：离散时间付里叶变换及性质：nnjenxX)()(deXnxnj20)(21)(性质：1.线性2.时移：若)(nx的付里叶变换为)(X则：)(0nnx的付里叶变换为0)

21、(njeX3.频移：若)(nx的付里叶变换为)(X则：)(0nxenj的付里叶变换为)(0X4.差分5.频域微分：若)(nx的付里叶变换为)(X则：1313)(nnx的付里叶变换为ddXj)(3.离散傅里叶变换：离散傅里叶变换：102)()(NnnNkjenxkX1,1,0Nk102)(1)(NknNkjekXNnx物理含义：对原信号做周期拓展可使其变成周期信号，DFT 实际上是该周期信号的离散时间付里叶变换 DTFT，不过只取了一个周期。DFT 从数值上讲是对原信号的离散时间付里叶变换（DTFT）频谱的采样。4.快速付里叶变换：快速付里叶变换：由rkNNrkNrkNNrWrxWWrxkX2/

22、12/02/12/0)12()2()(令rkNNrrkNNrWrxkHWrxkG2/12/02/12/0)12()(,)2()(则:)()()(kHWkGkXkN第九章：离散时间系统及卷积第九章：离散时间系统及卷积1.离散时间系统的概念及模型：离散时间系统的概念及模型：离散时间系统是指输入及输出信号均是离散信号的系统。离散时间系统输入输出之间的关系可以采用一些数学模型来描述,如：)()1()(0010nsbnsbnsbinn2.离散线性系统：离散线性系统：设某 系统对 输入)(),(21nfnf，有 输出)(),(21nsns，则该系统对输入)()(2211nfCnfC，有输出)()(2211

23、nsCnsC，则该系统为线性系统。3.离散时不变系统：离散时不变系统：设某系统对输入)(nf，有输出)(ns，则该系统对输入)(0Nnf，有输出)(0Nns，则该系统为时不变系统。4.离散因果系统：离散因果系统：如 果 某 系 统 在0n时 刻 的 输 出)(0ns仅 于0n时 刻 前 的 输 入0)(nnnf有 关，而 与0n时 刻 以 后 的 输 入0)(nnnf无关，则该系统为因果系统。5.离散稳定系统：离散稳定系统：对有界输入信号的响应还是有界信号的系统是稳定系统。14146.卷积：卷积：kknhkfns)()()(当)()(0nnnh)()()()()()(00nnsnknksknh

24、ksnsikikio7.离散互联系统的冲激响应离散互联系统的冲激响应（同连续）8.离散卷积的时域和频域性质及对应关系：离散卷积的时域和频域性质及对应关系：如果：)()()(nhnfns则：)()()(HFS求解方法：对于方程MrrNkkrnxaknyb00)()(，有：jrMrrNkjkkeXaeYb00)()(，所以NkjkkjrMrrebeaXYH00)()()(9.圆周卷积及处理方法：圆周卷积及处理方法：10101022)()()(1)()(NmNmNkNnkjNmkjmnhmxeekHNmxny园卷积与正常卷积不同，但在特殊处理之后，可以相同。求解步骤：第一步将 K 点的 x(n)和

25、L 点的 h(n)展成大于 K+L-1 点且最贴近的 2M 长序列。第二步分别做展长后的序列的 FFT 变换得 X(k)和 H(k)第三步将 X(k)和 H(k)相乘得 Y(k)第四步将 Y(k)做 IFFT 变换得 y(n)即可。第十一章：滤波器设计第十一章：滤波器设计1.线性相位的物理意义及如何保证线性相位：线性相位的物理意义及如何保证线性相位：线性相位：h(n)的相位谱满足：(w)=-w，其中为常数。物理意义：线性相位是保证信号无失真传输的重要条件。1515如果有限长的实序列 h（n）满足偶对称条件：h（n）=h（N-1-n），那么它所对应的频率特性满足线性相位。2有限冲激响应滤波器有限

26、冲激响应滤波器 FIR 滤波器设计窗函数法：滤波器设计窗函数法：窗函数是人们经过长期研究后找到的一些函数，用这些函数去乘 IIR 无限长冲激响应滤波器的 h1(n)，实现窗口截断，达到构造 FIR有限长冲激响应滤波器 h(n)的目的。步骤：从理想特性的滤波器 H()出发，经过离散付里叶反变换可以得到 h1(n)对 h1(n)再乘一个窗函数 w(n)，可以得到：h(n)=h1(n)w(n)。其中，窗函数 w(n)有两个作用，一个作用是对频谱的修整，另一个作用是做截断，使无限序列 h1(n)变成有限长序列 h(n)，从而构成 FIR 滤波器。3FIR 滤波器设计频域采样法：滤波器设计频域采样法：思

27、路：根据需要的滤波器频谱，每隔一个频率间隔采一次样，在一个周期内，可得 H(k)，k=0，1，2，N-1。然后对 H(k)做逆 DFT即可得到 h(n)。方法：如采样点数为奇数，相位谱为两段直线(保证线性相位)，斜率均为-(N-1)/2，零点分别为 n=0，和 n=N。前一段直线的起止点为 0（N-1）/2，后一段直线的起止点为（N-1）/2N-1。这样可以保证 h(n)为实数，采样间隔为 2/N，H(k)为复数，即：)(|)(|)(kjekHkH如采样点为偶数，相位谱为两段直线(保证线性相位)，斜率为-(N-1)/2，零点分别为 n=0，和 n=N。前半段直线的起止点为 0N/2-1，后一段直线的起止点为 N/2+1N-1。要求 N/2 点处的幅度值必须为 0，即 H(N/2)=0，N/2 点的相位可取 0，这样可以保证 h(n)为实数。采样间隔为 2/N，H(k)为复数，即：)(|)(|)(kjekHkH