1、第五章一元函数的导数及其应用练习题1、变化率问题、导数的概念12、导数的几何意义73、基本初等函数的导数144、导数的四则运算法则简单复合函数的导数215、函数的单调性286、函数的极值377、函数的最大(小)值458、利用导数解决与函数有关的问题541、变化率问题、导数的概念一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)1函数yf(x)2x21在区间1，1x上的平均变化率()A4 B42xC42(x)2 D4x【解析】选B.因为y2(1x)21(2121)4x2(x)2，所以42x.2若质点A按照规律s3t2运动，则在t3时的瞬时速度为()A6
2、 B18 C54 D81【解析】选B.因为183t，所以18.3函数f (x)x21在区间1，m上的平均变化率为3，则实数m的值为()A3 B2 C1 D4【解析】选B.由已知得3，所以m13，所以m2.4若yf(x)x3，f(x0)3，则x0的值是()A1 B1 C1 D3【解析】选C.因为yf(x0x)f(x0)(x0x)3x3xx3x0(x)2(x)3，所以3x3x0x(x)2，所以f(x0) 3x3x0x(x)23x，由f(x0)3，得3x3，所以x01.5若曲线f(x)x2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1【解析】选
3、A.由题意，知kf(0) 1，所以a1.又(0，b)在切线上，所以b1.6(多选题)若f(x)在xx0处存在导数，则 ()A与x0，h都有关B仅与x0有关C与h无关D仅与h有关，而与x0无关【解析】选BC.由导数的定义知，函数在xx0处的导数只与x0有关二、填空题(每小题5分，共10分)7一物体的运动方程为s7t28，则其在t_时的瞬时速度为1.【解析】7t14t0，当 (7t14t0)1时，t0.答案：8如图是函数yf(x)的图象，则(1)函数f(x)在区间1，1上的平均变化率为_；(2)函数f(x)在区间0，2上的平均变化率为_【解析】(1)函数f(x)在区间1，1上的平均变化率为.(2)
4、由函数f(x)的图象知，f(x)所以函数f(x)在区间0，2上的平均变化率为.答案：(1)(2)三、解答题(每小题10分，共20分)9求yx25在x2处的导数【解析】因为y(2x)25(225)4x(x)2，所以4x，所以y|x2 40.10若函数yf(x)x2x在2，2x(x0)上的平均变化率不大于1，求x的取值范围【解析】因为函数f(x)在2，2x上的平均变化率为3x，所以由3x1得x2，又因为x0，所以x的取值范围是(0，).提升练习一、选择题(每小题5分，共15分)1甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，则治污效果较好的是()A甲 B乙 C相同 D不确定【解析】选B.在t0处
5、，W1(t0)W2(t0)，但W1(t0t)W2(t0t)，则k2 Bk1k2Ck1k2 D不确定【解析】选A.k12x0x；k22x0x.所以k1k2.3已知点P(x0，y0)是抛物线y3x26x1上一点，且f(x0)0，则点P的坐标为()A(1，10) B(1，2)C(1，2) D(1，10)【解析】选B.3x6x06，所以f(x0) (3x6x06)6x060，所以x01.把x01代入y3x26x1，得y02.所以P点坐标为(1，2).二、填空题(每小题5分，共15分)4已知函数yf(x)A(A为常数)，则f(2)_.【解析】因为yf(2x) f(2)AA0，所以0，f(2) 00.答案
6、：05已知函数yf(x)ax2c且f(1)2，则a_.【解析】f(1) (2aax)2a2.所以a1.答案：16函数f(x)在x1处的导数f(1)_【解析】由导数的定义知，函数在x1处的导数f(1) ，而，又 ，所以f(1).答案：三、解答题(每小题10分，共30分)7将半径为R的球加热，若半径从R1到Rm时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为，求m的值【解析】因为Vm313(m31)，所以，即m2m17，解得m2或m3(舍去).8路灯距地面8 m，一个身高1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影C沿某直线离开路灯，(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x
7、之间的关系式.(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率【解析】(1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为x m，AB为身影长度，AB的长度为y m.由于CDBE，则，即，所以yx.(2)设人离开路灯的时间为t，因为84 m/min1.4 m/s，而x1.4t.所以yx1.4tt，t0，).y(10t)10t，所以 .即人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率为.9一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为st3t22t1，求速度为零的时刻【解析】因为ss(tt)s(t)(tt)3(tt)22(tt)1t2tt(t)2(t)33tt(t)22t，所以t2tt(t)23tt2，所以 t23
8、t2，由t23t20，得t1或t2.所以速度为零的时刻为1秒末，2秒末2、导数的几何意义一、选择题(每小题5分，共20分)1曲线yx32在点(1，)处切线的倾斜角为()A30 B45 C135 D60【解析】选B.y(1x)3(1)3x(x)2(x)3，1x(x)2， 1，所以曲线yx32在点处切线的斜率是1，倾斜角为45.2已知点P(1，1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当x0时，若kPQ的极限为2，则在点P处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2【解析】选B.由题意可知， 曲线在点P处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.3设曲线yax2在点(1，a)处的切线与
9、直线2xy60平行，则a的值为()A1 B C D1【解析】选A.因为y (2aax)2a.所以2a2，a1.4如图所示，函数yf (x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f (5)f (5)等于()A2 B3 C4 D5【解析】选A.易得切点P(5，3)，所以f (5)3，k1，即f (5)1.所以f (5)f (5)312.二、填空题(每小题5分，共10分)5曲线yf(x)x23x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为_【解析】设切点坐标为(x0，y0)，f(x0)2x031，故x02，y0x3x0462，故切点坐标为(2，2).答案：(2，2)6若抛物线yx2xc上一点P的横坐标是2，抛物
10、线在点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为_【解析】设在P点处切线斜率为k，ky|x2 5，所以切线方程为y5x，所以点P的纵坐标为y5(2)10，将P(2，10)代入yx2xc，得c4.答案：4三、解答题(每小题10分，共20分)7若抛物线y4x2上的点P到直线y4x5的距离最短，求点P的坐标【解析】由点P到直线y4x5的距离最短知，点P处的切线方程与直线y4x5平行，设P(x0，y0)，则y (8x4x)8x，由得故所求的点P的坐标为.8已知直线l1为曲线yx2x2在(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.(1)求直线l2的方程(2)求由直线l1，l2和x轴围成的三角形的面
11、积【解析】(1)y (2xx1)2x1.y|x12113，所以直线l1的方程为y3(x1)，即y3x3.设直线l2过曲线yx2x2上的点B(b，b2b2)，则l2的方程为y(2b1)xb22.因为l1l2，则有2b1，b.所以直线l2的方程为yx.(2)解方程组得所以直线l1和l2的交点坐标为.l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1，0)，.所以所求三角形的面积S.提升练习一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1若函数f(x)x，则f(1)()A2 B C1 D0【解析】选D.f(1)0.2设P0为曲线f(x)x3x2上的点，且曲线在P0处的
12、切线平行于直线y4x1，则P0点的坐标为()A(1，0) B(2，8)C(1，0)或(1，4) D(2，8)或(1，4)【解析】选C.f(x)3x21.由于曲线f(x)x3x2在P0处的切线平行于直线y4x1，所以f(x)在P0处的导数值等于4.设P0(x0，y0)，则有f(x0)3x14，解得x01，P0的坐标为(1，0)或(1，4).3已知函数f(x)x22bx的图象在点A(0，f(0)处的切线l与直线xy30垂直，若数列的前n项和为Sn，则S2 017的值为()A B C D【解题指南】由条件利用函数在某一点的导数的几何意义求得b的值，根据f(n)的解析式，用裂项法求得数列的前n项和Sn
13、的值，可得S2 017的值【解析】选B.由题意可得A(0，0)，函数f(x)x22bx的图象在点A(0，0)处的切线l的斜率k 2b，再根据l与直线xy30垂直，可得2b(1)1，所以b.因为f(n)n22bnn2nn(n1)，所以，故数列的前n项和为Sn()1，所以S2 0171.4(多选题)下面说法错误的是()A若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线B若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则f(x0)必存在C若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率不存在D若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线，则f(x0)有可
14、能存在【解析】选ABD.f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率，当切线垂直于x轴时，切线的斜率不存在，但存在切线二、填空题(每小题5分，共20分)5曲线yx22x3在点A(1，6)处的切线方程是_.【解析】因为yx22x3，切点为点A(1，6)，所以斜率k (x4)4，所以切线方程为y64(x1)，即4xy20.答案：4xy206已知二次函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)在A，B两点处的导数f(a)与f(b)的大小关系为：f(a)_f(b)(填“”).【解析】f(a)与f(b)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，故f(a)f(b).答案：7已知函数y
15、ax2b在点(1，3)处的切线斜率为2，则_.【解析】因为f (1)2，又 (ax2a)2a，所以2a2，所以a1.又f (1)ab3，所以b2.所以2.答案：28已知曲线yf(x)上两点P(2，1)，Q.则曲线在点P，Q处的切线的斜率分别为_；曲线在P，Q处的切线方程分别为_【解析】将点P(2，1)代入y，得t1，所以y.y .(1)曲线在点P处的切线斜率为y|x21；曲线在点Q处的切线斜率为y|x1.(2)曲线在点P处的切线方程为y(1)x2，即：xy30，曲线在点Q处的切线方程为yx(1)，即：x4y30.答案：1，xy30，x4y30三、解答题(每小题10分，共30分)9已知曲线yx2
16、1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由【解析】由2xx，得y (2xx)2x.设切点为P(x0，y0)，则切线斜率为ky|xx02x0，由点斜式得所求切线方程为yy02x0(xx0).又因为切线过点(1，a)，且y0x1，所以a(x1)2x0(1x0)，即x2x0a10.因为切线有两条，所以(2)24(a1)0，解得a0，f(x)g(x)2x1，即2x2x10，解得x1或x(舍去).故x1.答案：16在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线yln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则点A
17、的坐标是_【解析】因为yln x，所以y(x0)，设A(x0，ln x0)，则在点A处的切线方程为yln x0(xx0)，化简为yxln x01，因为切线过点(e，1)，所以1(e)ln x01，所以ln x00，所以x0e时方程成立，又因为yln x递增(x0)，所以方程有唯一解x0e，A(e，1).答案：(e，1)7(2021广陵高二检测)若f(x)x3，其导数满足f(x0)3，则x0的值为_. 【解析】根据题意，若f(x)x3，其导数f(x)3x2，若f(x0)3，则3x3，解得x01.答案：18已知函数yf(x)的图象在M(1，f(1)处的切线方程是yx2，则f(1)f(1)_【解析】
18、依题意知，f(1)12，f(1)，所以f(1)f(1)3.答案：3三、解答题(每小题10分，共30分)9过点P(1，0)作直线l与曲线C1：y和曲线C2：yx2xc都相切，求c的值【解析】设直线l与曲线C1：y相切于点M(x0，y0)，则，又y0，解得x01，y01，所以切点为(1，1)，切线l的方程为y(x1)，因为直线l与曲线C2：yx2xc相切，所以由方程组消元整理得x2xc0，所以判别式40，所以c.10过已知直线xy40上的任意一点P作曲线yx2的切线，切点分别为A，B，求证：直线AB过定点【证明】因为点P是已知直线xy40上的任意一点，所以设P(m，m4)，又设A(x1，y1)，B
19、(x2，y2)，因为yx2，所以y2x，所以切线AP的方程为yy12x1(xx1)，即yy12x1x，同理可得切线BP的方程为yy22x2x，因为AP，BP都经过点P，所以m4y12x1m，m4y22x2m，这两个式子说明(x1，y1)，(x2，y2)都是方程m4y2xm的解，也就是直线m4y2xm经过两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以直线AB的方程为m4y2xm，即m(12x)(4y)0经过定点.所以直线AB过定点.11设抛物线yx2与直线yxa(a是常数)有两个不同的交点，记抛物线在两交点处切线分别为l1，l2，求a值变化时l1与l2交点的轨迹【解析】将yxa代入yx2整理得x
20、2xa0，因为直线与抛物线有两个不同的交点，所以(1)24a0，得a.设两交点为(，2)，(，2)，0的解集为()A(0，) B(1，0)(2，)C(2，) D(1，0)【解析】选C.因为f(x)2x2，又x0，所以f(x)0，即x20，解得x2.6(多选题)下列各函数的导数正确的是()A()xB(ax)axln xC(sin 2x)cos 2xD【解析】 选AD.()(x)x，A正确；(ax)axln a，B错误；(sin 2x)cos 2x(2x)2cos 2x，C错误；，D正确二、填空题(每小题5分，共10分)7(2018全国卷)曲线yex在点处的切线的斜率为2，则a_【解析】由y(ax
21、1)ex，所以yaex(ax1)ex(ax1a)ex，故曲线y(ax1)ex在(0，1)处的切线的斜率为ka12，解得a3.答案：38已知f(x)x33xf(0)，则f_，f(1)_【解析】由于f(0)是一常数，所以f(x)x23f(0)，令x0，则f(0)0，所以f(1)123f(0)1.答案：01三、解答题(每小题10分，共20分)9求下列函数的导数(1)f(x)ln x；(2)f(x)ax sin x(aR)；(3)f(x)(ex1)(2x1)k.【解析】(1)f(x).(2)f(x)a sin xax cos x.(3)f(x)(ex1)(2x1)k(ex1)ex(2x1)k(ex1)
22、2k(2x1)k1(2x1)k1.10已知f(x)是一次函数，x2f(x)(2x1)f(x)1.求f(x)的解析式【解析】由f(x)为一次函数可知f(x)为二次函数设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb.把f(x)，f(x)代入方程x2f(x)(2x1)f(x)1得：x2(2axb)(2x1)(ax2bxc)1，即(ab)x2(b2c)xc10.要使方程对任意x恒成立，则需要ab，b2c，c10，解得a2，b2，c1，所以f(x)2x22x1.提升练习一、选择题(每小题5分，共20分)1已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是()A B C D【解析】选D.
23、y，设tex(0，)，则y，因为t2(t1时取等号)，所以y1，0)，.2已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(e)ln x，则f(e)()Ae B1 Ce1 De【解析】选C.因为f(x)2f(e)，所以f(e)2f(e)，所以f(e)e1.3放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)M02，其中M0为t0时铯137的含量已知t30时，铯137含量的变化率是10ln 2(太贝克/年)，则M(60)()A5太贝克 B75ln 2
24、太贝克C150ln 2太贝克 D150太贝克【解析】选D.M(t)ln 2M02，由M(30)ln 2M0210ln 2，解得M0600，所以M(t)6002，所以t60时，铯137的含量为M(60)6002600150(太贝克).4已知函数f(x)x24ln x，若存在满足1x03的实数x0，使得曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线与直线xmy100垂直，则实数m的取值范围是()A5，) B4，5C D(，4)【解析】选B.f(x)x4，当且仅当x2时取等号，当1x03时，f(x0)4，5，又kf(x0)m，所以m4，5.二、填空题(每小题5分，共20分)5设f(x)x(x1)(x2
25、)(xn)，则f(0)_【解析】令g(x)(x1)(x2)(xn)，则f(x)xg(x)，求导得f(x)xg(x)xg(x)g(x)xg(x)，所以f(0)g(0)0g(0)g(0)123n.答案：123n6已知f(x)x22fx，则f_.【解析】因为f(x)x22fx，所以f(x)2x2f，所以f22f，所以f2，即f.答案：7曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线方程为_【解析】yexxex2，则曲线在点(0，1)处的切线的斜率为ke0023，所以所求切线方程为y13x，即y3x1.答案：y3x18若曲线f(x)xsin x1在x处的切线与直线ax2y10互相垂直，则实数a_【解析】因为
26、f(x)sin xx cos x，所以fsin cos 1.又直线ax2y10的斜率为，所以根据题意得11，解得a2.答案：2三、解答题(每小题10分，共30分)9若存在过点(1，0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，求实数a的值【解析】因为yx3，所以y3x2，设过(1，0)的直线与曲线yx3相切于点(x0，x)，则在(x0，x)处的切线方程为yx3x(xx0).将(1，0)代入得x00或x0.当x00时，切线方程为y0，则ax2x90，4a(9)0得a.当x0时，切线方程为yx，由得ax23x0，(3)24a0，得a1.综上，a或a1.10已知曲线C：y22x4.(1)求曲线C在点A(3，)处的切线方程(2)过原点O作直线l与曲线C交于A，B两个不同的点，求线段AB的中点M的轨迹方程【解析】(1)y0时，y，所以y，所以x3时，y，所以曲线C在点A(3，)处的切线方程为y(x3)，即xy10.(2)设l：ykx，M(x，y)，则将ykx代入y22x4，可得k2x22x40，所以416k20，所以4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，所以y1y2，所以x，y，所以线段AB的中点M的轨迹
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