七年级数学下册 竞赛辅导资料(4)经验归纳法.doc

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1、初中数学竞赛辅导资料(14)经验归纳法甲内容提要1通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。通过有限的几个特例,观察其一般规律,得出结论,它是一种不完全的归纳法,也叫做经验归纳法。例如由 ( 1)2 1 ,( 1 )3 1 ,( 1 )4 1 ,归纳出 1 的奇次幂是 1,而 1 的偶次幂 是 1 。由两位数从10 到 99共 90 个( 9 10 ),三位数从 100 到 999 共900个(9102),四位数有91039000个(9103),归纳出n 位数共有910n-1(个) 由1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42推断出从1开始的n个連续奇数的和等于

2、n2等。可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段,是知识攀缘前进的阶梯。2.经验归纳法是通过少数特例的试验,发现规律,猜想结论,要使规律明朗化,必须进行足夠次数的试验。由于观察产生的片面性,所猜想的结论,有可能是错误的,所以肯定或否定猜想的结论,都必须进行严格地证明。(到高中,大都是用数学归纳法证明)乙例题例1 平面内n条直线,每两条直线都相交,问最多有几个交点?解:两条直线只有一个交点, 1 2第3条直线和前两条直线都相交,增加了2个交点,得12 3 第4条直线和前3条直线都相交,增加了3个交点,得123 第5条直线和前4条直线都相交,增加了4个交点,得1234第n条直线和前n1条直线都相交

3、,增加了n1个交点由此断定n 条直线两两相交,最多有交点123n1(个),这里n2,其和可表示为1+(n+1),即个交点。例2符号n!表示正整数从1到n的連乘积,读作n的阶乘。例如5!12345。试比较3n与(n+1)!的大小(n 是正整数)解:当n 1时,3n3,(n1)!122当n 2时,3n9,(n1)!1236当n 3时,3n27,(n1)!123424当n 4时,3n81,(n1)!12345120当n 5时,3n243,(n1)!6!720猜想其结论是:当n1,2,3时,3n(n1)!,当n3时3n(n1)!。例3求适合等式x1+x2+x3+x2003=x1x2x3x2003的正整

4、数解。分析:这2003个正整数的和正好与它们的积相等,要确定每一个正整数的值,我们采用经验归纳法从2个,3个,4个直到发现规律为止。解:x1+x2=x1x2的正整数解是x1=x2=2x1+x2+x3=x1x2x3的正整数解是x1=1,x2=2,x3=3x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整数解是x1=x2=1,x3=2,x4=4x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整数解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整数解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6由此猜想结论是:适合等式x1+x2+x3+

5、x2003=x1x2x3x2003的正整数解为x1=x2=x3=x2001=1, x 2002=2,x2003=2003。丙练习141 除以3余1的正整数中,一位数有个,二位数有个,三位数有个,n位数有个。2 十进制的两位数可记作10a1a2,三位数记作100a1+10a2+a3,四位数记作,n位数记作3 由1323(12)2,132333(123)2,13233343()2 ,13152,1323n3=( )2。4 用经验归纳法猜想下列各数的结论(是什么正整数的平方)()2;()2。()2;()25 把自然数1到100一个个地排下去:1239101199100 这是一个几位数?这个数的各位上

6、的各个数字和是多少6计算(提示把每个分数写成两个分数的差)7a是正整数,试比较aa+1和(a+1)a的大小.8. 如图把长方形的四条边涂上红色,然后把宽3等分,把长8等分,分成24个小长方形,那么这24个长方形中,两边涂色的有个,一边涂色的有个,四边都不着色的有个。本题如果改为把宽m等分,长n等分(m,n都是大于1的自然数)那么这mn个长方形中,两边涂色的有个,一边涂色的有个,四边都不着色的有个9把表面涂有红色的正方体的各棱都4等分,切成64个小正方体,那么这64个中,三面涂色的有个,两面涂色的有个,一面涂色的有个,四面都不涂色的有个。本题如果改为把长m等分,宽n等分,高p等分,(m,n,p都

7、是大于2的自然数)那么这mnp个正方体中,三面涂色的有个,两面涂色的有个,一面涂色的有个,四面都不涂色的有个。10一个西瓜按横,纵,垂直三个方向各切三刀,共分成块,其中不带皮的有块。11已知两个正整数的积等于11112222,它们分别是,。 练习141. 3,30,3102,310n-12. 10n-1a1+10n-2a2_+10an-1+an4. 333332, ,5.192位,901位(50个18,加上1)6.7. a=1,2时,aa+1(a+1)a 8. 4,14,6; 4, 2m+2n-8, (m-2)(n-2)9. 8,24,24,8;8,4(m2)(n-2)+(p-2),2(m-2)(n-2)+(m-2)(p-2)+(n-2)(p-2),(m-2)(n-2)(p-2) 10. 64,8 11. 3334

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