1、人教A版选择性必修第二册练习题第四章 数列11、数列的概念与简单表示法12、数列的通项公式与递推公式43、等差数列的概念74、等差数列的性质及应用145、等差数列的前n项和206、等比数列的概念287、等比数列的性质及应用358、等比数列的前n项和429、等比数列习题课4910、数学归纳法58第五章一元函数的导数及其应用练习题641、变化率问题、导数的概念642、导数的几何意义703、基本初等函数的导数784、导数的四则运算法则简单复合函数的导数845、函数的单调性916、函数的极值1007、函数的最大(小)值1088、利用导数解决与函数有关的问题117第四章 数列1、数列的概念与简单表示法一
2、、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1.下列四个结论：如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；数列，的通项公式是an；数列的图象是一群孤立的点；数列1，1，1，1，与数列1，1，1，1，是同一数列其中正确的个数是()A1 B2 C3 D4【解析】选A.只有正确中，如已知an2an1an，a11，无法写出除首项外的其他项中an，中1和1排列的顺序不同，即二者不是同一数列2下列数列的关系是()(1)1，4，9，16，25(2)25，16，9，4，1(3)9，4，1，16，25A都是同一个数列 B都不相同C(1)，(2
3、)是同一数列 D(2)，(3)是同一数列【解析】选B.三个数列中的数字相同，但排列的顺序不同，故三个数列均不相同3已知数列的通项公式是an则a2a3等于()A70 B28 C20 D8【解析】选C.因为an所以a22222，a333110，所以a2a320.4已知数列，则0.96是该数列的()A第22项 B第24项C第26项 D第28项【解析】选B.令0.96，解得n24.5若an，则an与an1的大小关系是()Aanan1 Ban0，因此数列是递增数列，D正确，二、填空题(每小题5分，共10分)7设数列an的通项公式为an，则3是数列的第_项【解析】an，令3，所以n9.答案：98若数列an
4、的通项公式是an32n，则a2n_，_【解析】因为an32n，所以a2n322n34n，.答案：34n三、解答题(每小题10分，共20分)9已知数列an中，an5n3，求a5，并判断97是否为数列an中的项【解析】由已知，a555322，令5n397，解得n20，故97是数列an的第20项10写出数列an：1，的通项公式，并判断它的增减性【解析】由于数列前n项分子分别为1，2，3，4，5，因此与项的序号n的关系可记为n，而分母依次为1，4，7，10，13，与项的序号n的关系可记为3n2.所以数列的通项公式为an(nN*).又因为an1an0，所以an1an，所以数列an为递减数列2、数列的通项
5、公式与递推公式一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1已知an1an30，则数列是()A递增数列 B递减数列C常数列 D不能确定【解析】选A.因为an1an30，得an1an30，所以数列是递增数列2符合递推关系式anan1(n2)的数列是()A1，2，3，4， B1，2，2，C，2，2， D0，2，2，【解析】选B.由题意知从第2项开始每一项是前一项的倍，只有B项符合3数列an中，a11，对所有的n2，nN*，都有a1a2a3ann2，则a3a5等于()A B C D【解析】选C.a1a2a332，a1a222，a1a2a3a4a552，
6、a1a2a3a442，则a3，a5.故a3a5.4由1，3，5，2n1，构成数列an，数列bn满足b12，当n2时，bnabn1，则b6的值是()A9 B17 C33 D65【解析】选C.因为bnabn1，所以b2ab1a23，b3ab2a35，b4ab3a59，b5ab4a917，b6ab5a1733.5下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是()A.an1ann，nN*Banan1n，nN*，n2Can1an，nN*，n2Danan1，nN*，n2【解析】选B.结合图示易知，a11，a23a12，a36a23，a410a34.故该数列的一个递推公式可以为ana
7、n1n，nN*，n2.6(多选题)已知数列an满足：anan1，ann2n，nN*，则实数可以取的值为()A3 B2 C1 D2【解析】选ABCD.anan1n2n(n1)2(n1)(2n1)，nN*3.二、填空题(每小题5分，共10分)7设数列an满足：a12，an11，记数列an的前n项之积为n，则2 021的值为_【解析】由a2，a31，a42可知，数列an是周期为3的周期数列，从而2 021(1)67321.答案：18数列满足a11，anan1(n2且nN*)，则数列的通项公式为an_【解析】anan1，an(anan1)(an1an2)(an2an3)(a2a1)a1，an12，当n
8、1时满足答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)9在数列an中，a11，an1an.(1)写出数列的前5项；(2)猜想数列的一个通项公式【解析】(1)a11，a2a1，a3a2，a4a3，a5a4.(2)由(1)知an(nN*).10已知数列an满足：a1m(m为正整数)，an1若a61，求m所有可能的取值【解析】若a5为奇数，则3a511，a50(舍去).若a5为偶数，则1，a52.若a4为奇数，则3a412，a4(舍去).若a4为偶数，则2，a44.若a3为奇数，则3a314，a31，则a22，a14.若a3为偶数，则4，a38，若a2为奇数，则3a218，a2(舍去).若a2为偶数，
9、则8，a216.若a1为奇数，则3a1116，a15.若a1为偶数，则16，a132.故m所有可能的取值为4，5，32.3、等差数列的概念一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1已知an为等差数列，a2a812，则a5等于()A4 B5 C6 D7【解析】选C.a2a8a1da17d2a18d12，所以a14d6，所以a56.2等差数列an中，已知a37，a513，则a7()A16 B17 C18 D19【解析】选D.由等差数列的性质可得2a5a3a7，所以a72a5a319.3若等差数列的前3项依次是x1，x1，2x3，则其通项公式为()
10、Aan2n5(nN*) Ban2n3(nN*)Can2n1(nN*) Dan2n1(nN*)【解析】选B.因为x1，x1，2x3是等差数列的前3项，所以2(x1)x12x3，解得x0.所以a1x11，a21，a33，所以d2，所以an12(n1)2n3(nN*).4在数列an中，a11，an1an2，nN*，则a25的值为()A49 B50 C89 D99【解析】选A.因为a11，an1an2，nN*，所以数列an是等差数列，则a2512(251)49.5已知数列是等差数列，数列分别满足下列各式，其中数列必为等差数列的是()Abn|an| BbnaCbn Dbn【解析】选D.设数列的公差为d，
11、选项A，B，C，都不满足bnbn1同一常数，所以三个选项都是错误的；对于选项D，bnbn1，所以数列必为等差数列6(多选题)若数列an满足a11，3an13an1，nN*，则数列an是()A公差为1的等差数列B公差为的等差数列C通项公式为an的等差数列D通项公式为an1的等差数列【解析】选BC.由3an13an1，得3an13an1，即an1an.所以数列an是公差为的等差数列. 又因为a11，得到an1，故选BC.二、填空题(每小题5分，共10分)7在等差数列an中，若a15，d2，则a10_；若已知a13，d4，an59，则n_【解析】a10a1(101)d59223.因为ana1(n1)
12、d，所以5934(n1)，解得n15.答案：23158等差数列1，1，3，5，89的项数为_.【解析】因为a11，d112，所以ana1(n1)d2n3.由2n389，得n46.答案：46三、解答题(每小题10分，共20分)9已知等差数列满足a1a210，a4a32.(1)求首项及公差；(2)求的通项公式【解析】(1)设等差数列的公差为d.因为a4a32，所以d2.又因为a1a210，所以2a1d10，故a14. (2)由(1)可知an42(n1)2n2(n1，2，).10已知等差数列an：3，7，11，15，.(1)135，4m19(mN*)是数列an中的项吗？试说明理由；(2)若ap，aq
13、(p，qN*)是数列an中的项，则2ap3aq是数列an中的项吗？并说明你的理由【解析】因为a13，d4，所以ana1(n1)d4n1.(1)令an4n1135，所以n34，所以135是数列an中的第34项令an4n14m19，则nm5N*.所以4m19是an中的第m5项(2)因为ap，aq是an中的项，所以ap4p1，aq4q1.所以2ap3aq2(4p1)3(4q1)8p12q54(2p3q1)1，因为2p3q1N*，所以2ap3aq是an中的第2p3q1项提升训练一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1给出下列命题：数列6，4，2，0
14、是公差为2的等差数列；数列a，a1，a2，a3是公差为1的等差数列；等差数列的通项公式一定能写成anknb的形式(k，b为常数)；数列是等差数列其中正确命题的序号是()A B C D【解析】选C.根据等差数列的定义可知，数列6，4，2，0的公差为2，错误；对于，由等差数列的定义可知，数列a，a1，a2，a3是公差为1的等差数列，所以正确；对于，由等差数列的通项公式ana1(n1)d，得andn(a1d)，令kd，ba1d，则anknb，所以正确；对于，因为an1an2(n1)1(2n1)2，所以数列是等差数列所以正确2我国古代著名的周髀算经中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至
15、晷(gu)长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为99分；且“冬至”时日影长度最大，为1 350分；“夏至”时日影长度最小，为160分则“立春”时日影长度为()A.953分 B1 052分C1 151分 D1 250分【解析】选B.一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为99分，且“冬至”时日影长度最大，为1 350分；“夏至”时日影长度最小，为160分从“冬至”到“立春”有：“小寒”和“大寒”，且日影长变短，所以“立春”时日影长度为：1 35031 052(分).3在等差数列an中，a2，a14是方程x26x20的两个实根，则(
16、)A B3 C6 D2【解析】选A.由于a2，a14是方程x26x20的两个实根，所以a2a142a86，a83，a2a142，所以.4(多选题)等差数列an的首项为a，公差为1，数列bn满足bn.若对任意nN*，bnb6，则实数a的可能取值是()A7 B6.5 C6.3 D6【解析】选BC.因为an是首项为a，公差为1的等差数列，所以anna1.所以bn1.又因为对任意的nN*，都有bnb6成立，可知，又因为数列an是递增数列，则必有7a10，所以7a0，a70，所以a3a79.当且仅当a3a73时等号成立答案：98在等差数列中，若a2a810.则22a5_【解析】因为数列为等差数列，a2a
17、8a4a62a510，所以22a51021090.答案：90三、解答题(每小题10分，共20分)9两个等差数列an：5，8，11，和bn：3，7，11，都有100项，那么它们共有多少个相同的项？【解析】方法一：设已知两数列的所有相同的项构成的新数列为cn，c111，又数列5，8，11，的通项公式为an3n2，数列3，7，11，的通项公式为bn4n1，所以数列cn为等差数列，且d12，所以cn12n1.又因为a100302，b100399，所以cn12n1302，所以n25，所以已知两数列共有25个相同的项方法二：因为an3n2，bn4n1，设anbm，则有3n24m1(n，mN*)即nm1(n
18、，mN*).要使n为正整数，m必须是3的倍数设m3k(kN*)，代入nm1，得n4k1.又因为13k100，且14k1100，所以1k25，所以共有25个相同的项10在等差数列an中，若a1a2a530，a6a7a1080，求a11a12a15.【解析】方法一：由等差数列的性质得a1a112a6，a2a122a7，a5a152a10.所以(a1a2a5)(a11a12a15)2(a6a7a10).所以a11a12a152(a6a7a10)(a1a2a5)28030130.方法二：因为数列an是等差数列，所以a1a2a5，a6a7a10，a11a12a15也成等差数列，即30，80，a11a12
19、a15成等差数列，所以30(a11a12a15)280，a11a12a15130.提升练习一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1数列an满足3anan1且a2a4a69，则log6(a5a7a9)的值是()A2 B C2 D【解析】选C.因为an1an3，所以an为等差数列，且d3.a2a4a693a4，所以a43，a5a7a93a73(a43d)3(333)36，所以log6(a5a7a9)log6362.2若5，x，y，z，21成等差数列，则xyz的值为()A26 B29 C39 D52【解析】选C.因为5，x，y，z，21成等差数列
20、，所以y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项所以521xz2y，所以y13，xz26，所以xyz39.3九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()A1升 B升 C升 D升【解析】选B.设所构成的等差数列an的首项为a1，公差为d，则有即解得所以a5a14d，即第5节的容积为升4(多选题)在等差数列an中，已知a510，a1231，则公差d的取值可以为()A3 B4 C5 D6【解析】选BCD.设首项为a1，由题意，可知解得d3.所以d的取值范围是(3，).二、填空题(每小题5分，共20分)5已
21、知ABC中三边a，b，c成等差数列，也成等差数列，则ABC的形状为_【解析】由题可得2，得22b.所以b2ac，又(ac)24b2，即(ac)24ac，所以a22acc20，即(ac)20，所以ac，代入，可得abc，所以ABC为等边三角形答案：等边三角形6如果等差数列an中，a3a4a512，那么a4_；a1a2a7_【解析】由a3a4a53a412，所以a44, a1a2a77a428.答案：4287在等差数列an中，a5a64，则log2(2a12a22a10)_【解析】在等差数列an中，a5a64，所以a1a10a2a9a3a8a4a7a5a64，所以a1a2a10(a1a10)(a2
22、a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)5(a5a6)20，则log2(2a12a22a10)log22a1a2a10a1a2a1020.答案：208已知(x22xm)(x22xn)0的4个根组成首项为的等差数列，则|mn|_【解析】因为yx22xm与yx22xn有相同的对称轴，设四个根分别为x1，x2，x3，x4，不妨设x1，x4为x22xm0的两根，x2，x3为x22xn0的两根，则不妨令x1，所以x4，x2，x3，所以m，n，所以|mn|.答案：三、解答题(每小题10分，共30分)9设数列an是等差数列，bn，且b1b2b3，b1b2b3，求通项公式an.【解析】因为b1b2b3，又b
23、n，所以，所以a2a3，所以a1a2a33.又an成等差数列，所以a21，a1a32.所以b1b3，b1b3，所以或所以或设等差数列an的公差为d，当a11，a33时，d2，所以an12(n1)2n3；当a13，a31时，d2，所以an32(n1)2n5.综上所述，an2n3(nN*)或an2n5(nN*).10已知无穷等差数列an中，首项a13，公差d5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列bn(1)求b1和b2；(2)求bn的通项公式；(3)bn中的第503项是an中的第几项？【解析】数列bn是数列an的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于an是等差数列，则bn也是等
24、差数列(1)因为a13，d5，所以an3(n1)(5)85n.数列an中序号被4除余3的项是an中的第3项，第7项，第11项，所以b1a37，b2a727.(2)设an中的第m项是bn中的第n项，即bnam，则m34(n1)4n1，所以bnama4n185(4n1)1320n，即bn的通项公式为bn1320n(nN*).(3)b503132050310 047，设它是an中的第m项，则10 04785m，解得m2 011，即bn中的第503项是an中的第2 011项11已知正项数列满足a(2n1)an2n.(1)求证：数列是等差数列；(2)若数列满足bn，且数列的最大项为bp，最小项为bq，求
25、pq的值【解析】由已知有：a(2n1)an2n(an2n)(an1)0且an0，所以由an2n，nN*，得an1an22n2，由aa120，解得a12，所以数列是以首项为2，公差为2的等差数列；(2)bn 22，当n4时，bn最大，当n3时，bn最小，所以pq437.5、等差数列的前n项和一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1已知等差数列an的前10项和为30，a68，则a100()A100 B958 C948 D18【解析】选C.设等差数列an的公差为d，由已知解得所以a100429910948.2已知等差数列的前n项和Sn，且S3S5
26、15，则S7()A4 B7 C14 D【解析】选B.等差数列的前n项和为Sn，且S3S515，所以a4a50，所以2a17d0.再根据S33a13d15，可得a17，d2，则S77a1d4921(2)7.3在等差数列an中，若a3a4a5a6a745，则S9()A45 B162 C81 D【解析】选C.因为在等差数列an中，a3a4a5a6a75a545，所以a59.所以S99a581.4在等差数列an中，a1 1，其前n项和为Sn，若2，则a10的值为()A18 B19 C20 D21【解析】选B.因为在等差数列an中，a1 1，其前n项和为Sn，设等差数列an的公差为d，若2，则d2，所以
27、a10a19d19.5(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则()Aan2n5 Ban3n10CSn2n28n DSnn22n【解析】选A.由题知，解得所以an2n5，故选A.6(多选题)已知Sn是等差数列an的前n项和，且S6S7S5，则下列选项中说法正确的是()Ad0CS12S7，所以a7S5，所以a6a70，所以a60，所以d0，B正确S12(a1a12)6(a6a7)0，C不正确Sn中的最大项为S6，D不正确二、填空题(每小题5分，共10分)7九章算术是我国第一部数学专著，现有源自其中的一个问题：“今有金菙(chu)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重
28、二斤问金菙重几何”其意思为：“今有金杖(粗细均匀变化)长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤问金杖重多少”答案是_(斤、尺非国际通用单位).【解析】由题意可知等差数列中a14，a52，则S515，故金杖重15斤答案：15斤8已知数列an是等差数列，且a21，a55.则(1)an的通项公式an_；(2) an前n项和Sn的最大值为_【解析】(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，由已知条件得解得所以ana1(n1)d2n5(nN*).(2)方法一：Snna1dn24n4(n2)2.所以当n2时，Sn取到最大值4.方法二：由得即n，故当n2时，Sn最大又S2a1a2314，所以当n
29、2时，Sn取得最大值4.答案：(1)2n5(nN*)(2)4三、解答题(每小题10分，共20分)9已知数列an的前n项和Snn2n1.(1)写出数列的前5项；(2)数列an是等差数列吗？说明理由；(3)写出an的通项公式【解析】(1)因为Snn2n1，所以a1S13，a2S2S1734，a3S3S21376，a4S4S321138，a5S5S4312110.(2)由(1)可知，a2a1431，a3a2642，所以a3a2a2a1，所以数列an不是等差数列(3)因为当n2时，anSnSn1，所以ann2n1(n1)2(n1)12n(n2)，a1S13，所以数列an的通项公式为an10已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)证明：an2an.(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由【解析】(1)由anan1Sn1知，an1an2Sn11，两式相减得，an1(an2an)an1，又因为an10，所以an2an.(2)存在由a11，a1a2a11，得a21，由
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