1、第四章数列 知识点总结4.1数列的概念- 1 -第1课时数列的概念及简单表示法- 1 -第2课时数列的递推公式与an和Sn的关系- 7 -4.2等差数列- 14 -4.2.1等差数列的概念- 14 -4.2.2等差数列的前n项和公式- 24 -4.3等比数列- 35 -4.3.1等比数列的概念- 35 -4.3.2等比数列的前n项和公式- 44 -4.4*数学归纳法- 53 -4.1数列的概念第1课时数列的概念及简单表示法1数列的概念及一般形式思考：(1)数列的项和它的项数是否相同？(2)数列1，2，3，4，5，数列5，3，2，4，1与1，2，3，4，5有什么区别？提示(1)数列的项与它的项数
2、是不同的概念数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，而项数是指该数列中的项的总数(2)数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合1，2，3，4，5与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性2数列的分类类别含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3数列的通项公式如果数列an的第n项an
3、与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式4数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：定义域正整数集N*(或它的有限子集1，2，3，n)解析式数列的通项公式值域自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成表示方法(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法思考：数列的通项公式anf(n)与函数解析式yf(x)有什么异同？提示如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集1，2，n)为定义域的函数，anf(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值不同之处是定义域，数列中的n必须是
4、从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集类型一数列的概念与分类【例1】(1)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()A1，Bsin，sin，sin，C1，D1，(2)(一题多空)已知下列数列：2 013，2 014，2 015，2 016，2 017，2 018，2019，2 020；1，；1，；1，0，1，sin，；2，4，8，16，32，；1，1，1，1.其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，递减数列是_，常数列是_，摆动数列是_(填序号)(1)CABC为无穷数列，其中A是递减数列，B是摆动数列，C是递增数列，故选C.(2)为有穷数列且为递增数列；为无穷、递
5、减数列；为无穷、摆动数列；是摆动数列，也是无穷数列；为递增数列，也是无穷数列；为有穷数列，也是常数列1有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项若数列是有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列2数列an的单调性：若满足anan1，则an是递增数列；若满足anan1，则an是递减数列；若满足anan1，则an是常数列；若an与an1的大小不确定，则an是摆动数列类型二由数列的前几项求通项公式【例2】已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式(1)1，3，7，15，31，；(2)4，44，444，4 444，；(3)1，3，5，7，9，；(4)2，；(5
6、)1，2，1，2，1，2，.思路探究观察数列前后项之间的规律，规律不明显的需将个别项进行调整，再看是否与对应的序号有规律的联系解(1)观察发现各项分别加上1后，数列变为2，4，8，16，32，新数列的通项为2n，故原数列的通项公式为an2n1.(2)各项乘，变为9，99，999，各项加上1后，数列变为10，100，1 000，新数列的通项为10n，故原数列的通项公式为an(10n1)(3)所给数列有这样几个特点：符号正、负相间；整数部分构成奇数列；分数部分的分母为从2开始的自然数的平方；分数部分的分子依次大1.综合这些特点写出表达式，再化简即可由所给的几项可得数列的通项公式为an(1)n，所以
7、an(1)n.(4)数列的符号规律是正、负相间，使各项分子为4，数列变为，再把各分母分别加上1，数列又变为，所以an.(5)法一：可写成分段函数形式：an法二：an即an.1常见数列的通项公式归纳(1)数列1，2，3，4，的一个通项公式为ann；(2)数列1，3，5，7，的一个通项公式为an2n1；(3)数列2，4，6，8，的一个通项公式为an2n；(4)数列1，2，4，8，的一个通项公式为an2n1；(5)数列1，4，9，16，的一个通项公式为ann2；(6)数列1，1，1，1，的一个通项公式为an(1)n；(7)数列1，的一个通项公式为an.2复杂数列的通项公式的归纳方法考察各项的结构；观
8、察各项中的“变”与“不变”；观察“变”的规律是什么；每项符号的变化规律如何；得出通项公式类型三通项公式的应用探究问题1根据通项公式如何求数列中的第几项？怎么确定某项是否是数列的项？若是，是第几项？提示根据an，求第几项，采用的是代入法，如第5项就是令n5，求a5.判断某项是否是数列中的项，就是解方程令an等于该项，解得nN*即是，否则不是2已知数列an的通项公式为ann22n1，该数列的图象有何特点？试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项提示由数列与函数的关系可知，数列an的图象是分布在二次函数yx22x1图象上的离散的点，如图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，
9、从第3项往后各项为负数项【例3】已知数列an的通项公式为an3n228n.(1)写出此数列的第4项和第6项；(2)49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？思路探究(1)将n4，n6分别代入an求出数值即可；(2)令3n228n49和3n228n68，求得n是否为正整数并判断解(1)a434228464，a636228660.(2) 令3n228n49，解得n7或n(舍去)，所以49是该数列的第7项；令3n228n68，解得n2或n，均不合题意，所以68不是该数列的项1(变结论)若本例中的条件不变，(1)试写出该数列的第3项和第8项；(2)20是不是该数列的一项？若
10、是，是哪一项？解(1)因为an3n228n，所以a333228357，a838228832.(2)令3n228n20，解得n10或n(舍去)，所以20是该数列的第10项2(变条件，变结论)若将例题中的“an3n228n”变为“ann22n5”，试判断数列an的单调性解ann22n5，an1an(n1)22(n1)5(n22n5)n22n12n25n22n52n3.nN*，2n30，an1an.数列an是递增数列1由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值2判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的
11、根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项3在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集1，2，3，n)这一约束条件第2课时数列的递推公式与an和Sn的关系1数列的递推公式(1)两个条件：已知数列的第1项(或前几项)；从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式思考：所有数列都有递推公式吗？提示不一定例如精确到1，0.1，0.01，0.001，的不足近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，没有递推公式2数列递推公式与通项公式的关系递推公
12、式通项公式区别表示an与它的前一项an1(或前几项)之间的关系表示an与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式思考：仅由数列an的关系式anan12(n2，nN*)就能确定这个数列吗？提示不能数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的3数列an的前n项和(1)数列an从第1项起到第n项止的各项之和称为数列an的前n项和，记作Sn，即Sna1a2an.(2)如果数列an的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式(3)数列an
13、的通项an与前n项和Sn之间的关系为an类型一由递推公式求数列中的项【例1】已知数列an中，a11，a22，以后各项由anan1an2(n3)给出(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式bn构造一个新的数列bn，写出数列bn的前4项解(1)anan1an2(n3)，且a11，a22，a3a2a13，a4a3a2325，a5a4a3538.故数列an的前5项依次为a11，a22，a33，a45，a58.(2)bn，且a11，a22，a33，a45，a58，b1，b2，b3，b4.故bn的前4项依次为b1，b2，b3，b4.由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清
14、楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an2an11.(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an1.类型二数列的单调性【例2】已知数列an的通项公式是an(n2) (nN*)，试问数列an是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由思路探究判断数列的单调性，寻求数列最大项，或假设an是数列的最大项，解不等式解法一：作差比较an1与an的大小，判断an的单调性an1an(n3)(n2).当n5时，an1an0，即an1an；当n5时，an1an0，即an1an；当n5时，an1an
15、0，即an1an.故a1a2a3a4a5a6a7a8，所以数列an有最大项，且最大项为a5或a6，且a5a6.法二：作商比较an1与an的大小，判断an的单调性.又an0，令1，解得n5；令1，解得n5；令1，解得n5.故a1a2a3a4a5a6a7，所以数列an有最大项，且最大项为a5或a6，且a5a6.法三：假设an中有最大项，且最大项为第n项，则即解得即5n6.故数列an有最大项a5或a6，且a5a6.求数列an的最大(小)项的方法一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项.二是设ak是最大项，则有
16、对任意的kN*且k2都成立，解不等式组即可.类型三利用an求通项【例3】根据下列数列的前n项和Sn求通项an.(1)Sn2n2n1；(2)Sn23n2.思路探究先写出n2时，anSnSn1表达式，再求出n1时a1S1，验证是否适合n2时表达式如果适合则anSnSn1(nN*)，否则an解(1)由Sn2n2n1，当n2时，anSnSn1(2n2n1)2(n1)2(n1)14n3.当n1时，a1S12413.an(2)由Sn23n2，当n2时，anSnSn123n2(23n12)43n1.当n1时，a1S1231244311，an43n1(nN*)用an与Sn的关系求an的步骤(1)先确定n2时a
17、nSnSn1的表达式；(2)再利用Sn求出a1(a1S1)；(3)验证a1的值是否适合anSnSn1的表达式；(4)写出数列的通项公式.类型四根据递推公式求通项探究问题1某剧场有30排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列an，满足a120，an1an2，你能归纳出数列an的通项公式吗？提示由a120，an1an2得a2a1222，a3a2224，a4a3226，a5a4228，由以上各项归纳可知an20(n1)22n18.即an2n18(nN*，n30)2对于任意数列an，等式a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an都成立吗？若数列an满足：a11，an1an2，你能求出它的通
18、项an吗？提示等式a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an成立，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)112(n1)2n1.3若数列an中的各项均不为0，等式a1an成立吗？若数列an满足：a13，2，则它的通项an是什么？提示等式a1an成立按照2可得2，2，2，2(n2)，将这些式子两边分别相乘可得222.则2n1，所以an32n1(nN*)【例4】(1)已知数列an满足a11，an1an，nN*，求通项公式an；(2)设数列an中，a11，anan1(n2)，求通项公式an.思路探究(1)先将an1an变形为an1an，照此递推关系写出前n项中任意相邻两项间的关系，这些式子
19、两边分别相加即可求解(2)先将anan1(n2)变形为，按此递推关系，写出所有前后两项满足的关系，两边分别相乘即可求解解(1)an1an，a2a1；a3a2；a4a3；anan1.以上各式累加得，ana11.an11，an(n2)又n1时，a11，符合上式，an(nN*)(2)a11，anan1(n2)，ana11.又n1时，a11，符合上式，an(nN*)1(变条件)将例题(1)中的条件“a11，an1an，nN*”变为“a1，anan1an1an(n2)”，求数列an的通项公式解anan1an1an，1.2n1.n1，an(n2)又n1时，a1，符合上式，an(nN*).2(变条件)将例题
20、(2)中的条件“a11，anan1(n2)”变为“a12，an13an(nN*)”写出数列的前5项，猜想an并加以证明解由a12，an13an，得：a23a132，a33a2332322，a43a33322332，a53a43332342，猜想：an23n1，证明如下：由an13an得3.因此可得3，3，3，3.将上面的n1个式子相乘可得3n1.即3n1，所以ana13n1，又a12，故an23n1.由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an1anf(n)或an1g(n)an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当anan1f(n)时，常用an(anan1)(an1a
21、n2)(a2a1)a1求通项公式；(2)累乘法：当g(n)时，常用ana1求通项公式.4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第1课时等差数列的概念及简单表示1等差数列的概念文字语言如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示符号语言an1and(d为常数，nN*)2等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项(3)满足的关系式是ab2A.思考：观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2，4；(2)1，5；(3)a，b；(4)0，0
22、.提示插入的数分别为3，2，0.3等差数列的通项公式以a1为首项，d为公差的等差数列an的通项公式ana1(n1)d.思考：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？提示还可以用累加法，过程如下：a2a1d，a3a2d，a4a3d，anan1d(n2)，将上述(n1)个式子相加得ana1(n1)d(n2)，ana1(n1)d(n2)，当n1时，a1a1(11)d，符合上式，ana1(n1)d(nN*)4从函数角度认识等差数列an若数列an是等差数列，首项为a1，公差为d，则anf (n)a1(n1)dnd(a1d)(1)点(n，an)落在直线ydx(a1d)上；
23、(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.思考：由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？提示只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式ana1(n1)d即可类型一等差数列的通项公式【例1】已知数列an为等差数列，a158，a6020，求a75.解法一：设等差数列an的首项为a1，公差为d，则由题意得解得故a75a174d7424.法二：a60a15(6015)d，d，a75a60(7560)d201524.法三：已知数列an是等差数列，可设anknb.由a158，a6020得解得a7575424.等差数列通项公式的妙用(1)等差数列an的通项公式ana1(n1)d中含有四个
24、量，即an，a1，n，d，如果知道了其中的任意三个量，就可以由通项公式求出第四个量，这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”.(2)从函数的角度看等差数列的通项公式.由等差数列的通项公式ana1(n1)d可得andn(a1d)，当d0时，an是关于n的一次函数.(3)由两点确定一条直线的性质可以得出，等差数列的任意两项可以确定这个等差数列.若已知等差数列的通项公式，可以写出数列中的任意一项.类型二等差中项的应用【例2】(1)已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是_(2)已知，是等差数列，求证：，也是等差数列思路探究(1)(2) (1)6由题意得3(mn)
25、201636，mn12，6.(2)证明，成等差数列，即2acb(ac)，成等差数列等差中项应用策略(1)求两个数x，y的等差中项，即根据等差中项的定义得A.(2)证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则有ac2b；反之，若ac2b，则a，b，c成等差数列.类型三等差数列的判定与证明探究问题1在数列an中，若anan1d(常数)(n2且nN*)，则an是等差数列吗？为什么？提示由等差数列的定义可知满足anan1d(常数)(n2)是等差数列2在数列an中，若有2anan1an1(n2，nN*)成立，则an是等差数列吗？为什么？提示是，由等差中项的定义可
26、知3若an是公差为d的等差数列，那么anan2是等差数列吗？若是，公差是多少？提示(an1an3)(anan2)(an1an)(an3an2)dd2d.anan2是公差为2d的等差数列【例3】已知数列an满足a12，an1.(1)数列是否为等差数列？说明理由；(2)求an.解(1)数列是等差数列，理由如下：a12，an1，即是首项为，公差为d的等差数列(2)由(1)可知(n1)d，an.1(变条件，变结论)将例题中的条件“a12，an1”换为“a14，an4(n1)，记bn”(1)试证明数列bn为等差数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：bn1bn.又b1，数列bn是首项为，公差为的等
27、差数列(2)由(1)知bn(n1)n.bn，an22.数列an的通项公式为an2.2(变条件)将本例中条件“a12，an1”换成“a1，n2时有(n1，nN*)”，结论如何？解(1)证法一：(n1，nN*)an1(12an)an(2an11)(n1，nN*)，即an1an(4an11)(n1，nN*)，an(n1，nN*)，4(n1，nN*)，4(n1，nN*)，数列是等差数列且公差为4，首项为5.证法二：当n1，nN*时，224，且5.是等差数列，且公差为4，首项为5.(2)由(1)及等差数列的通项公式得5(n1)44n1，an.等差数列的三种判定方法(1)定义法：an1and(常数)(nN
28、*)an为等差数列；(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an为等差数列；(3)通项公式法：ananb(a，b是常数，nN*)an为等差数列.但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.第2课时等差数列的性质1等差数列的图象等差数列的通项公式ana1(n1)d，当d0时，an是一个固定常数；当d0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点思考：由ana1(n1)d可得d，d，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？提示等差数列的通项公式可以变形为annd(a1d)，是关于n的一次函数，d为斜率，故过两点(1
29、，a1)，(n，an)直线的斜率d，当两点为(n，an)，(m，am)时有d.2等差数列的性质(1)an是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足mnpq，则amanapaq.特别地，当mn2k(m，n，kN*)时，aman2ak.对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1ana2an1akank1.(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列(3)若an是公差为d的等差数列，则can(c为任一常数)是公差为d的等差数列；can(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；anank(k为常数，kN*)是公差为2d的等差数列(4)若an，bn分
30、别是公差为d1，d2的等差数列，则数列panqbn(p，q是常数)是公差为pd1qd2的等差数列(5)an的公差为d，则d0an为递增数列；d0an为递减数列；d0an为常数列思考：若an为等差数列，且mnp(m，n，pN*)，则amanap一定成立吗？提示不一定如常数列an，123，而a1a22a3.类型一灵活设元解等差数列【例1】已知递减等差数列an的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列的通项公式，并判断34是否为该数列的项思路探究前三项可以设为ad，a，ad，也可以直接用“通法”解决解法一：设该等差数列的前三项为ad，a，ad，则(ad)a(ad)3a18.解得a6.又前三项的乘积
31、为66.6(6d)(6d)66，解得d5.由于该数列单调递减，所以d5，且首项为11，所以通项公式为an11(n1)(5)5n16.令5n1634，解得n10.34是数列an的第10项法二：依题意得解得或数列an是递减等差数列，d0.故a111，d5.an11(n1)(5)5n16，即等差数列an的通项公式为an5n16.令an34，即5n1634，得n10.34是数列an的第10项等差数列的设项方法与技巧(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定数列.(2)当已知数列有2n项时，可设为a(2n1)d，a3d，ad，
32、ad，a3d，a(2n1)d，此时公差为2d.(3)当已知数列有2n1项时，可设为and，a(n1)d，ad，a，ad，a(n1)d，and，此时公差为d.类型二等差数列的实际应用【例2】某公司2017年生产一种数码产品，获利200万元，从2018年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果该公司不研发新产品，也不调整经营策略，试计算从哪一年起，该公司生产这一产品将出现亏损？思路探究根据条件可以构造等差数列，由条件可知首项和公差都已知，利用等差数列解决该问题解记2017年为第1年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，则该公司每年获得的利润
33、构成等差数列an，且当an0时，该公司生产此产品将出现亏损设第n年的利润为an，因为a1200，公差d20，所以ana1(n1)d22020n.由题意知数列an为递减数列，令an0，即22020n0，解得n11，即从第12年起，也就是从2028年开始，该公司生产此产品将出现亏损解决等差数列实际问题的基本步骤(1)将已知条件翻译成数学(数列)问题；(2)构造等差数列模型(明确首项和公差)；(3)利用通项公式解决等差数列问题；(4)将所求出的结果回归为实际问题.类型三等差数列的性质探究问题1在等差数列an中，若an3n1，那么a1a5a2a4吗？a2a5a3a4成立吗？由此你能得到什么结论？该结论
34、对任意等差数列都适用吗？为什么？提示由an3n1可知a1a5a2a4与a2a5a3a4均成立，由此有若m，n，p，qN*且mnpq，则amanapaq.对于任意等差数列an，设其公差为d.则amana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)d，apaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq2)d，因为mnpq，故amanapaq对任意等差数列都适用2在等差数列an中，如果mn2r，那么aman2ar是否成立？反过来呢？提示若mn2r(m，n，rN*)，则amana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)d2a1(2r2)d2a1(r1)d2ar，显然成立；在等差数列an中，若aman2a
35、r，不一定有mn2r，如常数列3已知一个无穷等差数列an的首项为a1，公差为d，则：(1)若将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新数列，这个新数列还是等差数列吗？(2)取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列还是等差数列吗？(3)如果取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，这个新数列还是等差数列吗？提示(1)、(2)、(3)中所得到的数列都还是等差数列，其中(1)中的公差为d，(2)中的公差为2d，(3)中的公差为7d.【例3】(1)已知等差数列an中，a3a68，则5a4a7()A32 B27C24D16(2)若关于x的方程x22xm0和x22xn0(mn)的四个根
36、可组成首项为的等差数列，则|mn|的值是_思路探究(1)运用“mnpq则amanapaq”求解(2)考虑两个方程都具备特点“两根之和是2”，结合根与系数的关系求解(1)C(2)(1)法一：设等差数列an公差d，则a3a62a17d8，所以5a4a76a121d3(2a17d)24.法二：在等差数列中，mnpq，则amanapaq.a2a6a3a52a4，5a4a7a2a3a4a5a6a7.又a2a7a3a6a4a5.5a4a73(a3a6)3824.(2)设a，b为方程x22xm0的两根，则ab2，c，d为方程x22xn0的两根，则cd2，而四个根可组成一个首项为的等差数列，现假定a，则b2.
37、根据等差数列的四项中，第一项与第四项的和等于第二项与第三项的和，这个等差数列的顺序为，c，d，.则c，d.mab，ncd.|mn|.1(变条件，变结论)本例(1)中条件变为“在等差数列an中，若a58，a1020”，求a15.解法一：因为a5，a10，a15成等差数列，所以a5a152a10.所以a152a10a5220832.法二：因为an为等差数列，设其公差为d，所以a10a55d，所以2085d，所以d.所以a15a105d20532.2(变条件，变结论)本例(1)中条件变为“在等差数列an中，a3a4a5a6a7450”，求a2a8.解法一：在等差数列an中a3a7a4a62a5，(a
38、3a7)(a4a6)a55a5450.解得a590.a2a82a5180.法二：设等差数列an的首项为a1，公差为d.根据ana1(n1)d，a3a4a5a6a75a120d5(a14d)450.a14d90.而a2a82a18d2(a14d)290180.等差数列性质的应用技巧已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项，对于这样的问题，在解题过程中通常就要注意考虑利用等差数列的下列性质：(1)若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq其中am，an，ap，aq是数列中的项.该性质可推广为：若mnzpqk(m，n，z，p，q，kN*)，则amanazapaqak.(2)若mn2p(m，n，pN*)，则aman2ap.4.2.2等差数列的前n项和公式第1课时等差数列的前n项和公式1等差数列前n项和公式是用倒序相加法推导的2等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式SnSnna1d思考：等差数列an前n项和公式推导中，运用了哪条性质？提示运用性质“等差数列an中，若mnpq，则amanapaq.”从而a1ana2an1akank1.3等差数列前n项和Sn的最值(1)若a10，d
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