高中数学新课程改革考试.doc

1、1 试述基础教育课程改革的具体目标是什么。改变课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，使获得基础知识与基本技能的过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程。改变课程结构过于强调学科本位、科目过多和缺乏整合的现状，整体设置九年一贯的课程门类和课时比例，并设置综合课程，以适应不同地区和学生发展的需求，体现课程结构的均衡性、综合性和选择性。改变课程内容“难、繁、偏、旧”和过于注重书本知识的现状，加强课程内容与学生生活以及现代社会和科技发展的联系，关注学生的学习兴趣和经验，精选终身学习必备的基础知识和技能。改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探

2、究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。改变课程评价过分强调甄别与选拔的功能，发挥评价促进学生发展、教师提高和改进教学实践的功能。改变课程管理过于集中的状况，实行国家、地方、学校三级课程管理，增强课程对地方、学校及学生的适应性。2 试述高中数学新课程十大基本理念。1构建共同基础，提供发展平台。 高中教育属于基础教育。高中数学课程由必修系列课程和选修系列课程组成，必修系列课程是为了满足所有学生的共同数学需求；选修系列课程是为了满足学生的不同数学需求，它仍然是学生发展所需要的基础性数学课程。2提供多样课程，适应个性选择。 高中数学课程

3、应具有多样性与选择性，使不同的学生在数学上得到不同的发展。3倡导积极主动、勇于探索的学习方式。 这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的再创造过程。高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。4注重提高学生的数学思维能力。 人们在学习数学和运用数学解决问题的过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。5发展学生的数学应用意识。 高中数学在数学应用和联系实际方面需要大力加强。开展数学应用的教学活动符合社会需要，有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于增强学生的应用意

4、识，有利于扩展学生的视野。6与时俱进地认识双基。 我国的数学教学具有重视基础知识教学、基本技能训练和能力培养的传统，新世纪的高中数学课程应发扬这种传统。与此同时，随着时代的发展，特别是数学的广泛应用、计算机技术和现代信息技术的发展，数学课程设置和实施应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，形成符合时代要求的新的双基。例如，为了适应信息时代发展的需要，高中数学课程应增加算法的内容，把最基本的数据处理、统计知识等作为新的数学基础知识和基本技能；同时，应删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容，克服双基异化的倾向。7强调本质，注意适度形式化。 形式化是数学的基本特征之一。在数学教学

5、中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。8体现数学的文化价值。 数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。9注重信息技术与数学课程的整合 。 高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。10建立合理、科学的评价体系。 现代社会对人的发展的要求引起评价体系的深刻变化，高中数学课程应建立合理、科学的评价体系，包括评价理念、评价内容、评价形式和评价

6、体制等方面。3 高中数学课程要求教师如何培养学生的应用意识？1创设教学情景,培养数学应用意识：数学源于生活，用于生活。教学中教师通过丰富的情景引入数学内容，引导学生观察生活，从生活中发现数学信息，激发学生应用数学的动机和学习兴趣。鼓励学生从数学角度去提出问题。2理论联系实际，增强数学的应用意识。数学教学中，引导学生运用课堂上所学到的数学知识来解决生活中的实际问题。在解决问题的活动过程和在运用数学的过程中增强应用意识3在例、习题的教学中构建数学模型，感悟应用意识。用数学模型解决应用性问题的过程一般是：由实际问题抽象出数学模型（建模）解决数学问题（求模）回归实际问题（还原），因此在教学中要引导学生

7、运用数学方法、思想、观点去观察和分析各种实际问题，从中抽象出数学知识和数学规律，建立数学模型，并运用数学知识进行正确的运算和推理，科学合理地解释这些实际问题。4作业和检测形式多样，发展应用意识。作业的形式不能局限于课本与课外书籍，极大的限制了学生课后运用知识的空间，随着教学改革的深入，对学生和各种检测有了更深的认识，于是要改变作业、检测的形式5 在考试内容增加实际问题的力度，考察应用意识数学是一门应用科学，把它的学习和应用有机地结合在一起是数学本身发展的需要，也是数学教育的要求，是培养学生解决实际问题的能力的重要途径。6 注重与其它学科的联系，体现数学的应用所在。7 开展数学知识应用竞赛，数学

8、探究”、“数学建模”等活动，以吸引很多学生来参加，有效地促进数学教学质量的提高，学生的应用能力也得到很好地培养.8 给学生介绍数学在现实社会中的广发应用。如数学在四大技术、军事等中的应用，鼓励学生自己去寻找和收集数学应用的情景和实例，开阔他们的视野，逐步发展他们的数学应用意识和能力。4、以实际的教学案例分析说明高中数学新课程的教学观。5、简述四川省高中数学新课程教学的常见策略。教师能否树立正确的数学教学观，掌握合理的数学教学策略是进行课程改革、搞好数学教学的根本保证。新课程倡导的几种常见教学策略有：自学辅导教学法（确定学习目标学生自学自学检查集体讨论教师讲解练习巩固课堂小结）；合作学习教学法（

9、选定课题小组设计课堂交流呈现学习材料提交学习结果）；探究式教学法（创设问题情境界定问题选择问题解决策略执行策略结果评价）。目前我省不少区域或学校在进行新课程理念实验，这些研究在国内都比较前沿而且具有较强的指导性和实用性，这里简要介绍四种具有四川特色的教学模式 （1）数学阅读任务教学：实验区域：成都、绵阳、泸州、达州等.理论支撑：波利亚怎样解题，建构主义，信息加工理论，认知心理学教学策略：构建数学阅读任务教学框架体系，按照认知水平将数学阅读任务分为不同的水平层次，并落实在教与学的过程中. （2）三阶式导学：实验区域：成都高新实验中学理论支撑：加涅的学习理论，认知心理学.所谓“三阶”是指学生学习过

10、程中认知发展的三个阶段：体验与感悟课前自主学习；生成与内化课堂互动参与；反馈与强化课后及时训练. 三阶式导学案倡导先学后教、及时训练、循环归纳、螺旋上升。做到点点清、天天清、段段清。 (3)三段式教学法：实验区域：棠湖中学理论支撑：以激发学习内动力为前提，以强化组织教学为保证，以优化教学程序为重点，以激活课堂互动为关键，以落实学习环节为抓手，以迁移知识能力为目的。 其教学理念为：效益在每一个课时，希望在每一个学生，成功在每一个环节。其教学策略为：从学困生抓起。学生的学习过程分为课前、课中、课后三段 （4）DJP教学模式：实验区域：成都市龙泉区理论支撑：（自主实验研究）DJP教学是指学生利用学案

11、的引导和帮助，在自主学习、探究学习内容，建构知识意义的基础上，通过与同伴的交流、讲解和师生的评析过程，获得对知识的深入理解、数学思想方法的体验与感悟数学活动经验的积累，最终达到学会学习、学会交流、学会思考、学会评价的教与学活动。DJP教学的基本理念是：先学后教，以教促学；先思后启，以启促思；先讲后评，以评促化。DJP教学的基本模式有以下五个环节：示案导学交流讨论精讲评析练习巩固反思拓展。6、 请你谈谈新课程中教师的教学行为将发生哪些变化？新课程要求教师提高素质、更新观念、转变角色，必然也要求教师的教学行为产生相应的变化。教学观念上的转变：（1）由“教”向重“学”转变，学习的主动权交给学生，强调

12、以学生的学为中心。一改传统的学生围绕老师转的课堂氛围，变为学生与学生的互动，学生与老师的互动，有利于发觉学生本身的学习主动性和学习兴趣。（2）教学由重结果向重过程转变。注重过程遵循了学生学习知识时感知概括应用的思维过程，揭示的是知识的发展过程，暴露知识的思维过程，有助于学生在学习过程中锻炼思维。（3）由重模式转变为重个性。提倡个性教学，促进教师教学的创新，增加学生学习的兴趣，提高了学生的主动性。教学方式上的变化|：1、由重“传授”向重“指导”转变。创设丰富的教学情境，信任学生的学习能力，营造一个轻松、宽容的课堂气氛；把学习的主动权交给学生，强调以学生的为中心。2、由学习过程中的提问者变为引导学

13、生的提问者。由学生的指导者变为学生学习的促进者。3、教师要了解并尊重学生的个体差异，鼓励与提倡解决问题策略的多样化。在每个教学环节上要充分考虑学生的需求，尽可能满足不同学生的学习需要。处理人际关系上：1、在对待师生关系上，新课程强调尊重、赞赏，由课堂主宰者变为与学生平等融洽相处的角色，使教师成为学生的交流对象，促进学生身心的健康发展。2、在对待自我上，了解新课程教学基本程序，更新知识结构，领会课程设置方案，掌握新课程教学常见策略，树立正确的数学教学观，并且进行教学反思。3、在对待与其他教育者的关系上，新课程强调合作. 在教育教学过程中，不同年级、不同学科的教师要相互配合，齐心协力地培养学生。家

14、庭教育的重要性是不言而喻的，教师必须处理好与家长的关系，加强与家长的联系与合作，共同促进学生的健康成长。7、 请从宏观层面和操作层面简述新课程实施界面上有什么显著变宏观层面：课程目标：以往的课程目标主要体现的是实用的目的或者是数学学科的要求。而标准提出的这个总目标进一步提高数学素养的要求，而且把个人的发展与社会发展的需要联系在一起。课程结构变化：整体设置九年一贯的课程门类和课时比例，并设置综合课程课程内容：强调基础性，强调数学的本质和对数学整体的认识； 考虑如何更贴近学生的认知规律，促进学生的自主探索与学习；希望能更贴近生活，感受数学的价值； 对现实教学情况的反思。课程实施；教师的知识观、学生

15、观、教学观正在发生变化。教师不仅是课程的实施者，而且也是课程的研究、建设和资源开发的重要力量。教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。为了更好地实施新课程，教师应积极地探索和研究，提高自身的数学专业素质和教育科学素质。课程评价：发挥评价促进学生发展、教师提高和改进教学实践的功能。课程管理：实行国家、地方、学校三级课程管理，增强课程对地方、学校及学生的适应性。操作层面：课程结构变化：必修课程选修课程并行 ，学生可以自主选课 学生学业认定方式变化：以学分制认定评价方式的变化： 发展性评价、多元化评价。对于许多问题我们很难用一张试卷、用一个量化的分数去衡量学生。因此，数学教

16、学评价构建应着眼于目标多元化；定性与定量相结合，口头与书面相结合，课内与课外相结合，结果与过程相结合。需要注意考试、测验等定量评价仍然是评价学生数学学习的十分有效的手段，但测试题目应该有所变化、有所改革、有所创新，改变那种“已知求证”、“已知求解”的单一的问题模式。测评试题要力求使问题与学生的生活经验、社会生活实际联系起来，拓宽测评内容的背景，创造性地建立知识之间的联系，创设好的问题情境，突出对数学本质的理解。8、从若干方面论述教师知识结构对于高中数学课程标准的适应性问题新课标对教师的知识结构提出了新的要求，数学教师应更新知识结构，以适应高中数学课程标准。一、教师一定要认真研读新课标，加强对新

17、课程改革理念的学习。二、新课程增加了许多反映社会经济文化科技新进展、时代性较强的新内容。这就要求教师通过各种渠道不断学习，及时更新自己的知识结构。三、教师应注意通过报刊杂志、互联网、电视媒体、集中进修和培训、参加研讨会等各种渠道不断学习，尽量将新课程理念和目标内化为自己的教育信念和教育追求。四、新教材强调课程综合化，强调各科之间的沟通与综合，这就要求教师增加跨学科综合知识，全面拓展个人的各方面修养，淡化自己的学科角色。五、新教材强调充分利用现代网络技术，因此教师应熟练的掌握一些现代信息技术知识。总之。作为一名教师，应该根据时代的要求不断的完善自己的知识结构，提升自己的综合素质，以适应课程改革的

18、变化。9、 评价学生在数学建模中的表现时，评价内容应关注哪几个方面？新课标要求课程评价不仅要关注学生的学习结果，更要关注学生在学习过程中的发展和变化。数学建模选修课的目的主要是培养学生的学习能力、 提高他们的创新意识。故在评价学生在数学建模中的表现时， 要重过程、重参与，不要苛求数学建 模的严密性、结果的正确性。1 、 科学性。 建模过程中使用的数学方法是否得当， 求解过程是否合乎常理。 2、 创新性。 问题的提出和解决的方案是否充分发挥了学生的主观能动性，新意。 3、 合作性。 学生在数学建模中是否采取了各种合作方式解决问题， 养成与人交流的习惯， 并获得良好的情感体验。 4、 真实性。建模

19、的结果是否是学生本人参与制作的， 数据是否是真实的。 5、 实效性。 建模的结果是否具有一定的实际意义。 6、 坚韧性。 数学建模往往是一个分组合作的、 愉快的过程， 但它仍然要求学生专心致志， 付出艰苦的努力。 所以是否每一位同学的学习品质在这个过程中都得到了令人满意的提高也 是我们的一个重要方面。1认真观察数学与日常生活和其他学科的联系2积极体验数学在解决实际问题中的价值和作用3自觉养成应用数学知识解决实际问题的意识，增强综合应用能力4积极查询资料，认真分析数据，撰写建模活动报告 以上几个方面不必追求全面，只要有一项做得比较好就应该予以肯定。对数学建模的评价可以采取答辩会、报告会、交流会等

20、形式进行，通过师生之间、学生之间的提问交流给出定性的评价，应该特别鼓励学生工作中的“闪光点”。数学建模报告及评价可以记入学生成长记录，作为反映学生数学学习过程的资料和推荐依据。对于学生中优秀的论文应该给予鼓励，可以采取表扬、评奖、推荐杂志发表、编辑出版、向高等学校推荐等多种形式。10、 你能否理解代数中的模式直观，以实例说明。11、 高中数学新课程设置的原则是什么？必修课程内容确定的原则是：满足未来公民的基本数学需求，为学生进一步的学习提供必要的数学准备。必修课程的5个模块,包括集合、基本初等函数、立体几何初步、平面解析几何初步、算法、统计、概率、平面上的向量、三角恒等变换、解三角形、数列、不

21、等式等内容。这些内容对于所有的高中学生来说,无论是毕业后直接进入社会,还是进一步学习有关的职业技术,或是继续升大学深造,都是非常必要的基础。选修课程内容确定的原则是：选修课程内容确定的原则是：为学生进一步学习、获得较高数学修养奠定基础；满足学生的兴趣和对未来发展的愿望；给将来发展方向不同的学生提供更宽泛、更进一步的基础。选修系列1是为准备在人文、社会科学方面发展的学生设置的；选修系列2是为准备在理工、经济方面发展的学生设置的12、 为什么必修5个模块按照1、4、5、2、3顺序更合理？我们近年考查过不少新课程实验区的相关学校，多数地区新课程数学必修5个模块按照1-4-5-2-3的顺序开设。深究之

22、，有如下理由。一、通过研究，我们认为高中数学新课程必修与选修IA(即必修模块之数学1数学5及选修系列1（文）和选修系列2（理）)的主干知识由函数主线、几何主线、概率与统计主线和算法主线这四条主线构成。数学1、数学4、数学5主要是函数主线基础，数学2是高中几何主线基础，数学3是高中概率与统计主线基础和算法主线基础。按照1-4-5-2-3的开设顺序更接近现行教材的逻辑体系，从操作层面降低了新课程实施的难度。（二）新课程数学必修5个模块按照1-4-5-2-3的开设顺序更符合学生的认知水平和规律，更有利于学生主动构建知识体系，降低学生的学习成本。(三)虽然新课程数学必修5个模块按照1-2-4-5-3等

23、顺序开设也有合理性，但多年教学一线的经验表明，对优生而言可能无所谓，但对大面积中等生而言，数学1的函数知识学习后接着学习数学2的几何，再学数学4和数学5的函数相关知识时，又要费很大的力气去复习数学1的函数基础。在高中普遍扩招的前提下，学生学习能力的普遍下降是有目共睹的事实，因此顺序学习函数、几何、算法、统计与概率是降低教学成本、提高教学质量的有效选择之一。13、 试述高中数学新课程的框架和内容结构的特点。框架：高中数学课程分必修课与选修课。必修选修I选修II数学1数学2数学3数学4数学5选修IA选修IB校本课程人文方向：选修1-1、选修1-2理工方向：选修2-1、选修2-2与2-3人文方向：选

24、修系列3、系列4理工方向：选修系列3、系列4备注选修IA为学校必须开设的、修习人文方向或理工方向的学生按各科目要求必须修习的模块；选修IB为各学科课程标准规定的供学生进一步发展、自主选择修习的模块。选修II为校本课程。新课标之下的数学课程的内容特点：1、强调基础性。高中教育属于基础教育, 它包括两个方面的含义: 第一, 在义务教育阶段之后, 为学 生适应现代生活和未来发展提供更高水平的数学基础, 使他们获得更高的数学 素养; 第二, 为学生进一步学习提供必要的数学准备。必修系列课程是为了满足所有学生的共同数学需求; 选修系列课程是为了满足学生的不同数学需求, 它仍然是学生发展所需要的基 础性数

25、学课程。 2、高中数学课程应具有多样性与选择性, 使不同的学生在数学上得 到不同的发展。 高中数学课程应为学生提供选择和发展的空间, 为学生提供多层 次、 多种类的选择, 以促使学生的个性发展和对未来人生规划的思考。 学生可以 在教师的指导下进行自主选择, 必要时还可以进行适当的转换、 调整。 同时,高中数学课程也应给学校和教师留有一定的选择空间, 他们可以根据学生的基本 需求和自身条件, 制订课程发展计划, 不断地丰富和完善供学生选择的课程。3、设置了数学探究、 数学建摸、 数学文化的内容。 此类内容不设专门章节,而是渗透到各章节、 各模块内容中。强调数学的本质和对数学整体的认识。4、更贴近

26、学生的认知规律，促进学生的自主探索与学习。5、更贴近生活，感受数学的价值，也是对现实教学情况的反思。14、 简述高中数学课程标准在课程目标上的新变化。高中数学课程的总体目标 ：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步获得作为未来公民所需要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。以往的课程目标或者主要体现的是实用的目的，如就业、升学；或者主要体现的是数学学科的要求。而标准提出的这个总目标不仅有对个人在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高数学素养的要求，而且把个人的发展与社会发展的需要联系在一起。具体目标：1.在知识技能领域：理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背

27、景，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。通过自主学习、探究活动等不同形式的学习方式体验数学发现和创造的历程。2.在数学思维、解决问题的能力以及数学意识培养等方面：（1）提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。（2）提高数学地提出、分析和解决问题（包括实际应用问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。（3）发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断。3.在情感、态度、价值观等方面：（1）提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。（2）具有一定的数学视野，逐步

28、认识数学的应用价值、科学价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。15、 选择中学数学课程中的某一具体内容，以此内容完成一项探究性教学设计，并对你的教学设计进行简单的点评分析。新课标增加“探究性课题”这一版块，这足以说明培养学生的探究能力是非常重要的。“问题是数学的心脏”，问题探究式教学就是以问题为主线，引导学生主动探究，建构知识，体验数学发现和建构过程。情境性教学，引导学生体验，有目的地创设或引入与教学相呼应的具体场景或教学资源，以引起学生情感的体验，激发学生更主动地学习。下面我将记述一节由问题探究与情境性教

29、学交互使用的教学过程。如“无穷递缩等比数列求和”是在学生学习了数列及数列极限等知识的基础上提出来的，它与数列、方程、函数和极限等知识有内在的联系，能与实际生产和生活中的问题相结合，但是，学生对无穷数列各项和，有限到无限的思想方法，以及用极限的方法去解决实际问题还缺少思想基础，因此，我在设计这一节课时，设计情景，提出问题，通过实际问题、具体问题，以引起学生情感体验，引导学生学会建构、探究，最终达成教学目标。 1. 教材分析：本节课题取材于人教版普通高中数学第三册（选 修）第二章“数列”阅读材料- - - - 无穷等比数列的和，其主要内容是无 穷递缩等比数列的求和公式 及简单应用。教材在 前面已介

30、绍了数列的有限项的和，利用极限这个工具，不难将有限和转化到“无限和”。 这样引伸，既符合学生的认知规律，也有助于加深体会从有限认识无限、从已知认识未知、 从近似认识精确的极限思想。本课内容蕴涵着丰富的数学思想方法和广泛的实际应用，对 于开扩学生思路，激发学习数学的兴趣，都能起到较好的作用。 新编教科书增加“阅读材料”，不仅是为了扩展学生的知识，培养学生学习数学的兴 趣，更重要的是为了充分展现数学的科学价值和人文价值。如何指导学生自学阅读并深入 研究，最大限度地发挥其功能，是教师应该认真思考和对待的问题。2、学情分析：无穷递减等比数列及其他无穷数列的求和问题，束腰用到数列求和方法、等比数列求和公

31、式、数列极限的概念及运算法则等知识。通过学习、总结、探究和反思。挖掘较高层次的知识，完善学生知识结构，符合“源于教材，高于教材”的教学原则。3、教学目标 知识与技能：理解数列的前n项和与所有的和的区别和联系，掌握无穷等比递缩数列求和公式的推导。能利用公式解决一些简单的问题。 过程与方法：在学习过程中进一步提高学生的阅读能力、观察能力、归纳能力。 情感态度与价值观：培养学生勇于探究敢于质疑的精神，在解题数学中揭示生活哲理，体会数学的人文价值，丰富学生的人文素养。 4、重难点： 本课的重点是通过问题的探讨和公式的推导及应用，培养学生掌握运用在获取数学 知识中的重要数学思想方法，体会数学的价值；难点

32、是引导学生进行思维创新，在不断探 索中发现问题、解决问题；关键是创设问题情景，激发学习兴趣，把教学过程设计为一个 实践探索的过程。 5、设计思想：本课设计的指导思想是着眼于提高学生的学习自觉性和学习数学的能力，充分展现数 学的人文价值，增强课堂教学的启发性和探究性，改变传统的“灌输式”学习模式，采用 学生动手、讨论、探索，教师指导尝试的方法，通过故事引入、小组合作、交流讨论、阅 读材料、自编习题、归纳分析等多种形式，发挥学生的主体作用，精心设计，创造良好情 景，去深入体会数学中的一些重要思想方法和数学的文化价值，提高学生的思维品质和学 习能力。 6、教学过程：（一）设计情境提出问题问题1：如果

33、不停地往一只空箱子内放东西，箱子会满吗？为什么?这问题表面上看是一个游戏，事实上，它隐含着无穷数列各项和知识，有一定的趣味和魅力，能引起学生的思考，不同层次的学生都有发言权，也不乏味，有能力发展点、个性和创新精神培养点，学生从实际背景出发，通过动脑思考，动手操作，动口说明，能经历从抽象表示到符号变换和检验应用全过程，能培养学生的数学建模能力。（二） 自主探究感知问题我提示学生用数学眼光去看上述问题，即将上述问题转化为数学模型,然后让学生展开讨论。（三） 合作交流形成共识（1）问题1的讨论结果：S1：箱子即使很大也会满，因为，设第一次放入的量为a1, 第二次放入的量为a2,设第n次放入的量为an

34、，,则a1a2a3an可能很大，总能放满箱子。S2：箱子即使很小也不会满，因为，设第一次放入的量为a1, 第二次放入的量为a2,第n次放入的量为an ，,则a1a2a3an可能也很小。（2）引导学生对问题进行探究，构建数学模型问题2：你能尽可能多地举出箱子不会满的例子吗？S3：把一支粉笔的一半放入空箱子中去，剩下粉笔的一半再放入空箱子中去，如此下去，放入空箱子中的充其量也只有一支粉笔，不会满，其数学模型是：aaa=a(a是粉笔的长)S4：把一杯水的倒入空容器中去，剩下水的再倒入空容器中去，如此下去，倒入容器中的只有一杯水，也不会满，其数学模型是：bbb=b(b是一杯水)问题3：你能否将S3与S

35、4这类问题一般化？若设第一次放入空箱子中去的量为a1，第二次放入空箱子中的量为a2，第n次放入空箱子中去的量为an，数列an有何特点？同学们得出结论：数列an是等比数列，也是递减数列，且项数无穷的。接着再让学生自主研究无穷递缩等比数列的定义，并判定数列an是否为无穷递缩等比数列？再进一步思考无穷递缩等比数列是否一定是递减数列？总结无穷递缩等比数列的几个特征，加深对概念的理解。（3）Sn与S的关系问题4：当|q|1,qn=a1qn,可以证明，当n时，an0(让学生课后证明)请学生思考：若设数列an前n项和为Sn，所有项的和为S，运用极限的思想，你能否发现Sn与S的关系？讨论结果：S=limSn（

36、4） 求无穷递缩等比数列的和问题5：怎样求无穷递缩等比数列an的和？Sn=a1a2a3an=,lim Sn=lim因为当|q|1时，limqn=0, 所以S= lim Sn=我这时就说：好！我们通过自主探索与合作交流，得出了无穷递缩等比数列的求和公式：S=（|q|1）（5）公式的应用通过应用交流，使学生加深对公式的认识，体验了数学模型化思想，让学生在交往中学习数学。（四）总结反思共同创新本课我们运用情景化、问题形象化、探究化等数学方法，将游戏问题转化为数学模型无穷递缩等比数列的和。为了概括所学内容的逻辑结构，提炼思想观点，引导学生创新，教学全过程概括为：具体问题数学模型解决实际问题。由此课例，

37、不难看出，问题式、情景式教学交互设计，促进了学生形象思维和抽象思维的相互补充、相互促进，这种设计以培养兴趣为前提，以指导观察思考为基础，以发展思维为重点，以自主探究、合作交流为手段，让学生在感情体验中真正地用“心”去学习。数学本身是为人的，是开放的，是丰富多彩的，一句话，数学是为人所用的。而这一事例生动地告诉我们，作为数学老师，不同的教育观念、不同的思想方法会有不同的数学思路和教学方法，学生会有不同的发展结果，只要我们用心地去备好每一节课，设计得当的教学程序，我们的学生将会把数学掌握得更好，我们的数学教学将会更好地服务于社会。16、 下面列举5个长期困扰中小学学生和教师的数学问题，请选择其中两

38、个加以分析研究，讨论如何在数学课程中更加恰当地解决此类问题，以教师教学中的探究引导学生进行数学问题的探究与思考。（1）为什么1.2+1.3=2.5而?（2）为什么“负负得正”？（3）为什么0.9991不正确？（4）算术运算中为什么“先做乘除而后做加减” ？（5）虚数单位i=还是i=？答：因为数学教学过程中存在心理学方面的问题。至少在不少幼童心里存在这样的直接想法：1.2+1.3=2.5，说明加法总是将同类的对象相加，为什么分数的加法违背大多数加法法则，不是把分子与分子、分母与分母这种同类东西相加，而是另外使用一套非常难以想象的复杂法则呢？我们不能把这样的问题看得过分简单，可以强调分数加法自有一

39、套法则，但是初学者心里难以将这样复杂而违背常规的法则转化为自己心里的直观形象。下面是对于“通分”法则的解释：首先观察带分数的减法。如果将小数看成十进制分数，那么是27-进位制的分数，同样是14-进位制的分数，而是7-进位制的分数。小数加减法只有当进位制相同时才能进行。在这样的理解之下，分数运算与小数运算具有统一的法则。而“为什么1.2+1.3 = 2.5而 ？”的问题就迎刃而解了。“通分”就是把不同进位制的分数化为相同进位制的分数，然后再进行运算。古埃及人十分重视，这类分数，把此类分数称为“分数单位”，实际上分数的运算是又“分数单位”决定的，“分数单位”也是分数的“位值”，自然地，不同位值的两

40、个数无法简单地进行运算。上面的解释表面上看起来好象不涉及心理学问题，但是“位值制”概念是比较直观的概念，例如：（苹果）+（香蕉）难以进行简单的运算，其主要的困难就在于被加的对象没有等同的“位值”。对于初学者来说，普通概念是他接受专业概念与专业法则的基础。因此，简单地重复法则无法使学生摸去“心里的错误”。教师纠正错误的第一步是让学生先做下面的问题：教师心里必须明白，在各种各样的分数中有举足轻重的作用，特别是儿童，在儿童心目中分数是抽象的，但是是个例外，是一个最富有形象的分数。注意到这一点会对分数的教学有极大的帮助。所以，小学生学习分数，第一步学的不应该是，而应该是。虽然从表面上看起来这两个分数加

41、法运算没有太大的区别，但这仅仅是成年人的想法，儿童没有这样的心理。只要有每次吃半个苹果经历的儿童都不难接受的运算法则，但是与一样难。第二步还到不了做的地步，应该通过适当的反复，尝试反复做，,这类问题，通过同分母（不是一般的同分母运算，而是同分母的单位分数运算）的运算让学生首先注意到的不是抽象的分数运算法则，而是单位分数（即）的重要概念。与相仿，单位分数在分数中处于独特的地位。单位分数的运算基本上接近整数的运算，在儿童的心目中“形象”比较清晰。几何形象也许是帮助儿童解决心理困惑的工具。下面我们摘录一段著名的美国数学家David Mumford（1937，哈佛大学教授，1974获菲尔兹奖，1995

42、1999任国际数学家联盟主席）讨论大学微积分课程改革的一篇论文（载美国数学会刊物Notices of AMS，1997第44卷）中对数学课程中“公理证明”与“图形直观”的看法和意见，Mumford说：“通常图形是促进交流的办法，在小学里，当你接受1/(1/n)=n时，你可能像我一样困惑。当然，现代教科书中程度不同地摆弄公理的办法去证明这一公式，但是用下面的对比图形不是一样清楚吗。（参见下图）”总共6块饼，每人2块，可以分给几个人？6/2=3.结论：6包含3个2总共1块饼，包含几个1/4块？结论：1包含4个1/4，因此1/(1/4)=4Mumford评论：“介绍一个实例，观察一个图形，导出一个解

43、释，难道不比去介绍形式化证明更好吗。”2）为什么“负负得正”？答：“有理数负负得正法则”教学设计” 在初中数学课堂教学中，与教科书中呈现有理数乘法法则的基本模式相对应，“负负得正法则”的教案设计方式通常有“变号法则模式”、“运动模式”以及“合情推理模式”三种基本模式，而且，分别对应于当前使用率最高的三套初中数学课程标准实验教科书的相应版本：设计方式之一：变号模式首先，将本节课的教学目标拟定为：培养学生观察、归纳、猜想、验证的能力和质疑的意识；理解并初步掌握有理数乘法法则及其运算律，会正确运算。其次，将教学环节拟定为如下三个环节：导入：根据乘法的意义，由“正数乘法2+2+2+2=24=8”引入被

44、乘数是负数的乘法，进而提出问题：（2）（4）、2（4）意义何在？得数是多少？新授内容：探究：先给出一组式子： 428； 326； 224；122.即正正正。然后，让学生按照规律继续往下写，得出：（4）28； （3）26；（2）24； （1）22.即负正负。对比两个方阵，得出规律：两数相乘，若其中一个数变成它的相反数，则它的积也变成原来积的相反数。 建立模型：在默认有理数乘法满足乘法交换律的前提下，利用上述规律，推出“负负、正负、正0、负0、0正、0负”等几种类型的算式，并结合上面的两个方阵，让学生观察、对比、归纳，得出有理数乘法法则。巩固、强化：出示练习，在此基础上得出乘法运算律在有理数范围内

45、同样适用。设计方式之二：合情推理模式首先，将本节课的教学目标拟定为：经历有理数乘法法则的推导过程，会运用有理数乘法法则进行运算；掌握有理数乘法的交换律。其中，法则的推导过程是教学的重点，而其中“负有理数乘负有理数”则是教学的难点。在导入新课的环节中，教师通过让学生回忆小学学过的四种类型的乘法，即“正有理数乘正有理数，正有理数乘0，0乘0，0乘正有理数”，从而引导学生讨论引进有理数之后还应该学习哪些类型的乘法，即“负有理数乘负有理数，负有理数乘0，0乘负有理数，正有理数乘负有理数，负有理数乘正有理数”。当学生归纳发现还有以上四种类型的乘法需要研究时，教师很巧妙地引出学习有理数乘法法则的重要意义。

46、在“合情推理的过程”教学环节，任课教师认为，这个环节主要是学生在教师的引导下寻求有理数乘法的规律，主要解决“正有理数乘负有理数，0乘负有理数，负有理数乘负有理数，负有理数乘正有理数”等问题。因而，教师通过逐步分析四种新类型的有理数乘法，再加上小学学过的四种类型，也就是把有理数乘法的所有类型都进行了梳理，这就为下一步归纳总结有理数乘法法则的规律做好铺垫。在“总结规律”的环节中，进行完八种类型的乘法推理之后，顺理成章地得出需要寻找一种更加简便的法则，以便于指导今后的运算，进而引导学生自己总结出有理数乘法的法则，总结出“确定积的符号与积的绝对值”的要点。在“例题讲解、巩固练习”阶段，教师没有给学生讲

47、解“乘积为1的两个有理数互为倒数”这一小规律，而是把乘法交换律加入到有理数的乘法法则这节课中来。设计方式之三：运动模式本节课的教学目标为：培养学生观察、归纳、猜想、验证的能力和质疑的意识；理解并初步掌握有理数乘法法则及其运算律，会正确运算。教学过程包含三个环节： 导入：首先利用一个有关运动的现实情景，借助数轴研究有理数的乘法（+2）（+3）=？，（-2）（+3）=？，（+2）（-3）=？，（-2）（-3）=？四个问题，借助现实意义得出有关的结果（而不是利用有理数乘法的意义得出结果）。 新授内容： * 观察、分析、归纳四个算式（+2）（+3）=+6，（-2）（+3）=-6，（+2）（-3）=-6，（-2）（-3）=+6，进而引出有理数乘法的一般法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。* 通过如下例子说明如何运用有理数乘法法则进行计算：（5）（-3）；（5）（+4）；（