2010全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高二级）.doc

1、2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高二年级）说明：1评阅试卷时，请依据本评分标准填空题只设8分和0分两档；第9小题4分一档，第10、11小题5分为一个档次。请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。） 1数列满足：，且记前项的和为，则 89 2在中，已知的平分线交AC于K若BC=2，CK=1，则的面积为 3设，则使得的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数为 98 4在小于20的正整数中，每次不重

2、复地取出3个数，使它们的和能被3整除，不同的取法种数为 327 5若均为正实数，且，则的最小值为 6设椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上异于长轴端点的一点，的内心为I，则7对于一切，不等式恒成立，则实数的取值范围为8将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 26 二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9已知数列中，且（1）求数列的通项公式；（2）求证：对一切，有解 （1）由已知，对有 ，两边同除以n，得 ，即 ， 4分于是， 即 ，所以 ，又时也成立，故 8分（2）当，有，1

3、2分所以时，有又时，故对一切，有 16分10设，求使为完全平方数的整数的值解 所以，当时，是完全平方数 5分下证没有其它整数满足要求（1）当时，有，又，所以，从而又，所以此时不是完全平方数 10分（2）当时，有令，则，即，所以 ，即 解此不等式，得的整数值为，但它们对应的均不是完全平方数综上所述，使为完全平方数的整数的值为10. 20分11已知直线与椭圆C：交于两点，过椭圆C的右焦点、倾斜角为的直线交弦于点，交椭圆于点（1）用表示四边形的面积；（2）求四边形的面积取到最大值时直线的方程解 （1）直线的倾斜角为，记，则，而与所成的角为，则四边形面积5分而，A点坐标为，且，从而，其中或10分 （2）记，而只可能在时才可能取到最大值对求导数得到：令，则有 15分化简得到 所以 而 无实根，则经检验，符合故所求直线的方程为： 20分