1、2.3 直线的交点坐标与距离公式2.3.1两条直线的交点坐标例1 求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：l1:3x+4y-2=0,l2:2x+y+2=0.解：解方程组3x+4y-2=0,2x+y+2=0,得x=-2,y=2.所以，l1与l2的交点是M(-2,2)（图2.3-1）图2.3-1例2 判断下列各对直线的位置关系如果相交，求出交点的坐标：（1）l1:x-y=0，l2:3x+3y-10=0；（2）l1:3x-y+4=0，l2:6x-2y-1=0；（3）l1:3x+4y-5=0，l2:6x+8y-10=0分析：解直线l1，l2的方程组成的方程组，若方程组有唯一解，则l1与l2相交，此解就是
2、交点的坐标；若方程组无解，则l1/l2；若方程组中的两个方程可化成同一个方程，则l1与l2重合解：（1）解方程组x-y=0,3x+3y-10=0,得x=53,y=53.所以，l1与l2相交，交点是M53,53（2）解方程组3x-y+4=0,6x-2y-1=0,2-得9=0，矛盾，这个方程组无解，所以l1与l2无公共点，l1/l2（3）解方程组3x+4y-5=0,6x+8y-10=0,2得6x+8y-10=0和可以化成同一个方程，即和表示同一条直线，l1与l2重合 练习1求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：（1）l1:2x+3y=12，l2:x-2y=4；（2）l1:x=2，l2:3x+2y-
3、12=0【答案】（1）交点坐标为367,47，图形见解析；（2）交点坐标为2,3，图形见解析.【分析】（1）联立两直线的方程，可得出交点坐标，并作出图形；（2）联立两直线的方程，可得出交点坐标，并作出图形.【详解】（1）联立2x+3y=12x-2y=4，解得x=367y=47，交点为A367,47，如下图所示：（2）联立x=23x+2y-12=0，解得x=2y=3，交点为B2,3，如下图所示：2判断下列各对直线的位置关系如果相交，求出交点的坐标：（1）l1:2x-3y=7，l2:4x+2y=1；（2）l1:2x-6y+4=0，l2:y=x3+23；（3）l1:2-1x+y=3，l2:x+2+1
4、y=2【答案】（1）相交，1716，-138；（2）重合；（3）平行【分析】（1）联立2x-3y=74x+2y=1，解得即可；（2）l1：2x6y+40化为y=13x+23与直线l2方程相同；（3）l1与l2的方程都化为斜截式，即可判断出【详解】（1）联立2x-3y=74x+2y=1，解得x=1716，y=-138，其交点为1716，-138（2）l1：2x6y+40化为y=13x+23与直线l2重合；（3）l1：（2-1）x+y3，化为y（1-2）x+3；l2：x+（2+1）y2化为y（1-2）x+22-1，两条直线的斜率相等而在y轴上的截距不等l1/l23直线l经过原点，且经过直线2x-2
5、y-1=0与直线6x-4y+1=0的交点，求直线l的方程【答案】4x-3y=0【分析】经过直线2x-2y-1=0与直线6x-4y+1=0的交点的直线可设为： 2x-2y-1+6x-4y+1=0，把O0,0代入求出，即可得到直线方程.【详解】经过直线2x-2y-1=0与直线6x-4y+1=0的交点的直线可设为：2x-2y-1+6x-4y+1=0把O0,0代入，得：-1+=0，解得：=1，所以，所求的直线方程为：4x-3y=0.2.3.2两点间的距离公式例3 已知点A(-1,2)，B(2,7)，在x轴上求一点P，使|PA|=|PB|，并求|PA|的值解：设所求点为P(x,0)，则|PA|=(x+1
6、)2+(0-2)2=x2+2x+5，|PB|=(x-2)2+(0-7)2=x2-4x+11由|PA|=|PB|，得：x2+2x+5=x2-4x+11解得x=1所以，所求点为P(1,0)，且|PA=(1+1)2+(0-2)2=22例4 用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍分析：首先要建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系证明：如图2.3-4，四边形ABCD是平行四边形以顶点A为原点，边AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系 图2.3-4在ABCD中，点A的坐标是(0,0)，设点B的坐标为(a
7、,0)，点D的坐标为(b,c)，由平行四边形的性质，得点C的坐标为(a+b,c)由两点间的距离公式，得|AC|2=(a+b)2+c2，|BD|2=(b-a)2+c2，|AB|2=a2，|AD|2=b2+c2所以|AC|2+|BD|2=2a2+b2+c2，|AB|2+|AD|2=a2+b2+c2所以|AC|2+|BD|2=2|AB|2+|AD|2，即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍 练习4求下列两点间的距离：（1）A6,0，B-2,0；（2）C0,-4，D0,-1；（3）P6,0，Q0,-2；（4）M2,1，N5,-1【答案】（1）8；（2）3；（3）210；（4）13【分
8、析】（1）（2）（3）（4）直接利用两点的距离公式求解；【详解】（1）|AB|6+28；（2）|CD|1+43；（3）|PQ|=62+22=210；（4）|MN|=(2-5)2+(1+1)2=135已知Aa,-5与B0,10两点间的距离是17，求a的值【答案】8【分析】直接利用两点间距离公式即可求解【详解】因为Aa,-5与B0,10两点间的距离是17，所以(a-0)2+(-5-10)2=17，解得：a86用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等【答案】证明见解析.【解析】建立平面直角坐标系，设A0,a，Bb,0，得到AB 的中点C的坐标为a2,b2，然后用两点间的距离分别求得C
9、A，CB，CO即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设A0,a，Bb,0，则AB 的中点C的坐标为a2,b2. CA=b2-02+a2-a2=a2+b22，CB=b2-b2+a2-02=a2+b22，CO=b2-b2+a2-02=a2+b22 CA=CB=CO，即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等.2.3.3点到直线的距离公式例5 求点P(-1,2)到直线l:3x=2的距离分析：将直线l的方程写成3x-2=0，再用点到直线的距离公式求解解：点P(-1,2)到直线l:3x=2的距离d=|3(-1)-2|32+02=53例6 已知ABC的三个顶点分别是A(1,3)，B(3,1)，C(
10、-1,0)，求ABC的面积分析：由三角形面积公式可知只要利用距离公式求出边AB的长和边AB上的高即可解：如图2.3-7，设边AB上的高为h，则SABC=12|AB|h|AB|=(3-1)2+(1-3)2=22边AB上的高h就是点C到直线AB的距离边AB所在直线l的方程为y-31-3=x-13-1，即x+y-4=0点C(-1,0)到直线l:x+y-4=0的距离h=|-1+0-4|12+12=52因此，SABC=122252=5图2.3-7 练习7求原点到下列直线的距离：（1）l:3x+2y-26=0（2）l:x=y【答案】（1）213（2）0【分析】直接代入点(x0,y0)到直线ax+by+c=
11、0的距离公式d=ax0+by0+ca2+b2即可.【详解】（1）d=0+0-2632+22=213，（2）直线l:x=yx-y=0，则d=0-012+12=08求下列点到直线的距离：（1）A(-2,3)，l:3x+4y+3=0；（2）B(1,0)，l:3x+y-3=0；（3）C(1,-2)，l:4x+3y=0【答案】（1）95；（2）0；（3）25【分析】由点到直线的距离公式对各小题进行计算即可.【详解】（1）d=-23+34+332+42=95；（2）d=13+0-332+12=0；（3）d=41+3(-2)32+42=25；9已知点P-1,2到直线l:4x-3y+C=0的距离为1，求C的值
12、【答案】15或5【分析】直接利用点到直线距离公式列方程求解即可.【详解】点P-1,2到直线l:4x-3y+C=0的距离为1=-4-6+C42+32，即25=C-102，故C=105，即C=15或C=52.3.4两条平行直线间的距离例7 已知两条平行直线l1:2x-7y-8=0，l2:6x-21y-1=0，求l1与l2间的距离分析：在l1上选取一点，如l1与坐标抽的交点，用点到直线的距离公式求这点到l2的距离，即l1与l2间的距离解：先求l1与x轴的交点A的坐标容易知道，点A的坐标为(4,0)点A到直线l2的距离d=|64-210-1|62+212=23353=2315953所以l1与l2间的距
13、离为2315953例8 求证：两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离为d=C1-C2A2+B2分析：两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离证明：在直线Ax+By+C1=0上任取一点Px0,y0，点Px0,y0到直线Ax+By+C2=0的距离就是这两条平行直线间的距离，即|d=Ax0+By0+C2A2+B2因为点Px0,y0在直线Ax+By+C1=0上，所以Ax0+By0+C1=0，即Ax0+By0=-C1，因此d=Ax0+By0+C2A2+B2=-C1+C2A2+B2=C1-C2A2+B2练习10求下列两条平行直线间的距离：（1）l
14、1:2x+3y-8=0，l2:2x+3y+18=0；（2）l1:3x+4y=10，l2:3x+4y=0【答案】（1）213；（2）2【分析】根据平行线的距离公式分别求解即可.【详解】（1）d=-8-1822+32=213；（2）d=-10-032+42=211已知两条平行直线l1:3x-4y+6=0与l2:3x-4y+C=0间的距离为3，求C的值【答案】21或-9【分析】直接利用两平行线之间的距离公式列方程，解方程即可求解.【详解】因为两条平行直线l1:3x-4y+6=0与l2:3x-4y+C=0间的距离为3，所以d=6-C32+-42=3，解得C=21或C=-9，所以C的值为21或-9.12
15、如图，已知直线l1:x-2y+1=0与直线l2:x-2y+4=0，在l1上任取一点A，在l2上任取一点B，连接AB，取AB的靠近点A的三等分点C，过点C作l1的平行线l3，求l1与l3间的距离【答案】55【分析】过A做ADl2于D，交l3于E，根据三角形相似及题干条件，可得AEAD=ACAB=13，利用两平行线间距离公式，可得l1与l2间的距离AD，进而可求l1与l3间的距离AE.【详解】过A做ADl2于D，交l3于E，如图所示：因为l1l2l3，且由题意得ACAB=13，所以RtABDRtACE，所以AEAD=ACAB=13，又直线l1与l2间的距离AD=1-412+(-2)2=355，所以
16、求l1与l3间的距离AE=13AD=55.习题2.3复习巩固13判断下列各对直线的位置关系如果相交，求出交点的坐标：（1）l1:2x-y+7=0，l2:x+y=1；（2）l1:x-3y-10=0，l2:y=x+53；（3）l1:3x-5y+10=0，l2:9x-15y+30=0；【答案】（1）两直线相交，交点-2,3；（2）平行；（3）重合【分析】分别求出直线的斜率，判断斜率是否相等，不相等再将直线方程联立解方程组求交点即可.【详解】（1）l1:2x-y+7=0，kl1=2 l2:x+y=1，kl2=-1，此时kl1kl2，所以两直线相交，2x-y+7=0x+y=1 ，解得x=-2，y=3，所
17、以两直线的交点为-2,3.（2）l1:x-3y-10=0，kl1=13，l2:y=x+53，kl2=13，所以kl1=kl2，所以两直线平行；（3）l1:3x-5y+10=0，kl1=35l2:9x-15y+30=0，kl2=35，且l1:3x-5y+10=0可化为9x-15y+30=0，故两直线重合.14求满足下列条件的直线的方程（1）经过两条直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0交点，且垂直于直线3x-2y+4=0；（2）经过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点，且平行于直线4x-3y-7=0；【答案】（1）2x+3y-2=0；（2）4x-3y-6=0.【分析】（1）联立
18、两直线方程求得两直线交点，由直线与直线3x-2y+4=0垂直求得斜率，代入直线方程的点斜式得答案；（2）联立两直线方程求得两直线交点，由直线与直线4x-3y-7=0平行求得斜率，代入直线方程的点斜式得答案【详解】（1）联立2x-3y+10=03x+4y-2=0，解得x=-2y=2，所以，两条直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点为-2,2，又直线3x-2y+4=0的斜率为32，故所求直线方程为y-2=-23x+2，即2x+3y-2=0；（2）联立2x+y-8=0x-2y+1=0，解得x=3y=2，所以，两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点坐标为3,2，又直线4x-3y-
19、7=0的斜率为43，故所求直线方程为y-2=43x-3，即4x-3y-6=0.15已知A(1,2)，B(2,0)，M(1,0)，N(-4,0)，P(0,3)，Q(-1,1)六个点，线段AB，MN，PQ能围成一个三角形吗？为什么？【答案】不能，原因见解析.【分析】分别计算出AB，MN，PQ，从而可得AB+PQMN，进而可得结果.【详解】依题意得AB=(1-2)2+(2-0)2=5，MN=(1+4)2+(0-0)2=5，PQ=(0+1)2+(3-1)2=5，因为AB+PQ=250)，则AB2+AC2=(m+a)2+n2+(m-a)2+n2=2(m2+n2+a2)，AO2+OC2=m2+n2+a2所
20、以AB2+AC2= 2(AO2+OC2)，即证.25已知点Aa,6到直线3x-4y=2的距离d分别为下列各值：（1）d=4；（2）d4求a的值【答案】（1）a2或a=463；（2）a463或a4，解不等式可得【详解】（1）直线方程可化为3x4y20，由点到直线的距离公式可得|3a-46-2|32+(-4)2=4，解得a2或a=463；（2）由点到直线的距离公式可得|3a-46-2|32+(-4)24，解得a463或a226已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等，求a得值【答案】a=-13或a=-79【详解】试题分析：利用点到直线距离公式列出关于a的方程求解即可
21、试题解析：点A(-3,-4),B(6,3)到直线的距离相等，|-3a-4+1|a2+1=|6a+3+1|a2+1,于是|3a+3|=|6a+4|27a2+30a+7=0,a=-13或a=-7927ABCD的四条边所在直线的方程分别是l1:x-4y+5=0，l2:2x+y-8=0，l3:x-4y+14=0，l4:2x+y+1=0，求ABCD的面积【答案】9【分析】先求得点B,C,D坐标，由点D到l1:x-4y+5=0的距离及BC的长即可求得ABCD的面积【详解】由l1:x-4y+5=0，l2:2x+y-8=0，联立求得交点C3,2，由l1:x-4y+5=0，l4:2x+y+1=0，联立得交点B-
22、1,1，由l2:2x+y-8=0，l3:x-4y+14=0联立得交点D2,4，由点D到l1:x-4y+5=0的距离d=2-44+512+-42=91717，BC=3+12+1-22=17，故SABCD=BCd=17917=9.拓广探索28已知为任意实数，当变化时，方程3x+4y-2+(2x+y+2)=0表示什么图形？图形有何特点？【答案】直线，过定点(-2,2)【分析】此方程为过3x+4y-2=0与2x+y+2=0的直线系方程.【详解】因为方程3x+4y-2+(2x+y+2)=0化简得：(2+3)x+(+4)y-2+2=0为任意实数，方程表示直线.因为3x+4y-2=02x+y+2=0x=-2
23、y=2，所以当x=-2y=2，直线3x+4y-2+(2x+y+2)=0恒成立，故直线过定点(-2,2).29已知0x1，0y1（1）求证：x2+y2+x2+(1-y)2+(1-x)2+y2+(1-x)2+(1-y)222，并求使等式成立的条件（2）说明上述不等式的几何意义【答案】（1）证明见解析；（2）边长为1的正方形内任意一点到四个顶点的距离的和不小于两条对角线的和.【分析】（1）作图，利用两点间的距离公式可知|PO|=x2+y2，|PA|=(1-x)2+y2，|PB|=(1-x)2+(1-y)2，|PC|=x2+(1-y)2，利用三角不等式可证|PO|+|PB|+|PA|+|PC|22；（
24、2）根据边长为1的正方形内任意一点到四个顶点的距离和与两条对角线的和的大小关系求解即可【详解】（1）证明：0x1，0y1，设P（x，y），A（1，0），B（1，1），C（0，1），如图：则|PO|=x2+y2，|PA|=(1-x)2+y2，|PB|=(1-x)2+(1-y)2，|PC|=x2+(1-y)2，|PO|+|PB|BO|=2，|PA|+|PC|AC|=2|PO|+|PB|+|PA|+|PC|22 （当且仅当点P为正方形的对角线AC与OB的交点是取等号），即xy=12时取等号x2+y2+x2+(1-y)2+(1-x)2+y2+(1-x)2+(1-y)222（2）对于（1）中不等式，它的几何意义是：边长为1的正方形内任意一点到四个顶点的距离的和不小于两条对角线的和.
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