1、第四章 数列4.1 数列的概念14.2 等差数列134.3 等比数列314.4 数学归纳法54第四章 复习参考题674.1 数列的概念例1 根据下列数列an的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象（1）an=n2+n2；（2）an=cos(n-1)2解：（1）当通项公式中的n=1，2，3，4，5时，数列an的前5项依次为1，3，6，10，15图象如图4.1-2（1）所示（1） （2） 图4.1-2（2）当通项公式中的n=1，2，3，4，5时，数列an的前5项依次为1，0，-1，0，1图象如图4.1-2（2）所示例2 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：（1）1，-12，13，-
2、14，； （2）2，0，2，0，解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an=(-1)n+1n（2）这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为an=(-1)n+1+1 练习1写出下列数列的前10项，并作出它们的图象：(1)所有正偶数的平方按从小到大的顺序排列成的数列；(2)所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列；(3)当自变量x依次取1，2，3，时，函数fx=2x+1的值构成的数列；(4)数列的通项公式为an=2,n为奇数n+1,n为偶数【分析】（1）根据题意，直接写出前10项后，作图即可；（2）根据题意，直
3、接写出前10项后，作图即可；（3）根据题意，直接写出前10项后，作图即可；（4）根据题意，直接写出前10项后，作图即可；(1)根据题意，可知数列的前10项为：4，16，36，64，100，144，196，256，324，400.图象如下：.(2)根据题意，可知数列的前10项为：1，12，13，14，15，16，17，18，19，110.图象如下：.(3)根据题意，可知数列的前10项为：3，5，7，9，11，13，15，17，19，21.图象如下：.(4)根据题意，可知数列的前10项为：2，3，2，5，2，7，2，9，2，11.图象如下：.2根据数列an的通项公式填表：n125nan153273
4、3(3+4n)【分析】根据an=3(3+4n)依次求出表中对应的值即可.【详解】当n=1时，an=3(3+41)=21；当n=2时，an=3(3+42)=33；当n=5时，an=3(3+45)=69；当an=153时，3(3+4n)=153，解得n=12；当an=273时，3(3+4n)=273，解得n=22；所以列表如下：n1251222nan 2133691532733(3+4n)3除数函数(divisorfunction)y=dn(nN*)的函数值等于n的正因数的个数，例如d1=1，d4=3.写出数列d1，d2，dn，的前10项.【答案】1，2，2，3，2，4，2，4，3，4.【分析】根
5、据定义直接写出即可.【详解】由题意可得d1=1，因为2=12，所以d2=2，因为3=13，所以d3=2，因为4=14=22，所以d4=3，因为5=15，所以d5=2，因为6=16=23，所以d6=4，因为7=17，所以d7=2，因为8=18=24，所以d8=4，因为9=19=33，所以d9=3，因为10=110=25，所以d10=4，所以前10项分别为1，2，2，3，2，4，2，4，3，4.故答案为：1，2，2，3，2，4，2，4，3，4.4根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式：（1）1，13，15，17，19，；（2）1，22，12，24，14，.【答案】（1）an=12n-1，（2
6、）an=(22)n-1,【分析】（1）找到规律后写出通项公式即可；（2）找到规律后写出通项公式即可.【详解】（1）121-1=1，122-1=13，123-1=15，124-1=17，125-1=19，所以an=12n-1;（2）由题意，22=122,12=2222,24=1222,14=2422所以an=(22)n-1.例3 如果数列an的通项公式为an=n2+2n，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？分析：要判断120是不是数列an中的项，就是要回答是否存在正整数n，使得n2+2n=120也就是判断上述关于n的方程是否有正整数解：解：令n2+2n=120，解这个关于n的方程，得
7、n=-12（舍去），或n=10所以，120是数列an的项，是第10项例4 图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式（1） （2） （3） （4） 图4.1-3在图4.1-3（1）（2）（3）（4）中，着色三角形的个数依次为1，3，9，27，即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1因此，这个数列的一个通项公式是an=3n-1例5 已知数列an的首项为a1=1，递推公式为an=1+1an-1(n2)，写出这个数列的前5项解：由题意可知a1=1，a2=1+1a1=1+11=2，a3=1+1
8、a2=1+12=32，a4=1+1a3=1+23=53，a5=1+1a4=1+35=85练习5根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数(1)(2)(3)【答案】(1)第5项图形见解析，通项公式为an=5n-4，第5项的点数为a5=21(2)第5项图形见解析，通项公式为bn=3n-2，第5项的点数为b5=13(3)第5项图形见解析，通项公式为cn=nn+2，第5项的点数为c5=35【分析】（1）根据图形中点数的规律可作出第5项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式；（2）根据图形中点数的规律可作出第5项的图形，并根据各项的
9、点数可归纳出数列的通项公式；（3）根据图形中点数的规律可作出第5项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式.（1）解：设第n项的点数为annN*，a1=1，a2=1+5，a3=1+25，a4=1+35，该数列的第5项为a5=1+45=21，数列an的一个通项公式为an=1+5n-1=5n-4，第5项的图形如下图所示：（2）解：设第n项的点数为bnnN*，b1=1，b2=1+3，b3=1+23，b4=1+33，该数列的第5项为b5=1+43=13，数列bn的一个通项公式为bn=1+3n-1=3n-2，第5项的图形如下图所示：（3）解：设第n项的点数为cnnN*，c1=13，c2=24，c3
10、=35，c4=46，该数列的第5项为c5=57=35，数列cn的一个通项公式为cn=nn+2，第5项的图形如下图所示：6根据下列条件，写出数列an的前5项：（1）a1=1，an=an-1+2n-1(n2)；（2）a1=3，an=23an-1+1(n2).【答案】（1）1，3，7，15，31；（2）3，3，3，3，3.【分析】根据递推公式直接写出即可.【详解】（1）因为a1=1，an=an-1+2n-1(n2)，所以a2=a1+21=1+2=3，a3=a2+22=3+4=7，a4=a3+23=7+8=15，a5=a4+24=15+16=31，故数列的前5项分别为1，3，7，15，31.（2）因为
11、a1=3，an=23an-1+1(n2)所以a2=23a1+1=233+1=3，a3=23a2+1=233+1=3，a4=23a3+1=233+1=3，a5=23a4+1=233+1=3，故数列的前5项分别为3，3，3，3，3.7已知数列an满足a1=2，an=2-1an-1(n2)，写出它的前5项，并猜想它的通项公式.【答案】a1=2，a2=32，a3=43，a4=54 a5=65，an=n+1n.【分析】将n=2、3、4、5代入an=2-1an-1(n2)即可得出答案.【详解】a1=2，a2=2-1a1=2-12=32，a3=2-1a2=2-23=43，a4=2-1a3=2-34=54 a
12、5=2-1a4=2-45=65.猜想an=n+1n.8已知数列an的前n项和公式为Sn=-2n2，求an的通项公式.【答案】an=-4n+2nZ*【分析】本题可根据an=Sn-Sn-1得出结果.【详解】当n2时，an=Sn-Sn-1=-2n2+2n-12=-4n+2；当n=1时，a1=S1=-2，满足an=-4n+2，故an的通项公式为an=-4n+2nZ*.习题419写出下列数列的前10项，并绘出它们的图像：（1）素数按从小到大的顺序排列成的数列；（2）欧拉函数n(nN)的函数值按自变量从小到大的顺序排列成的数列.【答案】（1）2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，图见解析；（
13、2）1、1、2、2、4、2、6、4、6、4，图见解析.【分析】（1）本题可依次列出素数，然后绘图即可；（2）本题可依次列出欧拉函数n的函数值，然后绘图即可.【详解】（1）素数从小到大依次是：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，绘出图像如图所示：（2）1=1，2=1，3=2，4=2，5=4，6=2，7=6，8=4，9=6，10=4，依次为1、1、2、2、4、2、6、4、6、4，绘出图像如图所示：10根据下列条件，写出数列an的前5项：（1）an=1n2；（2）an=-1n+1(n2+1)；（3）a1=12，an=4an-1+1(n2)；（4）a1=-14，an=1-1an-1(n
14、2).【分析】（1）利用通项公式分别取n1，2，3，4，5，即可得出（2）利用通项公式分别取n1，2，3，4，5，即可得出（3）分别取n2，3，4，5，即可得出（4）分别取n2，3，4，5，即可得出【详解】（1）由an=1n2可得a11，a2=14，a3=19，a4=116，a5=125（2）由an（1）n+1（n2+1）可得：a12，a25，a310，a417，a526（3）a1=12，an4an1+1（n2）；n2时，a2=4a1+1=3；n3时，a3=4a2+1=13；n4时，a4=4a3+1=53；n5时，a5=4a4+1=213；（4）a1=-14，an1-1an-1（n2）n2时，
15、a21-1a1=5；n3时，a31-1a2=45；n4时，a41-1a3=-14；n5时，a51-1a4=511观察下列数列的特点，用适当的数填空，并写出数列的一个通项公式：（1）（），4，9，（），25，（），49；（2）1，132，（），172，192，（），1132；（3）1，2，（），2，5，（），7；（4）12，16，（），120，130，（）.【分析】本题可依次观察每个数列中的数之间的关系，根据数之间的关系即可得出结果.【详解】（1）中依次填写1、16、36，通项公式为an=n2；（2）中依次填写152、1112，通项公式为an=1(2n-1)2；（3）中依次填写3、6，通项公式为
16、an=n；（4）中依次填写112、142，通项公式为an=1n(n+1).12已知数列an的第1项是1，第2项是2，以后各项由an=an-1+an-2n2给出.（1）写出这个数列的前5项；（2）利用数列an，通过公式bn=an+1an构造一个新的数列bn，试写出数列bn的前5项.【答案】（1）a11，a22，a33，a45，a58；（2）b1=2，b2=32，b3=53，b4=85，b5=138【分析】（1）根据题中给的递推关系，依次写出数列的前5项（2）依据（1）中给的an的前5项，通过公式bn=an+1an求解出数列bn的前5项【详解】（1）由a11，a22，anan1+an2，得a3a2
17、+a12+13，a4a3+a22+35，a5a4+a33+58； （2）依题意有：b1=a2a1=21=2，b2=a3a2=32，b3=a4a3=53，b4=a5a4=85，b5=a6a5=a5+a4a5=5+88=13813传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数.请你分别写出三角形数正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第6项.【答案】三角形数：第五个数15，第六个数21. 正方形数：第五个数25，第六个数3
18、6.五边形数：第五个数35，第六个数51.【分析】找到规律后代入计算即可.【详解】三角形数：第一个数1，第二个数1+2=3，第三个数1+2+3=6，第四个数1+2+3+4=10，第五个数1+2+3+4+5=15，第六个数1+2+3+4+5+6=21.正方形数：第一个数12=1，第二个数22=4，第三个数32=9，第四个数42=16，第五个数52=25，第六个数62=36.五边形数：第一个数1(31-1)2=1，第二个数2(32-1)2=5，第三个数3(33-1)2=12，第四个数4(34-1)2=22，第五个数5(35-1)2=35，第六个数6(36-1)2=51.14假设某银行的活期存款年利
19、率为0.35%某人存10万元后，既不加进存款也不取款，每年到期利息连同本金自动转存，如果不考虑利息税及利率的变化，用an表示第n年到期时的存款余额，求a1、a2、a3及an.【答案】a1=10.035，a210.070，a310.105，an=101+0.35%n.【分析】本题可根据活期存款年利率的计算方式得出结果.【详解】a1=101+0.35%=10.035，a2=101+0.35%210.070，a3=101+0.35%310.105，an=101+0.35%n.15已知函数f(x)=2x-12x(xR)，设数列an的通项公式为an=f(n)(nN*).（1）求证an12.（2）an是递
20、增数列还是递减数列？为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）递增数列，证明见解析.【分析】（1）结合指数函数的单调性以及不等式的性质即可证得；（2）证得an+1-an0，即可得出结论.【详解】（1）由题意得an=2n-12n=1-12n，因为n为正整数，所以2n2,00，所以an是递增数列.4.2 等差数列4.2.1等差数列的概念例1 （1）已知等差数列an的通项公式为an=5-2n，求an的公差和首项；（2）求等差数列8，5，2，的第20项.分析：（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由an-an-1=d即可求出公差d；（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项
21、公式求数列的第20项.解：（1）当n2时，由an的通项公式an=5-2n，可得an-1=5-2(n-1)=7-2n.于是d=an-an-1=(5-2n)-(7-2n)=-2.把n=1代入通项公式an=5-2n，得a1=5-21=3.所以，an的公差为-2，首项为3.（2）由已知条件，得d=5-8=-3.把a1=8，d=-3代入an=a1+(n-1)d，得an=8-3(n-1)=11-3n.把n=20代入上式，得a20=11-320=-49.所以，这个数列的第20项是-49.例2 -401是不是等差数列-5，-9，-13，的项？如果是，是第几项？分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，
22、再看-401是否能使这个方程有正整数解.解：由a1=-5，d=-9-(-5)=-4，得这个数列的通项公式为an=-5-4(n-1)=-4n-1.令-4n-1=-401，解这个关于n的方程，得n=100.所以，-401是这个数列的项，是第100项.练习1判断下列数列是否是等差数列如果是，写出它的公差（1）95，82，69，56，43，30；（2）1，1.1，1.11，1.111，11111，1.11111；（3）1，2，3，4，5，6；（4）1，1112，56，34，23，712，12【答案】（1）是等差数列，公差为-13；（2）不是等差数列；（3）不是等差数列；（4）是等差数列，公差为-112
23、.【分析】根据等差数列的定义对（1）、（2）、（3）、（4）逐个分析即可求解.【详解】解：（1）由82-95=69-82=56-69=43-56=30-43=-13，即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数-13，所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为-13；（2）通过观察可知，1.1-1=0.1，1.11-1.1=0.01，该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列；（3）通过观察可知，-2-1=-3，3-2=5，该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列；（4）由1112-
24、1=56-1112=34-56=23-34=712-23=12-712=-112，即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数-112，所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为-112.2求下列各组数的等差中项：（1）647和895；（2）-1213和2435.【答案】（1）771；（2）9215.【分析】由等差中项的定义直接求解即可.【详解】（1）设647和895的等差中项为a，则a=647+8952=771，故647和895的等差中项为771；（2）设-1213和2435的等差中项为b，则b=-1213+24352=9215，故-1213和2435的等差中项为9215.3已知在
25、等差数列an中，a4+a8=20，a7=12求a4【答案】a4=6【分析】设等差数列的公差为d，由等差数列通项公式性质知a4+a8=2a6，求得a6=10，进而求得公差d，即可得解.【详解】设等差数列的公差为d，则在等差数列an中，a4+a8=2a6=20，a6=10d=a7-a6=12-10=2a4=a7-3d=12-6=64在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列【答案】10.5，14，17.5【分析】利用等差数列通项公式能求出插入的这3个数【详解】解：在7和21之间插入3个数，使这5个数成等差数列， a1=7a5=a1+4d=21，解得d=3.5，a2=7+3.5=10.5，a3=7
26、+23.5=14，a4=7+33.5=17.5，插入的这3个数为10.5，14，17.5例3 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的取值范围.分析：这台设备使用n年后的价值构成一个数列an.由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于(2205%=)11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元.可以利用an的通项公式列不等式求解.解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得
27、数列an.由已知条件，得an=an-1-d(n2).由于d是与n无关的常数，所以数列an是一个公差为-d的等差数列.因为购进设备的价值为220万元，所以a1=220-d，于是an=a1+(n-1)(-d)=220-nd.根据题意，得a1011,a1111,即220-10d11,220-11d11,解这个不等式组，得19d20.9.所以，d的取值范围为19d20.9.例4 已知等差数列an的首项a1=2，公差d=8，在an中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列bn.（1）求数列bn的通项公式.（2）b29是不是数列an的项？若是，它是an的第几项？若不是，说明理
28、由.分析：（1）an是一个确定的数列，只要把a1，a2表示为bn中的项，就可以利用等差数列的定义得出bn的通项公式；（2）设an中的第n项是bn中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系式，由此即可判断b29是否为an的项.解：（1）设数列bn的公差为d.由题意可知，b1=a1，b5=a2，于是b5-b1=a2-a1=8.因为b5-b1=4d，所以4d=8，所以d=2.所以bn=2+(n-1)2=2n.所以，数列bn的通项公式是bn=2n.（2）数列an的各项依次是数列bn的第1，5，9，13，项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列cn，则cn=4n-3.令4n-3=29，解得n=
29、8.所以，b29是数列an的第8项.例5 已知数列an是等差数列，p，q，s，tN*，且p+q=s+t.求证ap+aq=as+at.分析：只要根据等差数列的定义写出ap，aq，as，at，再利用已知条件即可得证.证明：设数列an的公差为d，则ap=a1+(p-1)d，aq=a1+(q-1)d，as=a1+(s-1)d，at=a1+(t-1)d.所以ap+aq=2a1+(p+q-2)d，as+at=2a1+(s+t-2)d.因为p+q=s+t，所以ap+aq=as+at.练习5某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位你能用an表示第n排的座位数
30、吗？第10排有多少个座位？【答案】an=2n+13；a10=33【分析】可将每排座位数看成等差数列，列出通项公式.【详解】由条件可知，每排的座位数，看成等差数列，首项a1=15，d=2，则an=15+n-12=2n+13，a10=210+13=33.综上可知，an=2n+13，第10排的座位数a10=33个.6画出数列an=18,n=1an-1-3,1n6的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率.【答案】图象见解析，-3【分析】由递推关系an=18,n=1an-1-3,1n6，求出an1n6值，然后再作出图象，在根据斜率公式即可求出通过图象上所有点的直线的斜率.【详解】根据递推关系an=18,
31、n=1an-1-3,1n6，可知a1=18,a2=15,a3=12,a4=9,a5=6,a6=3，作出数列an=18,n=1an-1-3,10和d0，可以证明an是递减数列，且存在正整数k，使得当nk时，an0，Sn递减.这样，就把求Sn的最大值转化为求an的所有正数项的和.另一方面，等差数列的前n项和公式可写成Sn=d2n2+a1-d2n，所以当d0时，Sn可以看成二次函数y=d2x2+a1-d2x(xR)当x=n时的函数值.如图4.2-4，当d0时，Sn关于n的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点.因此，可以利用二次函数求相应的n，Sn的值. 图4.2-4解法1：由以an+1-an=-20，得an+1an，所以an是递减数列.又由an=10+(n-1)(-2)=-2n+12，可知：当n0；当n=6时，an=0；当n6时，an0.所以S1S2S7.也就是说，当n=5或6时，Sn最大.因为S5=5
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