线性代数复习提纲.ppt

1、复习提纲第一章 行列式把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个元个元素的素的全排列全排列（或（或排列排列）个不同的元素的所有排列的种数用个不同的元素的所有排列的种数用 表示，表示，且且 全排列逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列，逆序数为，逆序数为偶数的排列称为偶数的排列称为偶排列偶排列在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 ，则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆逆序数序数逆序数分别计算出排列中每个元素前面比它大的数分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和

2、，即算出排列中每个元素的逆序数，码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数方法方法2 2方法方法1 1分别计算出排在分别计算出排在 前面比它大的前面比它大的数码之和，即分别算出数码之和，即分别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这的逆序数，这 个元素的逆序数之总和即为所求个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数排列的逆序数计算排列逆序数的方法定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换将相邻两个元素对调，素不动，称为一次对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换叫

3、做相邻对换定理定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性变奇偶性推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数对换n阶行列式的定义n阶行列式的性质）余子式与代数余子式）余子式与代数余子式行列式按行（列）展开）关于代数余子式的重要性质）关于代数余子式的重要性质克拉默法则克拉默法则的理论价值克拉默法则的理论价值定理定理定理定理定理定理定理定理第二章 矩阵扬州大学数学科学学院矩阵的定义方阵列矩阵行矩阵两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称两个矩阵的行数相等、

4、列数也相等时，就称它们是同型矩阵它们是同型矩阵同型矩阵和相等矩阵零矩阵单位矩阵交换律交换律结合律结合律矩阵相加运算规律运算规律数乘矩阵矩阵相乘运算规律运算规律n阶方阵的幂阶方阵的幂方阵的运算方阵的行列式方阵的行列式运算规律运算规律转置矩阵转置矩阵一些特殊的矩阵对称矩阵对称矩阵反对称矩阵反对称矩阵幂等矩阵幂等矩阵正交矩阵正交矩阵对角矩阵对角矩阵对合矩阵对合矩阵上三角矩阵上三角矩阵主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三角矩阵角矩阵下三角矩阵下三角矩阵主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三角矩阵角矩阵伴随矩阵伴随矩阵定义定义

5、逆矩阵相关定理及性质相关定理及性质矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证论证分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似相类似分块矩阵初等变换的定义换法变换换法变换倍法变换倍法变换消法变换消法变换初等变换 逆变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换同一类型的初等变换反身性反身性传递性传递性对称性对称性矩阵的等价三种初等变换对应着三种初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵初等矩阵由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

6、为初等矩阵（）换法变换：对调两行（列），得初等（）换法变换：对调两行（列），得初等矩阵矩阵（）倍法变换：以数（非零）乘某行（）倍法变换：以数（非零）乘某行（列），得初等矩阵列），得初等矩阵（）消法变换：以数乘某行（列）加到另（）消法变换：以数乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵一行（列）上去，得初等矩阵经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为为0 0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）

7、行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元一个非零元例如例如行阶梯形矩阵经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为个非零元为1 1，且这些非零元所在列的其它元素都，且这些非零元所在列的其它元素都为为0 0例如例如行最简形矩阵对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个

8、单位矩阵，其余元素都为阵，其余元素都为0 0例如例如矩阵的标准形所有与所有与A A等价的矩阵组成的一个集合，称为一等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的矩阵矩阵定义定义矩阵的秩定义定义定理定理行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数矩阵秩的性质及定理定理定理9 初等矩阵与初等变换的关系定理定理推论推论一、求矩阵的秩一、求矩阵的秩二、求逆矩阵的初等变换法二、求逆矩阵的初等变换法三、解矩阵方程的初等变换法三、解矩阵方程的初等变换法典型例题求矩阵的秩有下列基本方法求矩阵的秩有下列基本方法（）计算矩阵

9、的各阶子式，从阶数最高的（）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩一、求矩阵的秩（）用初等变换即用矩阵的初等行（或（）用初等变换即用矩阵的初等行（或列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩阵中非零行（

10、或列）的个数就是原矩阵的秩第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计算量很大，第二种方法则较为简单实用算量很大，第二种方法则较为简单实用例例求下列矩阵的秩求下列矩阵的秩解解对对 施行初等行变换化为阶梯形矩阵施行初等行变换化为阶梯形矩阵注意注意在求矩阵的秩时，初等行、列变换可在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形阶梯形二、求逆矩阵的初等变换法例例求下述矩阵的逆矩阵求下述矩阵的逆矩阵解解注意注意用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何

11、列变换同样地，用用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换间不能作任何行变换Take care！三、解矩阵方程的初等变换法或者或者例例解解第三章 扬州大学数学科学学院分分量量全全为为实实数数的的向向量量称称为为实实向向量量分分量量全全为为复复数数的的向向量量称称为为复复向向量量向量的定义定定义义向向量量的的相相等等零零向向量量分分量量全全为为0 0的的向向量量称称为为零零向向量量负负向向量量向向量量加加法法向量的线性运算数数乘乘向向量量向向量量加加法法和和数数乘乘向向量量运运算算称称为为向向量量

12、的的线线性性运运算算，满满 足足 下下 列列 八八 条条 运运 算算 规规 则则：除除了了上上述述八八条条运运算算规规则则，显显然然还还有有以以下下性性质质：若若干干个个同同维维数数的的列列（行行）向向量量所所组组成成的的集集合合叫叫做做向向量量组组定定义义线性组合定定义义线性表示定定理理定定义义定定义义线性相关定定理理定定理理定定义义向量组的秩等等价价的的向向量量组组的的秩秩相相等等定定理理 矩矩阵阵的的秩秩等等于于它它的的列列向向量量组组的的秩秩，也也等等于于它它的的行行向向量量组组的的秩秩定定理理设设向向量量组组B B能能由由向向量量组组A A线线性性表表示示，则则向向量量组组 B B

13、的的 秩秩 不不 大大 于于 向向 量量 组组A A 的的秩秩推推论论推推论论推推论论（最最大大无无关关组组的的等等价价定定义义）设设向向量量组组是是向向量量组组的的部部分分组组，若若向向量量组组线线性性无无关关，且且向向量量组组能能由由向向量量组组线线性性表表示示，则则向向量量组组是是向向量量组组的的一一个个最最大大无无关关组组向量空间定定义义设设 为为 维维向向量量的的集集合合，如如果果集集合合 非非空空，且且集集合合 对对于于加加法法及及数数乘乘两两种种运运算算封封闭闭，那那么么就就称称集集合合 为为向向量量空空间间定定义义子空间定定义义基与维数向向量量方方程程齐次线性方程组解解向向量量

14、解解向向量量的的性性质质性性质质性性质质定定义义定定理理定定义义向向量量方方程程非齐次线性方程组解解向向量量的的性性质质性性质质性性质质解解向向量量向向量量方方程程 的的解解就就是是方方程程组组 的的解解向向量量（）求求齐齐次次线线性性方方程程组组的的基基础础解解系系线性方程组的解法第第一一步步：对对系系数数矩矩阵阵进进行行初初等等行行变变换换，使使其其变变成成行行最最简简形形矩矩阵阵第第三三步步：将将其其余余 个个分分量量依依次次组组成成 阶阶单单位位矩矩阵阵，于于是是得得齐齐次次线线性性方方程程组组的的一一个个基基础础解解系系（）求求非非齐齐次次线线性性方方程程组组的的特特解解将将上上述述

15、矩矩阵阵中中最最后后一一列列的的前前 个个分分量量依依次次作作为为特特解解的的第第 个个分分量量，其其余余 个个分分量量全全部部取取零零，于于是是得得即即为为所所求求非非齐齐次次线线性性方方程程组组的的一一个个特特解解一、向量组线性关系的判定一、向量组线性关系的判定二、求向量组的秩二、求向量组的秩三、向量空间的判定三、向量空间的判定四、基础解系的证法四、基础解系的证法五、解向量的证法五、解向量的证法典型例题一、向量组线性关系的判定研研究究这这类类问问题题一一般般有有两两个个方方法法方方法法1 1从从定定义义出出发发整整理理得得线线性性方方程程组组方方法法利利用用矩矩阵阵的的秩秩与与向向量量组组

16、的的秩秩之之间间关关系系判判定定例例研研究究下下列列向向量量组组的的线线性性相相关关性性解解一一整整理理得得到到解解二二分分析析证证明明证证明明向向量量组组的的一一个个部部分分组组构构成成极极大大线线性性无无关关组组的的基基本本方方法法就就是是：分析分析根据极大线性无关组的定义来证，它往往还根据极大线性无关组的定义来证，它往往还与向量组的秩相联系与向量组的秩相联系证证明明求求一一个个向向量量组组的的秩秩，可可以以把把它它转转化化为为矩矩阵阵的的秩秩来来求求，这这个个矩矩阵阵是是由由这这组组向向量量为为行行（列列）向向量量所所排排成成的的如如果果向向量量组组的的向向量量以以列列（行行）向向量量的

17、的形形式式给给出出，把把向向量量作作为为矩矩阵阵的的列列（行行），对对矩矩阵阵作作初初等等行行（列列）变变换换，这这样样，不不仅仅可可以以求求出出向向量量组组的的秩秩，而而 且且 可可 以以 求求 出出 极极 大大 线线 性性 无无 关关 组组 二、求向量组的秩若若矩矩阵阵 经经过过初初等等行行（列列）变变换换化化为为矩矩阵阵 ，则则 和和 中中任任何何对对应应的的列列（行行）向向量量组组都都有有相相同同的的线线性性相相关关性性解解判判断断向向量量的的集集合合是是否否构构成成向向量量空空间间，需需看看集集合合是是否否对对于于加加法法和和数数乘乘两两种种运运算算封封闭闭若若封封闭闭，则则构构成成

18、 向向 量量 空空 间间；否否 则则，不不 构构 成成 向向 量量 空空 间间 解解三、向量空间的判定例例证证明明与与基基础础解解系系等等价价的的线线性性无无关关的的向向量量组组也也是是基基础础解解系系四、基础解系的证法分析分析(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示方程组的任一解均可由该向量组线性表示(1)该组向量都是方程组的解；该组向量都是方程组的解；(2)该组向量线性无关；该组向量线性无关；要要证证明明某某一一向向量量组组是是方方程程组组的的基基础础解解系系，需需要要证证明明三三个个结结论论:证证明明注注 当当齐齐线线性性方方程程组组有有非非零零解解时时，基基础础解解系系的的取取法法不

19、不唯唯一一，且且不不同同的的基基础础解解系系之之间间是是等等价价的的第四章 扬州大学数学科学学院定义定义向量内积的定义及运算规律定义定义向量的长度具有下列性质：向量的长度具有下列性质：向量的长度定义定义向量的夹角所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正交基交基定理定理定义定义正交向量组的性质施密特正交化方法施密特正交化方法第一步正交化第一步正交化第二步单位化第二步单位化定义定义正交矩阵与正交变换方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行（列）向量都是单位

20、向量，且两两正交（列）向量都是单位向量，且两两正交定义定义若为正交矩阵，则线性变换称为若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换正交变换正交变换的特性在于保持线段的长度不变正交变换的特性在于保持线段的长度不变定义定义方阵的特征值和特征向量有关特征值的一些结论定理定理定理定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量组合仍是属于这个特征值的特征向量有关特征向量的一些结论定义定义矩阵之间的相似具有矩阵之间的相似具有(1)(1)自反性；自反性；(2)(2)对称性；对称性；(3)(3)传递性传递性相似矩阵有关相似矩阵的性质若与相似，则与的特征多

21、项式若与相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值亦相同相同，从而与的特征值亦相同(4)(4)能对角化的充分必要条件是有个线能对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量性无关的特征向量(5)(5)有有 个互异的特征值，则个互异的特征值，则 与对角阵相似与对角阵相似实对称矩阵的相似矩阵定义定义二次型二次型与它的矩阵是一一对应的二次型与它的矩阵是一一对应的定义定义二次型的标准形化二次型为标准形定义定义正定二次型惯性定理注意注意正定二次型的判定一、证明所给矩阵为正交矩阵一、证明所给矩阵为正交矩阵典型例题二、将线性无关向量组化为正二、将线性无关向量组化为正交单位向量组交单位向量组三、特征值与特征向量

22、的求法三、特征值与特征向量的求法四、已知的特征值，求与四、已知的特征值，求与相关矩阵的特征值相关矩阵的特征值五、求方阵的特征多项式五、求方阵的特征多项式六、关于特征值的其它问题六、关于特征值的其它问题七、判断方阵可否对角化七、判断方阵可否对角化八、利用正交变换将实对称八、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵矩阵化为对角阵九、化二次型为标准形九、化二次型为标准形一、证明所给矩阵为正交矩阵证明证明将线性无关向量组化为正交单位向量组，可将线性无关向量组化为正交单位向量组，可以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与单位化单位化二、将线性无关向量组化为正交单位向

23、量组解一解一先正交化，再单位化先正交化，再单位化解二解二同时进行正交化与单位化同时进行正交化与单位化第三步第三步将每一个特征值代入相应的线性方程组，将每一个特征值代入相应的线性方程组，求出基础解系，即得该特征值的特征向量求出基础解系，即得该特征值的特征向量三、特征值与特征向量的求法第一步第一步计算的特征多项式；计算的特征多项式；第二步第二步求出特征多项式的全部根，即得的全部求出特征多项式的全部根，即得的全部特征值；特征值；解解第一步计算的特征多项式第一步计算的特征多项式第三步求出的全部特征向量第三步求出的全部特征向量解解四、已知A的特征值，求与A相关 矩阵的特征值解解五、求方阵的特征多项式解解六、关于特征值的其它问题方法一方法一方法二方法二方法三方法三解解七、判断方阵可否对角化解解(1)可对角化的充分条件是有个互异的可对角化的充分条件是有个互异的特征值下面求出的所有特征值特征值下面求出的所有特征值解解第一步求第一步求A的特征值由的特征值由八、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵九、化二次型为标准形解解第一步将表成矩阵形式第一步将表成矩阵形式解解预祝各位考试顺利，预祝各位考试顺利，取得取得好好成绩！成绩！