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1、第四节 行列式的性质 行列式有如下7条性质 n阶行列式： ，若把D的行变为列得到新行列式如下 ，行列式DT (或D)称为行列式D的转置行列式. 注意:转置行列式也可以看作以主对角线为轴,行列式翻转180的结果. 性质1 行列式D=DT 证明: , 应用数学归纳法,当n=2时,结论显然成立,即 假设n-1时结论成立,即n-1阶行列式与它的转置行列式相等,将n阶行列式D按第一行展开,有 将n阶行列式DT按第一列展开,有 所以n阶行列式D=DT 由行列式的性质1可以看出,行列式的行和列的地位相同,行所具有的性质对于列也成立,反之亦然. 性质2 若行列式中有某一行(或列)为零,则这个行列式的值等于零.

2、 说明:把行列式按此行(或列)展开即可. 性质3 行列式中任何两行(或两列)互换位置, 行列式的值变号. 证明: ,第一行与第三行互换位置后,行列式变为 将D按第一行展开,得 将D1按第三行展开,得 此性质对于n阶行列式也成立. 推论: 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式等于零. 说明:交换这两行(列)行列式D化为D1,由性质2知,-D=D1,由于交换的两行(列)相同,故 D=D1,因此,-D=D,D=0 性质4 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数, 等于用数乘此行列式.反之, 行列式的某一行(列)中所有的元素有公因数,则可以把这个公因数从行列式中提出来,即 说明:上面两个

3、行列式若按第i行展开,结果是相同的. 推论:行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零. 性质5 若行列式的某一行(列)的每个元素都是两个数之和, 例如第i行的元素都是两数之和: 即 , 则D等于下列两个行列式之和: . 说明:记三个行列式为D,D1,D2,则 性质6 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去, 行列式不变. 即 . 说明:性质5和性质4可得性质6,这个性质在行列式的计算中非常重要. 性质7 行列式每一行(或列)的每个元素与另一行(或列)对应元素的代数余子式的乘积的和等于零,即 说明: n阶行列式按第j行展开, 于是得下面结论

4、, 或 在处理和计算行列式时,常用上述7条性质,为了表达简洁,引入下列记号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 例如, 例9 计算行列式 解:利用行列式的性质,把D化为相等的上(下)三角行列式,再写出结果,这是计算行列式的常用方法. 说明: (1)利用性质6,先把a11下面的所有元素化为零; (2) 再把a22下面的所有元素化为零; (3)重复操作,直到化为三角行列式为止; (4)对于列也可以采用同样的处理方法,化为其它类型的三角行列式,再求值. 求行列式的值时,常用的方法还有按某行(列)展开,达到降阶的目的,从而化简行列式,直到求出结果为止. 例10 计算行列式

5、解: 要善于用两种方法求行列式的值: 1.化为三角行列式(四种结果) 2.按某一行(列)展开(选零较多的行(列). 例11 计算行列式 行列式是研究数学的重要工具之一. 例如线性方程组（见文1-5）、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置(见文2)、初等代数（见文9）、解析几何（见文6-8）、维空间的投影变换、线性微分方程组等, 用行列式来计算是很便利的. 本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何三个方面的应用.1 行列式在线性方程组中的一个应用 设含有个变元的个一次线性方程组为 （1） 设方程组（1）的系数矩阵的秩是, 不失一般性, 假定不等于零的阶行

6、列式是 . 行列式中的元素, 就是矩阵中去掉第一列的元素以后剩下的元素, 并按照它们的原有位置排列. 我们把看作是未知数, 是已知数, 解方程组(1), 得 （2）式中是行列式的第列元素换以所成的行列式. 也就是.把中第列移到第一列, 得.上式右边的行列式用表示, 行列式是矩阵中去掉第列剩余下的元素所组成. 故.代入（2）式, 得, 或.结论2: 方程组（1）中的与成比例, 式中 是从矩阵中去掉第列剩余下的元素做成的行列式.2 行列式在初等代数中的几个应用2.1 用行列式分解因式利用行列式分解因式的关键, 是把所给的多项式写成行列式的形式, 并注意行列式的排列规则. 下面列举几个例子来说明.例

7、2.1.1 分解因式：. 解 . 2.2 用行列式证明不等式和恒等式我们知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上, 行列式不变; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么这个行列式等于零. 利用行列式的这些性质, 我们可以构造行列式来证明等式和不等式.例2.2.1 已知, 求证.证明 令, 则.命题得证.例2.2.3 已知, 求证.证明 令, 则 而, 则, 命题得证.3 行列式在解析几何中的几个应用3.1 用行列式表示公式3.1.2 用行列式表示直线方程直线方程通过两点和的直线的方程为. （4） 证明 由两点式, 我们得直线的方程为.将上式展开并化简

8、, 得此式可进一步变形为此式为行列式(4)按第三行展开所得结果. 原式得证.3.2 行列式在平面几何中的一些应用3.2.1 三线共点 平面内三条互不平行的直线相交于一点的充要条件是.3.2.2 三点共线 平面内三点在一直线的充要条件是.3.2.3 应用举例例 平面上给出三条不重合的直线:, 若, 则这三条直线不能组成三角形.证明 设与的交点为, 因为,将第1列乘上, 第2列乘上, 全加到第3列上去, 可得：.因为在与上, 所以, 且若与平行, 若也在上交于一点,无论何种情形, 都有不组成三角形.这说明由, 得到三条直线或两两平行或三线交于一点. 也就是三条直线不能组成三角形.3.3 行列式在三维空间中的应用3.3.1 平面组 3.3.2 点组 word文档 可自由复制编辑