普通高等学校招生全国统一考试(四川卷).docx

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1、设集合Ax|1x2，集合Bx|1x3，则AB(A)x|1x3 (B)x|1x1 (C)x|1x2 (D)x|2x32、设向量a(2,4)与向量b(x,6)共线，则实数x(A)2 (B)3 (C)4 (D)63、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是(A)抽签法 (B)系统抽样法 (C)分层抽样法 (D)随机数法4、设a,b

2、为正实数，则“ab1”是“log2alog2b0”的(A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件5、下列函数中，最小正周期为的奇函数是(A)ysin(2x) (B)ycos(2x)(C)ysin2xcos2x (D)ysinxcosx6、执行如图所示的程序框图，输出S的值为(A) (B) (C) (D) 7、过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|(A) (B)2 (C)6 (D)48、某食品保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yetx (e2.718为自然对数的底数，t,b为常数)。若该食

3、品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时 ,则该食品在33的保鲜时间是(A)16小时 (B)20小时 (C)24小时 (D)28小时9、设实数x,y满足，则xy的最大值为(A) (B) (C)12 (D)1610、设直线l与抛物线y24x相较于A,B两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是(A)(1,3) (B)(1,4) (C)(2,3) (D)(2,4)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11、设i是虚数单位，则复数_.12、lg0.01+log216_.13、已知sin2cos0，则2sin

4、.a.coscos2的值是_.14、在三棱住ABCA1B1C1中，BAC90，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M,N,P分别是AB,BC,B1C1的中点，则三棱锥PA1MN的体积是_.15、已知函数f(x)2x,g(x)x2ax(其中aR).对于不相等的实数x1,x2，设m，n，现有如下命题：(1)对于任意不相等的实数x1,x2，都有m0；(2)对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2，都有n0；(3)对于任意的a，存在不相等的实数x1,x2，使得mn；(4)对于任意的a，存在不相等的实数x1,x2，使得mn。其中真命题有_(写出所有真命题的序号

5、)。三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16、(本小题满分12分)设数列（n=1,2,3）的前n项和满足=2-，且，+1，成等差数列。（I） 求数列的通项公式；（II） 设数列的前n项和为，求. 17、(本小题满分12分)一辆小客车上有5各座位，其座位号为1,2,3,4,5，乘客的座位号分别为1,2,3,4,5，他们按照座位号顺序先后上车，乘客因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位。如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位.（I）若乘客坐到了3号座位，其他乘客按

6、规则就座，则此时共有4种坐法。下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）（II）若乘客坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客坐到5号座位的概率。18、(本小题满分12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。（I） 请按字母F,G,H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（II） 判断平面BEG与平面ACH的位置关系。并说明你的结论。（III） 证明：直线DF平面BEG19、(本小题满分12分)已知A、B、C为ABC的内角，tanB是关于方程（pR）两个实根.（I） 求C的大小（II） 若AB=1，AC=，求p的值20、(本小题满分

7、13分)如图，椭圆E：（0）的离心率是，点（0,1）在短轴CD上，且(I) 求椭圆E的方程；(II) 设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点。是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。21、(本小题满分14分)已知函数f（x）=，其中a0.(I) 设g（x）为f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；(II) 证明：存在a（0,1），使得f（x）g（x）.数学（文史类）试题参考答案一、 选择题1A 2.B 3.C 4.A 5.B 6.D 7.D 8.C 9.A 10.D二、 填空题11.2i 12. 2 13.-1 14. 15. 三、 解答题 16. 本题考查

8、等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和等基础知识，考查运算求解能力.() 由已知Sn2ana1，有anSnSn12an2an1(n2)即an2an1(n2)从而a22a1，a32a24a1，又因为a1，a21，a3成等差数列即a1a32(a21)所以a14a12(2a11)，解得a12所以，数列an是首项为2，公比为2的等比数列故an2n.()由()得所以Tn17. 本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法分析和解决问题的能力，考查推理论证能力、应用意识.(I)余下两种坐法如下表所示乘客P1P2P3P4P5座位号3241532541(II)若乘

9、客P1做到了2号座位，其他乘客按规则就坐则所有可能坐法可用下表表示为乘客P1P2P3P4P5座位号2134523145234152345123541243152435125341于是，所有可能的坐法共8种设“乘客P5坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4所以P(A)答：乘客P5坐到5号座位的概率为.18. 本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力.(I)点F，G，H的位置如图所示(II)平面BEG平面ACH.证明如下因为ABCDEFGH为正方体，所以BCFG，BCFG又FGEH，FGEH，所以BCEH，BCEH于

10、是BCEH为平行四边形所以BECH又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH同理BG平面ACH又BEBGB所以平面BEG平面ACH()连接FH因为ABCDEFGH为正方体，所以DH平面EFGH因为EG平面EFGH，所以DHEG又EGFH，EGFHO，所以EG平面BFHD又DF平面BFDH，所以DFEG同理DFBG又EGBGG所以DF平面BEG.19.本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.(I)由已知，方程x2pxp10的判别式(p)24(p1)3p24p40所以p2或p由韦达定理，有tanAtanBp，tanAta

11、nB1p于是1tanAtanB1(1p)p0从而tan(AB)所以tanCtan(AB)所以C60(II)由正弦定理，得sinB解得B45或B135(舍去)于是A180BC75则tanAtan75tan(4530)所以p(tanAtanB)(21)120. 本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证呢过能留、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.(I)由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)又点P的坐标为(0，1)，且1于是，解得a2，b所以椭圆E方程为.(II)当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1A，B的坐标分别为(

12、x1，y1)，(x2，y2)联立，得(2k21)x24kx20其判别式(4k)28(2k21)0所以从而x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)1所以，当1时，3此时，3为定值当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD此时213故存在常数1，使得为定值3.21. 本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.(I)由已知，函数f(x)的定义域为(0，)g(x)f (x)2(x1lnxa)所以g(x)2当x(0，1)时，g(x)0，g(x)

13、单调递减当x(1，)时，g(x)，g(x)单调递增(II)由f (x)2(x1lnxa)0，解得ax1lnx令(x)2xlnxx22x(x1lnx)(x1lnx)2(1lnx)22xlnx则(1)10，(e)2(2e)0于是存在x0(1，e)，使得(x0)0令a0x01lnx0u(x0)，其中u(x)x1lnx(x1)由u(x)10知，函数u(x)在区间(1，)上单调递增故0u(1)a0u(x0)u(e)e21即a0(0，1)当aa0时，有f (x0)0，f(x0)(x0)0再由(I)知，f (x)在区间(1，)上单调递增当x(1，x0)时，f (x)0，从而f(x)f(x0)0当x(x0，)时，f (x)0，从而f(x)f(x0)0又当x(0，1时，f(x)(xa0)22xlnx0故x(0，)时，f(x)0综上所述，存在a(0，1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解.