自动控制原理习题集及其解答.doc

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1、自动控制原理习题及其解答第一章(略)第二章例2-1 弹簧,阻尼器串并联系统如图2-1示,系统为无质量模型,试建立系统的运动方程。解:(1) 设输入为yr,输出为y0。弹簧与阻尼器并联平行移动。(2) 列写原始方程式,由于无质量按受力平衡方程,各处任何时刻,均满足,则对于A点有 其中,Ff为阻尼摩擦力,FK1,FK2为弹性恢复力。(3) 写中间变量关系式 (4) 消中间变量得 (5) 化标准形 其中:为时间常数,单位秒。 为传递函数,无量纲。例2-2 已知单摆系统的运动如图2-2示。(1) 写出运动方程式(2) 求取线性化方程解:(1)设输入外作用力为零,输出为摆角q ,摆球质量为m。(2)由牛

2、顿定律写原始方程。图2-2 单摆运动 其中,l为摆长,lq 为运动弧长,h为空气阻力。(3)写中间变量关系式 式中,为空气阻力系数为运动线速度。(4)消中间变量得运动方程式 (2-1)此方程为二阶非线性齐次方程。(5)线性化由前可知,在q 0的附近,非线性函数sinq q ,故代入式(2-1)可得线性化方程为 例2-3 已知机械旋转系统如图2-3所示,试列出系统运动方程。图2-3 机械旋转系统 解:(1)设输入量作用力矩Mf,输出为旋转角速度w 。(2)列写运动方程式 式中, fw为阻尼力矩,其大小与转速成正比。(3)整理成标准形为 此为一阶线性微分方程,若输出变量改为q,则由于 代入方程得二

3、阶线性微分方程式 例2-4 设有一个倒立摆安装在马达传动车上。如图2-4所示。图2-4 倒立摆系统 倒立摆是不稳定的,如果没有适当的控制力作用在它上面,它将随时可能向任何方向倾倒,这里只考虑二维问题,即认为倒立摆只在图2-65所示平面内运动。控制力u作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心A。试求该系统的运动方程式。解:(1) 设输入为作用力u,输出为摆角q 。(2) 写原始方程式,设摆杆重心A的坐标为(XA,yA)于是 XAXlsinq Xy = lcosq画出系统隔离体受力图如图25所示。图2-5 隔离体受力图 摆杆围绕重心A点转动方程为: (22)式中,J为摆杆围绕重心A的转动惯量。摆

4、杆重心A沿X轴方向运动方程为:即 (23)摆杆重心A沿y轴方向运动方程为: 即 小车沿x轴方向运动方程为: 方程(22),方程(23)为车载倒立摆系统运动方程组。因为含有sinq 和cosq 项,所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。(3) 当q 很小时,可对方程组线性化,由sinq q,同理可得到cos1则方程式(22)式(23)可用线性化方程表示为: 用的算子符号将以上方程组写成代数形式,消掉中间变量V、H、X得 将微分算子还原后得 此为二阶线性化偏量微分方程。例2-5 RC无源网络电路图如图26所示,试采用复数阻抗法画出系统结构图,并求传递函数Uc(s)/Ur(s)。图2-6 RC无

5、源网络 解:在线性电路的计算中,引入了复阻抗的概念,则电压、电流、复阻抗之间的关系,满足广义的欧姆定律。即: 如果二端元件是电阻R、电容C或电感L,则复阻抗Z(s)分别是R、1/C s或L s 。(1) 用复阻抗写电路方程式: (2) 将以上四式用方框图表示,并相互连接即得RC网络结构图,见图26(a)。(3) 用结构图化简法求传递函数的过程见图26(c)、(d)、(e)。(a)(b)(c)(d)图2-6 RC无源网络结构图 (4) 用梅逊公式直接由图26(b) 写出传递函数Uc(s)/Ur(s) 。独立回路有三个:回路相互不接触的情况只有L1和L2两个回路。则 由上式可写出特征式为: 通向前

6、路只有一条由于G1与所有回路L1,L2, L3都有公共支路,属于相互有接触,则余子式为1=1代入梅逊公式得传递函数图2-8 PI调节器 例2-6 有源网络如图27所示,试用复阻抗法求网络传递函数,并根据求得的结果,直接用于图28所示PI调节器,写出传递函数。图2-7 有源网络 解:图2-7中Zi和 Zf表示运算放大器外部电路中输入支路和反馈支路复阻抗,假设A点为虚地,即UA0,运算放大器输入阻抗很大,可略去输入电流,于是:I1 = I2则有: 故传递函数为 (24)对于由运算放大器构成的调节器,式(24)可看作计算传递函数的一般公式,对于图2-8所示PI调节器,有故例2-7 求下列微分方程的时

7、域解x(t)。已知。 解:对方程两端取拉氏变换为: 代入初始条件得到 解出X(s)为: 反变换得时域解为: 图2-10 系统结构图的简化 图2-9 系统结构图 例2-8 已知系统结构图如图2-9所示,试用化简法求传递函数C(s)/R(s)。 解:(1)首先将含有G2的前向通路上的分支点前移,移到下面的回环之外。如图2-10(a)所示。(2)将反馈环和并连部分用代数方法化简,得图2-10(b)。(3)最后将两个方框串联相乘得图2-10(c)。例2-9 已知系统结构图如图2-11所示,试用化简法求传递函数C(s)/R(s)。图2-11 系统结构图 解:(1)将两条前馈通路分开,改画成图2-12(a

8、)的形式。(2)将小前馈并联支路相加,得图2-12(b)。图2-12 系统结构图 (3)先用串联公式,再用并联公式 将支路化简为图2-12(c)。例2-10 已知机械系统如图2-13(a)所示,电气系统如图2-13(b)所示,试画出两系统结构图,并求出传递函数,证明它们是相似系统。(b)电气系统(a)机械系统图2-13 系统结构图 解:(1)若图2-13(a)所示机械系统的运动方程,遵循以下原则并联元件的合力等于两元件上的力相加,平行移动,位移相同,串联元件各元件受力相同,总位移等于各元件相对位移之和。微分方程组为: 取拉氏变换,并整理成因果关系有: 画结构图如图214: 图2-14 机械系统

9、结构图 求传递函数为: (2)写图2-13(b)所示电气系统的运动方程,按电路理论,遵循的定律与机械系统相似,即并联元件总电流等于两元件电流之和,电压相等。串联元件电流相等,总电压等于各元件分电压之和,可见,电压与位移互为相似量电流与力互为相似量。运动方程可直接用复阻抗写出:整理成因果关系: 图2-15 电气系统结构图 画结构图如图2-15所示:求传递函数为: 对上述两个系统传递函数,结构图进行比较后可以看出。两个系统是相似的。机一电系统之间相似量的对应关系见表2-1。 表2-1 相似量机械系统xix0yFF1F2K11/K2f1f2电气系统eie0ec2iii1/RRC1C2例2-11 RC

10、网络如图2-16所示,其中u1为网络输入量,u2为网络输出量。(1)画出网络结构图;图2-16 RC网络 (2)求传递函数U2(s)/ U1(s)。解:(1) 用复阻抗写出原始方程组。输入回路 输出回路 中间回路 (3)整理成因果关系式。即可画出结构图如图2-17 所示。图2-17 网络结构图 (4) 用梅逊公式求出:例2-12 已知系统的信号流图如图2-18所示,试求传递函数C(s)/ R(s)。图2-18 信号流图 解: 单独回路4个,即两个互不接触的回路有4组,即三个互不接触的回路有1组,即于是,得特征式为从源点R到阱节点C的前向通路共有4条,其前向通路总增益以及余因子式分别为 因此,传

11、递函数为第三章例3-1 系统的结构图如图3-1所示。已知传递函数 。 今欲采用加负反馈的办法,将过渡过程时间ts减小为原来的0.1倍,并保证总放大系数不变。试确定参数Kh和K0的数值。解 首先求出系统的传递函数(s),并整理为标准式,然后与指标、参数的条件对照。 一阶系统的过渡过程时间ts与其时间常数成正比。根据要求,总传递函数应为即 比较系数得 解之得 、 解毕。例3-10 某系统在输入信号r(t)=(1+t)1(t)作用下,测得输出响应为: (t0)已知初始条件为零,试求系统的传递函数。解 因为故系统传递函数为 解毕。例3-3 设控制系统如图3-2所示。试分析参数b的取值对系统阶跃响应动态

12、性能的影响。解 由图得闭环传递函数为系统是一阶的。动态性能指标为因此,b的取值大将会使阶跃响应的延迟时间、上升时间和调节时间都加长。解毕。例 3-12 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-34所示。试确定系统的传递函数。h(t)t0.1034图3-34 二阶控制系统的单位阶跃响应解 首先明显看出,在单位阶跃作用下响应的稳态值为3,故此系统的增益不是1,而是3。系统模型为bs然后由响应的、及相应公式,即可换算出、。(s)由公式得换算求解得: 、 解毕。例3-13 设系统如图3-35所示。如果要求系统的超调量等于,峰值时间等于0.8s,试确定增益K1和速度反馈系数Kt 。同时,确定在此K1和K

13、t数值下系统的延迟时间、上升时间和调节时间。1+Kts图3-35C(s)R(s)解 由图示得闭环特征方程为即 ,由已知条件 解得于是 解毕。图3-36 例3-14 控制系统结构图H(s)C(s)R(s)例3-14 设控制系统如图3-36所示。试设计反馈通道传递函数H(s),使系统阻尼比提高到希望的1值,但保持增益K及自然频率n不变。解 由图得闭环传递函数 在题意要求下,应取 此时,闭环特征方程为:令: ,解出,故反馈通道传递函数为: 解毕。例3-15 系统特征方程为试判断系统的稳定性。解 特征式各项系数均大于零,是保证系统稳定的必要条件。上述方程中s一次项的系数为零,故系统肯定不稳定。解毕。例

14、3-16 已知系统特征方程式为试用劳斯判据判断系统的稳定情况。解 劳斯表为 1 18 8 16 由于特征方程式中所有系数均为正值,且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有正号,满足系统稳定的充分和必要条件,所以系统是稳定的。解毕。例3-17 已知系统特征方程为试判断系统稳定性。解 本例是应用劳斯判据判断系统稳定性的一种特殊情况。如果在劳斯行列表中某一行的第一列项等于零,但其余各项不等于零或没有,这时可用一个很小的正数来代替为零的一项,从而可使劳斯行列表继续算下去。劳斯行列式为 由劳斯行列表可见,第三行第一列系数为零,可用一个很小的正数来代替;第四行第一列系数为(2+2/,当趋于零时为正数;第五行第

15、一列系数为(4452)/(2+2),当趋于零时为。由于第一列变号两次,故有两个根在右半s平面,所以系统是不稳定的。解毕。例3-18 已知系统特征方程为试求:(1)在右半平面的根的个数;(2)虚根。解 如果劳斯行列表中某一行所有系数都等于零,则表明在根平面内存在对原点对称的实根,共轭虚根或(和)共轭复数根。此时,可利用上一行的系数构成辅助多项式,并对辅助多项式求导,将导数的系数构成新行,以代替全部为零的一行,继续计算劳斯行列表。对原点对称的根可由辅助方程(令辅助多项式等于零)求得。劳斯行列表为 由于行中各项系数全为零,于是可利用行中的系数构成辅助多项式,即求辅助多项式对s的导数,得原劳斯行列表中

16、s3行各项,用上述方程式的系数,即8和24代替。此时,劳斯行列表变为 1 8 20 2 12 16 2 12 16 8 24 6 16 2.67 16新劳斯行列表中第一列没有变号,所以没有根在右半平面。对原点对称的根可解辅助方程求得。令 得到 和 解毕。例3-19 单位反馈控制系统的开环传递函数为试求: (1)位置误差系数,速度误差系数和加速度误差系数;(2)当参考输入为,和时系统的稳态误差。解 根据误差系数公式,有位置误差系数为 速度误差系数为加速度误差系数为对应于不同的参考输入信号,系统的稳态误差有所不同。参考输入为,即阶跃函数输入时系统的稳态误差为参考输入为,即斜坡函数输入时系统的稳态误

17、差为参考输入为,即抛物线函数输入时系统的稳态误差为 解毕。例3-20 单位反馈控制系统的开环传递函数为输入信号为r(t)=A+t,A为常量,=0.5弧度/秒。试求系统的稳态误差。解 实际系统的输入信号,往往是阶跃函数、斜坡函数和抛物线函数等典型信号的组合。此时,输入信号的一般形式可表示为系统的稳态误差,可应用叠加原理求出,即系统的稳态误差是各部分输入所引起的误差的总和。所以,系统的稳态误差可按下式计算:对于本例,系统的稳态误差为本题给定的开环传递函数中只含一个积分环节,即系统为1型系统,所以系统的稳态误差为 解毕。例3-21 控制系统的结构图如图3-37所示。假设输入信号为r(t)=at (为

18、任意常数)。证明:通过适当地调节Ki的值,该系统对斜坡输入的响应的稳态误差能达到零。Kis+1图3-37 例3-21控制系统的结构图C(s)R(s)解 系统的闭环传递函数为即 因此 当输入信号为r(t)=at时,系统的稳态误差为要使系统对斜坡输入的响应的稳态误差为零,即ess=0,必须满足所以 解毕。例3-22 设单位负反馈系统开环传递函数为。如果要求系统的位置稳态误差ess=0,单位阶跃响应的超调量Mp%=4.3%,试问Kp、Kg、T,各参数之间应保持什么关系?解 开环传递函数显然 解得:由于要求故应有 0.707。于是,各参数之间应有如下关系本例为I型系统,位置稳态误差ess=0的要求自然

19、满足。解毕。例3-23 设复合控制系统如图3-38所示。其中 , , 试求 时,系统的稳态误差。sK3C(s)图3-38 复合控制系统R(s)K1解 闭环传递函数等效单位反馈开环传递函数表明系统为II型系统,且当时,稳态误差为 解毕。例3-24 已知单位反馈系统的开环传递函数 。 试选择参数及的值以满足下列指标:(1)当r(t)= t时,系统的稳态误差ess0.02;(2)当r(t)=1(t)时,系统的动态性能指标Mp%30%,ts0.3s (=5%)解 开环增益应取K50 。现取K=60 。因故有,于是 取% ,计算得此时(S)满足指标要求。最后得所选参数为:K=60 T=0.02 (s)

20、解毕。例3-25 一复合控制系统如图3-39所示。图3-39 复合控制R(s)C(s)G2(s)G1(s)Gr(s)E(s)图中:K1、K2、T1、T2均为已知正值。当输入量r(t)= t2/2时,要求系统的稳态误差为零,试确定参数 a和b 。解 系统闭环传递函数为故 误差为 代入 及、, 得 闭环特征方程为 易知,在题设条件下,不等式成立。由劳斯稳定判据,闭环系统稳定,且与待求参数、 无关。此时,讨论稳态误差是有意义的。而若 则有系统的稳态误差为因此可求出待定参数为 解毕。E(s)C(s)N(s)R(s)2.5 图3-40 控制系统结构图例3-26 控制系统结构如图3-40所示。误差E(s)

21、在输入端定义。扰动输入是幅值为2的阶跃函数。 (1)试求K=40时,系统在扰动作用下的稳态输出和稳态误差。(2)若K=20,其结果如何?(3)在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节1/s,对结果有何影响?在扰动作用点之后的前向通道中引入积分环节1/s,结果又如何?解 在图中,令 ,则 代入,得 令,得扰动作用下的输出表达式 此时,误差表达式为 即 而扰动作用下的稳态输出为代入N(s)、G1、G2和H的表达式,可得,(1)当时,(2)当时,可见,开环增益的减小将导致扰动作用下系统稳态输出的增大,且稳态误差的绝对值也增大。若1/s加在扰动作用点之前,则,不难算得,若1/s加在扰动作用点之后,则,

22、容易求出可见,在扰动作用点之前的前向通道中加入积分环节,才可消除阶跃扰动产生的稳态误差。解毕。例3-27设单位反馈系统的开环传递函数为已知系统的误差响应为 (t0)试求系统的阻尼比、自然振荡频率n和稳态误差ess。解 闭环特征方程为由已知误差响应表达式,易知,输入必为单位阶跃函1(t),且系统为过阻尼二阶系统。故即,系统时间常数为令 得 代入求出的时间常数,得,稳态误差为实际上,I型系统在单位阶跃函数作用下,其稳态误差必为零。解毕。第四章例4-1 设系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹。解 根据绘制根轨迹的法则,先确定根轨迹上的一些特殊点,然后绘制其根轨迹图。(1)系统的开环极点为,是根轨迹

23、各分支的起点。由于系统没有有限开环零点,三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。 (2)系统的根轨迹有条渐进线渐进线的倾斜角为取式中的K=0,1,2,得a=/3,5/3。渐进线与实轴的交点为 三条渐近线如图4-13中的虚线所示。(3)实轴上的根轨迹位于原点与1点之间以及2点的左边,如图4-13中的粗实线所示。(4)确定分离点系统的特征方程式为即利用,则有解得 和 由于在1到2之间的实轴上没有根轨迹,故s2=1.577显然不是所要求的分离点。因此,两个极点之间的分离点应为s1=0.423。(5)确定根轨迹与虚轴的交点方法一 利用劳斯判据确定劳斯行列表为 12 32 0 2由劳斯判据,系统稳定时K的极限值

24、为3。相应于K=3的频率可由辅助方程确定。解之得根轨迹与虚轴的交点为。根轨迹与虚轴交点处的频率为方法二 令代入特征方程式,可得即 令上述方程中的实部和虚部分别等于零,即,所以 (6)确定根轨迹各分支上每一点的值根据绘制根轨迹的基本法则,当从开环极点0与1出发的两条根轨迹分支向右运动时,从另一极点2出发的根轨迹分支一定向左移动。当前两条根轨迹分支和虚轴在K=3处相交时,可按式求出后一条根轨迹分支上K=3的点为x=3。由(4)知,前两条根轨迹分支离开实轴时的相应根值为0.423j0。因此,后一条根轨迹分支的相应点为 所以 ,x=2.154。 因本系统特征方程式的三个根之和为2K,利用这一关系,可确

25、定根轨迹各分支上每一点的K值。现在已知根轨迹的分离点分别为0.423j0和2.154,该点的K值为即,K=0.195。系统的根轨迹如图4-1所示。图4-1 例4-1系统的根轨迹jS平面例4-2 设控制系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹。解 (1)系统的开环极点为0,3,(1j)和(1j),它们是根轨迹上各分支的起点。共有四条根轨迹分支。有一条根轨迹分支终止在有限开环零点2,其它三条根轨迹分支将趋向于无穷远处。(2)确定根轨迹的渐近线渐近线的倾斜角为取式中的K=0,1,2,得a=/3,5/3,或60及180。三条渐近线如图4-14中的虚线所示。渐近线与实轴的交点为(3)实轴上的根轨迹位于原点

26、与零点2之间以及极点3的左边,如图4-14中的粗线所示。从复数极点(1j) 出发的两条根轨迹分支沿60渐近线趋向无穷远处。(4)在实轴上无根轨迹的分离点。(5)确定根轨迹与虚轴的交点系统的特征方程式为即 劳斯行列表 18 5 0 6 若阵列中的s1行等于零,即(6+3K)150K/(34-3K)=0,系统临界稳定。解之可得K=2.34。相应于K=2.34的频率由辅助方程确定。解之得根轨迹与虚轴的交点为s=j1.614。根轨迹与虚轴交点处的频率为=1.614。(6)确定根轨迹的出射角根据绘制根轨迹的基本法则,自复数极点p1=(1j)出发的根轨迹的出射角为将由图4-14中测得的各向量相角的数值代入

27、并取k=0,则得到系统的根轨迹如图4-14所示。 0-j3-126.69045135j3j2j1-4-3-2jS平面图4-2 例4-2系统的根轨迹例4-3 已知控制系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹。解(1)系统的开环极点为0,0,5,20和50,它们是根轨迹各分支的起点。共有五条根轨迹分支。开环零点为0.125,有一条根轨迹分支终止于此,其它四条根轨迹分支将趋向于无穷远处。(2)确定根轨迹的渐近线渐进线的倾斜角为取式中的K=0,1,2,3得a=45和a=135。渐近线与实轴的交点为 (3)实轴上的根轨迹位于0.125和5之间以及20,与50之间。(4)确定根轨迹的分离点和会合点本例中,系

28、统各零点、极点之间相差很大。例如,零点0.125与极点之间仅相距0.125,而零点0.125与极点50之间却相差49.875。因此,可作如下简化:在绘制原点附近的轨迹曲线时,略去远离原点的极点的影响;在绘制远离原点的轨迹曲线时,略去零点和一个极点的影响。(A) 求原点附近的根轨迹和会合点略去远离原点的极点,传递的函数可简化为K(s+0.125)/s2。零点0.125左边实轴是根轨迹,并且一定有会合点。原点处有二重极点,其分离角为90。确定会合点的位置。此时,系统的特征方程式为或 利用,则有解之可得 s1=0.25, 即会合点;s2=0,即重极点的分离点。(B) 求远离原点的根轨迹和分离角略去原

29、点附近的开环偶极子(零点0.125和极点0),传递函数可简化为此时,系统的特征方程式为或表示为利用,则有解之可得s1=2.26 和 s2=40.3。分离点的分离角为90。注意,在零点0.125和极点5之间的根轨迹上有一对分离点(2.26, j0)和(2.5, j0)。(5) 确定根轨迹与虚轴的交点令代入特征方程式,可得整理后有 解之得 , 系统的根轨迹如图4-3所示图4-3 例4-3系统的根轨迹jS平面例4-4,设控制系统的结构图如图4-所示C(s)R(s)图4-4 控制系统的结构图图 3-10 标准化二阶系统试证明系统根轨迹的一部分是圆;解 系统的开环极点为0和2,开环零点为3。由根轨迹的幅

30、角条件得 s为复数。将代入上式,则有即取上述方程两端的正切,并利用下列关系有即这是一个圆的方程,圆心位于(3,j0)处,而半径等于(注意,圆心位于开环传递函数的零点上)。证毕。例4-15已知控制系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹,并确定系统稳定时K值的范围.解 (1) 系统的开环极点为0,1和2j3.46,开环零点为1。(2) 确定根轨迹的渐近线渐渐线的倾斜角为 取式中的K=0,1,2,得a=/3,5/3。渐进线与实轴的交点为(3) 实轴上的根轨迹位于1和0之间以及1与之间。(4) 确定根轨迹的分离点系统的特征方程式为即利用,则有解之可得,分离点d1=0.46 和 d2=2.22。(5)

31、确定根轨迹与虚轴的交点系统的特征方程式为劳斯行列表为 112K 3 -16 K 0 K若阵列中的s1行全等于零,即系统临界稳定。解之可得K=35.7 和 K=23.3。 对应于K值的频率由辅助方程确定。当K=35.7 时 ,s=j2.56;当K=23.3时 ,s=j1.56.根轨迹与虚轴的交点处的频率为=2.56 和=1.56。(6)确定根轨迹的出射角(自复数极点2j3.46出发的出射角)根据绘制根轨迹基本法则,有因此,开环极点2j3.46的出射角为1,2=54.5。系统的根轨迹如图4-17所示。由图4-17可见,当23.3 4时,闭环系统将出现一对实部为正的复数根,系统不稳定。所以,使系统稳定的开环增益范围为0K0, 先做出常规根轨迹。 系统开环有限零点z1=2,z2=4;开环有限极点为 p1=p2=0,p3=1,p3=3。实轴上的根轨迹区间为-4,-3,-2,-1。根轨迹有两条渐近线,且a=1,a=90。作等效系统的根轨迹如图4-8所示。图4-8 例4-7系统的根轨迹-4-3-2-10jS

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