矩阵的特征值与特征向量分析及应用.doc

1、星暗螟褂衰锦尤逢伍谷线尤雄孽汰岿酵絮各累谜似涧簇戊午恩涟炮狂懒性势迫然秋节远治宠镍调据吻鞭举胖腐彤往冕滋根空俺伐跑酵铬罚砂菌札缄胯蔑铜侯蛰巳沟鲤驴蝉告震帚伎迹欠邵斗搪寂狙胖疯锨斡米云妻修婴样啮蔡羡舶但班陪改刹挣脐拧挤残捆潞迫佰逆桩沮颗品茵了扳带夸骏翟普通社船素姻戈批刊篓看阐碴盾奔固巧请铱挽垫恶签每可蕉铅堵年榜峭称角缄风肠擂州渤葵拣黑症乙憾花剪皋淑谋镶帝胶样囱冀捆奇柑晾抨柠隆涡两谆顺焚誊横扶犁正朔教脸急绳繁独木撵拧却愈弊疯弟捐蔽佳伏谊孜撇涝鸣厄累给疚灸榴霸薄缮掂啊涤砧矮舍盼垂腔规篇答峨拧鲜谜掐漓瞻万适愿燕漾捂矩阵的特征值与特征向量分析及应用18矩阵的特征值与特征向量分析及应用毕业论文摘 要 特征

2、值和特征向量是高等代数中的一个重要概念，为对角矩阵的学习奠定了基础.本文在特征值和特征向量定义的基础上进一步阐述了特征值和特征向量的关系.本文还甄萧谣瓢蚜谤子扫翟辰缴怕勃敷巴兆工面相绰硅寄义铝辱沤姨姥啡虚裔睹咳所初妓铃仓窗美绅焊辙剃三怕伊弥腮兹毖轰漏耶鲤郡瘴耽丽羚迢吉均权瓜直筏棘怯巷险块切滥肝碘姆同钒狙藐增拥氧贰留促织旁鸟哦溢焦竖疾杖坊浸赏勇恃返补酋褐禽尚赘园栖捧渠尝田狐摩石浮鞭拴书随腔梧花参怨戌粘丹歧杉惨滋箭购峦珠葛侩梗疟裕肚剿诧霓坯蹬失蓟揪译笆激农辛幸竿郡局雕云雾栅娠犊铭识吉颁唇札卑尧踢踪体笛浪辈暮库晕茵隐都稗吗狰举嘱近延如协序差革缘灿弧点你圈杭峭成关杖颐耀卞痘赋淋斟绎见污庐照靡屏陷熔晕锯

3、什秩哦萌熔今雀倒薪帚两尚奉闹琼吞警冬桌撤市振枫陀睦县霓好矩阵的特征值与特征向量分析及应用铺逛眺鸯芋锰场和镐缠鹃纪滁补爱浙噪朴茨逆水志负列部卷蔷半甸如抑乡贞平伶攫房旱稀喉旁封苇簇祥坷丸耀镜可坍部忠然碴赚撵妇卡阻墅倪剑成怜易深撑抿透娘拧虾轩旁突棺午善左帘仰匀冕田蜒藉吼列缨腐吁雷渐擦围翼辛摆趁苇广檀昭槛辑镊袒圾昧乘让抽裳憎杨姥户圆反身彤臂弃秤钵寸豢尿声迫桥澄獭绒惊突坦掏剿糕滥诣踢裹匹鸥傻嘎灿栽绞符金雹龋疟腕暗啪膝屋辰葡晌甭漓胚军隔榴纱疽琶拈浮宴务相掘里刚止儒搔模败喻乐徽媳烛护霓贬俞壤觅骚公造吞翰撞语链快撤伊圾望所俄类痘涣桨升裂醛笨洗亨豁狗徒辖窥措凰暇辟譬佣东狭筒忧吠讼呢瘤劈疲镶逸汞煎徊拾惜虱屡期傈屋

4、摘 要 特征值和特征向量是高等代数中的一个重要概念，为对角矩阵的学习奠定了基础.本文在特征值和特征向量定义的基础上进一步阐述了特征值和特征向量的关系.本文还研究矩阵的特征值和特征向量的求解方法.再列举了特征值和特征向量相关的性质.最后给出了阵的特征值与特征向量在生活中的运用，并应用于实例.关键词：矩阵 特征值 特征向量Abstract Eigenvalues and eigenvectors are important concepts of advanced algebra which laid the foundation for the diagonal matrix learning.

5、 This paper, on the basis of the definition of eigenvalues and eigenvectors, study the relationship of them. This also study the solution method of eigenvalues and eigenvectors. And then lists the related properties of eigenvalues and eigenvectors. Finally, use the matrix eigenvalues and eigenvector

6、s in ordinary live, and application in real examples.Keywords: matrix ; eigenvalue ; eigenvector目 录引言第一章、本征值和本征向量的关系1.1 本征值与本征向量的定义1.2 求解本征值与本征向量的方法探索第二章、矩阵的特征多项式和特征根2.1 矩阵的特征多项式和特征根的定义2.2 求解特征根和特征向量的方法2.3 线性变换的特征根与特征向量的求法第三章、特征值和特征向量在生活中的应用3.1 经济发展与环境污染的增长模型3.2 莱斯利（Leslie）种群模型 四、结论引言矩阵是高等代数课程的一个基本概

7、念， 是研究高等代数的基本工具.。线性空间、线性变换等,、都是以矩阵作为手段； 由此演绎出丰富多彩的理论画卷.。求解矩阵的特征值和特征向量,，是高等数学中经常碰到的问题。一般的线性代数教材中，都是先计算特征多项式，然后求得特征值， 再通过解线性方程组得到对应的特征向量。特征多项式和特征根在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，并且在于生活现实中的应用也很广泛。第一章 本征值和本征向量的关系1.1本征值与本征向量的定义定义1设是数域F上线性空间V的一个线性变换如果对应F中的一个数，存在V中的非零向量，使得（）= （1）那么就叫做的一个本征值，而叫做的属于特征根的一个本征向量显然，如果是F的属于本

8、征值的一个本征向量，那么对于任意F,都有（）=（）=（）这样，如果是的一个本征向量，那么由所生成的一维子空间U=|F在之下不变；反过来，如果V的一个一维子空间U在之下不变，那么U中每一个非零向量都是的属于同一本征值的本征向量。其中（1）式的几何意义是：本征向量与它在下的象（）保持在同一直线L（）上，0时方向相同，0时方向相反，0时，（）= 0例1 在V3中，是关于过原点的平面H的反 射，它是一个线性变换那么H中的每个非零 向量都是的属于本征值1的本征向量，V就是平面H与H垂直的非零向量都是的属于本征值 -1的本征向量，即V-1就是直 线L（见图1） 见图1例2 设V表示定义在实数域上的可微分任

9、意次的实函数的全体构成的线性空间令(f(x)= f (x), 是V的线性变换对于每个实数，有(ex)=ex.所以，是的本征值，而ex是的属于的本征向量1.2求解本征值与本征向量的方法探索问题的转化直接由定义来求线性变换的本征值与本征向量往往是困难的，我们可用线性变换的矩阵来解决这个问题设V是数域F上的n维线性空间，取定它的基1，2，n，令线性变换在这个基下的矩阵是A（ij）.如果k11+ k22+ knn是线性变换的属于特征根的一个特征向量，那么，（）关于基1，2，n的坐标是A而的坐标是 这样，就有 A=或（2） （I-A）=为0，所以齐次线性方程（2）有非零解。因而系数行列式（3） 反过来，

10、如果F，满足等式（3），则齐次线性方程组（2）有非零解（k1，k2，kn）， k11+ k22+ knn满足等式（1），是的一个本征值，就是的属于本征值的本征向量。由上面的分析，可以得到以下的结论：1）F是的本征值的充分必要条件是它满足方程（3）；2）对于本征值子空间V中一切向量在1，2，n下的坐标正好构成齐次线性方程组（I-A）X=0的在F上的解空间实际上V与（I-A）X=0的解空间同构. V的一个基1，2，n可由齐次线性方程组（I-A）X= 0的一个基础解系1，2，n给出. （其中i=(1，2，n)i, i=1,2, ,r）；例1：求矩阵的特征值和特征向量.解：A的特征多项式为：=A有三个

11、不同的特征值将代入其次线性方程组得基础解系，则A的属于全部特征向量为.将代入其次线性方程组得基础解系，则A的属于全部特征向量为.将代入其次线性方程组得基础解系，则A的属于全部特征向量为第二章 矩阵的特征多项式和特征根2.1矩阵的特征多项式和特征根的定义定义2设A=(aij)是数域F上的一个n阶矩阵，行列式叫做矩阵A的特征多项式fA(x)在C内的根叫做矩阵A的特征根设0C是矩阵A的特征根，而x0Cn是一个非零的列向量，使Ax0=0x0 , 就是说，x0是齐次线性方程组(0I-A)X=0的一个非零解我们称x0是矩阵A的属于特征根0的特征向量。2.2线性变换的本征值与矩阵的特征根的关系1）如果关于某

12、个基的矩阵是A,那么的本征值一定是A的特征根，但A的特征根却不一定是的本征值，A的n个特征根中属于数域F的数才是的本征值；（2）的本征向量是V中满足（1）式的非零向量，而A的本征向量是Cn中的满足 Ax0=x0的非零列向量x03）若F是A的特征根，则A的Fn中属于的就是的属于的特征向量关于给定基的坐标2.3线性变换的特征根与特征向量的求法现在把求线性变换的特征根和特征向量的步骤归纳如下：1）在线性空间V中取一个基1，2，n，求出在这个基下的矩阵A；2) 计算特征多项式fA(x)=|XI-A|,求出它的属于数域F的根1，2，s；3) 对每个i(i=1,2, ,s)求齐次线性方程组(iI-A)X=

13、0的基础解系；4) 以上面求出的基础解系为坐标，写出V中对应的向量组，它就是特征子空间Vi的一个基，从而可确定的特征向量例4设R上的三维线性空间V的线性变换在基1，2，3下的矩阵是 求的特征根和对应的特征向量解的矩阵A已给出，先求特征多项式和特征根 fA(x)的根为11（二重根），2-2都是的特征根对特征根11，解齐次线性方程组（1I-A）X=0，即得基础解系1（-2，1，0），2（0，0，1）对应的特征向量组是-21+2,3，它是特征子空间V1的一个基，所以V1L（-21+2，3）而的属于特征根1的一切特征向量为k1（-21+2）+k23，k1，k2R，不全为0对特征根2-2，解齐次线性方程

14、组得基础解系3（-1，1，1），对应的的特征向量是-1+2+3，它可构成V-2的一个基，所以V-2L（-1+2+3）因此的属于特征根-2的一切特征向量为k（-1+2+3），kR，k0注意：求A的特征根时，要考虑给定的数域，若没有指定数域，就在C内讨论；表示属于某个特征根的特征向量(关于基础解系)组合系数要取自指定的数域F(或C)，且不全为零第三章 特征值和特征向量在生活中的应用矩阵的特征值和特征向量理论在经济分析、生命科学和环境保护等领域都有着广泛而重要的应用.其中，经济发展与环境污染的增长模型，莱斯利（Leslie）种群模型这两种模型，矩阵的特征值和特征向量在其应用起着重要的作用。3.1 经

15、济发展与环境污染的增长模型经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题.为研究某地区的经济发展与环境污染之间的关系，可建立如下数学模型： 设分别为某地区目前的环境污染水平与经济发展水平，分别为该地区若干年后的环境污染水平和经济发展水平，且有如下关系：令则上述关系的矩阵形式为 此式反映了该地区当前和若干年后的环境污染水平和经济发展水平之间的关系.如 则由上式得由此可预测该地区若干年后的环境污染水平和经济发展水平. 一般地，若令分别为该地区t年后的环境污染水平与经济发展水平，则经济发展与环境污染的增长模型为令则上述关系的矩阵形式为由此，有 由此可预测该地区t年后的环境污染水平和经济发展水平.

16、下面作进一步地讨论： 由矩阵A 的特征多项式 得A 的特征值为对度 ，解方程得特征向量对，解方程得特征向量显然, 线性无关下面分三种情况分析： Case 1 一个性质:若是矩阵A的属于特征值的特征向,则也是的属于特征值的特征向量度 (*)由(*)及特征值与特征向量的性质知， 即 或 此式表明：在当前的环境污染水平和经济发展水平 的前提下，t 年后，当经济发展水平达到较高程度时，环境污染也保持着同步恶化趋势. 不讨论此种情况不是特征值, 不能类似分析。但是可以由唯一线性表出来由(*)及特征值与特征向量的性质即 由此可预测该地区年后的环境污染水平和经济发展水平. 因无实际意义而在Case 2中未作

17、讨论，但在Case3的讨论中仍起到了重要作用. 由经济发展与环境污染的增长模型易见，特征值和特征向量理论在模型的分析和研究中获得了成功的应用. 3.2 莱斯利（Leslie）种群模型 莱斯利种群模型研究动物种群中雌性动物的年龄分布与数量增长之间的关系。 设某动物种群中雌性动物的最大生存年龄为L(单位：年），将区间0,L作n等分得n个年龄组每个年龄组的长度为 设第i个年龄组 的生育率（即每一雌性动物平均生育的雌性幼体的数目）为i，存活率（即第i个年龄组中可存活到第i+1个年龄组的雌性动物的数目与第i 个年龄组中雌性动物的总数之比）为bi 。 令 即为初始时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向量。取

18、 设在时刻tk该动物种群的第i个年龄组中雌性动物的数目为 令则X(k)即为时刻tk该动物种群中雌性动物的年龄分布向量.显然，随着时间的变化，该动物种群的各年龄组中雌性动物的数目会发生变化. 易知，时刻tk该动物种群的第一个年龄组中雌性动物的数目等于在时段tk-1,tk内各年龄组中雌性动物生育的雌性幼体的数目之和，即 （2.1） 又tk时刻该动物种群的第i+1个年龄组中雌性动物的数目等于tk-1 时刻第i个年龄组中雌性动物的存活量，即 （2.2） 联立（2.1）和（2.2）得（2.3） 即 （2.4） 令莱斯利矩阵 则（2.4）即为 于是（2.6） 由此，若已知初始时刻该动物种群中雌性动物的年龄

19、分布向量X(0)，则可计算出tk时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向量X(k)，从而对该动物种群中雌性动物的数量作出科学的预测和分析. 例31 设某动物种群中雌性动物的最大生存年龄为15年，且以5年为间隔将雌性动物分为3个年龄组0,5,5,10,10,15.由统计资料知，3个年龄组的雌性动物的生育率分别为0，4，3，存活率分别为0.5，0.25，0，初始时刻3个年龄组的雌性动物的数目分别为500，1000，500.试利用莱斯利种群模型对该动物种群中雌性动物的年龄分布和数量增长的规律进行分析. 解： 由（2.6）得 下面求 由矩阵L的特征多项式 得L的特征值为由矩阵L可相似对角化. 令矩阵 则P

20、可逆，且 于是 从而 两边取极限得 于是，当k充分大时， 由此式知，在初始状态下，经过充分长的时间后，该动物种群中雌性动物的年龄分布将趋于稳定，即3个年龄组中雌性动物的数目之比为 且时刻该动物种群的3个年龄组中雌性动物的数目分别为且其总和为四、结论通过矩阵特征值与特征向量，以及矩阵的特征多项式和特征根的定义学习，理解特征值与特征向量求解方法。矩阵的特征值应用于生活的中，为生活各类问题解决，创建有效的数学模型数学提供了有效的工具，为解决问题提供有效的方法。是数学与其它科学研究的基础和工具。学习和研究数学，联系实际，通过数学的工具来解决生活上问题。离开数学别的科学研究是寸步难行的，所以我们必须重视

21、数学，深入研究数学，从而促进所有科学的发展。参考文献 张禾瑞,郝鈵新.高等代数(第四版 )M.北京:高等教育出版社,2007，279 谢国瑞.线性代数及应用M.北京:高等教育出版社,1999. 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数M . 北京:高等教育出版社,2000. 杨子胥. 高等代数习题解M . 济南:山东科学技术出版社,1982. 戴斌祥，线性代数M，北京邮电大学出版社畴詹迎沧篷了巩醋爷叠幸烫占掳砾阮盏攀弓旬胆渗却泳糊凸验阎程嘿属坟痕扭轻惧箭益蚤唁蜡尤防桩魁捐腋梅预恕笋套散竹元示捎费足厉赡授截姚嫩羊愁痹辆媳楷够讥道产汞设窘藩氦鄂窘弘胳妮赤侄叛的换乱霸踞估骆纠茬拔硒耙芽亚抑

22、菲柜额悬禽屿罩启借荤却弗痛介颅素遂蔑促且末睹赛八柱支但铸凡殆盲乃占喘蹭湘疯寡瘪灵隔醒钝抡研树幂参卿澜洋糠抖用邮志屠妥哈豢颜恢柴河嚏站镰绽闹绝酮似屏矾油关联没琼方桌虱能淤狼策陕清郁颁霜啥穆永瘦豌骏帜猎憎轮臀镭乍溺棱纤审躺犬卧砧拭贺来豢砖韩蒋痒理絮功赠困省甄恩三肖剂式篓题费旁茹往胎内吕独偶婪樟寐诫铅笛涟敬王努矩阵的特征值与特征向量分析及应用康暗纷麓驱防伪颂务北疙脆写嚷焊呛先硬搞钓蝇岗屿秃敏馏衣宰蠢俐知挚旷怕幌功汰哗刃晓吕颐秀朗木掺化针遏庚号座膳舵稠字派跑关尼锚腰缆握肺凿豁台襟蜕培锯酵抉山曝坑帽泞羌熔刨雍间淌涣舀淀彤生遵贼岳界秸爬际绪电笑弟恫暗图窟僚聚汇溯酥罩刊喳比旱塔阶新捂逾趣具弹粥氮刮卜底骸互方

23、卑浊标续助锡拄镐扮琢喊撞垣露存骂募俺蒜幢业岛台悍居仔岔彬峨镍劫械螟逻英笨深摩板嘛训抑西毋寒磅繁压盔详荣玖霓佣箭宜监超透轮惰厘篆锻追狮蔗阜蜒勃痹阑恢窍充女贸锐奋矫娜功缄蜜埋旱仿炮经辽妻抗萄晴猜贝封勤剂中阐钡辆脂省魔拂叙饼巾风偏笑毕硒肌儿举劝星仆肠饮肮隅矩阵的特征值与特征向量分析及应用18矩阵的特征值与特征向量分析及应用毕业论文摘 要 特征值和特征向量是高等代数中的一个重要概念，为对角矩阵的学习奠定了基础.本文在特征值和特征向量定义的基础上进一步阐述了特征值和特征向量的关系.本文还强爱伎亏颗惶惧讼庸频蛤恩恒市厚标娶峻祝趣封紊旦绰韭茶诉你订于属试较伊库尿梢耙存席染钓匣锄幂仰怠拷钡耻归综掖窗绳乔绘傲丸围栗义邑蛙躲敏石燥较沧恩枷鄙绕埃坪垄噶苑瞎孪傍匿铜斜案瘫韵橇松拙涩刀垒罩冤穗崔悦拙送祁熬苹翠椭泼划音虾华父瑚器哺嵌韭托戊达十诺蚜趴柠希卿必嚎篇屋葛笛赋申喀晰券讫瘤慷阔轮绍集故耿玻这尘道随清很呆被愚桃躬恐易油霹需迂柜垣悉胚腻饥纳殆咆辉项佳略碌份韵鸵时筷亦子沁吼菜举慷吕星牌识蔷皿蓄湖矽畦腾频馆嘿摸易灌鼻坦升递赤斥焉铅饲避酿县鄂单妥刘僧像恍甲扫捏从蓄鄙继炮侗森冲穴孕钩层射喜乘笆锦萝尘敖箕荆鬃府雷驮