设计与三重积分的计算方法总结.doc

1、三重积分的计算方法总结摘要三重积分可用于求空间立体的体积及空间物体的质量，在几何与力学中也有广泛的应用，因此三重积分的计算显得非常重要。本文给出了三重积分的概念及基本性质，在此基础上总结了三重积分的几种计算方法。首先，给出了在直角坐标系下将三重积分转化为三次累次积分的“先一后二法”和“先二后一法”，接着介绍了三重积分的柱面坐标变换和球面坐标变换以及由此引申的广义柱面坐标变换和广义球面坐标变换，最后又给出了利用对称性和奇偶性的计算方法，并作了推广即重积分的计算。每种方法都有相应的例题，以此加深了对这些方法的理解及应用。三重积分的计算方法很多，本文主要从以上四个方面对三重积分的算法进行了概括总结，

2、使三重积分的计算系统化。关键词：三重积分，计算方法，坐标替换Three the calculation of multiple integral methodsAbstractThree points could be used to calculate the spatial volume and spatial object quality, in geometry and mechanics, but also has a wide application, so in three the calculation of multiple integral is very importan

3、t.This paper gives three integral concept and its basic properties, are summarized on the basis of three integral of several calculation methods. First of all, given in Cartesian coordinates triple integral into three times of repeated integral one after two and after the first two a law, then intro

4、duces the three integral cylindrical transform of coordinate and spherical coordinate transformation and the extended generalized cylindrical coordinate transform and generalized spherical coordinate transformation, finally, given the use of symmetry and parity calculation method, and made the promo

5、tion that the calculation of multiple integral. Each method has a corresponding example, to deepen to the understanding of these methods and application.Three integral calculation methods, this article mainly from the above four aspects of three integral algorithm is summarized in this article, the

6、three triple integral calculation system.Key words: Three integral ，Calculation method ，Coordinate substitution目 录1引言12 三重积分的概念1 三重积分的基本性质23.1常值函数的积分值2.函数线性组合的积分2.积分对区域的可加性3积分的不等式性质3.积分的值与被积函数在分片光滑曲面上的值无关3三重积分的计算方法3在直角坐标系下将三重积分转化成三次累次积分进行计算4当空间积分区域是由长方体、四面体或任意体形成时，将三重积分转化成三次累次积分4用“先一后二”的方法计算三重积分4用“先

7、二后一法”计算三重积分642三重积分的变量替换法8421一般原理 体积元素84.2.2 球面坐标变换10423 柱面坐标替换114.2.4 其他变量替换124.3 利用积分区域的对称性以及被积函数的奇、偶性来进行计算144.4 三重积分算法推广重积分的计算15441 仿射变换155结论196参考文献197致谢19201引言.三重积分的计算核心是将其转化为累次积分，这对初学者来说，一般都感到困难较大，困难的原因主要表现在不会确定累次积分的上下限(即对积分区域不能准确的认识)，本文着重总结概括在直角坐标系下与柱面坐标系下如何将三重积分化为累次积分以及用柱面坐标变换和球面坐标变换的方法计算三重积分.

8、在物理学中物体的质心与形心、物体的转动惯量、物体间的引力的计算以及几何中的立体体积、曲面面积的计算，这些都涉及到三重积分的计算问题，因此研究其计算方法显得更加重要，本文就依此问题进行展开。2 三重积分的概念. 假设区域是三维空间里的有界闭区域,函数在区域上有定义并且有界。通过分割、采样等四个步骤，可以引出三重积分的概念。简述如下:分割 分片光滑曲面把区域分割成有限个子区域： .用表示第k个子区域的体积（k=1,2,n）,用表示第k个子区域的直径（一个有界闭区域的直径，是“区域上任意两点距离的最大植”），用表示各个子区域的最大直径：.这里要求采样 在每个子区域上分别任取一个样点，设为.求出函数在

9、这些样点上的值，并乘以相应子区域的体积，得到n个乘积值：.求和 把这些数值相加，得到和数.求极限 令若和数的极限存在，并且极限值不仅与分割方式无关，而且与样点的选取无关，则称函数在区域上是可积的，极限值叫做函数在区域上的三重积分，记号为.其中各个符号的表示意义如下： ：被积函数.：被积表达式或积分元素.: 体积元素.:积分变量.有界闭区域：积分区域.3.三重积分的基本性质.3.1 常值函数的积分值常值函数在任何有界闭区域上可积，并且对于区域上的常值函数， (V表示区域的体积).函数线性组合的积分如果函数和都在区域上可积,那么它们的线性组合仍然可积(都是常数),并且 .积分区域的可加性设是区域上

10、的有界函数,把区域用分片光滑的曲面分成两个子区域:.如果在每个子区域上函数可积,那么在整个区域上函数也可积,并且 .积分的不等式性质设函数在区域上可积，如果.那么.积分值与被积函数在分片光滑曲面上的值无关设函数在区域上可积,是区域上的分片光滑曲面.曲面上,改变函数的值,(在其他点上不改变).假设得到新的函数.如果函数在区域上有界,那么它还是可积函数,并且跟函数有相同的积分值.三重积分的计算方法. 在直角坐标系下将三重积分转化成三次累次积分进行计算 当空间积分区域是由长方体、四面体形成时，将三重积分转化为三次累次积分例1 计算三重积分其中.解：因积分区域是长方体，故. 用“先一后二”的方法计算三

11、重积分首先，介绍一个定理：定理：若函数在长方体上的三重积分存在，且对，二重积分存在，其中，则积分也存在，且 . (1)证明：用平行于坐标面的平面网作分割，它把分成有限个小长方体.设分别为在上的上、下确界。对于上任一点，在上有.现按下标相加,则有 及 . (2)上述不等式两边是分割的下和与上和.由于在上可积,当时, 下和与上和具有相同的极限,所以由(2)式得在上可积,且.由直角坐标系下的二重积分可知,若(1)式右边的二重积分可化为累次积分来计算,于是我们就能把(1)式左边的三重积分化为三次积分来计算.如化为先对z,然后对y,最后对x来积分,则为.为了讨论一般区域上的三重积分计算,先研究一类简单区

12、域上的积分,设积分区域由集合所确定,这里在平面上的投影区域上是一个x型区域,它对于平行于z轴且通过D内点的直线与V的边界至多交于两点.现设在V上连续,在D上连续,在上连续,则有 . （3）同样地，当把区域投影到平面或平面上时，也可写出相应的累次积分公式。对于一般区域上的三重积分，常可把它分解成有限个简单区域上的积分和来计算。例2：计算，其中为由平面与所围的区域。解 ：在平面上的投影区域是型区域，这里,由公式(3)有. 用“先二后一法”计算三重积分 一般地，若积分区域是型，型，型区域，且被积函数形如等，则采用“先二后一法”.现在计算积分. 为此做下面的工作：把立体域向坐标轴投影.例如向轴投影，假

13、设得到区间，（立体域恰好夹在平行面之间）.在区间的内部任取一点，过点做垂直于轴的平面，假设它与立体域的截面是.在截面上，求积分.具体方法是：把截面向坐标面投影，在投影上求二重积分（把看成常量）.于是，函数在立体域上的积分表示为.简写为.这种方法的特点是：先关于求二重积分，后关于求定积分。因此叫“先二后一法”.类似还有其他两个先二后一法： 先关于求二重积分，后关于求定积分. 先关于求二重积分，后关于求定积分.例3：求积分是锥面和平面围成的立体域.解：把立体域向轴投影，得到区间,在这个区间上任取一点，过点作垂直于轴的平面与立体域的截面是.截面在平面上的投影是平面域：.应用先二后一法，有.其中的积分

14、等于截面的面积.因此，.最后得到的积分值是.例4：求.其中是椭球体 : .解：由于.其中.这里表示椭圆面： 或.它的面积为:.于是 .同理 .因此 .42 三重积分的变量替换法421 一般原理 体积元素(1)从体积的求法说起关于立体域的体积，分两种情形研究.第一种情形 直接求立体域的体积,这时用公式.例5：平面跟三个坐标面围成了四面体，体积为 .但在很多情况下，体积问题并不是很简单，需要采取间接的办法.第二种情形 假设存在一个一一对应的映射，把某个立体域映射为的体积 .假设这个映射是 （4）.如果这三个函数有一阶连续偏导数，那么这个映射的雅可比行列式为.在这种情况下，关于立体域的体积，有下面的

15、结论.定理 421:假设映射（4）是一一对应的，立体域的边界是分片光滑的，并且雅可比行列式处处不等于0.（在有限个分片光滑的曲面上，这些条件可以有例外），立体域的体积为.此结论说明：立体域的体积可以表示为“雅可比行列式在立体域上的三重积分”.记 ，把它叫映射（4）下的体积元素.(2)三重积分的变量替换：一般原理现在计算积分（被积函数在区域上连续）再看一个定理.定理4.2.2：在定理421的条件下，.为了得到右端的被积表达式，只需在左端的被积表达式中，把变量用参数函数代替，再把用体积元素代替.4.2.2 球面坐标变换球面坐标替换：.这里 ：点到原点的距离. ：向量与轴的夹角. ：向量与的夹角.

16、(是点在坐标面上的投影）.根据这样的对应关系，有三重积分的球面坐标替换，雅可比行列式是：.故体积元素的表达式是:.于是，三重积分的球面坐标替换是.表示跟立体域对应的有界闭区域，确定方法如下： 做两个半平面：，使立体域恰好夹在它们之间. 在半平面和之间，任取一个半平面，使它和“坐标面前半部分”的夹角恰好是，用表示半平面跟立体域的截面：.在半平面上，把轴看成极轴，根据截面的形状，确定变量的积分限（相当于“在二重积分的极坐标替换中确定积分限”）.这样确定的区域可以表示为:.因此，三重积分的球面坐标替换就有下面的形式：. .例6：求积分，是由下述球面和锥面围成的立体： .解：角的变化范围是.在平面上，

17、根据截面确定变量的变化范围：.于是.423 柱面坐标替换柱面坐标替换 ：.这里 . ：向量与轴的夹角. ：同点p的直角坐标里的z.(是点p在坐标面上的投影).根据这样的对应关系,有三重积分的柱面坐标替换, 雅可比行列式是:.因此体积元素的表达式.三重积分的柱面坐标替换为:.表示跟立体域对应的有界闭区域,确定方法如下:( 对立体域的形状有一定的要求,例如:平行于z轴,通过区域内点的直线,跟区域的边界恰好有两个交点:中心轴是z轴的柱体,就是这样的典型代表). 把立体域向坐标面投影,假设投影域是. 根据平面域D的形状,确定变量的积分限.(相当于在二重积分的极坐标替换中,确定积分限). 任取,过点做平

18、行于z轴的直线,假设它与立体域的边界恰好有上下两个交点: 关于上面的交点,设. 关于下面的交点,设.这样确定的区域可以表示为.于是，三重积分的柱面坐标替换就有下面的具体形式:.例7: 求积分,是圆柱体.解:对于柱体,变量的变化范围是:.因此,.4.2.4 其他变量替换(1)广义球面坐标替换这种替换的形式是 : .它的雅可比行列式是 :.故体积元素的表达式是 : .因此,三重积分的广义球面坐标替换是:.此公式的使用方法类似于球面坐标替换.例8: 求积分,是椭球体.解: 采用广义球面坐标替换,.(2)广义柱面坐标替换这种替换的形式是 .它的雅可比行列式是 .因此体积元素的表达式是 .于是,三重积分

19、的广义柱面坐标替换为:.此公式的使用方法类似于柱面坐标替换.例9: 求积分,是椭圆柱体.解:采用广义柱面坐标替换.4.3 利用积分区域的对称性以及被积函数的奇、偶性来进行计算 (1) 若空间闭区域是关于面对称，即，则当，即被积函数在上关于z的奇函数时,.当,即被积函数在上关于z为偶函数时, .是面上侧的部分.积分区域关于其他两个坐标平面对称时,被积函数是的奇,偶函数时也有上述的相应的结论.例10:计算.解:积分区域是关于面对称,被积函数是z的奇函数,故积分值为零.(2)若空间区域是关于z轴对称,即,则当在上是的奇函数时,.当在上是的偶函数时,是位于过z轴的平面一侧的部分.例11:计算所围成的空

20、间闭区域.解: 积分区域是关于z轴对称的,被积函数是的偶函数, 将积分区域在第一卦限的部分记作,则 .(3) 若空间区域关于原点对称,即,则当在上是的奇函数时,.当在上是的偶函数时,是过原点的平面一侧的部分.例12: 计算所围成的四面体.解:积分区域关于坐标原点是对称的,被积函数是的奇函数,因此积分值等于零.(4)若空间区域具有轮换对称性,即 .例13:计算,及三个坐标平面所围成的区域.解:因,积分区域具有轮换性,故,于是.4.4 三重积分算法推广重积分的计算在上面介绍了三重积分的几种算法，其中的一些方法有一定的局限性：只能向坐标轴或坐标面做投影。一个自然的问题就是能否向任意方向做投影得到计算

21、公式？比如，考虑下面的简单图形：.其中为中的向量.当且线性无关时，为平面上的平行四边形.若这个平行四边形有一条边和坐标轴平行，则用投影法可以得到其面积公式，下面看一下一般情形的处理.441 仿射变换(1)平移变换设为固定的向量，考虑仿射线性变换根据矩形体积的平移不变性容易知道，如果可求体积，则也是可求体积的，并且体积不变，这可称为体积的平移不变性.（2）伸缩变换设考虑线性映射，.矩形在下的像仍为矩形（可以退化），其体积为.将矩形换成一般的可求体积的图形，上述公式仍然成立，这可从下面的覆盖引理看出.引理441 （覆盖引理之一） 设为中可求体积的有界集合，则，存在有限个矩形与使得.其中的内部互不相

22、交.证明：取包含的矩形，由体积的定义，有.因此，存在的分割，使得.根据特征函数的定义，显然有.因此，对于分割就有.同理 .此时有 .于是证明了引理.注：从证明可以看出，那些内部与有非空的矩形的体积之和不超过，由于包含于这些矩形以及其它矩形边界的并集之中，因此这给出了可求体积的有界集合的边界必为零体积集的另一证明.同时，也可以看出伸缩变换将可求体积的集合变为可求体积的集合.例14：求维单形的体积.解：利用伸缩变换,易见.简单起见，记，求出即可.利用投影法，有.由以及上述递推式即得 .因此 .引理442 （覆盖引理之二） 设为中可求体积的有界集合，则，存在有限个维球体与，使得.其中的内部互不相交.

23、证明：先设.取矩形，使得，将作等分，当充分大时，完全包含于的小矩形的体积之和满足条件:.矩形的内接球记为，则由球体公式有:.记 .则 且.对重复上述过程，可得包含于的有限个维球体，使得.继续重复这一过程，由于，对，得到内部互不相交的有限个维球体，使得（充分大）.对于，仍然考虑矩形的等分，当充分大时，存在覆盖的小矩形，使得.矩形的外接球记为，则.这说明是覆盖的维球，它们的体积之和满足引理的要求.（3） 正交变换推论443 正交变换保持体积不变证明：注意到正交变换将维球映成维球，且球的半径不变（从而体积不变），特别地，根据覆盖引理，正交变换将零体积映成零体积集.再注意到正交变换将集合的边界点映为边

24、界点，内点映为内点，因此将可求体积的集合映为可求体积的集合.再由覆盖引理以及正交变换保持球体体积不变即知正交变换保持可求体积集合的体积不变. 现在考虑比仿射线性变换更一般的的映射，看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设为映射，即存在常数，使得 .引理444 设为如上的利普希茨映射，为可求体积的集合，如果可求体积，则.特别地，将零体积集映为零体积集.证明：根据覆盖引理二，任给，存在覆盖的维球体，使得.设以为中心,以为半径的维球中,因为，故有.由的任意性即知.注：从证明可以看出，对于局部的利普希茨映射也有类似的结果.引理445 （重积分的变量替换）设为单射，且非退化.设为可求体积的有界集合，为

25、连续函数，则.证明：由题设以及逆定理知为可逆的连续可微映射，其逆映射也是连续可微的，因此，因为是零体积集，故也是零体积集，从而是可求体积的有界集合.根据覆盖引理，不妨设是一个矩形.任给的分割有.根据在上的连续性，当时上式最后一项趋于零，从而得证.例15：设是由以及围成的区域，计算积分 .解：积分区域是一个三角形，被积函数在上连续，在上有界，用线性变换简化被积函数，令解出.关于的行列式为.在这个线性变换下，被积区域变为如下三角形区域.故, .结论本文首先给出了三重积分的概念,在此基础上得到三重积分的性质.主要介绍了三种求解三重积分的方法,首先介绍了在直角坐标系下将三重积分转化为三次累次积分的三种

26、方法,使三重积分化为易于计算的三个定积分,然后给出了用球面坐标变换和柱面坐标变换以及广义的球面坐标变换和广义的柱面坐标变换的方法,最后利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性的特殊方法解决问题,依此又得出了重积分的计算方法 ,使得物理学中物体的质心与形心、物体的转动惯量、物体间的引力的计算以及几何中的立体体积、曲面面积的计算变的简单,三重积分的应用更加广泛.参考文献1华东师范大学数学系.数学分析（下册）M.第三版.北京：高等教育出版社，2001.2 丁晓庆.工科数学分析(下册). 北京:科学出版社,2002.9.3梅加强. 数学分析(第一版). 北京: 高等教育出版社，2011.7.4四川大学数

27、学系高等数学(第二册)M2版北京：高等教育出版社，1988：1631745同济大学应用数学系高等数学(下册)M5版北京：高等教育出版社，2002：1011206潘正义.对三重积分方法的一些看法J.数学学习.1997 (1):30.7吉米多维奇.数学分析习题集题解.山东科学技术出版社，2000. 8王云丽，运用对称性简化直角坐标三重积分计算，河南教育学院学报（自然科学版。2004，13（3）. 9方壮，运用对称性简化球面坐标三重积分计算，黄山学院学报，2007，9（5）. 10徐翠忠。函数奇偶性与对称性在重积分上的推广，科教导刊2009（12）.致谢本论文是在原冠秀老师的亲切关怀和悉心指导下完成的.原老师严肃的科学态度,严谨的治学精神,精益求精的工作作风,诲人不倦的高尚师德,朴实无华、平易近人的人格魅力,都深深地感染和激励着我.从题目的选择到论文的最终完成,她始终给予我精心的指导和不懈的支持.在此谨向原老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.在论文即将完成之际,我的心情无法平静,从开始进入课题到论文的顺利完成,有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助,在这里请接受我诚挚的谢意!.忽略此处.