数理经济学期末论文 针对经济增长问题的数学模型.doc

1、目录针对经济增长问题的数学模型1摘 要1一. 问题重述3二 模型的假设与符号说明3三. 问题分析4四.问题一的解答4五. 问题二的解答8录10附录一：10附录二：11附录三12附录四13附录五13附录六15 针对经济增长问题的数学模型摘 要随着经济的快速增长,研究GDP显的的越来越重要。本文就常见的工业、建筑业及农林渔业三个领域进行研究。其中国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系实际上就是GDP与投资及总人口的自然增长率之间的关系。针对问题一,利用Excel分析工业值、建筑业及农林渔业产值分别占GDP比例可以得到对应的数量关系,通过求散点图,线性回归得到它们与GDP的关系。之后通过Excel建

2、立工业、建筑业及农林渔业产值各自的增长曲线然后建立散点图,线性回归分析得出它们的增长函数，并进行未来的预测。针对问题二,根据经济学中的Cobb-Douglas生成函数和投资与劳动力增长的散点图,可进行线性回归分析，构建函数。之后通过对近几年来的数据来验证函数的准确度。本论文采用了大量的图表和数据作为理论依据,并建立了多个函数模型,再通过相对误差来选取最佳函数模型。本论文的数学模型的推广上有很大的发展空间,可推广与多个领域.比如体育,军事,教育等。 关键词：折线图 Cobb-Douglas生成函数 线性回归 最优拟合度 一. 问题重述1.1问题背景国内生产总值(Gross Domestic Pr

3、oduct,简称GDP)是指在一定时期内(一个季度或一年)，一个国家或地区的经济中所生产出的全部最终产品和服务的价值，常被公认为衡量国家经济状况的最佳指标。它不但可反映一个国家的经济表现，更可以反映一国的国力与财富。1.2问题重述：(1) 建立国内生产总值与工业值、建筑业及农林渔业产值之间的数量模型，利用数据对未来经济做出预测；(2) 讨论国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系。利用数据验证其结果。二 模型的假设与符号说明2.1模型的假设(1)问题一中假设只考虑工业、建筑业及农林渔业产值分别与GDP的关系。(2)问题一中假设工业值、建筑业及农林渔业之间没有相互影响。也就是工业、建筑业及农林渔业

4、之间没有函数关系。(3)问题二中假设只考虑国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系，不考虑其他因素。(4)不考虑特殊情况,排除不相关因素。(5)假设它们之间存在函数关系。(6)假设附录四、附录五、附录六中所给数据都是客观真实的。2.2符号说明符号符号说明在t年工业值占GDP总量的比例在t年建筑业产值占GDP总量的比例在t年农林渔业产值占GDP总量的比例在t年的工业产值在t年的建筑业产值在t年的农林渔业产值在t年的GDP总量在t年的投资总量在t年的劳动力投资在GDP中占有的份额劳动力在GDP中占有的份额内部系数单位劳动力的GDP单位劳动力的投资年份三. 问题分析(1)问题一,根据附录一中的表格可以

5、得出工业、建筑业及农林渔业产值分别占GDP比例；利用Excel根据线性回归得到相关的函数。然后可以通过相对误差以此来检验函数的准确性。然后通过附件一的数据来得出工业值、建筑业及农林渔业产值的增长曲线,以此来推导出函数表达式.来对未来进行预测,然后可以有上一步中的函数来进行相互验证。(2)问题二中可以根据函数来进行预算。根据线性规划可以预测出和然后通过数值推出和。然后通过折线图作出的图形再作比较。验证函数构造的准确度。四.问题一的解答1. (1)由图1利用Excel根据折线图得到如下模型：线性函数：对数函数： 指数函数： 图1乘幂函数： 多项式函数（5阶）：最后经过Excel拟合优度分析（见附录

6、三）得到的最优函数是： 图2（2）由图1可看出建筑业产值占GDP总量的比例所呈关系, 利用Excel根据折线点图得到如下模型:线性函数： 对数函数： 指数函数：乘幂函数：多项式函数（5阶）： 最后经过Excel拟合优度分析（见附录三）得到的最优函数是：图3（3）由图1并不能明确看出农林渔业产值占GDP总量的比例关系。利用Excel根据折线图得到如下模型：线性函数：对数函数：指数函数：乘幂函数： 多项式函数（5阶）：最后经过Excel拟合优度分析（见附件三）得到的最优函数是： 图42. (1)由图5看出工业产值的增长曲线近似一个指数型函数,用线性规划回归得函数.图5预测2010年的产值为1523

7、67.7亿元而官方统计为大约 155000亿元。 图6(2)由图6看出建筑业产值的增长曲线近似一个多项式,用线性规划,回归得函数 预测2010年的产值为25548.73亿元而官方统计为大约25000-26000亿元。图7(3)由图7看出农林渔业产值的镇长曲线也近似一个多项式,用线性规划,回归得函数 预测2010年的产值为37219.65亿元而官方统计为大约37000-38000亿元。五. 问题二的解答1. 用,来表示在t年的GDP总量,投资总量,劳动力总量,它们之间的关系一般记作 (1)2. 引入记号 , (2) 是单位劳动力的GDP,是单位劳动力的投资,如下假设是合理的:随的增加而增长,但增

8、长速度递减.进而简化假设为 , , , (3)常数c可以看做成一个内部系数.由(2),(3)式可得 , (4)对(4)式两边取对数然后载关于t求导得上式表示三个变量的相对增长关率之间的线性关系,再对(4)两端关于K,L求偏导数可得 , , (5)式分别成为产量对资金和劳动力的弹性.是投资在GDP中占有的份额, 是劳动力在GDP中占有的份额.的大小直接反映了投资,劳动力而这对于创造GDP的轻重关系图82.(1)然后通过数据(见附件二)得出图8然后通过线性规划,回归得到投资增长的函数:图9图10(2)然后通过数据(见附录六)得到图9和图10然后通过线性规划,回归得到人口的增长曲线.因为劳动力和人口

9、有着密切联系,劳动力的增长可以近似看作人口的增长.于是得到函数(3) 根据数据求得 , (4) 最后得到表达式其中 （5）把2010代入公式得到40127亿元而2010年实际GDP是39783亿元 ，由此可知函数的准确度较高。 录附录一：年份x工业所占比率建筑业所占比率农林渔业所占比率19780.440851612130.0379126899790.2818856624819790.435609970130.0353962330930.3126564796719800.439213628690.0430083968990.3017392444619810.418941878060.042356

10、4064380.3189437946519820.405650481420.0414036263470.3334428342919830.396889070770.0452088662020.33052716719840.385021478980.0437204382910.3197361789519850.381462281230.0462241097590.2836491106319860.386106052390.0511661083290.2714218302119870.38054488940.0552502916310.2682884605619880.384203498050.0

11、538677617910.2570597636219890.381391144740.046703357330.2509230844919900.366378987510.0459122341590.2704302179619910.370522592950.0465083261130.2447608903219920.381794351730.0525294382510.2177874222219930.402381207070.0642784575980.1974973912119940.40493316390.0616251237470.1989815399919950.41716084

12、4920.0623443171770.2029042639219960.419825506380.0625491315240.1998131184419970.421740153820.0592052805020.1850080859119980.409740748650.0600518066430.178473400319990.405309921860.0584556023570.1669322962320000.408504155990.0563495865820.1524964614620010.403269489250.0548882440250.1460306181420020.3

13、98262175270.0542879390210.1388548969220030.406480070580.0554158794740.1285877518520040.408618071210.0544799794410.1341761413220050.415647048460.0557956788090.1206618259420060.419776643830.0570451130560.1105172165320070.412807611630.0571268022430.106911446220080.411917667730.0592710041820.10657472486

14、20090.393752119710.0652143505560.10256076096附录二：年 份出生率死亡率自然增长率人口数197818.256.2512.0096259198018.216.3411.8797542198120.916.3614.5598705198222.286.6015.68100072198320.196.9013.29101654198419.906.8213.08103008198521.046.7814.26104357198622.436.8615.57105851198723.336.7216.61107507198822.376.6415.731093

15、00198921.586.5415.04111026199021.066.6714.39112704199119.686.7012.98114333199218.246.6411.60115823199318.096.6411.45117171199417.706.4911.21118517199517.126.5710.55119850199616.986.5610.42121121199716.576.5110.06122389199815.646.509.14123626199914.646.468.18124761200014.036.457.58125786200113.386.43

16、6.95126743200212.866.416.45127627200312.416.406.01128453200412.296.425.87129227200512.406.515.89129988200612.096.815.28130756200712.106.935.17131448200812.147.065.08132129200912.137.085.05132802附录三行业拟合优度函数工业建筑业农林渔线性函数0.00030.60780.9512指数函数-0.00050.57140.9038对数函数0.00020.60890.9511多项式(2阶)函数0.26990.730

17、.9525乘幂函数-0.00050.57260.9027上表说明各种函数里面多项式最优！2阶多项式函数0.26990.730.95253阶多项式函数0.71260.73740.97094阶多项式函数0.72590.78670.97775阶多项式函数0.75660.82150.98306阶多项式函数0.42250.77720.9799上表说明各种多项式里面五次最优！附录四年份GDP值工业建筑业农林渔业19783645.21607.0138.21027.519794062.61769.7143.81270.219804545.61996.5195.51371.619814889.52048.420

18、7.11559.519825330.52162.3220.71777.419835985.62375.6270.61978.419847243.82789.0316.72316.119859040.73448.7417.92564.4198610274.43967.0525.72788.7198712050.64585.8665.83233.0198815036.85777.2810.03865.4198917000.96484.0794.04265.9199018718.36858.0859.45062.0199121826.28087.11015.15342.2199226937.3102

19、84.51415.05866.6199335260.014188.02266.56963.8199448108.519480.72964.79572.7199559810.524950.63728.812135.8199670142.529447.64387.414015.4199778060.832921.44621.614441.9199883024.334018.44985.814817.6199988479.235861.55172.114770.0200098000.540033.65522.314944.72001108068.243580.65931.715781.3200211

20、9095.747431.36465.516537.02003135174.054945.57490.817381.72004159586.765210.08694.321412.72005185808.677230.810367.322420.02006217522.791310.912408.624040.02007267763.7110534.915296.528627.02008316228.8130260.218743.233702.02009343464.7135239.922398.835226.0单位：亿元附录五年 份投资资金来源国家预算国内贷款利用外资自 筹 和内 资 金其他资

21、金总量 (亿元) 1981269.8122.036.4532.91982279.3176.160.5714.51983339.7175.566.6848.31984421.0258.570.71082.71985407.8510.391.51533.61986455.6658.5137.31869.21987496.6872.0182.02241.11988432.0977.8275.32968.71989366.1763.0291.12990.31990393.0885.5284.62954.41991380.41314.7318.93580.41992347.52214.0468.7505

22、0.01993483.73072.0954.38562.41994529.63997.61769.011531.01995621.14198.72295.913409.21996625.94573.72746.615412.41997696.74782.62683.917096.519981197.45542.92617.019359.619991852.15725.92006.820169.720002109.56727.31696.322577.420012546.47239.81730.726470.020023161.08859.12085.030941.920032687.81204

23、4.42599.441284.820043254.913788.03285.754236.320054154.316319.03978.870138.720064672.019590.54334.390360.220075857.123044.25132.7116769.720087954.826443.75311.9143204.9构成(%) 198128.112.73.855.4198222.714.34.958.1198323.812.34.759.2198423.014.13.959.0198516.020.13.660.3198614.621.14.459.9198713.123.0

24、4.859.119889.321.05.963.819898.317.36.667.819908.719.66.365.419916.823.55.764.019924.327.45.862.519933.723.57.365.519943.022.49.964.719953.020.511.265.319962.719.611.866.019972.818.910.667.719984.219.39.167.419996.219.26.767.820006.420.35.168.220016.719.14.669.620027.019.74.668.720034.620.54.470.520

25、044.418.54.472.720054.417.34.274.120063.916.53.676.020073.915.33.477.420084.314.52.978.3附录六3-2 人口出生率、死亡率和自然增长率 年 份出生率死亡率自然增长率年 份出生率死亡率自然增长率197818.256.2512.00199517.126.5710.55198018.216.3411.87199616.986.5610.42198120.916.3614.55199716.576.5110.06198222.286.6015.68199815.646.509.14198320.196.9013.29

26、199914.646.468.18198419.906.8213.08200014.036.457.58198521.046.7814.26200113.386.436.95198622.436.8615.57200212.866.416.45198723.336.7216.61200312.416.406.01198822.376.6415.73200412.296.425.87198921.586.5415.04200512.406.515.89199021.066.6714.39200612.096.815.28199119.686.7012.98200712.106.935.17199218.246.6411.60200812.147.065.08199318.096.6411.45200912.137.085.05199417.706.4911.21单位：15