使用FFT实现任意三个同频带信号的频分复用.docx

1、 使用FFT实现任意三个同频带信号的频分复用1. 课程设计目的数字信号处理课程是一门理论和技术都发展十分迅速、应用非常广泛和前沿性学科，它的理论性和实践性都很强，学生在学习这门课程时，普遍感到数字信号处理的概念抽象，对其中的分析方法与基本理论不能很好地理解与掌握。因此，如何帮助学生理解与掌握课程中的基本概念、基本原理、基本分析方法以及综合应用所学知识解决实际问题的能力，是本课程教学中所要解决的关键问题。为了是配合数字信号处理专业基础课的理论教学，安排数字信号处理课程设计，它是针对数字信号处理的基础理论和算法进行实践环节的一个综合训练，以便学习巩固所学的知识，加强理论和实际结合的能力，培养学生的

2、综合设计能力与实际工作能力。 2. 课程设计要求选择三个不同频段的信号对其进行频谱分析，根据信号的频谱特征设计三个不同的数字滤波器，将三路信号合成为一路信号，分析合成信号的时域和频域特点，然后将合成信号分别通过设计好的三个数字滤波器，分离出原来的三路信号，分析得到的三路信号的时域波形和频谱，与原始信号进行比较说明频分复用的特点。 3 课程设计相关知识介绍 3.1 MATLAB简介 Matlab语言是一种广泛应用于工程计算及数值分析 领域的新型高级语言，Matlab功能强大、简单易学、编程效率高，深受广大科技工作者的欢迎。特别是Matlab还具有信号分析工具箱，不需具备很强的编程能力，就可以很方

3、便地进行信号分析、处理和设计。数字信号处理 常用的 Matlab 命令如下： 绘图相关abs、axis、pi、plot、grid 、title、xlabel、ylabel等。滤波器相关butter、buttord、cheb1ord、cheb2ord、cheby1、cheby2 ellip、ellipord等。3.2 信号与系统分析 实际中遇到的信号一般是模拟信号，对它们等间隔采样便可以得到时域离散信号。时域离散信号可以用集合符号、图形或公式表示。常用的典型序列有：单位采样序列、单位阶跃序列、矩形序列、实指数序列、正弦序列、复指数序列、周期序列等。系统的特性有非线性、时不变性、因果性和稳定性。信

4、号的分析主要是针对其的时域波形以及频谱关系。系统则是根据其特性分析该系统输入与输出的关系。 3.2.1信号的分析 时域分析是指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。由于时域分析是直接在时间域中对系统进行分析的方法，所以时域分析具有直观和准确的优点。时域分析以线性定常微分方程的解来讨论系统的特性和性能指标。可以通过MATLAB中的plot绘出信号的时域波形图，来实现对信号的时域分析。频谱分析是为了我们能够知道一个混合信号中所有的分量信号的频率，从而我们可以得知信号的组成，频谱图表示时域信号与频谱之间的变换关系。傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算

5、法。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱）。由以上的运算流图可以看出：FFT的基本思想在于将原有的N点序列分成两个较短的序列，这些序列的DFT可以很简单地组合起来得到原有序列的DFT。所以一般我们用FFT来分析信号的的频率分量特征分析与提取。可以通过MATLAB中的fft对原始信号进行变换，再由plot绘出信号的频谱图，来实现对信号的频谱分析。3.

6、2.2系统的分析时域离散系统的频域特性:（2.1）其中、分别是系统的输出序列和输入序列的频域特性（或称为频谱特性）,是系统的单位取样响应的频谱，又称为系统的频域响应。输入序列的频谱经过系统处理后即为。因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的， 适当选择，使得滤波后的满足设计的要求，同时也可以求出系统的输出。3.3 滤波器的设计设计数字滤波器的任务就是寻求一个因果稳定的线性时不变系统，并使系统函数H(z)具有指定的频率特性。数字滤波器从实现的网络结构或者从单位冲激响应分类，可以分成无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器和有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器。IIR数字滤波器: IIR数

7、字滤波器的系统函数为 的有理分数，即IIR数字滤波器的逼近问题就是求解滤波器的系数 和 ，使得在规定的物理意义上逼近所要求的特性的问题。如果是在s平面上逼近，就得到模拟滤波器，如果是在z平面上逼近，则得到数字滤波器。FIR数字滤波器，设FIR的单位脉冲响应h(n)为实数，长度为N，则其z变换和频率响应分别为按频域采样定理FIR数字滤波器的传输函数H(z)和单位脉冲响应h(n)可由它的N个频域采样值H(k)唯一确定。 3.3.1 设计滤波器的一般步骤1） 把给出的数字滤波器的性能指标转换为模拟滤波器的性能指标2） 根据转换后的性能指标，通过滤波器阶数选择函数，来确定滤波器的最小阶数N和固有频率W

8、n3） 由最小阶数N得到低通滤波器原型4） 由固有频率Wn把模拟低通滤波器原型转换为低通、高通、带通、带阻滤波器5） 运用脉冲响应不变法或双线性变换法把模拟滤波器转换成数字滤波器3.3.2 巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器是电子滤波器的一种。巴特沃斯滤波器的特点是通频带的频率响应曲线最平滑。巴特沃斯滤波器的特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零。 在振幅的对数对角频率的波得图上,从某一边界角频率开始,振幅随着角频率的增加而逐步减少,趋向负无穷大。巴特沃斯低通滤波器可用如下振幅的平方对频率的公式表示:（2.2）其中，n = 滤波器的阶数，c =截止频率 =振幅下

9、降为 -3分贝时的 频率，p = 通频带边缘频率。n阶巴特沃斯低通滤波器的振幅和频率关系可用如下的公式表示：（2.3）G 表示滤波器的放大率， H 表示 转移函数， j 是 虚数单位， n 表示滤波器的级数， 是信号的 角频率，以弧度/秒 为单位， c 是振幅下降3分贝时的截止频率。 MATLAB信号处理工具箱提供巴特沃斯滤波器设计函数buttord和butter。 n,Wn=butterd(Wp,Ws,Rp,Rs,s)在给定滤波器性能的情况下（通带临界频率Wp、阻带临界频率Ws、通带内最大衰减Rp和阻带内最小衰减Rs），计算ButterWorth滤波器的阶数n和截止频率Wn。 b,a=but

10、ter(n,Wn，s)根据阶数n和截止频率Wn计算ButterWorth滤波器分子分母系数（b为分子系数的矢量形式，a为分母系数的矢量形式）。 3.3.3 切比雪夫I型滤波器切比雪夫滤波器（又译车比雪夫滤波器）是在通带或阻带上频率响应幅度等波纹波动的滤波器。在通带波动的为“I型切比雪夫滤波器”，在阻带波动的为“II型切比雪夫滤波器”。切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快，但频率响应的幅频特性不如后者平坦。切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差最小，但是在通频带内存在幅度波动。n阶第一类切比雪夫滤波器的幅度与频率的关系可用下列公式表示： (2.4)其中：| | 1 ，而 (

11、2.5)是滤波器在截止频率0的放大率 ，是 n阶切比雪夫多项式： (2.6) MATLAB信号处理工具箱提供切比雪夫型滤波器设计函数有cheb1ap、cheb1ord和cheby1:数字域：b,a=cheby1(n,Rp,Wn)可设计出n阶chebyshevI滤波器,其截止频率由Wn确定，通带内的波纹由Rp确定 b,a=cheby1(n,Rp,Wn,ftype)当ftype=high时，可设计出截止频率为Wn的高通滤波器；当ftypestop时，可设计出带阻滤波器z,p,k=cheby1(n,Rp,Wn) zp,k= cheby1 (n,Rp,Wn,ftype) A,B,C,D= cheby1

12、 (n,Rp,Wn)A,B,C,D= cheby1 (n,Rp,Wn,ftype)模拟域：b,a= cheby1 (n,Rp,Wn,s)可设计出截止频率为Wn的n阶chebyshevI型模拟滤波器，其余形式类似于数字域的。3.3.4 椭圆滤波器椭圆滤波器特点：幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的，对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤波器为窄的过渡带宽。椭圆滤波器可以获得对理想滤波器幅频响应的最好逼近。低通椭圆滤波器的频率响应的幅度为：(2.7)MATLAB信号处理工具箱提供椭圆滤波器设计函数ellipap 、ellipord和ellip：z,p,k=ellipap(N,Rp,

13、As) 用于计算N阶归一化中滤波器的零点向量z、极点向量p和增益因子k。Rp和As分别为通带最大衰减和阻带最小衰减。 N,wpo=ellipord(wp,ws,Rp,As，s)。用于计算满足指标的椭圆模拟滤波器的最低阶数N和通带边界频率wpo,指标要求由参数(wp,ws,Rp,As)给定。b,a=ellip(n,Rp,Rs,Wn,ftype，s)计算椭圆滤波器系统函数系数向量b和a。当ftype=high时，可设计出截止频率为Wn的高通滤波器；当ftypestop时，可设计出带阻滤波器3.3.5 以上类型滤波器的比较图3.3.5是各滤波器频域响应图：巴特沃斯滤波器（左上）和同阶第一类切比雪夫滤

14、波器（右上）、第二类切比雪夫滤波器（左下）、椭圆函数滤波器（右下）的频率响应图。巴特沃斯滤波器的衰减速度比其他类型滤波器缓慢，但十分平坦，没有幅度变化。两类切比雪夫滤波器比巴特沃斯滤波器陡峭； 但不如椭圆函数滤波器，然而后者幅度波动较大。椭圆滤波器比其他滤波器更陡，因此在选择滤波器的时候，椭圆滤波器能够以较低的阶数获得较窄的过渡带宽，但是它在通带和阻带上都有波动。 图 2.3.5 滤波器的比较 4. 设计思想选择三个不同频段的信号x1x2x3对其进行频谱分析，根据信号x1x2x3的频谱特征设计三个不同的数字滤波器，再将三路信号x1x2x3合成为一路信号x，分析合成信号的时域和频域特点，然后将合

15、成信号分别通过设计好的三个数字滤波器，旨从x里将x1、x2、x3分离出来。即通过滤波器的输出信号y1、y2、y3分别与x1、x2、x3等效。信号的频谱特性通过fft求得，滤波器的性能指标按照所对应的信号进行设定，通过解由滤波器系统函数和信号x组成的差分方程，求出滤波后的信号。输入信号y1输入信号x2输入信号x3低通滤波器带通滤波器带通滤波器输入信号x1输入信号y2输入信号y3图2.1 程序设计思想4.1 频分复用技术的原理在传统的并行传输系统中，整个带宽经分割后被送到子信道中，并且频带没有重叠，但是其最大的缺点是频谱利用率很低，造成频谱浪费。所以，人们提出了频谱可以重叠的多载波系统。频分复用是

16、一种按频率来划分信道的复用方式。在频分复用（FDM）中，信道的带宽被分为多个相互不重叠的频段（子通道），每路信号占据其中一个子通道，频分复用要求总频率宽度大于各个子信道频率之和，同时为了保证各子信道中所传输的信号互不干扰，应在各子信道之间设立隔离带，这样就保证了各路信号互不干扰(条件之一) 频分复用技术的特点是所有子信道传输的信号以并行的方式工作，每一路信号传输时可不考虑传输时延，因而频分复用技术取得了非常广泛的应用。一个简单的频分复用系统如图所示。 图1.1 简单的频分复用系统图中，各路基带信号首先通过低通滤波器限制基带信号的带宽，避免它们的频谱出现相互混叠。然后，各路信号分别对各自的载波进

17、行调制、合成后送入信道传输。在接收端，分别采用不同中心频率的带通滤波器分离出各路已调信号，解调后恢复出基带信号。频分复用是利用各路信号在频率域不相互重叠来区分的。若相邻信号之间产生相互干扰，将会使输出信号产生失真。为了防止相邻信号之间产生相互干扰，应合理选择各路信号的载波频率，并使各路已调信号频谱之间留有一定的保护间隔。若基带信号是模拟信号，则调制方式可以是DSB-SC、AM、SSB、VSB或FM等，其中SSB方式频带利用率最高。若基带信号是数字信号，则调制方式可以是ASK、FSK、PSK等各种数字调制方式。4.2 频分复用技术的分类 频分复用技术除传统意义上的频分复用(FDM)外，还有一种是

18、正交频分复用(OFDM)。传统的频分复用 传统的频分复用典型的应用莫过于广电HFC网络电视信号的传输了，不管是模拟电视信号还是数字电视信号都是如此，因为对于数字电视信号而言，尽管在每一个频道(8MHz)以内是时分复用传输的，但各个频道之间仍然是以频分复用的方式传输的。正交频分复用 OFDM(OrthogonalFrequencyDivisionMultiplexing)实际是一种多载波数字调制技术。OFDM全部载波频率有相等的频率间隔，它们是一个基本振荡频率的整数倍，正交指各个载波的信号频谱是正交的。OFDM系统比FDM系统要求的带宽要小得多。由于OFDM使用无干扰正交载波技术，单个载波间无需

19、保护频带，这样使得可用频谱的使用效率更高。另外，OFDM技术可动态分配在子信道中的数据，为获得最大的数据吞吐量，多载波调制器可以智能地分配更多的数据到噪声小的子信道上。目前OFDM技术已被广泛应用于广播式的音频和视频领域以及民用通信系统中，主要的应用包括：非对称的数字用户环线 (ADSL)、数字视频广播(DVB)、高清晰度电视(HDTV)、无线局域网(WLAN)和第4代(4G)移动通信系统等。5 程序设计与模拟仿真5.1程序设计流程 程序设计流程如图所示开 始产生信号x1，f1=50hz 产生信号x2，f2=200hz 产生信号x3，f1=400hz画x1、x2、x3波形图、频谱图根据x1幅频

20、特性设计巴特沃斯低通数字滤波器，根据x2幅频特性设计切比雪夫带通数字滤波器根据x3幅频特性设计椭圆带通数字滤波器绘制各个滤波器的频域特性图将x1、x2、x3叠加为一路信号x画x时域波形图、频谱图x分别通过巴特沃斯低通数字滤波器、切比雪夫带通数字滤波器、椭圆带通数字滤波器，输出信号y1、y2、y3，绘制输出信号y1、y2、y3的波形图、频谱图结 束 图 5.1 程序流程图 5.2 MATLAB程序设计 5.2.1 产生三个不同频段的信号：x1、x2、x3时间为0-1，时间间隔为0.001。（t=0:0.001:1;%采样周期为0.001s，即采样频率为1000hz）。由matlab产生频率分别为

21、f1=50HZ、f2=200HZ、f3=400HZ的正弦信号x1、x2、x3，利用matlab 绘图函数plot作信号时域波形图信号x1=sin(2*pi*50*t)的时域波形图 信号x2=sin(2*pi*200*t)的时域波形图 信号x3=sin(2*pi*400*t)的时域波形图 5.2.2 画出信号x1、x2、x3的频谱图先用matlab信号处理工具箱中的fft函数对信号进行时域向频域的转换（Y1=fft(x1,256);%对x进行256点的fft），再利用绘图函数plot作频谱图（plot(f2,abs(y1(1:129);%画出频域内的信号）。 信号x1=sin(2*pi*50*t

22、)的频域波形图 信号x2=sin(2*pi*200*t)的频域波形图信号x3=sin(2*pi*400*t)的频域波形图 5.2.3 设计分别与信号x1、x2、x3对应的滤波器 滤波器设计流程如图所示：开 始读入技术指标设计滤波器阶数N和截止频率计算相应滤波器的系统参数用双线性变换法或脉冲响应不变法将H(s)转换成数字带通滤波器H(z)（直接设计数字滤波器省略此步）显示相关结果结 束 图4.2.3 数字滤波器设计流程图5.2.3.1 巴特沃斯低通滤波器根据对x1的分析，我们可以设计一个通带截止频率为20hz，通带最大衰减为1db，阻带截止频率为80hz，阻带最小衰减为20db的巴特沃斯低通模拟

23、滤波器。使用MATLAB信号处理工具箱提供巴特沃斯低通滤波器设计函数buttord和butter进行设计，并绘制滤波器的幅频特性曲线。根据x1幅频特性设计巴特沃斯低通数字滤波器巴特沃斯低通滤波器的频率特性曲线5.2.3.2 切比雪夫I型滤波器带通滤波器 根据对x2的分析，我们可以设计一个通带上下边界截止频率为100hz和300hz，通带最大衰减为1db，阻带上下边界截止频率为50hz和600hz，阻带最小衰减为40db的带通切比雪夫数字滤波器。利用MATLAB信号处理工具箱提供切比雪夫型滤波器设计函数cheb1ap、cheb1ord和cheby1进行设计，并绘制滤波器的幅频特性曲线。根据x2幅

24、频特性设计切比雪夫带通数字滤波器 切比雪夫I型带通滤波器的频谱特性曲线 5.2.3.3椭圆带通滤波器 根据对x3的分析，我们可以设计一个通带上边界截止频率为300hz，通带下边界截止频率为500hz通带最大衰减为1db，阻带上边界截止频率为200hz，阻带下边界截止频率为600hz，阻带最小衰减为20db的椭圆带通数字滤波器。通过MATLAB信号处理工具箱提供椭圆滤波器设计函数ellipord和ellip，直接设计椭圆带通数字滤波器，并绘制滤波器的幅频特性曲线。 根据x3幅频特性设计椭圆带通数字滤波器椭圆带通滤波器的频率特性曲线5.4 信号x1、x2、x3的叠加为一路信号 x 通过加法运算对信

25、号x1、x2、x3进行叠加，matlab程序如下：x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*200*t)+sin(2*pi*400*t); x时域波形图X的频域波形图5.5 用5.3设计的滤波器对信号x进行滤波用巴特沃斯低通滤波器滤波器对x进行滤波y1=filter(Bdz,Adz,x);用切比雪夫I型带通滤波器滤波器对x进行滤波y2=filter(Bz,Az,x);用椭圆带通滤波器滤波器对x进行滤波y3=filter(Be,Ae,x);5.6滤波前后的信号x比较图5.6.1 输入信号x1与输出信号y1波形、频谱比较图5.6.2 输入信号x2与输出信号y2波形、频谱比较图5.6.3

26、输入信号x3与输出信号y3波形、频谱比较由图5.6.1、图5.6.2、图5.6.3中y1、y2、y3与x1、x2、x3的频谱函数曲线比较，信号x经过巴特沃斯低通滤波器、切比雪夫I型带通滤波器、椭圆带通滤波器后基本实现了x1、x2、x3的还原；满足设计要求。 6 设计体会心得使用FFT实现任意三个同频带信号的频分复用，是我这次课程设计的题目。频分复用这一概念在通信原理和数字信号处理中都有提及，它是指按照频率的不同来复用多路信号，它能够实现一个信道传输多个信号。现在的广播电视已经走进了每家每户，再加上近几年正在大力推广的数字电视都离不开频分复用技术的支持。 在以前实验的基础下，这次的课程设计让我们

27、进一步掌握了MATLAB语言在数字信号处理中一些基本库函数的调用和编写基本程序等应用；熟悉了滤波器设计的一般原理，对滤波器有了一个感性的认识；学会了数字滤波器设计的一般步骤；加深了对滤波器设计中产生误差的原因。在我设计的三中滤波器中，巴特沃斯低通滤波器、切比雪夫I型带通滤波器、椭圆带通滤波器分别对应不同的频段，滤波的结果都与之基本吻合。在设计时我还特别设定了输出的坐标轴，这样便于在运行时的分析和美观。写论文时，在整体布局的方面我花了一定的精力去做，包括论文的结构、章节的安排。其中文字的描述都是我参阅资料精简而成，用于说明的框图也大都是百分之百原创。在本次课程设计的过程中，主要遇到的问题是在滤波

28、器的设计上，开始时不清楚怎么选取滤波器的参数，仅仅是凭着自己的主观意识设置，运行时才发现达不到课题要求。于是又从课本中找出类似的例题反复琢磨，按部就班地设指标、编程序，多次调试后才得到了最佳的滤波器技术指标。在MATLAB中运行时出错了，开始以为自己的程序错误，按照提示该改的地方改，可是有时候程序依然运行不了，仔细看看才知道错的地方竟然是标点符号是全角输入、系数前后不照应、字母大小写的忽略等，这些完全由于粗心造成的，只能埋怨自己的不够细心。在做课程设计的过程中自己解决不了的问题，我只有不断地翻教材、上网搜资料来补给自己不足的知识面，当然与同学之间的讨论、向老师的讨教更是让我思绪灵动、豁然开朗。这次课程设计不仅贴近生活、紧跟时代，同时也为我们将来的就业方向以及未来的工作内容指出了一个明确的方向。 7 参考资料 1. 张德丰 详解MATLAB 数字信号处理 电子工业出版社 2010-06-012. 李益华 MATLAB辅助现代工程数字信号处理 西安电子科技大学出版社 2010-08-013. 尹为民 数字信号处理 机械工业出版社 2011-05-01