毕业论文向量在中学数学解题中的应用.DOC

1、向量在中学数学解题中的应用 【摘要】向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”，它是中学数学知识的一个交汇点，是数学问题解决的重要工具.本文在阐述向量定义的基础上，归纳了向量在平面几何、解析几何、立体几何、代数等方面的应用，突出了向量作为数学工具解决高中数学问题的便利性【关键词】向量 几何 代数The Application of Vector on Solving Mathematical Problem in Middle SchoolFeng Qian【Abstract】Vector has dual identities of Geometrical form and Algebra f

2、orm.，which also serves as an intersection of mathematics knowledge in the high school. It is an important tool of solving mathematical problems.On the basis of expounding the definition of vector ,this paper sums up the applicatios of vector in many aspects such as plane geometry, analytic geometry,

3、 solid geometry, algebra,etc.It also highlights its convenience as a tool to solve mathematical problems in high school.【Key words】vector geometry algebra目录1 向量在高中数学中的问题内容12 平面向量在高中数学问题解题中的应用3 2.1 平面向量在平面几何问题解题中的应用32.1.1 线段相等和垂直的向量法证明42.1.2 三点共线向量法证明42.1.3 点分线段比值的向量法解答52.1.4 三线共点向量法证明6 2.2 平面向量在函数.等

4、式与不等式问题解决的应用62.2.1 向量在函数问题解决中的应用62.2.2 向量在等式问题解决中的应用72.2.3 向量在不等式问题解决中的应用82.3 平面向量在数列问题解决中的应用82.4 平面向量在三角函数问题解决中的应用92.5 平面向量在平面解析几何问题解决中的应用103 空间向量在立体几何问题解决中的应用103.1 用空间向量运算可以解决的立体几何问题113.1.1 可以解决的立体几何问题113.1.2 常用公式113.1.2.1 直线与直线的平行、垂直123.1.2.2 距离公式14参考文献16向量是高中数学中有着代数和几何双重性质的重要内容.向量是“数、量和运算”形式不断发展

5、的表现，也是高考必考的知识点.高中数学新增加的向量知识，有助于沟通几何与代数之间的联系，为解决中学数学中常见的问题，提供了新的思想和方法.运用向量工具可将几何问题中的逻辑推理转化为向量的代数运算，使数学问题的解决更加简洁、清晰.现行高中数学教科书中向量的教学内容重在基础知识，对于向量的应用题的却相对较少.一方面，高中新教科书没有摆脱旧教科书的束缚，有很多数学问题用向量的方法解决更简单，但却没有利用向量工具来研究;另一方面，很多中学生，头脑里传统的解题方法已成为思维定势，不习惯或避免用向量来解决问题.尤其在解决一些立体几何问题时，需要较强的逻辑思维能力和较高的技巧性，把向量应用于立体几何问题解决

6、会简便而顺畅.鉴于这两点，本文将重点探讨平面向量和空间向量在数学问题解决中的应用.1 高中数学中的向量内容1.1 向量的相关概念在高中阶段，我们暂且把具有大小和方向的量称为向量.向量是区别于数量的一种量，它是既有大小，又有方向的量，向量是用有向线段来表示，有向线段是向量“形”的表示形式.向量的模，向量的大小，即是表示向量的有向线段的长度.向量的模记为.向量的模是数量，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.模为O的向量是零向量，记为，它的方向是任意的.单位向量是模为1的向量.方向相同或相反的非零向量是平行向量，也叫共线向量.零向量与任何向量共线.模相等且方向相同的向量是相等的向量.任何两个单

7、位向量不一定是相等的向量.(1) 向量的加法和减法向量求和的三角形法则:已知向量，(如图1)，在平面上任取一点A，作=，=，再作向量，则向量叫做和的和(或和向量)，记作+，即+=+=.图1 图2图3向量求和的平行四边形法则:已知两个不共线向量，(如图2)，作=，=.则A，B，D二点不共线，以、为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量=+.这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.向量求和的多边形法则:已知n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则(如图3).向量减法:如果把两个向量的始点放在一起，则这两个

8、向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量.(2) 实数与向量的积实数与向量的积，其结果仍是一个向量;实数与零向量的积是零向量;零与任何一个向量的积仍是零向量.(3) 向量的坐标运算一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标，向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差，实数与向量的积的坐标等于这个实数乘以原来向量的坐标.(4) 向量的数量积及运算律向量的数量积是非常重要的，而且要求学生必须掌握的.(5) 向量数量积的坐标表示将向量在平面直角坐标系或空间直角坐标系中用坐标表示出来，比较难得是表示空间坐标.2 平面向量在高中数学问题解决中的应用人民教育

9、出版社出版的高中数学教科书，将“平面向量”编写在试验修订本第一册(下)中，并把其作为必修数学内容.平面向量的引入为高中数学问题解决提供了一种有效的工具.在高中数学中有许多问题可以应用平面向量得以解答，并且有些问题采用向量方法解答要比其他方法更便捷.下面结合高中数学问题，从五个方面来论述平面向量在高中数学问题解决的应用.2.1 平面向量在平面几何问题解决中的应用在平面几何中，图形是点的集合，平面上的点可以用向量来表示.如果把几何图形看作是向量的集合，便可以用向量的代数运算来度量平面几何中的位置关系，以向量为工具可以解决平面几何问题，可以省去复杂的逻辑证明，使问题变得清晰易解.在用向量解决平面几何

10、问题时，应该注意以下过程:(1)建立向量与平面几何之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量的运算，研究几何元素之间的关系;(3)把运算结果翻译成几何元素.运用向量运算可解决平面几何中的有关平行和垂直的证明，以及角和距离的运算等，其优点是可回避平面几何中作辅助线的难点.2.1.1线段相等和垂直的向量法证明例1 如图4，平行四边形ABCD是正方形，P是对角线BD上的一个动点，PECF是矩形，用向量证明:(1)PA=EF;(2)PAEF 图4 图5分析: 适当建立直角坐标系设动点坐标，并求出定点坐标用点的坐标表示向量坐标通过计算给予证明.证明: (l)

11、如图5，建立直角坐标系:设P(t，t)，0t1，则A，E，F点的坐标分别为(0,1),(t,0),(1,t),则=(t,t-1).=(1-t,t)=;即(2) 又=t(1-t)+(t-1)t=0,.2.1.2三点共线的向量法证明例2 如图6，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为对角线BD上，且，试证：(1); (2)A、F、E三点共线 图6分析：设=，=,(1) 用向量知识得出=0；(2) =k,kR.证明：设=，=，则=0，且=，（1）=+=+(-)=+(-)=+,又=-=-=0， AFBD（2）=+=(+)=,又，则A、F、E三点共线2.1.3 点分线段比值的向量法解答 例3 如图7，在

12、ABC中，M是BC的中点，N在边AC上，且AN=2NC.AM与BN相交于P点，求AP:PM的值.图7 分析:利用向量的加，减法运算以及A，P，M与B，P，N三点共线的知识的结合. 解：设=,=,=+=+=+(+)=-+(-+)=(-1)+(1-)=+=+=+(-+)=+（-）由得=-+=4,即AP:PM=4:12.1.4 三线共点的向量法证明 例4证明三角形的三条高线相交于一点 己知:如图8，在ABC中，OABC , OBAC，求证：OCAB.图8证明：设=，=，=，由已知得（-）=0，（-）=0-=0，（-）=0=0， OCAB.总之，在解决平面几何问题时，线段相等、直线垂直、角的关系、点分

13、线段成的比等常常用全等三角形的知识，这就是需要进行巧妙的建构，作辅助线，将图形分割或扩充，思路会扑朔迷离，但利用向量知识解决这些问题，思维具有模式化、规范化，让学生形成一种定势思维，找出解决问题的捷径.特别是在解决三点共线问题时，向量知识具有明显的优越性.几何问题转化为纯粹的向量运算问题，证明过程简单明了，在立体几何中“若四面体的两组对棱垂直，则第三组对棱也垂直”，体现了向量解决几何问题这一数学方法的实质.2.2 平面向量在函数、等式与不等式问题解决中的应用平面向量知识的应用非常广泛，易于与函数、等式和不等式等主干知识融合，这也成为新课标下主干知识的整合点.下面以平面向量为解题工具对函数、等式

14、和不等式的问题解决进行初步探讨.2.2.1 向量在函数问题解决中的应用例5求函数y=+的值域.图9分析:需将函数变形为y=1+解:设=(1,), =(,)则y=y=2 如图9所示，在单位圆+=1（x,y0）上运动，与x轴正向夹角为，由图象知0，即求函数图象的值域为本题涉及向量的坐标表示以及向量的数量积，将向量知识与函数联系起来从而最终解决与函数有关的问题，最根本的思想是由向量数量积的知识向函数知识的转化，即平面向量知识与函数知识的融合，向量的有关运算必须熟练.2.2.2 向量在等式问题解决中的应用例6 已知a+b=1，求证=1.分析:等式将代数问题转化为向量问题提供了方便，使我们可以根据具体的

15、代数式的特点去构造向量来解决代数问题.证：设=(a, ),=(,a),则.=a+b=1, ,共线且同向，又则=a=,b=,=1.由于向量的模，共线，垂直以及向量的数量积用坐标表示后呈现出来的都是代数式，可以根据向量数量积，坐标表达式的结构特征，构造向量加以证明.2.2.3 向量在不等式问题解决中的应用例7 己知a，b是不等正实数，求证.分析:根据形式构造=，=（a,b）由向量数量积的坐标表示推导证明.证明：构造向量=， =（a,b）, 则=()=a,b是不等正实数.巧妙构造可以起到意想不到的效果，根据形式进行适当构造，是解决问题的关键. 例8 己知a，b，c，d是实数，证明 (柯西不等式)分析

16、:构造=(a,b), =(c,d),就呈现出向量数量积的坐标运算. 证明：设=(a,b), =(c,d),则=ac+bd, ac+bd，命题得证.总之，平面向量在函数与不等式知识中的应用，需对函数解析式，或不等式的形式进行认真分析，看能否利用构造向量法把问题进行巧妙转化来解决问题，可以使一些繁杂的运算，深奥的思维变得简单化、趣味化，把向量知识与函数、不等式知识有机的结合起来.2.3 平面向量在数列问题解决中的应用平面向量知识与数列知识的交汇应用较少，但有时把等差数列与等比数列的性质与向量共线的条件知识结合到一起解决有关数列的问题. 例9 O为坐标原点，A,B,C三点共线，数列满足为数列的前n项

17、和，求分析：由于A,B,C三点共线，结合已知条件求解. 解：A,B,C三点共线 由已知得1-k=.本题的突破点是A，B，C三点共线，即由向量共线的条件得的关系，与已知条件对比求解.总之，平面向量与数列知识联系较少，往往通过三点共线的知识，达到与向量知识的有机融合.2.4 平面向量在三角函数问题解决中的应用平面向量的数量积及其坐标运算和向量的共线与垂直的条件，常与三角函数等内容渗透，使数学问题新颖别致，自然流畅.例10 已知向量且，求的值 解：又本题考查向量的有关概念和运算，考查向量与其他知识的综合应用，主要通过向量的坐标运算转化为三角函数.向量数量积的知识与三角形的正弦定理，余弦定理知识的融合

18、，体现了知识的转化思想，考查运算能力与推理能力.总之，平面向量知识在三角函数中的应用利用的是平面向量的数量积及其坐标运算，和向量的共线与垂直的条件与三角函数等内容的衔接，达到了三角函数知识与平面向量知识的交汇，体现了向量的工具性、交汇性和传接性和转化的思想.2.5 平面向量在平面解析几何问题解决中的应用高中阶段的平面解析几何，主要是指研究与圆锥曲线有关的问题.向量由于具有几何形式和代数形式的双重身份，它既有代数的运算性质，又有几何的图形特征，因而它成为平面解析几何的交汇点，能够进一步培养学生的探究能力、开拓学生的思维，将数学问题的发生，发展灵活的展现出来.例11 设椭圆 (ab0)的左右焦点分

19、别为，离心率e=，右准线为，M，N是上的两个动点，(1),求a,b的值(2)证明：当取最小值时，与共线.解：由与得的方程为设则由得(1)由得由，三式消去并求得则（2）当且仅当或时，取最小值，此时故与共线.总之，平面向量在平面解析几何中的应用比较广泛，体现了向量的代数性质和几何性质，把向量关系利用向量的坐标运算转化，减弱了解决的难度，同时也使解决问题的目标明确，思维简单，体现数形结合、函数与方程，等价转化等方法的应用，培养学生的思维推理以及运算能力.3 空间向量在立体几何问题解决中的应用空间向量是高中数学教科书中新增加的内容，将空间向量引入到高中数学课程立体几何中，这对传统的立体几何教学模式和问

20、题解决产生了很大的影响.我们有必要从思想方法上研究空间向量的内涵实质，改善原有的认知结构，引导学生用类比的方法学习新知识、巩固旧知识，培养学生用空间向量解决立体几何问题的意识与能力.空间向量对立体几何中问题解决的重要作用得到了人们的认可本章试图解决一个问题:哪些立体几何问题可以用空间向量的运算来解决;3.1 用空间向量运算可以解答的立体几何问题3.1.1 可以解答的立体几何问题 所有的立体几何问题都可以用空间向量运算来解决吗?答案是否定的.向量法虽然比较简洁、巧妙，但它并非可以解决所有的问题.如果为了用空间向量运算进行解题，人为地给解题带来不必要的麻烦，那么这种做法将会在无形中挫伤了学生学习数

21、学的积极性. 普通高中数学课程标准明确规定了将空间向量与立体几何结合起来，并灵活运用空间向量解决立体几何问题.可见，用空间向量解决立体几何问题为我们提供了一个全新的解题视野，解题过程也往往是仅仅运用向量公式的变形就能解决一些通过繁琐的分析才能解决的问题.这一思想也是对法国数学家笛卡儿所提出的“变实际问题为数学问题，再变数学问题为方程问题，然后只需求解方程便可使问题得以解决”这一数学哲学思想的完美体现.那么，在高中立体几何中，哪些问题可以运用空间向量方法来进行解答呢? 在高中立体几何所涉及的问题，不外乎计算和证明.计算，即度量方面的问题，包括点线、线线、点面、线面、面面的距离，线线、线面以及面面

22、所成的角等;证明，即位置关系方面的问题，包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行.这些问题一般情况下都可以用空间向量知识来解决.但是对于有些立体几何问题很难建立合适的坐标系，这样的问题是不适合用向量法进行解答的.如下面这些问题用向量法就不容易解答. 3.1.2 常用公式 在用向量进行数学问题解答时，我们通常从问题的条件入手，找到其与向量内容的相关点，然后将其转化为以向量为背景的问题形式，借助向量的运算法则对其进行求解.下面对能够用空间向量解决的立体几何问题所采用的公式做一简单介绍.3.1.2.1 直线、平面的平行、垂直(1)直线与直线平行的判定公式: b垂直的判定公式:其中分别为直线a和b的

23、方向向量.(2)直线与平面平行、垂直的判定平行的判定公式: 垂直的判定公式: 其中分别为直线和平面的方向向量和法向量.(3)平面与平面的平行、垂直判定平行的判定公式: 垂直的判定公式: 其中分别为平面的法向量.空间角的向量法计算公式(1)异面直线a和b所成的角其中分别为直线a和b的方向向量.(2)直线与平面所成的角 其中分别为直线和平面的方向向量和法向量.(3)平面所成的锐二面角 其中分别为平面的法向量.例12 正方体-的棱长为1，点F,H分别为的中点(1)证明：平面;(2)证明：平面.证明：以顶点A为原点建立如图10所示的直角坐标系，则A(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),(

24、0,0,1),F(0,(1)图10设存在实数，使即（1，0，-1）=即，解得 ，与共面又平面平面(2)为的中点，H点的坐标为（，平面3.1.2.2 距离公式 （1）异面直线之间的距离：d=,其中 （2）直线与平面之间的距离：d=，其中，为平面的法向量（3）两平面之间的距离：d=，其中 ，为平面的法向量（4）A点到平面的距离：d=，其中为平面的法向量（5）两平行直线之间的距离：，其中，为直线的方向向量例13在四棱锥中，底面是矩形，平面，以的中点为球心，为直径的球面交于点，交于点.(1) 求直线与平面所成夹角的正弦值；(2) 求点到平面的距离.解：如图11所示，建立空间直角坐标系，则设平面的一个法

25、向量为由可得：令，则设所求角为，则所以所求角的正弦值为.(3) 由条件可得，.在中，所以，则所以所求距离等于点到平面距离的倍，设点到平面距离为，则，所以所求距离为即点到平面的距离为总之，空间向量在立体几何中的应用，体现了知识与思维的创新，找出了一条解决问题的捷径，因为在立体几何的知识中，传统知识统统涉及的是计算问题，采取的措施是“一作、二证、三计算”增大了解决问题的难度.学生常常感觉在迷雾中前行，方向不明，而利用向量知识使学生从传统方法注重推理的困惑中解脱出来，增加了学生解决问题的信心，充分调动了学生的积极性. 参考文献:1代钦，斯钦孟克等著.中学数学教学论M.西安:陕西师范大学出版社，200

26、92曹一鸣.现代数学与中学数学M.北京师范大学出版社，20103中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准(实验) M.北京:人民教育出版社，20034 刘绍学，章建跃.几何中的向量法J.数学通报，2004(3)5王建明.数学课程改革中的向量背景和前景分析J.数学报，2002年(5)6李纪辉.反思向量解题之特点J.数学通报，2006(2)7苏洪雨，江雪萍.高中数学课程标准中的“空间向量”J.数学通讯，2004(19)8饶雨.向量及其运算J.数学通讯，2006(10)9陈涛.对高中数学课程中向量的研究J.长春:东北师范大学，2006，10尚廷武.立体几何中“几何法”与“向量法”的解题功能比较

27、J.数学教学通讯，2005(12)11胡乾彪.对空间向量教学的调查、研究与思考J.数学教学，2005(9)12操慧，陈德生.浅谈空间向量的教学体会J.咸宁学院学报，2006(6)13万晓秀.向量思想方法在几何数学中的应用J.安顺师范高等专科学校学报，2004，6(4)14赵南平.用向量法求空间距离的五条定理J.中学生理科月刊，2005(5)15齐民友.中学数学教学中的向量J.数学通报，2007，46(4)16齐民友.中学数学教学中的向量(续l) J.数学通报，2007，46(5)17齐民友.中学数学教学中的向量(续2) J.数学通报，2007，46(6)18齐民友.中学数学教学中的向量(续3) J.数学通报，2007，46(7)