数学建模与及人才培养.ppt

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数学建模与及人才培养 为什么要开设数学建模和数学实验课 学校应当培养什么样的学生? 浙大老校长竺可桢教授曾对学生提出过这样的 要求:求是创新 用今天的话说,就是:学习新知识,提高综合素 质与能力 新知识:数学知识、专业知识、计算机知识、 外语知识、文学艺术知识等等等等 能力:收集处理数据的能力、观察能力、想象 能力、分析能力、逻辑推理能力、应用数学知 识解决实际问题的能力、计算机使用与编程等 能力、外语能力、写作能力、与人合作能力等 。 数学建模和数学实验系列教学活动能较好 地实现上述目标,它至少具有以下特征 : n能培养学习兴趣(没有兴趣的学习是被动的) n数学建模课鼓励学生多动脑脑筋,(不能光老 师讲学生听,要提倡让学生主动学习) n数学建模注重知识更新,让学生多接触前沿学 科知识,接触科研实际。 n数学建模为学生提供了参与科研实践的机会 学习数学建模、参加数学建模实践和数学建模 竞赛能使学生增长知识,得到全方位的锻炼 浙江大学数学建模教学情况简介 (一)教材建设(教学内容选取) 在案例选取时要有一定的目的,如: 开拓学生的视野(案例涉及面要广) 建模新技巧、新方法的引入 说明某一道理等 尽量避免为建模而建模,避免类似方法和 模型的重叠,避免模型罗列。(这样做 可以保护和激发学生的学习积极性) 例1 交通灯在绿灯转换成红灯时,有一个过渡 状态亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮 多久。(引导学生培养观察能力、学会找到研究 问题的突破口) 设想一下黄灯的作用是什么,不难看 出,黄灯起的是警告的作用,意思是 马上要转红灯了,假如你能停住,请 立即停车。停车是需要时间的,在这 段时间内,车辆仍将向前行驶一段距 离 L。这就是说,在离街口距离为 L处 存在着一条停车线(尽管它没被画在 地上),见图1-4。对于那些黄灯亮时 已过线的车辆,则应当保证它们仍能 穿过马路。 马路的宽度 D是容易测得 的,问题的关键在 于L 的确定。为确定 L,还应当将 L划分为两段:L1 和L2,其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹 车的反应时间内驶过的路程 ,L2为刹车制动后 车辆驶过的路程。L1较容易计算,交通部门对司 机的平均反应时间 t1早有测算,反应时间过长 将考不出驾照),而此街道的行驶速度 v 也是 交管部门早已定好的,目的是使交通流量最大, 可另建模型研究,从而 L1=v*t1。刹车距离 L2 既可用曲线拟合方法得出,也可利用牛顿第二定 律计算出来 ( 留作习题)。 黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第 一步,先计算出 L应多大才能使看见黄灯的司机 停得住车。第二步,黄灯亮的时间应当让已过线 的车顺利穿过马路,即T 至少应当达到 (L+D) /v。 D L 例2 我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了 我方巡逻艇,并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为60哩,潜水艇最 大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节,问巡逻艇应如何追赶潜 水艇。 (数学建模要引导学生应用数学知识去实现某种想法) 这一问题属于对策问题,较为复杂。讨论以下简单情形: 假设潜艇发现自己目标已暴露,立即下潜,并沿着直 线方向全速逃逸,逃逸方向我方并不知道。 设巡逻艇在A处发现位于B处的潜水艇,取极坐标,以B 为极点,BA为极轴,设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程 为r=r(),见图3-2。 B A A1 dr ds d 图3-2 由题意, ,故ds=2dr 图3-2可看出, 故有: 即: (3.3) 解为: (3.4) 先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离,然后按 (3.4)对数螺线航行,即可追上潜艇。 (用数学建模解决实际问题即用数学思想实现某种思想) 追赶方法如下: 例3 山崖高度的估算 (研究问题的步步深入) 假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器,你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度, 假定你能准确地测定时间,你又怎样来推算 山崖的高度呢,请你分析一下这一问题。 我有一只具有跑 表功能的计算器。 方法一 假定空气阻力不计,可以直接利用自由落体运动的公式 来计算。例如, 设t=4秒,g=9.81米/秒2,则可求得h78.5 米。 我学过微积分,我可以做 得更好,呵呵。 除去地球吸引力外,对石块下落影响最大的当 属空气阻力 。根据流体力学知识,此时可设空气阻力正比于石块下落 的速度,阻力系 数K为常数,因而,由牛顿第二定律可得 : 令k=K/m,解得 代入初始条件 v(0)=0,得c=g/k,故有 再积分一次,得: 若设k=0.05并仍设 t=4秒,则可求 得h73.6米。 听到回声再按跑表,计算得到的时间中包含了 反应时间 进一步深入考虑进一步深入考虑 不妨设平均反应时间 为0.1秒 ,假如仍 设t=4秒,扣除反 应时间后应 为3.9秒,代入 式,求得h69.9米。 多测几次,取平均值 再一步深入考虑再一步深入考虑 代入初始条 件h(0)=0,得到计算山崖高度的公式: 将e-kt用泰勒公式展开并 令k 0+ ,即可 得出前面不考虑空气阻力时的结果。 还应考虑回声传回来所需要的时间。为此,令石块下落 的真正时间 为t1,声音传回来的时间记 为t2,还得解一个 方程组: 这一方程组是 非线性的,求 解不太容易, 为了估算崖高 竟要去解一个 非线性主程组 似乎不合情理 相对于石块速度,声音速度要快得多,我们可 用方法二先求一次 h,令t2=h/340,校正t,求石 块下落时间 t1t-t2将t1代入式再算一次,得出 崖高的近似值。例如, 若h=69.9米,则 t20.21 秒,故 t13.69秒,求得 h62.3米。 例4(最短路径)数学是一种重要工具,数学 学得越好、基础越扎实、认识越深入 设有一个半径为 r 的圆形湖,圆心为 O。A、 B 位于湖的两侧,AB连线过O,见图。 现拟从A点步行到B点,在不得进入湖中的限 制下,问怎样的路径最近。 A B O r 将湖想象成凸出地面的木桩, 在AB间拉一根软线,当 线被拉紧时将得到最短路径。根据这样的想象,猜测 可以如下得到最短路径: 过A作圆的切线切圆于E,过 B作圆的切线切圆 于F。最短路径为由线 段AE、弧EF 和线段FB连接而成的连续曲线(根据对称性,AE,弧 EF,FB连接而成的连续曲线也是)。 EF E F 以上只是一种猜测,现在来证明这一猜测是正确的。为此, 先介绍一下凸集与凸集的性质。 定义2.1(凸集)称集合 R为凸集,若x1、x2R及0 ,1,总有x1+(1+)x2R。即若x1、x2R,则x1、 x2的连线必整个地落 在R中。 定理2.2(分离定理)对平面中的凸 集R与R外的一点K, 存在直线 l , l 分离R与K,即R与K分别位于 l 的两侧(注: 对一般的凸 集R与R外的一点K,则存在超平面分 离R与K ),见图。 k l R 下面证明猜想 猜测证明如下: (方法一)显然, 由AE、EF、FB及AE,EF,FB围成 的区域 R是一凸集。利用分离定理易证最短径不可能经过R 外的点,若不然,设 为最短路径,过R外的一点M,则 必存在直 线l分离M与R,由于路径是连续曲线,由A沿 到M,必交l于M1,由M沿到B又必交l于M2。这样,直线 段M1M2的长度必小于路 径M1MM2的长度,与是A到B的 最短路径矛盾,至此,我们已证明最短路径必在凸集R内。 不妨设路径经湖的上方到达B点,则弧EF必在路径F上,又 直线段AE是由A至E的最短路径,直线FB是由F到B的最短 路径,猜测得证。 A B O r EF E F M1 M2 M l 还可用微积分方法求弧长,根据计算证 明满足限止条件的其他连续曲线必具有 更大的长度;此外,本猜测也可用平面 几何知识加以证明等。 根据猜测不难看出, 例5中的条件可以大大放 松,可以不必 设AB过圆心,甚至可不必设湖 是圆形的。例如对 下图,我们可断定由A至B 的最短路径必 为l1与l2之一,其证明也不难类 似给出。 A B l1 l2 D 到此为止,我们的研讨还只局限于平面之中 ,其实上述猜测可十分自然地推广到一般空 间中去。1973年,J.W.Craggs证明了以上结 果: 若可行区域的边界是光滑曲面。则最短路径必由下列弧组 成,它们或者是空间中的自然最短曲线,或者是可行区域 的边界弧。而且,组成最短路径的各段弧在连接点处必定 相切。 (二)在模型讲解中介绍建模方法与技巧 (初等方法)经验公式的建立、量纲分析 法建模、冲量分析、比例关系的利用等 (微分方程方法建模)房室系统方法、集 中参数法与分布参数法建模、工程师原 则、统计筹算率等 (逻辑模型)公理化方法、奇偶性校验、 对称性利用等 例5(希尔密码) 目的:改变字母出现的频率 工具:应用矩阵乘法 困难:逆变换的实现有困难 解决办法:以逆元素乘法代替除法(需 要附一些条件)。使学生认识到有时要创 造性地运用知识和技能。 例6 从p-p模型到一般双种群系统模型到 无圈定理(统计筹算率-工程师原则-生态 系统的三种极本类型-平衡点稳定性研究 一般的双种群系统 仍用x1(t)和x2(t)记t时刻的种群量(也可以是种群密度), 设Ki为种群i的净相对增长率。 Ki随种群不同而不同,同时也随系统状态的不同而不同 ,即Ki应为x1、x2的函数。Ki究竟是一个怎样的函数,我们没 有更多的信息。不妨再次采用一下工程师们的原则,采用线 性化方法。这样,得到下面的微分方程组: (3.33)不仅可以用来描述捕食系统。也可以用来描述相 互间存在其他关系的种群系统。 (3.33) (3.33)式的一些说明 式中a1、b2为本种群的亲疏系数,a2、b1为两种群间的 交叉亲疏系数。a2b10时,两种群间存在着相互影响,此时 又可分为以下几类情况: (i)a20,b10,共栖系统。 (ii)a20( 或a20,b1<0 ),捕食系统。 (iii)a2<0,b10可推出 0的置换矩阵P 步2 确定 步3 取 ,用 代替 步4 若 =0,停;否则,返回步1。 例2. 为方便起见,我们来分解一个元素均为非负整数的3阶双随机矩阵, (由Birkhoff定理,r5) 解:取 ,=min 1, 3, 3 =1 分解成 ,再取 因min 5, 5, 3 = 3,又有 ,取 于是又有 易得分解结果为: 尚需解决的问题是如何求P,使得Pij0必有 。读者不难发现,此问 题可以通过求解一个两分图上的最大流(或最大匹配)来实现,计算量 为O(n4),是多项式时间可解的。具体方法为:作一两分图,若 , 则作边(i, j),令边容量为1,这样,可作出P的充要条件是该最大流问 题的最大流量为n。对例9.33,n=3。由于所有 ,先取 , P1为 于是又可求得 ,相应的两分图为: 又可得 ,,如此下去,直到作不出P为至, 由于 的特殊性质及Birkhoff定理,上述分解必能在不超过r= (n1)2 + 1步内终止。 上述开关设计方法要求在通讯卫星上设置(n1)2 + 1种不同的开关模式 (即Pk),当n稍大时,(n1)2 + 1仍显得太大而使得使用时不便。例如 ,当n=41时,(n1)2 + 1=1601。为实用方便,人们研究了限止开关模式 个数的相应问题。 若要求rn,即要求通讯卫星上至多设置n种开关模式,则问题化为令rn ,求不超过n个置换矩阵Pk及k,使之满足: min S.t 为了使任意一对发射法与接收站之间的传送均为可能实现的,自然应要求 Pk满足 (1) (2) (右面的矩阵有n2个值为1的分量,每一Pk 恰有n个1分量)故r=n。 容易看出,(1)隐含着T的每一元素只能被唯一的P复盖,即T的元素在分 解中是不可分割的,这当然是一个好性质,使实际操作时较为方便,但可 惜的是对一般的双随机矩阵,分解很可能无解。 例3 若取 , , (注意:T已是双随机矩阵,行和列和均为10) 则min S.t 的解为1=3,2=4,3=5。 (大于10)而 但等号经常并不成立。1985年,FRendel证明,在给定满足(2)的置 换矩阵P1,,Pn后,求解问题(1)是NP难的,从而不可能存在多项式时 间算法,除非P=NP。 现要求r2n 一种自然而方便的开关设置为引入两组各有n个开关模式的置换矩阵 P1,,Pn,Q1,,Qn,满足下面的(5.3)式: 例如,当n=3时,可令: (注:这种设置方法保持了其内在的对称性,不失为一种明智的做法。) 现在,我们来分解例9.33中的双随机矩阵 ,令 = ,得方程组 求出各对角线与反对角线上的三个元素之和,并作一些简单的消去运算; 将矩阵的所有元素相加,可得下面的方程组: 注意到(5.3),易证空间 的维数为 5, 故 之一可任取,(稍加注意即可保持非负性), 例如,令3=0,求得 ,故有 读者不难验证,上述方法可推广到n是奇数的一般情况。事实,由各对角线 元素之和可导出n1个方程,由各反对角线元素之和又可导出n1个方程 ,加上矩阵所有元素之和导出的等式,共计可导出2 n1个方程,并易知 它们是独立的。另一方面空间 的维数恰为2 n1,故 之一可任取,而通过方程组解得所有的 , (只须注意保持其非负性即可) 但当n为偶数时,情况就不大相同了。让我们先来观察一下n=4的情况。 当n=4时, 易见, 具有非常特殊的结构,一般的偶数阶双随机矩 阵,即使其元素是非负整数,也无法用Pk、Qk来分解。 当 具有上述结构时,能否用Pk和Qk来分解呢?易见,由各对角线元素 之和可导出: 另外,由反对角线元素之和又可导出 上述方程中只有6个是独立的,且已不可能再得出新的独立方程,(读者可 自行分析之)故可选取其中2个的值,进而可解出其余。例如,若令 4= 3=0,可得 2=1, 1=0,进而可求得 1=2, 4=3, 3=3及 2=4, 已达到下界。 易见,P1 + P3 = Q2 + Q4,P2 + P4 = Q1 + Q3,故空间 的维 数为6,与上面的分析是一致的。 读者可将上述讨论推广到n为一般偶数的情况,分析方法是完全类似的。 易见, 具有非常特殊的结构,一般的偶数阶双随机矩 阵,即使其元素是非负整数,也无法用Pk、Qk来分解。 当 具有上述结构时,能否用Pk和Qk来分解呢?易见,由各对角线元素 之和可导出: 另外,由反对角线元素之和又可导出 上述方程中只有6个是独立的,且已不可能再得出新的独立方程,(读者可 自行分析之)故可选取其中2个的值,进而可解出其余。例如,若令 4= 3=0,可得 2=1, 1=0,进而可求得 1=2, 4=3, 3=3及 2=4, 已达到下界。 易见,P1 + P3 = Q2 + Q4,P2 + P4 = Q1 + Q3,故空间 的维 数为6,与上面的分析是一致的。 读者可将上述讨论推广到n为一般偶数的情况,分析方法是完全类似的。 当n是偶数时,我们虽无法将一般的双随机矩阵分解为Pk 、Qk的非负组合 ,但上述讨论仍然是十分有意义的。首先,要求完成的任务矩阵是T,在 将T转换成不小于它的双随机矩阵时我们可尽量使其具有上述的特殊结构 (有兴趣的读者可自行研究这一问题),只要能做到这一点,即可给出一 个达到下界的开关模式的指派方式。其次,即使这样的努力没有成功,也 容易给出一个具有上述特殊结构 矩阵, 并使 尽可能地小,即给出一种开关指派的近似最佳方 法,由此可设计出效果较好的近似算法。 由于技术水平的提高,目前通讯卫星传送信息已允许一个发射站同时向多 个接收站发送信息,当然,同时发送的信息条数具有某一上限,例如上限 为v。1987年,J.L.Lewandowski和C.L.Liu研究了如下更一般的问题: 给定一正整数v,(v为通讯卫星传送容量的总限止),求开关模式 M:= := ; (0, 1) | , i= 1, , m; ,i= 1, , n, 的设计,要求所用的开关模式总数量 r尽可能小,且 有解,其中T为信息传送量矩阵(需满足一定要求),ak为开关模式Mk的使 用时间。他们设计了一个求解此问题的O(n5)算法,有兴趣的读者可直接阅 读他们的论文。 小 结:本题有许多问题值得研究,例如: 问题1:开关数最小(至少多少只?) 问题2:化双随机矩阵的方法 问题3:双随机矩阵空间的维数 问题4:怎样减少开关数量(限制开关数) n只、2n只,.. 问题5:分解方法(开关数少、使用时间短) (1)开关确定后的分解方法 (2)使卫星利用率最高-NP难近似方法 问题6:推广问题的研究 (例8)信息的度量与应用 怎么度量信息 首先分析一下问题的认识过程 1.对一问题毫无了解,对它的认识是不确定的 2. 通过各种途径获得信息,逐渐消除不确定性 3. 对这一问题非常的了解,不确定性很小 黑箱 不确定度A 灰箱 不确定度B 白箱 不确定度C 信息I 信息II 对于系统,可以利用守恒 关系有 A+I=B,得I=B-A 。 可否用消除不确定性的多少来度量信息! 显然,获取可能性越小的事件已经发生所得到的 信息量就越大 基于前面的观点,美国贝尔实验室的学者香农(Shannon )应用概率论知识和逻辑方法推导出了信息量的计算公式 In his words I just wondered how things were put together. Claude Elwood Shannon (April 30, 1916 - February 24, 2019) has been called the father of information theory. Shannon提出的四条基本性质 (不妨称它们为公理 ) 公理1 信息量是该事件发生概率的连续函数 公理2 如果事件A发生必有事件B发生,则得知事件A发生 的信息量大于或等于得知事件B发生的信息量。 公理3 如果事件A和事件B的发生是相互独立的,则获知 A、B事件将同时发生的信息量应为单独获知两事件 发生的信息量之和。 公理4 任何信息的信息量均是有限的。 将某事件发生的信息记为M,该事件发生的概率记为p,记M 的信息量为I(M),香农用逻辑推理得出I(M)=Clogap 。 上述公理怎样推出信息量的计算公式呢 平均信息量(熵)问题 设某一实验可能有N种结果,它们出现的概率分别为p1,,pN,则 事先告诉你将出现第i种结果的信息,其信息量为log2pi,而该 实验的不确定性则可用这组信息的平均信息量(或熵) 来表示 例7 投掷一枚骼子的结果有六种,即出现16点、出现每 种情况的概率均为1/6,故熵 H=log262.585(比特)。 投掷一枚硬币的结果为正、反面两种,出现的概率均为 1/2,故熵 H=log22=1(比特)。 向石块上猛摔一只鸡蛋,其结果必然是将鸡蛋摔破,出 现的概率为1,故熵H=log21=0 从例子可以看出,熵实质上反映的是问题的“模糊度”,熵为零 时问题是完全清楚的,熵越大则问题的模糊程度也越大 例8 有12个外表相同的硬币,已知其中有一个是假的,可能轻 些也可能重些。现要求用没有砝码的天平在最少次数中找出假 币,问应当怎样称法。 解 假币可轻可重,每枚硬币都可能是假币。故此问题共有 24种情况,每种情况的概率为1/24。所以此问题的熵为log224。 确定最少次数的下界 实验最多可能出现三种结果 ,根据定理11.3,这种实验在可 能出现的各种事件具有相等的概率时,所提供的平均信息量 最大,故实验提供的平均信息量不超过log23。 设最少需称k次,则这k次实验提供的总信息量 不超过klog23=log23k,又问题的模糊度(熵)为log224 必要条件: log23klog224 ,得 k3。 (问题)怎样设计最少次数的乘法? (四)课堂教学、课外实践、组织学生参加建模 竞赛相结合,通过系列教学活动培养创新人才 n课堂教学:开拓思路、抛砖引玉 n课外实践、参加竞赛:实践出真知,在 实践中经受锻炼、增长才干。 (我校数学建模教改和教学初见成效) (教改) (1)2019年获国家级教学成果奖 (2)2019年入选首批国家级精品课程 (3)出版国家级十五规划教材1本、教育科学 十五国家级规划项目成果2本、学生优秀论 文点平等其他书籍3本。在编十一五国家级 规划教材2本。 (4)完成和在建国家级教改项目3项(在建国 家级创新教学团队项目) (人才培养效益) (1)每年有数十名学生被推荐出国深造, 更多的人被保送或考取研究生,其中不少人 已成为学科带头人或科研骨干。 (2)许多学生在国内外大学生数学建模竞 赛中获奖,激发了学生的创新意愿 2019年以来的获奖情况 美国大学生数学建模竞赛 特等奖(兼INFORMS奖)2项 一等奖 28 项, 二等奖 22 项 全国竞赛 一等奖 33项, 二等奖47 项 全国邀请赛 特等奖多项(未作统计) (五)将数学建模思想融入数学主干课程 、将各种数学知识与技能引入数学建模 培养人才是全体教师的共同责任,不可能由 少数教师、一两门课程来完成。任何教师的知 识面都是有限的,不可能对学生进行全方位的 培养。我校数学建模方法与实践已被立项为国 家级创新教学团队,下一步我们将凝聚浙大数 学人才培养基地数学建模、优化控制、概率统 计和金融数学四个方向的骨干教师开展开展进 一步教改,探索人才培养的新途径。 n总之,人类对自然界的认识过程是: 观察-分析思考-猜测-求证-应用- 在校学生既应当努力学习前人积累下来 的知识,又应当去探求新知识,为后人开 辟新天地,任重而道远。 祝同学们在四年的大学学习中打好基础, 将来能更好地报效祖国! The End 谢谢观看!
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