论文题目：泰勒公式的应用.doc

1、新乡学院2008级本科毕业论文新乡学院2008级毕业论文论文题目：泰勒公式的应用（小二居中）姓 名 李小军 学 号 2008041109037 所在院系 数学系 专业名称 数学与应用数学 指导教师 赵国喜 指导教师职称 副教授 2012 年 04 月 20 日 目 录内容摘要11 泰勒公式21.1 泰勒公式的一般形式21.2 Maclaurin公式.22 泰勒公式的应用32.1 求极限.32.2 近似计算.32.3求高阶导数.42.4求解含有小参数近似根的摄动法.42.5判定二元函数的极限不存在.52.6泰勒公式在证明不等式中的应用.72.7广义积分收敛性中的应用.92.8泰勒多项式的行列式表

2、示.11参考文献.15致 谢.16图表格式要求.17后记(为何选这篇文章为模板).19注意事项.20新乡学院毕业论文内容摘要：本篇文章论述了泰勒公式作为一种工具对于解其它数学题的应用。介绍了泰勒公式的形式和应用是本文主要内容，如求极限中的的应用，求近似值上的应用，求高阶导数上的应用，判定二元函数极限不存在，在证明不等式上的应用，以及广义积分收敛性中的应用，涵盖了分析数学中比较常见的问题。其中,在判定二元函数极限不存在和广义积分收敛性中的应用中补充了巧妙的方法，使得原本复杂问题简单化。关键词：泰勒公式 极限 近似计算 高阶导数 二元函数 极限不存在 收敛Abstract：This article

3、 discusses the Taylor formula as a tool for solving other mathematical problems. The form and application are mainly introduced, such as the application in limitation, in approximate computation, in high-order derivation computation, in determinate the non-exist of dual function, in inequality provi

4、ng, and the application of generalized integral convergence , which covers more common problems mathematical analysis. Furthermore, clever methods are added in a judgment on binary function limit non-exist and generalized integrals convergence, which makes original complex problem simple. Key words:

5、 Taylor formula Limitation Approximate computation High-order Derivation Binary function Convergence 注：1、摘要主要反映作者论文创作的目的、问题研究所采用的数学方法和思想、得到了什么结论，以及相应的研究结果和价值。如果能写出自己创作的亮点和创新点那就更好了，切忌流水账。 2、关键词中间空两格，不要标点；内容摘要字数为200个字符左右；关键词必须是词组，且一般在35个之间。3、页码从本页开始1 泰勒公式1.1 泰勒公式的一般形式泰勒公式的一般形式为：其中的几种常见的形式的佩亚诺形式： (1)的拉

6、格朗日形式：， (2)其中满足在区间内次可微，在区间内连续，且.在2的条件下，还有 (3)1.2 Maclaurin公式泰勒公式在时称为Maclaurin公式 ，即其中的带佩亚诺形余项的Maclaurin公式： (4)的拉格朗日形余项的Maclaurin公式： (5)其中满足在区间内次可微，在区间内连续，且 1.2.1 几种常见常用的麦克劳林公式： 2 泰勒公式的应用2.1 求极限利用公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并用佩亚诺型余项，当极限式为分式，一般要求分子分母展开成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限。 例1求极限解 因为当时，从而2.2 近似计算我们知道，如果函数在点可导，则有，

7、即在附近，用一次多项式逼近函数时，其误差级数为，然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或者高于二次的多项式去逼近，并要求误差数量级数改善到，其中n为多项式的次数，泰勒公式给出了定量形式的余项，以便对逼近的误差进行具体的计算或估计。 例2求要求误差小于解 由的泰勒展开式知道当时，有按题意，要求，可求出因此 2.3求高阶导数泰勒公式的重点就在于使用一个n次多项式去逼近一个已知的函，且这种逼近有很好的性质，与在点具有相同的直到阶的导数。例3 ,求 解 又在处的麦克劳林展开于是 2.4求解含有小参数近似根的摄动法例4求方程的其中为小的参数。分析：由于为测量参数，希望的微小变化所引起的

8、方程的根的变化也是微小的，设根为的函数，利用泰勒公式求根的近似表达式，经过计算：，,得到的的二阶表达式 2.5判定二元函数的极限不存在通常情况下，要判定二元函数f(x，y)的极限的不存在性，往往采取下述两种方法：1. 构造趋于的点到使,或者构造趋于的两个点列及使得.2. 构造通过的连续曲线的连续曲线，使得；构造通过点的两条连续曲线与，使得在实际应用中最棘手的问题是：怎样寻找这样的点列L或者两种不同的路径的曲线与，使其符合上面的条件。对于较简易函数f(x)在处极限不存在的问题，常常用下法来解决：1.取，求出时的极限.2.取，求出时的极限.3.令,求出的极限值问题与或有关,从而得出这个二元函数的极

9、限不存在，但以上各法均不能作为解决这类问题的通用方法，利用泰勒公式研究函数无穷小量的阶则可顺利的解决这类问题，下面举例说明具体的做法。先给出点的泰勒展开式：特殊地，在点处的泰勒展开式为： 例5求函数极限解 , 又 显然当 时，,故所求极限不存在这种方法适用于为有理式的情况，当为其他形式时，可通过简单变形后再应用。在点（0，0）处极限解：因 故函数在处的极限不存在2.6泰勒公式在证明不等式中的应用如果函数 的二阶和二阶以上的导数存在且有界，利用泰勒公式证明这些不等式：。1. 写出比高阶导数低一阶的泰勒展式；2. 恰当写出等式两边与；3. 根据最高阶导数的大小或界对展开式进行方缩。例7. 设在区间

10、内阶可导，且，证明,其中均为正数，证明：记则，由于在上二阶可导，故在点处一阶泰勒公式成立，在与之间，因为所以分别取，则有 以上各式分别乘以，得， 将上面两个不等式相加，得因为 ，所以 ，此即 ，从而例8设,且，证明.证明：由，知，又因为存在，连续，所以， 因而 因为二阶可导，所以在处一阶泰勒公式成立，在与之间，因为所以于是 得证。2.7广义积分收敛性中的应用2.7.1 函数在无穷域上的积分设定义在且在任何有穷区间上可积，则有：(1) 当时，积分收敛。(2) 当时，积分发散。如果可以泰勒展开成，则(1) 当时，积分dx收敛。(2) 当时，积分发散。例9求的敛散性.因为由该节所提结论知绝对收敛，同

11、样道理，可以讨论函数在瑕点处的积分。2.7.2 函数在瑕点处的积分定理1 对于定义在上并且以为瑕点的瑕积分在任何上可积，由，当 (1) 当时，积分收敛。(2) 当时，积分发散。例10判别的敛散性解 ：因为，由定理1，知该积分发散。类似的，为正项级数，记，如果可以泰勒展开成，那么：(1) 当时，级数收敛。(2) 当时，级数发散。例11讨论级数的敛散性解：当时，收敛，当时，2.8 泰勒多项式的行列式表示泰勒公式在数值计算及数学论中占有很重要的地位，下面借助于罗尔定理及函数的泰勒多项式的行列式表示，给出两个函数之间的泰勒公式关系，借助于这种关系给出其应用。定理1. 令，则有证明：由可得其中A为的代数

12、余子式，即：，于是定理2. 设在的某一邻域内有定义，在处有阶导数，则有证明：对作归纳法， 设结论对于成立，令即有由归纳法可知结论成立。定理3. 若函数在的某一邻域内有阶导数，则证明思路分析：只需把上式等式右边的行列式的第一列写成的形式，再利用行列式的性质即可。定理4. 设在的某一邻域内有直到阶导数，且当时，的1阶到阶导数不为零，则在的该邻域内有，使得证明：为了方便起见，令由定理1可得令，有.由罗尔定理，与之间有，使得 令，有于是在与之间有，使得.令有，于是在与之间有使得，一般的，由罗尔定理，在与之间有使得令，则在与之间有，使得即：，该定理建立了两个函数泰勒公式之间的关系。推论2. 取，可得的带

13、有拉格朗日余项的泰勒公式推论3. 取可得柯西中值定理推论4. 取，可得拉格朗日中值定理。推论5. 若则有，当时，为罗比达法则。推论6. 取，可得积分中值定理结论：泰勒定理使我们能利用高阶导数，更深入地研究函数的性质与形态，泰勒公式的发展比较完善，涉及面很广泛，有极限，微分，积分，级数，行列式等诸多应用，有关泰勒公式的应用还有很多，期待今后能更进行一步的研究。参考文献1 华东师范大学数学系编.数学分析上册(第三版)M. 北京:高等教育出版社, 2004.2 同济大学数学系.高等数学（第6 版）M.北京: 高等教育出版社, 2007 3 . . 吉米多维奇.数学分析习题集题解(二)M.山东:山东科

14、学出版，2001. 4 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京教育出版社，1993.5 沈燮昌,邵品琮.数学分析纵横谈M.北京：北京大学出版社, 19916 陈文灯,黄先开.数学复习指南(考研)M.世界图书出版公司. 2001. 7 刘忠.一个函数不等式的推广和应用J .娄底师专学报( 4), 2000:5457.8 北京大学.高等代数M.北京：人民教育出版社1978.9 同济大学.高等代数（上）（第四版）M.北京：高等教育出版社，2000.10徐秋丽.行（列）满秩矩阵的几点性质J.长春师范学院学报,2005(3):57.11郑一.对数微分及其在近似计算中的应用优势.青岛建筑工程学院学报,

15、2004：6367注：1-9是参考书目格式，没有要求页码；10-11是参考科技杂志的格式，必须有页码范围。篇幅要求：文科本科不少于8000字符，专科不少于6000字符；理工科本科不少于5000字符，专科不少于4000字符。音、体、美等专业可视情况酌减，但相应院（系）应提出统一的基本要求报教务处核准备案。毕业论文（设计）总体打印规范要求1各部分的字体和字号，执行上述各部分的规定。2页边距：上3厘米、下2.5厘米，左3厘米，右2.5厘米，左侧装订。行间距1.5倍行距。3统一采用16开纸单面打印，加封面装订。致 谢岁月如歌，光阴似箭，当再一次走在校园宁静的小路上，当再一次走进学校教学楼这座神圣的求知

16、殿堂，看着熟悉的校园，回想一幕幕熟悉的场景，一个个熟悉的身影。此时此刻，此情此景，在这临近毕业的时节，除了深深地感谢我还能说些什么？首先衷心地感谢我敬爱的指导老师 老师。从论文的选题、论文方案的制定、论文的开展和进行、论文结果的分析与讨论，以及论文的撰写和修改等方面，都倾注郭老师的大量心血与汗水。师从于 老师，收获是多方面的，从他渊博的知识、严谨的治学中，我体会到了知识与研究的魅力；从他认真负责的工作作风中，我学习到了勤劳与执著。在此谨向老师致以最崇高的敬意和最诚挚的感谢！感谢长期以来一直无私关心和帮助我的挚友们。最后，感谢在我十几年的求学生涯中始终支持我、关心我的父母和家人们。没有他们对我的

17、支持、理解、宽容和鼓励，我不可能完成学业。他们是我前进道路上永恒的源动力！注意：1、 不要套话！2、 不要照搬本页内容附录：1、图格式如下图1. 不同n值的Coxian拟合效果图图2. W2拟合效果图注：全文的图需要统一编号，且有名称（位于图正下方）2、表格格式如下：表1. 不同n值的Coxian参数表阶数参数、Z=mlh误差Dn=2(1,1,2)=(0.8413,0.9287,0.9450)-18.1880.4996n=3(1,2,1,2,3)=(0.0292,0.4826,0.9679,0.3659,0.7150）-17.9320.4871n=4(1, 2, 3,1,2,3,4)=(0.3

18、209,0.2464,0.4199,0.9534,0.7567,0.5170,0.7964)-18.2160.4795表2. 参数变化表(_)=4,m11=0.3,m12=0.2(_)=4,m11=0.3,N=5N345m120.150.180.25Pb0.93380.94890.9621Pb0.78980.91130.9602L(_)22.0623.6724.97L(_)3.8816.6834.76S(_)5.525.926.24S(_)0.974.178.69注意：尽量使用三线表（表名称位于图正下方）3、后记之所以选择这篇文章作为模板，主要看到了它的基本格式基本上没有太大问题。这篇文章的不

19、足之处是明显的：（1）文章的创作显然参考了别人较多东西，创新点不足，给人感觉有点像老师在讲习题课；（2）当时的摘要比较凌乱，英文摘要语病较多，后来我做了整理；4、要求及注意事项（1）请大家依照我系论文安排的进度，合理安排自己的时间及时和老师沟通。特别是考研的同学更应该提前着手，或者充分利用假期。但是，假期间搜集资料显然不太方便。（2）选题至关重要。要和你的指导教师和周围的同学多交流，切忌雷同。（3）毕业论文是个人今后科学研究的基础，对很多人来说也是个人的第一份大型科技文档，请务必以科学严谨的态度对待。（4）要会使用我校的学术期刊（cnki）数据库、图书资料等收集资料。用心做论文，努力创新。（5）请大家注意论文的格式。特别是中英文摘要、章节编号、公式编号、图标格式、参考文献、换行及缩进等。数学公式必须用公式编辑器排版。英文摘要如果完全借助google或翻译软件效果是非常差的，请注意语法和数学专业词汇的表达。（6）支持原创。若发现抄袭现象，必须返工，重新创作。不听指导教师劝阻或情节严重者取消毕业论文答辩资格。20