北航线代期末考试模拟题1(含答案).doc

1、线性代数期末考试模拟题一一、单项选择题1设A为3阶方阵, 数l =-2, |A| =3, 则|lA| =（ ）A24; B-24; C6; D-6.2设A为n阶方阵, n1+n2+n3=n, 且|A|0, 即, 则A-1=( )A; B;C; D.3设A为n阶方阵, A的秩R(A)=rn, 那么在A的n个列向量中（ ）A必有r个列向量线性无关;B任意r个列向量线性无关;C任意r个列向量都构成最大线性无关组;D任何一个列向量都可以由其它r个列向量线性表出.4若方程组AX=0有非零解, 则AX=(0)（ ）A必有无穷多组解;B必有唯一解;C必定没有解;DA、B、C都不对.5. 设A、B均为3阶方阵

2、, 且A与B相似, A的特征值为1, 2, 3, 则(2B)-1 特征值为( )A2, 1, ; B. , , ; C1, 2, 3; D2, 1, .6. 设A，B为n 阶矩阵，且R（A）=R（B）， 则（ ）AAB=BA;B存在可逆矩阵P, 使P-1AP=B;C存在可逆矩阵C, 使CTAC=B;D存在可逆矩阵P、Q，使PAQ=B.7实二次型是（ ）A正定二次型;B半正定二次型;C半负定二次型;D不定二次型.8设A, B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵,则必有（ ）AA的列向量线性相关,B的行向量线性相关；BA的列向量线性相关,B的列向量线性相关；CA的行向量线性相关,B的行向量线性相关；

3、DA的行向量线性相关,B的列向量线性相关.二、填空题若行列式的每一行（或每一列）元素之和全为零，则行列式的值等于_;2.设n阶矩阵A满足A2-2A+3E=O，则A-1=_;3.设，则的一个最大线性无关组为_;4. 设是非齐次方程组AX=b的一个解向量，是对应的齐次方程组AX=0的一个基础解系，则 ,线性_;5. 设1 , l2 为n阶方阵A的两个互不相等的特征值，与之对应的特征向量分别为X1，X2，则X1+X2_矩阵A的特征向量。，6. 设A为n阶方阵， 若A有特征值1 , l2 , ln，则|A2+E|=_;7. n维向量空间的子空间W=(x1，,x2, , xn): 的维数是_;8. 设

4、如果|A|=1, 那么 |B| = _.三、解矩阵方程 ，其中， .四、设方程组问当l 取何值时，（1）方程组有唯一解；（2）方程组无解；（3）方程组有无穷多解，求其通解（用解向量形式表示）.五、已知二次型, ，(1) 写出此二次型对应的矩阵A;(2) 求一个正交变换x=Q y, 把二次型f(x1, x2, x3)化为标准型.六、设，是R 3中的向量组，用施密特正交化方法把它们化为标准正交组.七、设A为n阶方阵, 求证: A2 = A的充分必要条件是: R(A)+R(A-E) = n.试题一参考答案一. 1. B 2.C 3.A 4.D 5.B 6.D 7.A 8.A二. 1. 0 2. A=

5、 3. 4. 无关5. 不是6. 7. n-28. 2三. 解 由 ，得 . 因为，所以矩阵可逆， =. 四. 解: 当,即且时，有唯一解.当且，即时，无解.当且，即时，有无穷多解. 此时，增广矩阵为原方程组的解为 () 五. 1. 二次型f所对应的矩阵为： 2. 可求得 将其单位化得 故正交变换为： 标准型： 六解： 易验证线性无关，从而可施行施密特标准正交化.令 ， ， 七证法1. 充分性由R(A)+R(A-E) = n可得:n - R(A)+n - R(A-E) = n则方程组AX=0与(A-E)X=0两个解空间的维数之和为n,故A有n个线性无关的特征向量分别属于特征值0,1存在P(P可逆), 使得: P-1AP=于是P-1A2P= P-1AP 故A2=A 2. 必要性因为 A2=A所以 A(A-E)=0从而 n=R(E)R(A)+R(A-E)n故R(A)+R(A-E) = n. 得证.