2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国1卷试题及参考答案(1).docx

1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试及答案理科数学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设 z = 1- i + 2i ，则| z |=1+ i21A 0B 2C1DR2. 已知集合 A = x x2 - x -

2、 2 0 ，则 A =A x -1 x 2Cx | x 2B x -1 x 2Dx | x -1Ux | x 23. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例， 得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C新农村建设后，养殖收入增加了一倍D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4记 Sn 为等差数列an 的前 n 项和.若3S3 = S2 + S4

3、 ， a1 = 2 ，则 a5 =A -12D12B -10C105. 设函数 f (x) = x3 + (a -1)x2 + ax .若 f (x) 为奇函数，则曲线 y =f (x) 在点(0, 0) 处的切线方程为A. y = -2xD y = xB. y = -xC. y = 2x6. 在ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB =3 uuurA. AB -1 uuurAC1 uuurB. AB -3 uuurAC3 uuurC. AB +1 uuurAC4444441 uuur3 uuurD. AB +AC447. 某圆柱的高为 2，底面周长为 16

4、，其三视图如图圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到N的路径中，最短路径的长度为175A 2B 2C3D228. 设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点（2，0）且斜率为3的直线与 C 交于 M，N 两点，则 FM FN =A5B6C7D8ex，x 0，9. 已知函数 f (x) = ln x，x 0g(x) = f (x) + x + a 若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围是A1，0）B0，+）C1，+） D1，+）10. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成

5、，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC ABC 的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为在整个图形中随机取一点，此点取自 ，的概率分别记为 p1，p2，p3，则Ap1=p2Bp1=p3Cp2=p3Dp1=p2+p311. 已知双曲线 C：x2 - 2y3= 1 ，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条3渐近线的交点分别为 M、N.若OMN 为直角三角形，则|MN|=A 32B3C 2D412. 已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A. 3 34B. 2 33C.

6、3 24D. 3 2二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。x - 2 y - 2 013. 若 x ， y 满足约束条件x - y + 1 0，则 z = 3x + 2 y 的最大值为 y 014. 记 Sn 为数列an 的前 n 项和.若 Sn = 2an + 1 ，则 S6 = 15. 从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有 种（用数字填写答案）16. 已知函数 f ( x) = 2sin x + sin 2x ，则 f ( x) 的最小值是 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第

7、1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60 分。17（12 分）在平面四边形 ABCD 中， ADC = 90o ， A = 45o ， AB = 2 ， BD = 5 .（1） 求cosADB ；2（2） 若 DC = 2，求 BC .18（12 分）如图，四边形 ABCD 为正方形，E, F 分别为 AD, BC 的中点，以 DF 为折痕把DFC 折起，使点C 到达点 P 的位置，且 PF BF .（1） 证明：平面 PEF 平面 ABFD ；（2） 求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值.19（12 分）设椭圆C

8、:x2 + 2y2= 1 的右焦点为 F ，过 F 的直线l 与C 交于 A, B 两点，点 M 的坐标为(2, 0) .（1） 当l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；（2） 设O 为坐标原点，证明： OMA = OMB .20（12 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 p(0 p 1) ，且各件产品是否为不合格品相互独立学科&网（1） 记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为

9、 f ( p) ,求 f ( p) 的最大值点 p0 （2） 现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 p0 作为 p的值已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用（i） 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X ， 求 EX ;（ii） 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作 检验？21（12 分）已知函数 f (x) = 1 - x + a ln x x（1） 讨论 f (x) 的单调性；（2） 若 f (x) 存在两个极值点 x ,

10、 x ，证明：f ( x1 ) - f ( x2 ) 1 的解集；（2） 若 x (0,1) 时不等式 f (x) x 成立，求 a 的取值范围.参考答案：123456789101112CBABDABDCABA13.614. -6315.1616. - 3 3217.（12 分）解：（1）在ABD 中，由正弦定理得BD2sin AAB=sin ADB .5由题设知，sin 45= sin ADB，所以sin ADB =2 .51- 225=由题设知， ADB 90 ，所以cosADB =23 .5（2）由题设及（1）知， cos BDC = sin ADB =2 .5在BCD 中，由余弦定理得

11、BC 2 = BD2 + DC 2 - 2 BD DC cos BDC= 25 + 8 - 2 5 2 2 25= 25 .所以 BC = 5 .18.（12 分）解：（1）由已知可得，BFPF，BFEF，所以 BF平面 PEF.又 BF 平面 ABFD，所以平面 PEF平面 ABFD.（2）作 PHEF，垂足为 H.由（1）得，PH平面 ABFD.以 H 为坐标原点， HF 的方向为 y 轴正方向，| BF | 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Hxyz.3由（1）可得，DEPE.又 DP=2，DE=1，所以 PE=.又 PF=1，EF=2，故 PEPF.可得 PH =3 , EH =

12、 3 .22则 H (0, 0, 0), P(0, 0,3 ), D(-1, - 3uuur3, 0), DP(1,), HP=uuur3= (0, 0,3 ) 为平面22222ABFD 的法向量.quuur uuur333HP DP4设 DP 与平面 ABFD 所成角为，则sinq=| uuur uuur| HP | DP |=.43所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为.419.（12 分）解：（1）由已知得 F (1, 0) ，l 的方程为 x=1.由已知可得，点 A 的坐标为(1,2 ) 或(1, -22 ) .2所以 AM 的方程为 y = -2 x +或 y =222 x

13、-.22（2） 当 l 与 x 轴重合时， OMA = OMB = 0 .当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以OMA = OMB .x当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y = k (x -1)(k 0) ，A(x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，则 x 2, x 0 ；当 p (0.1,1) 时， f ( p) 400 ，故应该对余下的产品作检验.21.（12 分）1ax2 - ax +1解:（1） f (x) 的定义域为(0, +) ， f (x) = -1+= -.x2xx2（i）若a 2 ，则 f (x) 0 ，当且仅当 a = 2

14、 ，x = 1 时 f (x) = 0 ，所以 f (x) 在(0, +)单调递减.a -a2 - 4a +a2 - 4（ii）若 a 2 ，令 f (x) = 0 得， x =或 x =.22a -a2 - 4a +a2 - 4x +当(0,) U (,) 时， f22(x) 0.所以f (x)在a +a2 - 4a -a2 - 4a -a2 - 4a +a2 - 4(0,), (, +) 单调递减，在(,) 单调递2222增.（2）由（1）知， f (x) 存在两个极值点当且仅当 a 2 .由于 f (x) 的两个极值点 x , x 满足 x2 - ax + 1 = 0 ，所以 x x =

15、 1 ，不妨设 x 1.由于f (x1 ) - f (x2 ) = - 112- 1+ a ln x1 - ln x21 2= -2 + a ln x1 - ln x2121= -2 + a -2 ln x2 ，x1 - x2x1x2x1 - x2x1 - x2- x2x2所以 f (x1 ) - f (x2 ) a - 2 等价于 1 - x+ 2 ln x 0 .xx1 - x2222设函数 g(x) = 1 - x + 2 ln x ，由（1）知， g(x) 在(0, +) 单调递减，又 g(1) = 0 ，从x而当 x (1, +) 时， g(x) 0 .所以 1 - x + 2 ln

16、 x 0 ，即f (x1 ) - f (x2 ) a - 2 .x222x1 - x222选修 44：坐标系与参数方程（10 分）解:（1）由 x = rcosq， y = rsinq得C2 的直角坐标方程为(x +1)2 + y2 = 4 （2）由（1）知C2 是圆心为 A(-1, 0) ，半径为 2 的圆学&科网由题设知，C1 是过点 B(0, 2) 且关于 y 轴对称的两条射线记 y 轴右边的射线为l1 ， y轴左边的射线为l2 由于 B 在圆C2 的外面，故C1 与C2 有且仅有三个公共点等价于l1 与C2 只有一个公共点且l2 与C2 有两个公共点，或l2 与C2 只有一个公共点且l

17、1 与C2 有两个公共点当 l 与 C 只有一个公共点时， A 到 l 所在直线的距离为 2 ，所以| -k + 2 | = 2 ，故k 2 +1121k = - 4 或 k = 0 3经检C 验，当k = 0 时，l 与C 没有公共点；当 k = - 4 时，l 与C 只有一个公共点，212l2 与有两个公共点312| k + 2 |k 2 +1当l 与C 只有一个公共点时，A 到l 所在直线的距离为2 ，所以= 2 ，故k = 0222或 k = 4 3经检验，当 k = 0 时， l 与C 没有公共点；当 k = 4 时， l 与C 没有公共点12322综上，所求C 的方程为 y = - 4 | x | +2 1323选修 45：不等式选讲（10 分）解：（1）当 a = 1 时， f (x) =| x +1| - | x -1|，即 f (x) = 2x, -1 x 1 的解集为x | x 12（2）当 x (0,1) 时| x +1| - | ax -1| x 成立等价于当 x (0,1) 时| ax -1| 0 ，| ax -1| 1 的解集为0 x 2 ，所以 2 1 ，故0 a 2 aa综上， a 的取值范围为(0, 2