应用多元统计分析答案详解汇总.pptx

1、应应用多元用多元统计统计分析分析第二章部分第二章部分习题习题解答解答2第二第二章章多元正多元正态态分布及参数的估分布及参数的估计计2-1 设设3维维随机向量随机向量XN3(,2I3)，已知，已知 2 2.10.5 d 1 0 0.5,0.5 0,A 0.5 0 试试求求Y=AX+d的分布的分布.解解:利用性利用性质质2,即得二即得二维维随机向量随机向量YN2(y,y),其其中：中：3第二第二章章多元正多元正态态分布及参数的估分布及参数的估计计2-2 设设X=(X1,X2)N2(,)，其中，其中1.2 1,2 1 （1）试证试证明明X1+X2 和和X1 -X2相互独立相互独立.（2）试试求求X1

2、+X2 和和X1 -X2的分布的分布.解解:(1)记记Y1 X1+X2(1,1)X,Y2 X1-X2 (1,-1)X，利用性利用性质质2可可知知Y1 ,Y2 为为正正态态随机随机变变量。又量。又Cov(Y,Y)1 1 1 1 01111212故故X1+X2 和和X1 -X2相互独立相互独立.第二第二章章多元正多元正态态分布及参数的估分布及参数的估计计4或者或者记记CX1 1 XX X XX X1Y2 YY1 2 2 1 1 121则Y N2(C,CC)2(1 )2(1 )00 1 11 11 1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 11 1 因Y CC 22由定理由定理2.3.1可知可知X1

3、+X2 和和X1 -X2相互独立相互独立.第二第二章章多元正多元正态态分布及参数的估分布及参数的估计计(2)因因502(1 )2(1 )0 1 2 2,N X1 X 2 X XY 12212X X N(,2 2(1 ).12 N(,2 2(1 );122121 X X第二第二章章多元正多元正态态分布及参数的估分布及参数的估计计2-3 设设X(1)和和X(2)均均为为p维维随机向量随机向量,已知已知,2,N1 21(2)(1)2 p(2)X(1)X X其中其中(i)(i1，2)为为p维维向量向量,i(i1，2)为为p阶阶矩矩阵阵，(1)试证试证明明X(1)+X(2)和和X(1)-X(2)相互独相

4、互独立立.(2)试试求求X(1)+X(2)和和X(1)-X(2)的分布的分布.解:(1)令 CX I p I p X XII p X XXY Xp(1)(2)(1)(2)(2)(1)6第二第二章章多元正多元正态态分布及参数的估分布及参数的估计计7Y N2 p(C,CC)则2(1 2)2(1 2)Op I1 O1 2 I pI pI 1 1 2p I1 p2 I pI pIp 2 1因D(Y)CD(X)C I I pI pI22pp由定理由定理2.3.1可知可知X(1)+X(2)和和X(1)-X(2)相相互独立互独立.第二第二章章多元正多元正态态分布及参数的估分布及参数的估计计(2)因因8O2(

5、)2()O(1)(2)NX X Np(,2(1 2);X X,2(1 2).YX XX X,1212(2)(1)2p(2)(1)(2)(1)Np(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)所以所以注意:由D(X)0,可知(1-2)0.第二第二章章多元正多元正态态分布及参数的估分布及参数的估计计2-11 已知已知X=(X1,X2)的密度函数的密度函数为为(2x x 2x x 22x 14x 65)exp f(x1,x2)12 1 212121222试试求求X的均的均值值和和协协方差方差阵阵.解一解一:求求边缘边缘分布及分布及Cov(X1,X2)=129f(x)1(2 x2 22 x 65)1

6、(x2 2 x x 14 x )f(x1,x2)dx2 2221121 2211 1 e 2dxe2(x2 2 x2(x1 7)(x1 7)(x1 7)e2dx e 222112112(2 x 22 x 65)21 1 2e第二第二章章多元正多元正态态分布及参数的估分布及参数的估计计 1(x x 7)2 1(x2 8 x 16)2222111 1 222 1 edxe 1(2 x2 22 x 65 x2 14 x 49)1(x x 7)2222211111 1 eedx2 1 e 2(x1 4)2类类似地有似地有101 X1 N(4,1).12 1 e 4(x2 3)f(x1,x2)dx1 f

7、2(x2)22 X 2 N(3,2).第二第二章章多元正多元正态态分布及参数的估分布及参数的估计计12 Cov(X1,X 2)E(X1 E(X1)(X 2 E(X 2)E(X1 4)(X 2 3)(x1 4)(x2 3)f(x1,x2)dx1dx2u2 x2 3u x 4令11)du1du2212221 u1u2exp(2u u 2u u2 1 1212 1(u u )22221212 u1 2 1 u e 1 2duduu e 12 1(u u )22du2 u1 1(u u )2221u12121212(u u)e2 1 1 2dudueu e du1 1 1 2221u 21 u e02

8、11第二第二章章多元正多元正态态分布及参数的估分布及参数的估计计12所以所以1 2 1 1D(X)E(X)3 ,4且f(x,x)1 exp 1(x )1(x )2212故故X=(X1,X2)为为二元正二元正态态分分布布.13第二第二章章多元正多元正态态分布及参数的估分布及参数的估计计解二解二:比比较较系数法系数法设设 )(x )(x )(x (x )22 (1 )exp 2 1 2exp (2x 2x x 22x 14x 65)f(x,x)1 1 2 1 122222121211222121222121221 2122x2112 2 2 2 12 2 1 1 2 1 1 2 1 21 2 12

9、 65 2 21 2 1 14 22 22221222211212212212比比较较上下式相上下式相应应的系数的系数,可可得得:1 1/2 12221 22 144 2 221221 4 3第二第二章章多元正多元正态态分布及参数的估分布及参数的估计计14D(X)1 2 1 1E(X)3 ,解三解三:两次配方法两次配方法 4故故X=(X1,X2)为为二元正二元正态态随机向量随机向量.且且22212211 222 2 1121y11 1x2 2 1 x1212221 21(1)第一次配方:2x2 2x x x2 (x x)2 x211 22121,2x 2x x x则0 x y 1令y 1 BB

10、,1 0 1 0111 11 1,而21 1 x因2x 2x x x(x,x)y yxx x x2 y1 y2x y12(2)第二次配方.由于第二第二章章多元正多元正态态分布及参数的估分布及参数的估计计152x2 x2 2x x 22x 14x 65121212 y2 y2 22 y 14(y y)6512212 y2 14 y 49 y2 8 y 161122(y 7)2 (y 4)212 1(y 7)2(y 4)2 2 1(2 x2 x2 2 x x 22 x 14 x 65)x2 y1 y221212121 2122 1 e 1 e 2 x y即即 g(y1,y2)设设函函数数 g(y1

11、,y2)是随机向是随机向量量Y的密度函数的密度函数.第二第二章章多元正多元正态态分布及参数的估分布及参数的估计计16(4)由于由于 CY 1 1Y2 Y X 2 XX 0 1 11故故1 2 0 1 I 0 1 1 1 1 12 1 1 3 0 1 7 4,1 1 42 3 1 2 1X CY N 4 1,1 2 1,D(X)1 3E(X)42 I Y Y1 N 7,Y2 24(3)随机向量随机向量第二第二章章多元正多元正态态分布及参数的估分布及参数的估计计2-12 设设X1 N(0,1),令令X1,X,当-1 X 1,其它.X 112(1)证证明明X2 N(0,1);(2)证证明明(X1 ,

12、X2 )不是二元正不是二元正态态分分布布.证证明明(1):任任给给x,当当x-1时时PX 2 x PX1 x (x)当当x1时时,1 P 1 X 1 1 P 1 X 1 x x (x)P X 2 P X 1 P X 1 1 P 1 X 2 1 P 1 X 2 xP X x217第二第二章章多元正多元正态态分布及参数的估分布及参数的估计计18 1 P x X 1 1 1 P 1 X 1 x x (x)P X 1 P X 1 P X 1当当-1x1时时,P X 2 x P X 2 1 P 1 X 2 xX 2 N(0,1).(2)考考虑虑随机随机变变量量Y=X1-X2 ,显显然有然有0X X,当-

13、1 X 1其它Y X1 X 2111第二第二章章多元正多元正态态分布及参数的估分布及参数的估计计19 PX1 1 PX1 1 2(1)0.3174 0若若(X1 ,X2 )是二元正是二元正态态分布分布,则则由性由性质质4可可知知,它的任意它的任意线线性性组组合必合必为为一元正一元正态态.但但Y=X1-X2 不是正不是正态态分分布布,故故(X1 ,X2 )不是二元正不是二元正态态分分布布.(X1 N(0,1)PY 0 PX1 1或X1 1第二第二章章多元正多元正态态分布及参数的估分布及参数的估计计2-172-17设设XNp(,),(,),0,0,X的密度函数的密度函数记为记为f(x;,).(1)

14、;,).(1)任任给给a0,0,试证试证明概率密度等高面明概率密度等高面 f(x;,)=;,)=a是一个是一个椭椭球面球面.(2(2)当当p=2=2且且 1(0)0)时时，2 1 概率密度等高面就是平面上的一个概率密度等高面就是平面上的一个椭圆椭圆，试试求求该椭圆该椭圆 的方程式，的方程式，长轴长轴和短和短轴轴.证证明明(1):任任给给a0,0,记记a20(2)p/2|1/2,当0 a 1 时,0f(x;,)a (x )1(x )b20a 2 lnaa0 0,其中 b2 2 lna(2)p/2|1/2第二第二章章多元正多元正态态分布及参数的估分布及参数的估计计 的谱谱分解则有l(i 1,2,p

15、),的特征向量记特因 0,的特征值记为1 2 p 0,i 对对-1ii ipi1il l1 1令令yi(x )li (i 1,2,p),则则概率密度等高面概率密度等高面为为1 l l(x )b221i1(x )1(x )(x )i ipi 1 y2 b2i1iip(见见附附录录5 P390)第二第二章章多元正多元正态态分布及参数的估分布及参数的估计计 1 2 p 1 b2 b2b2y212py2y2故概率密度等高故概率密度等高面面 f(x;,)=a是一个是一个椭椭球面球面.(2)当当p=2=2且且(0)0)时时,1 2 1|4(1 2).(2 2 )(2 2 )022(2 )2 4 2由由|I

16、|2 2 22p可得可得的特征的特征值值 2(1 ),2(1).12第二第二章章多元正多元正态态分布及参数的估分布及参数的估计计i(i=1,2)对应对应的特征向量的特征向量为为l1 1 2 1 1 2 1 2 2l1由由(1)可得可得椭圆椭圆方程方程为为 1 2 1 2(1 )b2 2(1 )b2y2y21 2 a,其中 b2 2 lna(2)|1/2 2 ln2 2长轴长轴半径半径为为 d1 b短短轴轴半径半径为为d2 b231,方向沿方向沿着着l1方方向向(b0);1,方向沿方向沿着着l2方方向向.第二第二章章多元正多元正态态分布及参数的估分布及参数的估计计2-19 为为了了解某种橡胶的性

17、能，今抽了十个了了解某种橡胶的性能，今抽了十个样样品，品，每个每个测测量了三量了三项项指指标标：硬度、硬度、变变形和形和弹弹性，其数据性，其数据见见 表。表。试计试计算算样样本均本均值值，样样本离差本离差阵阵，样样本本协协差差阵阵和和样样 本相关本相关阵阵.解：解：24第二第二章章多元正多元正态态分布及参数的估分布及参数的估计计25应应用多元用多元统计统计分析分析第三章第三章习题习题解答解答第三第三章章多元正多元正态总态总体参数的假体参数的假设检验设检验3-3-1 1 设设XNn(,2 2In),A为对为对称称幂幂等等 阵阵,且且rk(rk(A)=)=r(rn),证证明明证证明明因因A为对为对

18、称称幂幂等等阵阵，而，而对对称称幂幂等等阵阵的的 特征特征值值非非0 0即即1,1,且只有且只有r个非个非0 0特征特征值值，即存在正，即存在正 交交阵阵(其列向其列向量量ri为为相相应应特征向量特征向量)，使，使2第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验3其中非中心参数其中非中心参数为为第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验4且且3-3-2 2 设设XN Nn n(,2In),A，B为为n阶对阶对称称阵阵.若若AB 0 0 ,证证明明XAX与与XBX相互独立相互独立.证证明的思路明的思路：记记rk(rk(A)=r.因因A为为n阶对阶对称称阵阵,存在正交存

19、在正交阵阵,使得使得 A=diag=diag(1,1,r 0,.,0)0,.,0)令令YX，则则YNn(,2In),),r5第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验 X AX (Y)A Y A iYii12又因又因为为XBX=YB Y=YHY其中其中H=B。如果能。如果能够证够证明明XBX 可可表示表示为为Yr+1+1，,Yn的函数，的函数，即即H只是右只是右 下下子子块为块为非非0的矩的矩阵阵。则则XAX 与与XBX相互独立。相互独立。6第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验证证明明 记记rk(rk(A)=)=r.若若r=n,由由ABO,知知B Onn,

20、于是于是XAX与与XBX独立；独立；若若r=0=0时时,则则A0,0,则则两个二次型也是独两个二次型也是独立的立的.以下以下设设0 0rn.因因A为为n阶对阶对称称阵阵,存存在正在正交交阵阵,使得使得第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验7其中其中i00为为A的特征的特征值值(i=1=1,r).).于是于是令令r第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验由由ABO可得可得DrH1111O，DrH1212O.因因Dr为满为满秩秩阵阵,故有故有H1 11 1Orr，H1212Or(n-r).由于由于H为对为对称称阵阵，所以，所以H2 21 1O(n-r)r.于是

21、于是8由于由于Y1 1，,Yr,Yr+1,Yn相互独立，故相互独立，故XAX与与XBX相互独立相互独立.第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验令令YX，则则Y N Nn(,2In),且且r X AX (Y)A Y A iYii12 Y X BX Y B Y HY (Yr 1,Yn)H 22 Yr 1 nH B 9设设XN Np(,),0 0,A和和B为为p阶对阶对称称阵阵,试证试证明明(X-)A(X-)与与(X-)B(X-)相互独立相互独立AB0 0pp.第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验3-3)10 1(记 21 2 1 由由“1.“1.结论结论6

22、 6”知知与与相互独相互独立立1111CD O 2 A 2 2 B 2 O AB O11第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验3-4试证试证明明Wishart分布的性分布的性质质(4)和和T2分布的性分布的性质质(5).性性质质4 4 分分块块Wishart矩矩阵阵的分布的分布:设设X()Np(0,)(1,n)相互独立，其中相互独立，其中又已知随机矩又已知随机矩阵阵n则则22 p rr21 1211 W(n,)2122 W12 W11 1()()W p rWX W rXp第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验12第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的

23、体参数的检验检验13证证明明:设设X x X(1)|X(2),则则nrn(pr)n pij N(0,22),Nr(0,11),则(2)()pr(1)()()(2)()(1)()r p rXXXX X记记,X(2)X(1)X(2)X(2)WWX(1)X(2)W X X X(1)X(1)2122 1211 WWW11 X(1)X(1),W22 X(2)X(2)即即第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验14)X W(n,22).(XW X(2)X(2)n(1(2)(2)()22pr当当12=O 时时,对对1,2,n,独立独立.故有故有W11与与W22相互独立相互独立.(2相相)互

24、互()(1)()与XX)X W(n,);(XW X(1)X(1)111(1)(1)()()11nr由定由定义义3.1.4可知可知性性质质5 在非退化的在非退化的线线性性变换变换下下,T2统计统计量保持不量保持不 变变.证证明明:设设X()(1,n)是来自是来自p元元总总体体 Np(,)的随机的随机样样本本,X和和Ax分分别别表示正表示正态总态总体体X 的的样样本均本均值值向量和离差向量和离差阵阵,则则由性由性质质1有有 T2 (p,n 1).15 n(n 1)(X )A 1(X )2xTx第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验令令Y(i)CX(i)d(i 1,.,n)其中其

25、中C是是p p非退化常数矩非退化常数矩阵阵，d是是p 1常向量。常向量。则则(i 1,2,.,n)Y(i)Np(C d,CC)1622xyT T n(n 1)(X )A 1(X )T 2x x n(n 1)(X )C CA C 1 C(X )n(n 1)(Y )A 1(Y )T 2xyyyy第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验Y CX d,i1n C(X(i)X)(X(i)X)C CAxCnAy(Y(i)Y)(Y(i)Y)i1所以所以记y C d第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验3-5对单个p维正态总体Np(,)均值向量的检验问题，试用似然比原理导

26、出检验H0:=0(=0已知)的似然比统计量及分布.解解:总总体体XN Np p(,(,0 0)()(0 00),0),设设X()(=1,(=1,n)(np)为为来自来自p维维正正态总态总体体X的的样样本本.似然比似然比统计统计量量为为 max L(0,0)max L(,0)0)2 1分子 1 exp 1(X)1(X00|20|nn/20()()1 exp 1 tr1(X)(X|20|n 1n/20()0()02P66当当=0已知已知的的检验检验17第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验分子 1 exp 1 tr1 A|22|n/2000分母 L(X,0)max L(,0)X

27、)2 1 1 exp 1(X X)1(X|2|()nn/2()00 X)18 1 exp 1 tr1(X X)(X|2|0()1nn/2()02 1 exp 1 tr1 A|22|n/200第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验 max L(0,0)max L(,0)0 exptr 1 1 A tr 1 1 A 22000 exptr 1 1 A tr 1 1(A n(X )(X )220000 exp n tr(X )1(X )020019 exp n(X )1(X )2000第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验)(X 0)(X n2ln 100)(

28、X 0)n(X 2 ln def100n(X )N(0,)20X N(,1 ),0p 0H 0下p0 0 H 0下n所以由所以由3“一一2.的的结结论论1”可知可知 2 ln 2(p).因因第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验3-6(均均值值向量各分量向量各分量间结间结构关系的构关系的检验检验)设总设总体体XN Np p(,)(,)(0),0),X()(1,1,n)(np)为为来自来自p维维正正态总态总体体X X的的样样本，本，记记(1 1,p).).C 为为kp常数常数(k p),rank(),rank(C)=)=k,r为为已知已知k维维向量向量.试给试给出出 检验检验

29、H H0 0:C:Cr的的检验统计检验统计量及分布量及分布.解：解：令令 Y()CX()(1,2,n)则则Y()(1,1,n)为为来自来自k维维正正态总态总体体Y 的的样样本，且本，且21 CC.Y()Nk(C,CC);记y C,y22第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验检检验验 H0 :C r H0 :y r这这是是单单个个k维维正正态态总总体体均均值值向向量量的的检检验验问问 题题.利利用用3.2当当y=CC未未知知时时均均值值向向 量的量的检验给检验给出的出的结论结论,取取检验统计检验统计量量:H 0下 F(k,n k)(n 1)kF n k T 2A(Y r).(

30、n 1)n(CX r)CAC1(CX r).其中 T(n 1)n(Y r)12yA (X(i)X)(X(i)X).i1n第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验3-7设总设总体体XNp(，)(0),X()(1,n)(np)为为来来自自p 维维正正态总态总体体X的的样样本，本，样样本均本均值值为为X，样样本离差本离差阵为阵为A.记记 (1 1,p p).为检验为检验H0 0:1 1=2 2=p p ,H1 1:1 1,2 2,p p至少有一至少有一对对不不 相等相等.令令,11100 01 0 00C 11(p1)p则则上面的假上面的假设设等价等价于于H0 0：C=0p-1,H

31、1 1：C 0p-1试试求求检验检验H0 的似然比的似然比统计统计量和分量和分布布.解解：H0 :1 2 p,23H1:1,2,p至少有一至少有一对对不相等不相等.第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验利用利用3-6的的结结果知，果知，检检验验H0的似然比的似然比统计统计量及分量及分 布布为为：H0:C 0,H1:C 0,H 0下2TF(p 1,n p 1),n (p 1)(n 1)(p 1)F 其中其中下)24 T(n 1,p 1).(H(注意注意:3-6中的中的k在在这这里里为为p-1)T 2(n 1)n(CX)CAC1 CX02第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数

32、的体参数的检验检验3-8假定人体尺寸有假定人体尺寸有这样这样的一般的一般规规律律:身身高高(X1),胸胸围围(X2)和上半臂和上半臂围围(X3)的平均尺寸比例的平均尺寸比例是是641.假假设设X()(1,n)为为来自来自总总体体X=(X1,X2,X3)的随机的随机样样本本.并并 设设XN3(,)，试试利用表利用表3.5中男中男婴这婴这一一组组数据数据检验检验三三 个尺寸个尺寸(变变量量)是否符合是否符合这这一一规规律律(写出假写出假设设H0,并并导导出出检检 验统计验统计量量).解：解：检验检验三个尺三个尺寸寸(变变量量)是否符合是否符合这这一一规规律的律的问题问题 可提成假可提成假设检验问设

33、检验问题题.因因为为1:2:3 6:4:1 C 0其其中中 C 1 0 6,0 1 423 4 0.1 6 3 01 16 24,且133 注意注意:2523第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验检验检验的假的假设设H0为为 H0 :C 0,H1:C 0,利用利用3-6的的结论结论，取，取检验统计检验统计量量为为：H 0下 10 6 01 40 或 2 30,C 2 3或 C F(2,n 2)2(n 1)F n 2 T 2T 2(n 1)n(CX)XAC1 CX.由男由男婴测婴测量数量数据据(p=3,n=6)计计算可得算可得T2=47.1434,F=18.8574,p值值=

34、0.0091950未知未知.检检验验H0似然比似然比统统 计计量量为为n n1 n2(i)(i)()ni(i)(i)()1(i 1,2)(X X)(XXAi 记记X(i),(i 1,2),记X 1 12i1 1()1X(i)()X(i)n nninii其中其中(i)()X第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验2|T|e i1i1其其中中 A=A1+A2称称为组为组内离差内离差阵阵.B称称为组间为组间离差离差阵阵.分子当 X,T A B 达最大,且最大值为nnn2np n 2L（X，)(2)nnpT(X(i)X)(X(i)X)(j)(j)2i1j 1T nkA n(X(i)X

35、)(X(i)X)A B31ii22第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验n2np n 22 (2)(1)|A|L（X,X，)(2)np e nA且最大值为分母当(1)X(1),(2)X(2),A 达最大,n n/2n/2|A|A|T|n/22n/2|A B|i1 A n1n2 (X(1)X(2)(X(1)X(2)32n(X X)(X X)(i)(i)T A B A in因因为为似然比似然比统计统计量量33第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验|A|1 n1n2 (X(1)X(2)A1(X(1)X(2)1n1n2 (X(1)X(2)n1n2 (X(1)X(

36、2)|T|A n1n2 (X(1)X(2)(X(1)X(2)|nnnAn1 n1n2 (X(1)X(2)A1(X(1)X(2)所所以以|A|1|T|n第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验 1 2 (X(1)X(2)N(0,)H 0下pnn nA A1 A2 Wp(n 2,),(n n1 n2)由定由定义义3.1.5可知可知T 2(n 2)n1n2 (X(1)X(2)A1(X(1)X(2)34n T 2 (p,n 2),n 2|A|1 1 11|T|1 T 2由由Tn 22或或由于由于第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验可取可取检验统计检验统计量量为为

37、H 0下 F(p,n p 1)检验检验假假设设H0的否定域的否定域为为35n p 11 ppn 2(n 2)p 1 T 2F F F T 2 T 2第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验3-1136表表3.5给给出出15名名2周周岁婴岁婴儿的身高儿的身高(X1)，胸，胸围围(X2)和和上半臂上半臂围围(X3)的的测测量数据量数据.假假设设男男婴婴的的测测量数量数据据X()(1,6)为为来自来自总总体体N3(1)，)的随机的随机样样本本.女女婴婴的的测测 量数据量数据Y()(1,9)为为来自来自总总体体N3 (2)，)的随机的随机样样 本本.试试利用表利用表3.5中的数据中的

38、数据检验检验H0:(1)=(2)(=0.05).解解:这这是两是两总总体均体均值值向量的向量的检验问检验问题题.检验统检验统 计计量取量取为为(p=3,n=6,m=9):H 0下 F(p,n m p 1)F n m p 1T 2(n m 2)p第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验其其中中 T 2 (n m 2)nm (X Y)(A A)1(X Y)12n mF n m p 1 nm (X Y)(A A)1(X Y)3712pn m故故检验统计检验统计量量为为用用观测观测数据代入数据代入计计算可得算可得:T 2 5.3117,F 1.4982,p 0.2693 0.05 显

39、显著性概率著性概率值值 故故H0相容相容.38第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验3-123-12在地在地质质勘探中，在勘探中，在A A、B B、C C三个地区采集了一些岩石，三个地区采集了一些岩石，测测其部分化学成分其部分化学成分见见表表3.6.3.6.假定假定这这三个地区岩石的成分遵从三个地区岩石的成分遵从 N N3 3(i i)，i i)(i1 1，2 2，3)(=0.05).3)(=0.05).(1(1)检验检验H0H0：1 12 23 3；H1H1：1 1,2 2,3 3不全等不全等;(2(2)检验检验H0H0：(1(1)(2(2),H1,H1：(1(1)(2(

40、2);(3(3)检验检验H0:H0:(1(1)(2)(2)(3(3),H1:,H1:存在存在ij,ij,使使(i(i)(j(j);(4(4)检验检验三种化学成分相互独立三种化学成分相互独立.解解:(4):(4)设设来自三个来自三个总总体的体的样样本本为为(p=3,=3,k=3)=3),),(t 1,k;i 1,n)N(t)(t)(i)ptX检检H0 :12 13 23 0,H1:12,13,23不全相等.检验检验H0的似然比的似然比统计统计量量为为max L(i),)(i),max L(i),),ii(i)ii39第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验似然比似然比统计统计量

41、的分子量的分子为为L(X(t),D)max L(t);D)0 diag(),0022000 33 11D (2)2D2exp 1 tr(D 1 A)2nnp40第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验0 1 diag(A),011nD 0000a2233nnan akt 1t 1 i1X)X)(XA A knt(t)(t)(i)(t)(t)(i)t(X称称为为合并合并组组内离差内离差阵阵.,2200011000a,D 1 nD 1 a1 33 a1 a1ii i1 n p p第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验n241 i1 2n2 i1 np 22D2

42、 exp 1 tr(D 1 A)L(X(t),D)(2)2 2e 2exp np 1(2)2p aii nppiinpnnpna n aii npaA)ntr(Dpi1ii11第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验似然比似然比统计统计量的分母量的分母为为L(X(t),1 A)max L(t);)1211(2)2Aexptr(A)1 A n2nnnpnA242 2n2 np 222 2e Aexp 1(2)nnpnpnpn n 第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验检验检验H0的似然比的似然比统计统计量可化量可化为为:n V 243 2i1n/2n/2 i

43、 1 n/2np/2n/2i1np/2 n (i)max L(,)(i),max L(i),)(i),2e n 2e p aii p aii p aii iiAAA n ii 第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验Box证证明了，在明了，在H0成立下当成立下当n时时，=-blnV2(f)，其中其中 10.1667443(32 3)6333 3612b 13 f 1 3 4 1 2 323i1V=0.7253,=-blnV=3.2650,因因p=0.35250.05.故故H0相容，即随机向量的三个分相容，即随机向量的三个分量量(三种三种 化学成分化学成分)相互独相互独立立.第

44、三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验45或者利用定理或者利用定理3.2.1,当当n充分大充分大时时，=-2ln2(f)，其其中中f=p+p(p+1)/2-(p+p)=3,V=0.7253,=0.1240,=-2ln=-nlnV=4.1750,因因p=0.24320.05.故故H0相容，即随机向量的三个分相容，即随机向量的三个分量量(三种三种 化学成分化学成分)相互独相互独立立.第三第三章章 多元正多元正态总态总体参数的体参数的检验检验3-1346对对表表3.3给给出的三出的三组观测组观测数据分数据分别检验别检验是是否来自否来自4维维正正态态分分布布.(1)对对每个分量每个分

45、量检验检验是否一是否一维维正正态态?(2)利用利用2图检验图检验法法对对三三组观测组观测数据分数据分别检验别检验 是否来自是否来自4维维正正态态分布分布.应应用多元用多元统计统计分析分析第四章部分第四章部分习题习题解答解答第四第四章章回回归归分析分析4-1设设 y a ,(1)试试求参数求参数a,b的最小二乘估的最小二乘估计计；解解:用矩用矩阵阵表示以上模表示以上模型型:I),N(0,y a 2b ,y2 2a b 2,3232313311 X 3 1 defb 2 1 a 10 2 1 y3 y1 Y y222 12 1 y y3 y1 0 1 22 2 100 1 2 112 1 1(X

46、X)1 X Y b 1a则则2第四第四章章回回归归分析分析15123 6 1(y2 2 y3)(y1 2 y2 y3)y2 2 y3y 2 y y 0 5 16 0(2)试导试导出出检验检验H0：a=b的似然比的似然比统计统计量，并指出当假量，并指出当假 设设成立成立时时，这这个个统计统计量的分布是什量的分布是什么么?解解:样样本的似然函数本的似然函数为为 2L(a,b,2)1 exp 1 (y a)2 (y 2a b)2 (y a 2b)2 2123232 23 L(a,b,2)1 exp 1 (y a)2 (y 2a b)2 (y a 2b)2 2123232第四第四章章回回归归分析分析

47、0(y a)3 1 2 2 2(2)2 ln L 221)(y 2a b)(y a 2b)2223212(y a13令令可得可得似然比似然比统计统计量的分母量的分母为为L(a,b,2)(2)2(2)2 exp 3.233 24L(a ,2)1 exp 1 (y a )2 (y a )2 (y 3a )2 21020302320当当H0：a=b=a0成立成立时时,样样本的似然函数本的似然函数为为第四第四章章回回归归分析分析(y a)(y a)3(y 3a)0 2 2L(a0,)2 L(a,)102030200 2a)0(y a 3 1 2 22(2)2 ln L(a0,)210 22 令令可得可

48、得 令令 1(y y 3y)11a1230可得可得(y a(y 3a)20drf2302202102)(y a)13似然比似然比统计统计量的分子量的分子为为32)2 exp.00025L(a,2)(2)2(336第四第四章章回回归归分析分析3 V 2 232 0 2(2)232)23022)00(L(a,b,)L(a,似然比似然比统计统计量量为为以下来以下来讨论讨论与与V等价的等价的统计统计量分量分布布:(y a)(y a 2b)(y y)(y y)(y y)222311223212322231(y 2a b)13 X(X X)1 X)Y 1(Y X)(Y X)1 Y(I3331 Y AY,且

49、rank(A)tr(A)3 2 1 3第四第四章章回回归归分析分析7因因为为称为等阵,I),AY N(X332Y AY 2(1)2当当H0：a=b=a0成立成立时时,回回归归模型模型为为Y AY 2(1,),因 1 (X)AX 0 2 2I)Y N(Za,Za ,且3 1 a132030 1 def3 203 2 y1 yY y 1 2(y1 a0)(y2 a0)(y3 3a0)22203 第四第四章章回回归归分析分析8 1 Y BY3 1(Y Za)(Y Za)1 Y(I Z(Z Z)1 Z)Y33003考考虑虑 2 2 1 Y(B A)Y30B A X(X X)1 X Z(Z Z)1 Z

50、256 112 25 80 35 330 1 49经验证经验证:B-A是是对对称称幂幂等等阵阵;rank(B-A)=tr(B-A)=2-1=1;第四第四章章回回归归分析分析 A(B-A)=O33 .由第三章由第三章3.1的的结结论论6知知Y AY与Y(B A)Y相互独立;也就是9(1)Y (B A)Y 2)3(Y(B A)Y 2(1,),因 1 (Za)(B A)Za 02 222000 2 2 2 2与 2相互独立.0由第三章由第三章3.1的的结结论论4知知(H0：a=b成立成立时时)第四第四章章回回归归分析分析 F(1,1)10Y(B A)Y 2 2 20Y AY 所以所以故 V 或V ,