集中质量体系地震反应分析.ppt

1、12土动力学与土工抗震工程于玉贞清华大学水利水电工程系岩土工程研究所3基岩基岩地基地基地震波土坝结构结构特性特性地基地基特性特性地震地震特性特性地基及土工结构物地基及土工结构物动力分析动力分析抗震措施抗震措施安全评价安全评价适用于水平成层地基或土工结构物适用于水平成层地基或土工结构物适用于任意地基或土工结构物适用于任意地基或土工结构物结构简化结构简化剪切层剪切层集中质量系集中质量系有限单元有限单元求解区域求解区域时域：如逐步积分法时域：如逐步积分法频域：利用傅立叶变换频域：利用傅立叶变换振型：叠加法振型：叠加法42-3 集中质量体系地震反应分析5一、集中质量体系一、集中质量体系三、振型叠加法三

2、、振型叠加法1.简化方法简化方法2.基本方程基本方程1.自振频率和振型自振频率和振型2.地震反应振型叠加法地震反应振型叠加法2-3 集中质量体系地震反应分析二、逐步积分法二、逐步积分法1.线性加速度法线性加速度法2.Wilson-法法3.Newmark-法法6一、集中质量体系一、集中质量体系1.1.简化方法简化方法2-3 集中质量法与振型叠加法集中质量：集中质量：刚度系数：刚度系数：7一、集中质量体系一、集中质量体系2.2.基本方程基本方程2-3 集中质量体系地震反应分析相对位移矢量：相对位移矢量：相对速度矢量：相对速度矢量：相对加速度矢量：相对加速度矢量：地震加速度：地震加速度：基本方程：基

3、本方程：M:质量矩阵质量矩阵C:阻尼矩阵阻尼矩阵K:刚度矩阵刚度矩阵E:质量列阵质量列阵82.2.基本方程基本方程各矩阵的表达式：各矩阵的表达式：瑞利阻尼公式瑞利阻尼公式一、集中质量体系一、集中质量体系2-3 集中质量体系地震反应分析C的表达式与的表达式与K类似，简化计算时类似，简化计算时92.2.基本方程基本方程瑞利阻尼公式瑞利阻尼公式1、1为第一振型的阻尼比和自振圆频率为第一振型的阻尼比和自振圆频率近似取：近似取：SDOF体系：体系：水平成层地基：水平成层地基：一、集中质量体系一、集中质量体系2-3 集中质量体系地震反应分析102-3 集中质量体系地震反应分析一、集中质量体系一、集中质量体

4、系三、振型叠加法三、振型叠加法1.简化方法简化方法2.基本方程基本方程1.自振频率和振型自振频率和振型2.地震反应振型叠加法地震反应振型叠加法二、逐步积分法二、逐步积分法1.线性加速度法线性加速度法2.Wilson-法法3.Newmark-法法11二、逐步积分法二、逐步积分法基本思路基本思路:1、输入地震波历时为、输入地震波历时为T，将其分为，将其分为N个微小时段：个微小时段：t=T/N2、如、如t时刻的各物理量已知时刻的各物理量已知,3、假定、假定与与间的关系间的关系4、通过积分可用、通过积分可用表示表示5、再积分可用、再积分可用表示表示6、以、以为基本未知量，代入基本方程，即可求出为基本未

5、知量，代入基本方程，即可求出7、再求出、再求出8、至此已求出、至此已求出tt时刻的各物理量：时刻的各物理量：9、t=0时各量已知，按上述方法可逐步求出全程解答时各量已知，按上述方法可逐步求出全程解答（此步常用增量形式）（此步常用增量形式）2-3 集中质量体系地震反应分析12具体方法：具体方法：按按与与间的关系假定可分为间的关系假定可分为线性加速度法线性加速度法Wilson-法法Newmark-法法适用范围：适用范围：单自由度体系的动力反应解答单自由度体系的动力反应解答多自由度体系的动力反应解答多自由度体系的动力反应解答有限元法的动力反应解答有限元法的动力反应解答其它与时间有关的问题（固结）其它

6、与时间有关的问题（固结）二、逐步积分法二、逐步积分法2-3 集中质量体系地震反应分析131.1.线性加速度法线性加速度法假定加速度在假定加速度在t=t2-t1的微小时段内呈线性变化的微小时段内呈线性变化如如t1时刻的各物理量已知时刻的各物理量已知,t1t2=t1+tt速度为：速度为：t2时刻的速度为：时刻的速度为：位移为：位移为：t2时刻的位移为：时刻的位移为：二、逐步积分法二、逐步积分法2-3 集中质量体系地震反应分析14以以u(t2)为基本未知量：为基本未知量：1.1.线性加速度法线性加速度法t1t2=t1+ttt2时刻的速度和位移为：时刻的速度和位移为：增量：增量：二、逐步积分法二、逐步

7、积分法2-3 集中质量体系地震反应分析15t1t2=t1+tt增量：增量：动力微分方程：动力微分方程：1.1.线性加速度法线性加速度法二、逐步积分法二、逐步积分法2-3 集中质量体系地震反应分析16稳定性：稳定性：增量：增量：全量：全量：TN为第为第N振型的自振周期振型的自振周期有条件稳定有条件稳定1.1.线性加速度法线性加速度法二、逐步积分法二、逐步积分法2-3 集中质量体系地震反应分析172.2.Wilson-法法t1tt3=t1+tt2=t1+t1假定加速度在假定加速度在t=t 的时段内呈线性变化的时段内呈线性变化t1时刻的各物理量已知时刻的各物理量已知,t2时刻的速度和位移为：时刻的速

8、度和位移为：t3时刻的速度和位移为：时刻的速度和位移为：二、逐步积分法二、逐步积分法2-3 集中质量体系地震反应分析182 2.Wilson-法法增量：增量：以以t t3 3和和t t1 1间的增量为未知量，间的增量为未知量，增量形式动力微分方程：增量形式动力微分方程：t1tt3=t1+tt2=t1+t二、逐步积分法二、逐步积分法2-3 集中质量体系地震反应分析19稳定性：稳定性：无条件稳定无条件稳定 最优最优常用常用线性加速度法线性加速度法增量：增量：全量：全量：2 2.Wilson-法法二、逐步积分法二、逐步积分法2-3 集中质量体系地震反应分析203.3.Newmark-法法假定速度和位

9、移在假定速度和位移在t2=t1t时刻按下式计算时刻按下式计算如如t1时刻的各物理量已知时刻的各物理量已知,速度：速度：位移：位移：t1t2=t1+tt增量形式：增量形式：二、逐步积分法二、逐步积分法2-3 集中质量体系地震反应分析21以以u为基本未知量：为基本未知量：3 3.Newmark-法法t1t2=t1+tt二、逐步积分法二、逐步积分法2-3 集中质量体系地震反应分析22稳定性：稳定性：=1/6，=1/2时，即为线性加速度法，时，即为线性加速度法，有条件稳定有条件稳定 =1/4，=1/2时，即为常值加速度法，时，即为常值加速度法，无条件稳定无条件稳定 增量：增量：全量：全量：3 3.Ne

10、wmark-法法二、逐步积分法二、逐步积分法2-3 集中质量体系地震反应分析232-3 集中质量体系地震反应分析一、集中质量体系一、集中质量体系三、振型叠加法三、振型叠加法1.简化方法简化方法2.基本方程基本方程1.自振频率和振型自振频率和振型2.地震反应振型叠加法地震反应振型叠加法二、逐步积分法二、逐步积分法1.线性加速度法线性加速度法2.Wilson-法法3.Newmark-法法24三、振型叠加法三、振型叠加法振型：振型：对于无阻尼的多自由度体系，在某一初始分布位移刺激下产生自对于无阻尼的多自由度体系，在某一初始分布位移刺激下产生自由振动，如果在以后的振动过程中位移分布形状保持不变，只是大

11、小发由振动，如果在以后的振动过程中位移分布形状保持不变，只是大小发生周期性变化，则称这种位移分布形式为该多自由度体系的一个振型。生周期性变化，则称这种位移分布形式为该多自由度体系的一个振型。m m2m2mk k2k2k2-3 集中质量体系地震反应分析25u将土体离散成多自由度体系，如集中质量体系将土体离散成多自由度体系，如集中质量体系u将土体的动力反应看作是由土体在一系列不同频率（自振频率）下将土体的动力反应看作是由土体在一系列不同频率（自振频率）下振动所产生反应（振型）的叠加振动所产生反应（振型）的叠加u动力基本方程的求解动力基本方程的求解u(x,t)，就归结为求各自振频率，就归结为求各自振

12、频率和相应的位移和相应的位移分布分布(x)（振型），以及幅值（振型），以及幅值Y(t)随时间的变化随时间的变化振型的特性振型的特性 正交性：正交性：多自由度体系的任何振型，在振动过程中不在其它振型上做多自由度体系的任何振型，在振动过程中不在其它振型上做功，即振动能量不会转移到其它振型上去，或者说，它不会激起其它功，即振动能量不会转移到其它振型上去，或者说，它不会激起其它振型的振动。振型的振动。三、振型叠加法三、振型叠加法线性无关性：线性无关性：多自由度体系的位移可用各振型位移的线性组合来表示。多自由度体系的位移可用各振型位移的线性组合来表示。振型叠加法：振型叠加法：2-3 集中质量体系地震反应

13、分析26基本思路基本思路地基或土工结构物地基或土工结构物离散成多自由度体系离散成多自由度体系如集中质量体系如集中质量体系无阻尼和有阻尼的特征值和特征向量无阻尼和有阻尼的特征值和特征向量（频率、阻尼、振型）（频率、阻尼、振型）地震动力反应振型叠加法地震动力反应振型叠加法（各振型的幅值及振型叠加）（各振型的幅值及振型叠加）三、振型叠加法三、振型叠加法2-3 集中质量体系地震反应分析27（1 1）无阻尼自由振动）无阻尼自由振动假定方程的解为：假定方程的解为：代入振动方程得：代入振动方程得：将两边左乘以将两边左乘以得：得：令令则有则有解得解得 为无阻尼自由振动的圆频率为无阻尼自由振动的圆频率常数常数A

14、、由初始条件确定由初始条件确定多自由度振动体系多自由度振动体系(MDOF System)，N个自由度个自由度1.1.自振频率和振型自振频率和振型振动方程为：振动方程为：三、振型叠加法三、振型叠加法2-3 集中质量体系地震反应分析其中其中为位移空间分布向量为位移空间分布向量 281.1.自振频率和振型自振频率和振型特征方程式特征方程式有非零解的充要条件为方程组的系数行列式等于零，即有非零解的充要条件为方程组的系数行列式等于零，即或或齐次线性代数方程组齐次线性代数方程组u该式为关于该式为关于2的的N次代数方程式，求解可得次代数方程式，求解可得2的的N个根，即个根，即N个自个自振频率。振频率。u按其

15、由小到大排列，称之为第一频率（基本频率），第二频率，按其由小到大排列，称之为第一频率（基本频率），第二频率，第，第N频率；它们都只是刚度分布与质量分布的函数。频率；它们都只是刚度分布与质量分布的函数。（1 1）无阻尼自由振动）无阻尼自由振动三、振型叠加法三、振型叠加法2-3 集中质量体系地震反应分析29设第设第i个频率为个频率为i（1 1）无阻尼自由振动）无阻尼自由振动1.1.自振频率和振型自振频率和振型三、振型叠加法三、振型叠加法2-3 集中质量体系地震反应分析30（2 2）特征向量的性质）特征向量的性质取两个特征值取两个特征值，相应的特征向量，相应的特征向量正交性正交性线性无关性线性无关性

16、成立的条件是式中成立的条件是式中常数常数i全为零全为零1.1.自振频率和振型自振频率和振型三、振型叠加法三、振型叠加法2-3 集中质量体系地震反应分析31取两个特征值取两个特征值，相应的特征向量，相应的特征向量特征方程：特征方程：对上二式分别用对上二式分别用左乘其两端，得左乘其两端，得当当 M，K 为对称矩阵时，根据矩阵的乘法可得为对称矩阵时，根据矩阵的乘法可得将此代入前二式，再相减得将此代入前二式，再相减得（2 2）特征向量的性质）特征向量的性质1.1.自振频率和振型自振频率和振型三、振型叠加法三、振型叠加法2-3 集中质量体系地震反应分析32同样可得同样可得由上二式可以写出由上二式可以写出

17、由于由于，上式必须有，上式必须有特征向量的特征向量的正交性正交性(共扼共扼)（2 2）特征向量的性质）特征向量的性质1.1.自振频率和振型自振频率和振型三、振型叠加法三、振型叠加法2-3 集中质量体系地震反应分析33式一：式一：体系以体系以s振型作自由振动时，它所引起的惯性力振型作自由振动时，它所引起的惯性力对于对于r振型的位移振型的位移所作的功等于零。所作的功等于零。对于对于r振型的位移振型的位移某振型在振动过程中能量不会转移到其它振型上，某振型在振动过程中能量不会转移到其它振型上，即不激起其它振型的振动。即不激起其它振型的振动。（M，K为对称矩阵时成立）为对称矩阵时成立）正交性的物理意义正

18、交性的物理意义式二：式二：体系以体系以s振型作自由振动时，它所引起的弹性力振型作自由振动时，它所引起的弹性力所作的功也等于零。所作的功也等于零。（2 2）特征向量的性质）特征向量的性质1.1.自振频率和振型自振频率和振型三、振型叠加法三、振型叠加法2-3 集中质量体系地震反应分析34如果线性相关，则如果线性相关，则式式中的中的常数常数i不能全为零不能全为零左乘上式得左乘上式得由正交性，当由正交性，当ij时，时，故上式中只剩下，故上式中只剩下ij的值，即的值，即不能等于零。因此，线性相关的条件不能成立。不能等于零。因此，线性相关的条件不能成立。由线性无关性，动力系统的位移可用特征向量的线性组合来

19、表示，即由线性无关性，动力系统的位移可用特征向量的线性组合来表示，即或写为矩阵形式或写为矩阵形式故有故有以以用反证法证明特征向量的线性无关性用反证法证明特征向量的线性无关性（2 2）特征向量的性质）特征向量的性质1.1.自振频率和振型自振频率和振型三、振型叠加法三、振型叠加法2-3 集中质量体系地震反应分析35无阻尼自由振动方程解耦无阻尼自由振动方程解耦（2 2）特征向量的性质）特征向量的性质1.1.自振频率和振型自振频率和振型基本方程：基本方程：通解通解以以左乘上式两端，得左乘上式两端，得令令则得则得三、振型叠加法三、振型叠加法2-3 集中质量体系地震反应分析36K*、M*矩阵中的元素分别为

20、矩阵中的元素分别为根据特征向量的正交性：根据特征向量的正交性：K*、M*均为对角矩阵，只有对角线上的元素均为对角矩阵，只有对角线上的元素不为零不为零无阻尼自由振动方程解耦无阻尼自由振动方程解耦（2 2）特征向量的性质）特征向量的性质1.1.自振频率和振型自振频率和振型三、振型叠加法三、振型叠加法2-3 集中质量体系地震反应分析37由前面采用的表示式，可得由前面采用的表示式，可得或或将无阻尼自由振动方程解耦将无阻尼自由振动方程解耦无阻尼自由振动方程解耦无阻尼自由振动方程解耦（2 2）特征向量的性质）特征向量的性质1.1.自振频率和振型自振频率和振型K*、M*均为对角矩阵均为对角矩阵三、振型叠加法

21、三、振型叠加法2-3 集中质量体系地震反应分析38（3 3）有阻尼自由振动）有阻尼自由振动解答可写为解答可写为将两边左乘以将两边左乘以将两边除以将两边除以并令并令其中其中可得可得i为与第为与第i振型相应的阻尼比振型相应的阻尼比1.1.自振频率和振型自振频率和振型解耦条件：解耦条件：C*为对角矩阵为对角矩阵三、振型叠加法三、振型叠加法2-3 集中质量体系地震反应分析39常数常数A、由初始条件确定由初始条件确定两个特征方程式两个特征方程式（3 3）有阻尼自由振动）有阻尼自由振动解答为：解答为：1.1.自振频率和振型自振频率和振型三、振型叠加法三、振型叠加法2-3 集中质量体系地震反应分析40三、振

22、型叠加法三、振型叠加法2-3 集中质量体系地震反应分析一、集中质量体系一、集中质量体系三、振型叠加法三、振型叠加法1.简化方法简化方法2.基本方程基本方程1.自振频率和振型自振频率和振型2.地震反应振型叠加法地震反应振型叠加法二、逐步积分法二、逐步积分法1.线性加速度法线性加速度法2.Wilson-法法3.Newmark-法法412.2.地震反应振型叠加法地震反应振型叠加法 基本方程：基本方程：令令以以左乘上式两端，得左乘上式两端，得令令则得则得三、振型叠加法三、振型叠加法2-3 集中质量体系地震反应分析422.2.地震反应振型叠加法地震反应振型叠加法 根据特征向量的正交性：根据特征向量的正交性：K*、M*和和C*均为对角矩阵，只有对角线上的元素均为对角矩阵，只有对角线上的元素不为零不为零K*、M*和和C*各矩阵中的元素分别为各矩阵中的元素分别为三、振型叠加法三、振型叠加法2-3 集中质量体系地震反应分析43由前面采用的表示式，可得由前面采用的表示式，可得2.2.地震反应振型叠加法地震反应振型叠加法 将将E按振型展开的系数按振型展开的系数或或求解地震反应归结为求特征值求解地震反应归结为求特征值和特征向量和特征向量K*、M*和和C*均为对角矩阵均为对角矩阵三、振型叠加法三、振型叠加法2-3 集中质量体系地震反应分析